福建省龙岩市高级中学2018-2019学年高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

福建省龙岩高级中学2018-2019学年高三（上）期中数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合A ={x|−2<x <4}，B ={−2,1，2，4}，则A ∩B =( )
A. {1,2}
B. {−1,4}
C. {−1,2}
D. {2,4} 【答案】A
【解析】解：集合A ={x|−2<x <4}，B ={−2,1，2，4}，则A ∩B ={1,2}． 故选：A ．
直接利用交集的定义求解即可．
本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．
2. “sinα=1
2“是“α=30∘”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解：当α=150∘，满足sinα=1
2，但α=30∘不成立． 若α=30∘，满足sinα=1
2，
∴“sinα=1
2“是“α=30∘”的必要不充分条件．
故选：B ．
根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础．
3. 复数z =cos(3π
2−θ})+isin(π+θ)，θ∈(0,π
2)的对应点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【解析】解：复数z =cos(3π
2−θ})+isin(π+θ)=−cosθ−isinθ，
复数z =cos(3π
2−θ})+isin(π+θ)，θ∈(0,π
2)的对应点(−cosθ,−sinθ)在第三象限． 故选：C ．
利用诱导公式化简，求出复数z 对应点的坐标即可得到结果． 本题考查诱导公式以及复数的几何意义，是基础题．
4. 将函数f(x)=sin2x 的图象向右平移π
12个单位，得到函数y =g(x)的图象，则它的一个对称中心是( )
A. (π
24,0)
B. (−π
6,0)
C. (π
6,0)
D. (π
12,0)
【答案】D
【解析】解：函数y =sin2x 的图象向右平移π
12个单位，则函数变为y =sin[2(x −π
12)]=sin(2x −π
6)； 考察选项不难发现：
当x =π12时，sin(2×π12−π
6)=0； ∴(π
12,0)就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D ．
由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后通过选项，判断函数的一个对称中心即可．
本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．
5. 在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11=( )
A. 58
B. 88
C. 143
D. 176 【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16， ∴a 1+a 11=a 4+a 8=16， ∴S 11=
11(a 1 +a 11)
2
=88，
故选：B ．
根据等差数列的定义和性质得a 1+a 11=a 4+a 8=16，再由S 11=
11(a 1 +a 11)
2
运算求得结果．
本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n 项和公式的应用，属于中档题．
6. 已知角θ的终边经过点P(x,3)(x <0)且cosθ=√10
10x ，则x 等于( )
A. −1
B. −1
3
C. −3
D. −2√23
【答案】A
【解析】解：已知角α的终边经过点P(x,3)(x <0)所以OP =√x 2+9， 由三角函数的定义可知：cosθ=√10
10x =
√x 2+9
，
x <0解得x =−1． 故选：A ．
求出OP 的距离，直接利用三角函数的定义，求出cosθ，列出方程，即可求出x 的值． 本题是基础题，考查三角函数的定义的应用，考查计算能力．
7. O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|+AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |)，λ∈[0,+∞)，
则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
【答案】B 【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量 ∴
AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |的方向与∠BAC 的角平分线一致 又∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|
+AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |)，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|
+AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |) ∴向量AP
⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与∠BAC 的角平分线一致
∴一定通过△ABC 的内心 故选：B ．
先根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
、AC
⃗⃗⃗⃗⃗
|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |
分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量，确定AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|
+AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |的方向与∠BAC 的角平分线一致，再由
OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|+AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |)可得到OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|
+AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |)，可得答案． 本题主要考查向量的线性运算和几何意义.属中档题．
8. 设偶函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图
所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML =90∘，KL =1，则f(1
6)的值为( )
A. −√34
B. −1
4
C. −1
2
D. √34
【答案】D
【解析】解：因为f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML =90∘，KL =1， 所以A =1
2，T =2，因为T =
2πω
，所以ω=π，
函数是偶函数，0<φ<π，所以φ=π
2， ∴函数的解析式为：f(x)=1
2sin(πx +π
2)， 所以f(1
6)=1
2sin(π
6+π
2)=√34
．
故选：D ．
通过函数的图象，利用KL 以及∠KML =90∘求出求出A ，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求解f(16)的值．
本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．
9. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB
⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 一定是( ) A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B
【解析】解：∵(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅[(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0 ∴|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选：B ．
利用向量的运算法则将等式中的向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC
⃗⃗⃗⃗⃗ 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状
本题考查三角形的形状判断，着重考查平面向量的数量积及应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中
档题．
10. 正项等比数列{a n }中的a 1、a 11是函数f(x)=1
3x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 5a 6=( )
A. 1
B. 2
C. √2
D. −1
【答案】B
【解析】解：∵f(x)=1
3x 3−4x 2+6x −3，f′(x)=x 2−8x +6， a 1、a 11是函数f(x)=1
3x 3−4x 2+6x −3的极值点， ∴a 1、a 11是x 2−8x +6=0的两个实数根， ∴a 1⋅a 11=6．
∴log √6a 5a 6=log √6(a 1a 11)=log √66=2． 故选：B ．
f′(x)=x 2−8x +6，a 1、a 11是函数f(x)=1
3x 3−4x 2+6x −3的极值点，可得a 1、a 11是x 2−8x +6=0的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11. 函数f(x)=x
x 2+a 的图象可能是( )
A. (1)(3)
B. (1)(2)(4)
C. (2)(3)(4)
D. (1)(2)(3)(4)
【答案】C
【解析】解：f(x)=x
x 2+a ，可取a =0，f(x)=x
x 2=1
x ，故(4)正确； ∴f′(x)=
a−x 2(x 2+a)2
，
当a <0时，函数f′(x)<0恒成立，x 2+a =0，解得x =±√−a
故函数f(x)在(−∞,−√−a)，(−√−a,√−a)，(√−a,+∞)上单调递减，故(3)正确； 取a >0，f′(x)=0，解得x =±√a ，
当f′(x)>0，即x ∈(−√a,√a)时，函数单调递增，
当f′(x)<0，即x ∈(−∞,−√a)，(√a,+∞)时，函数单调递减，故(2)正确 函数f(x)=x
x 2+a 的图象可能是(2)，(3)，(4)，
故选：C ．
分别令a =0，a >0，a <0，根据导数和函数的单调性即可判断．
本题考查了函数图象的识别，以及导数和函数的单调性的关系，属于中档题．
12. 设函数是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，xlnx ⋅f′(x)<−f(x)，则使得(x 2−4)f(x)>0成
立的x 的取值范围是( ) A. (−2,0)∪(0,2) B. (−∞,−2)∪(2,+∞) C. (−2,0)∪(2,+∞) D. (−∞,−2)∪(0,2) 【答案】D
【解析】解：根据题意，设g(x)=lnx ⋅f(x)，(x >0)， 其导数g′(x)=(lnx)′f(x)+lnxf′(x)=1
x f(x)+lnxf′(x)， 又由当x >0时，xlnx ⋅f′(x)<−f(x)，即lnx ⋅f′(x)<−1
x f(x)， 则有g′(x)=1
x f(x)+lnxf′(x)<0，
即函数g(x)在(0,+∞)上为减函数，又由g(1)=ln1⋅f(x)=0，
则在区间(0,1)上，g(x)=lnx ⋅f(x)>0，又由lnx <0，则f(x)<0， 在区间(1,+∞)上，g(x)=lnx ⋅f(x)<0，又由lnx >0，则f(x)<0， 则f(x)在(0,1)和(1,+∞)上，f(x)<0，
而x =1时，g(1)=ln1⋅f(x)=0，故f(x)也可小于0，
又由f(x)为奇函数，则在区间(−1,0)和(−∞,−1)上，都有f(x)>0， (x 2−4)f(x)>0⇒{f(x)>0x 2−4>0
或{f(x)<0x 2−4<0
，
解可得：x <−2或0<x <2，
则x 的取值范围是(−∞,−2)∪(0,2)； 故选：D ．
根据题意，设g(x)=lnx ⋅f(x)，(x >0)，对g(x)求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得g(x)在(0,+∞)
上为减函数，分析g(x)的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间(0,1)和(1,+∞)上，都有f(x)<0，结合函数的奇偶性可得在区间(−1,0)和(−∞,−1)上，都有f(x)>0，进而将不等式变形转化，解可得x 的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析f(x)>0与f(x)<0的解集．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=6，则2a ⃗ −b ⃗ 在a
⃗ 方向上的投影为______． 【答案】1
【解析】解：∵向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=6，
∴(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =2|a ⃗ |2−a ⃗ ⋅b ⃗ =2×22−2×6×1
2=2，
∴2a ⃗ −b ⃗ 在a
⃗ 方向上的投影为(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗
|a ⃗ |
=2
2=1．
故答案为：1．
由已知求出(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ ，然后代入投影概念得答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．
14. 已知tanα=2，则cos 2α+sin2α=______． 【答案】1
【解析】解：∵tanα=2，
∴cos2α+sin2α=cos2α+2sinαcosα
sin2α+cos2α=1+2tanα
1+tan2α
=1+2×2
1+22
=1．
故答案为：1．
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
15.递增数列{a n}满足2a n=a n−1+a n+1，(n∈N∗,n>1)，其前n项和为S n，a2+a8=6，a4a6=8，则
S10=______．
【答案】35
【解析】解：∵2a n=a n−1+a n+1，(n∈N∗,n>1)，
∴数列{a n}为等差数列，
又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3，
又a4a6=(a5−d)(a5+d)=9−d2=8，
∴d2=1，解得：d=1或d=−1(舍去)
∴a n=a5+(n−5)×1=3+(n−5)=n−2．
∴a1=−1，
∴S10=10a1+10×9
2
=35．
故答案为：35．
由2a n=a n−1+a n+1，(n∈N∗,n>1)，知列{a n}为等差数列，依题意可求得其首项与公差，继而可求其前10项和S10．
本题考查数列的求和，判断出数列{a n}为等差数列，并求得a n=2n−1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
16.对函数f(x)=2sin(1
2x+π
6
)−1 (x∈R)，有下列说法：
①f(x)的周期为4π，值域为[−3,1]；
②f(x)的图象关于直线x=2π
3
对称；
③f(x)的图象关于点(−π
3
,0)对称；
④f(x)在(−π,2π
3
)上单调递增；
⑤将f(x)的图象向左平移π
3个单位，即得到函数y=2cos1
2
x−1的图象．
其中正确的是______.(填上所有正确说法的序号)．【答案】①②④
【解析】解：对函数f(x)=2sin(1
2x+π
6
)−1 (x∈R)，他的周期为2π1
2
=4π，值域为[−3,1]，故①正确．
当x=2π
3时，f(x)=1，为最大值，故f(x)的图象关于直线x=2π
3
对称，故②正确．
当x=−π
3时，f(x)=−1，不是函数的最值，故故f(x)的图象不关于直线x=2π
3
对称，故③错误．
在(−π,2π
3)上，1
2
x+π
6
∈(−π
3
,π
2
)，故f(x)=2sin(1
2
x+π
6
)单调递增，故f(x)在(−π,2π
3
)上单调递增，故④正
确．
将f(x)的图象向左平移π
3个单位，即可得到函数y=2sin[1
2
(x+π
3
)+π
6
]=2sin(1
2
x+π
3
)的图象，故⑤错误，
故答案为：①②④．
由条件利用正弦函数的图象和性质以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=−1
3
，c=√3,sinA=√6sinC．
(1)求a的值；
(2)若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．
【答案】解：(1)∵cos2A=1−2sin2A=−1
3
，且0<A<π，
∴sinA=√6
3
．
∵c=√3,sinA=√6sinC，
由正弦定理a
sinA =c
sinC
，得a=√6⋅c=√6×√3=3√2．
(2)由sinA=√6
3,0<A<π
2
得cosA=√3
3
．
由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得b2−2b−15=0．解得b=5或b=−3(舍负)．
∴S△ABC=1
2bcsinA=5√2
2
．
【解析】(1)由二倍角余弦公式求出sinA的值，再由正弦定理即可求出a的值；(2)由sinA的值求出cosA的值，再由余弦定理即可求出b的值及△ABC的面积．
本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题．
18.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为120∘，且|a⃗|=2，|b⃗ |=4．
(Ⅰ)计算：|4a⃗−2b⃗ |；
(Ⅱ)当k为何值时，(a⃗+2b⃗ )⊥(k a⃗−b⃗ )．
【答案】解：(Ⅰ)∵向量a⃗与b⃗ 的夹角为120∘，且|a⃗|=2，|b⃗ |=4．
∴由已知得，a⃗⋅b⃗ =2×4×(−1
2
)=−4．
∵|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4+2×(−4)+16=12，∴|a⃗+b⃗ |=2√3．
∵|4a⃗−2b⃗ |2=16a⃗2−16a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=16×4−16×(−4)+4×16=192，
∴|4a⃗−2b⃗ |=8√3．
(Ⅱ)∵(a⃗+2b⃗ )⊥(k a⃗−b⃗ )，∴(a⃗+2b⃗ )⋅(k a⃗−b⃗ )=0，
∴k a⃗2+(2k−1)a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=0，
即16k−16(2k−1)−2×64=0，∴k=−7．
即k=−7时，a⃗+2b⃗ 与k a⃗−b⃗ 垂直．
【解析】(Ⅰ)求出a ⃗ ⋅b ⃗ =2×4×(−1
2
)=−4.由此能求出|4a ⃗ −2b ⃗ |． (Ⅱ)由(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b ⃗ )，得(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(k a ⃗ −b ⃗ )=0，由此能求出k =−7时，a ⃗ +2b ⃗ 与k a ⃗ −b ⃗ 垂直．
本题考查向理的模的求法，考查满足向量垂直的实数值的求法，考查向量的娄量积、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19. 函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx ．
(1)求函数f(x)的递增区间；
(2)当x ∈[0,π
2]时，求f(x)的值域． 【答案】解：(1)f(x)=sin 2x +√3sinxcosx =
1−cos2x
2
+
√3
2
sin2x =sin(2x −π6)+1
2…(2分)
令2kπ−π
2≤2x −π
6≤2kπ+π
2解得kπ−π
6≤x ≤kπ+π
3…(5分) f(x)的递增区间为[kπ−π
6,kπ+π
3](k ∈Z)…(6分) (2)∵0≤x ≤π
2，∴−π
6≤2x −π
6
≤
5π6
…(8分)
∴−1
2≤sin(2x −π6)≤1，∴0≤sin(2x −π
6)+1
2≤3
2…(10分) ∴f(x)的值域是[0,3
2]…(12分)
【解析】(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简，然后通过正弦函数的单调增区间求解即可．
(2)求出相位的范围，利用正弦函数的有界性，求解函数的值域即可．
本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．
20. 已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n =1
2(1−a n )．
(1)求数列{a n }的通项公式并证明S n <1
2；
(2)设函数f(x)=log 1
3
x ，b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n )，若T n =1b 1
+1b 2
+1b 3
+⋯+1
b n
.求T n ． 【答案】解：(1)当n ≥2时，S n−1=1
2(1−a n−1)，a n =S n −S n−1，
∴a n =12(1−a n )−12(1−a n−1)=−12a n +1
2a n−1，整理得：2a n =−a n +a n−1，
∴a n
a
n−1
=1
3，
当n =1时，
S 1=a 1=1
2(1−a 1)，解得：a 1=1
3，
∴数列{a n }是首项a 1=1
3，公比为1
3的等比数列， ∴a n =1
3×(1
3)n−1=(13)n ，
证明：由等比数列前n项公式可知：S n=1
3
[1−(1
3
)n]
1−1
3
=1
2
[1−(1
3
)n]，
∵1−(1
3
)n<1，
∴1
2[1−(1
3
)n]<1
2
，
∴S n<1
2
．
(2)∵f(x)=log1
3
x，
∴b n=log1
3a1+log1
3
a2+⋯+log1
3
a n=log1
3
(a1a2…a n)=log1
3
(1
3
)1+2+⋯+n，
=1+2+⋯+n=n(1+n)
2
．
∵1
b n =2
n(1+n)
=2(1
n
−1
n+1
)，
∴T n=1
b1+1
b2
+⋯+1
b n
=2[(1−1
2
)+(1
2
−1
3
)+⋯+(1
n
−1
n+1
)]=2n
n+1
，
∴T n=2n
n+1
．
【解析】(1)由当n≥2时，S n−1=1
2(1−a n−1)，a n=S n−S n−1，整理得：2a n=−a n+a n−1，a n
a n−1
=1
3
，
当n=1时，a1=1
3，数列{a n}是首项a1=1
3
，公比为1
3
的等比数列，即可求得a n=1
3
×(1
3
)n−1=(1
3
)n，由等比
数列前n项和公式可知：S n=1
3
[1−(1
3
)n]
1−1
3
=1
2
[1−(1
3
)n]，由1−(1
3
)n<1，则1
2
[1−(1
3
)n]<1
2
，即可证明S n<1
2
；
(2)b n=log1
3a1+log1
3
a2+⋯+log1
3
a n=log1
3
(a1a2…a n)=log1
3
(1
3
)1+2+⋯+n=1+2+⋯+n=n(1+n)
2
，则
1 b n =2
n(1+n)
=2(1
n
−1
n+1
)，采用“裂项法”即可求得T n．
本题考查等比数列前n项和公式的应用，求等差数数列的前n项和，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．
21.已知函数f(x)=ln(x−1)−k(x−1)+1
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤0恒成立，式确定实数k的取值范围．
【答案】解：(1)∵函数f(x)=ln(x−1)−k(x−1)+1，
∴f′(x)=1
x−1
−k，(x>1)，
∴当k≤0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增；
当k>0时，令1
x−1−k>0，则1<x<1+1
k
，∴函数f(x)在区间(1,1+1
k
)上单调递增；
令1
x−1−k<0，则x>1+1
k
，∴函数f(x)在区间(1+1
k
,+∞)上单调递减．
综上，当k≤0时，函数f(x)单调递增区间为(1,+∞)；
当k>0时，函数f(x)单调递增区间为(1,1+1
k )，单调递减区间为(1+1
k
,+∞)．
(2)由(1)知：当k>0时，函数f(x)的最大值为：f(1+1
k )=ln1
k
=−lnk．
∵f(x)≤0恒成立，
∴−lnk<0，
∴k>1．
【解析】本题(1)先求出函数的导函数，利用导函数值的正负，研究函数的单调性，注意要分类研究；(2)要使f(x)≤0恒成立，就要求函数的最大值小于0，利用(1)的结论，得到求出函数最大值，得到相应的不等关系，解不等式，得到本题结论．
本题考查了导数与函数的单调性、最值和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题．
22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{y=2+tsinα
x=1+tcosα(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位)，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)若点P(1,2)，设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．
【答案】解：(Ⅰ)由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，
化为直角坐标方程为x2+y2=6y，
即x2+(y−3)2=9．
(Ⅱ)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得t2+2(cosα−sinα)t−7=0．
由△=(2cosα−2sinα)2+4×7>0，
故可设t1，t2是上述方程的两根，
所以{t
1⋅t2=−7
t1+t1=−2(cosα−sinα)
，
又直线l过点(1,2)，
故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2
=√4(cosα−sinα)2+28=√32−4sin2α≥√32−4=2√7．
所以|PA|+|PB|的最小值为2√7．
【解析】(I)利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)先根据(I)得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．
此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．。