2016届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科A卷)资料
河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 数学理科
2009石家庄市高三第一次模拟考试数学理科答案一、A卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.A2. B3. A4. B5.D6.A7. B8.A9. C 10. D 11.B 12.C 一、B卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. B2. A3. B4.D5.A6. B7.A8. C9. D 10.B 11.C 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．13a = 141cos 315． 1 16．③ ，④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题10分)解：(Ⅰ)该天平均每人的课外阅读时间为0.520110 1.515251.0550⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）答：这一天平均每人的课外阅读时间为1.05小时.………………………4分 (Ⅱ) 记这2名学生该天阅读时间量互不相同为事件A ,222220151052502()7C C C C P A C +++==,………………………7分 25()1()177P A P A =-=-=.…………………………………9分 答: 这2名学生该天阅读时间量互不相同的概率为57.…………………10分18．(本题12分)解: (Ⅰ)由余弦定理知:2cos 2A ==,………2分cos 1)1AB AC AB AC A ∴⋅=⋅==.……………5分 (Ⅱ)由AC mAO nAB =+,知,. AB AC mAB AO nAB AB AC AC mAC AO nAC AB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩∴21(31),2(31).mAB AO nmAC AO n=⋅+=⋅+⎪⎩…………………………………7分O为ABC∆的外心，2112cos(1)2ABAB AO AB AO BAO AB AOAO∴⋅=⋅∠=⋅⋅=.同理1AC AO∴⋅=.………………………………10分即22111)1),221).m nm n=+⎪=+⎩，解得:1,mn⎧=⎪⎨=⎪⎩……12分19．(本题12分)（Ⅰ）取BC的中点M，连结PM，AM.四边形ABCD为菱形,0120BAD∠=,则,,BC AM BC PM⊥⊥……………2分BC APM∴⊥平面，BC PA⊥从而.同理DC PA⊥故PA ABCD⊥平面.……………………4分（或用同一法可证）（Ⅱ）先求二面角E AC B--的大小取AB的中点H，过H作HN AC⊥于点N，连结EN.则EH ABCD⊥平面，ENH∠是二面角E AC B--的平面角，……6分可求得arctan3ENH∠=，又PAC ABCD⊥平面平面，所以二面角E AC P--的大小为arctan23π-……………………8分BCDEPA HN法二: 过A 作AM AB ⊥交CD 于M ， 以A 为坐标原点，直线AM 、AB 、AP 分别为x y 、、z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -. 则A （0，0，0），C ，P （0，0，2），(0,1,1)E .(0,0,2)AP ∴=,(3,1,0),AC =(0,1,1)AE =.…………………6分设平面PAC 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则110,0.AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n11120,0.z y =⎧⎪+=即取1x =1,-则1(1=-n . 设平面AEC 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则220,0.AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n22220,0.y y z +=+=⎪⎩即取21y =，则2(,1,1)3=--n . cos ＜1n ，2n ＞=1212⋅=⋅n n n n∴二面角E AC P --的大小为arc ……………………8分 （Ⅲ）先求点B 到平面PAF 的最大距离.PA ABCD PAF ABCD PAFABCD AF ⊥∴⊥=平面，平面平面，平面平面，∴点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离. ……10分 过B 作直线AF 的垂线段,在所有的垂线段中长度最大为2AB =. E 为PB 的中点,故点E 到平面PAF 的最大距离为1. ……………………12分20.(本题12分)解：（Ⅰ）2()2,xf x e a '=-（ⅰ）当0a ≤时, ()0,f x '>∴()f x 的单调递增区间是(,-∞+∞).……………………2分(ⅱ) 当0a >时,令()0,f x '=得1ln .22a x =当1ln 22ax <时，()0,f x '< 当1ln 22ax >时，()0.f x '>()f x ∴的单调递减区间是(1,ln 22a-∞)，()f x 的单调递增区间是 (1ln ,22a+∞).……………………5分(Ⅱ)()f x a <,∴2,x e ax a -<2(1),x a x e +>(1,1]x ∈-,10x +>.∴2,1x e a x >+设2(),1xe g x x =+ 若存在实数(1,1]x ∈-,使得()f x a <成立, 则a >min ().g x ……………………8分22(21)(),(1)x e x g x x +'=+ 解得()0,g x '=得12x =-, ∴当112x -<<-时, ()0,g x '<当112x -<≤时, ()0,g x '>∴()g x 在1(1,)2--上是减函数,在1(,1]2-上是增函数. …………………10分∴1min12()(),1212e g x g e-=-==-a 的取值范围是(2,e+∞).…………………………………………………12分21．(本题12分)（I ）由2OP OM ON =+，得P 是MN 的中点. …………2分 设),(),,(),,(2211mx x N mx x M y x P -依题意得:121222212122,2,()()2.x x x mx mx y x x mx mx ⎧+=⎪-=⎨⎪-++=⎩ 消去21,x x ，整理得112222=+m y m x ． 当1>m 时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当10<<m 时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当1=m 时，方程表示圆． ……………………………5分 （II ）由1m >，焦点在y 轴上的椭圆，直线l 与曲线C 恒有两交点， 直线斜率不存在时不符合题意；可设直线l 的方程为1y kx =+，直线与椭圆交点1122(,),(,)A x y B x y .224222221()21011y kx x y m k x kx m m m =+⎧⎪⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎪⎩ 21212424221,k m x x x x m k m k -+=-=++22212124242(1)2(1)(1)1k m k y y kx kx m k m k--=++=++++.………………7分 要使AOB ∠为锐角，只需0OA OB ⋅>422121242(1)10m k m x x y y m k -++∴+=>+.………………9分即422(1)10m k m -++>， 可得22211m k m+>+，对于任意1m >恒成立. 而2212m m+>，21211,.k k ∴+≤-≤≤所以k 的取值范围是[1,1]-.………………12分 22(本题12分) 解:(Ⅰ)21231n n n a a n n --=+⋅-，………………1分 2211122323232(13)1313n nn n a n---=++⋅+⋅++⋅-=+=-，即13n n a n -=⋅(n ∈*N ).………………3分（II ）1()n b n n =∈*N ，111111,12,2234+>+++> 1111111132345678+++++++<.猜想当3n ≥时，2n S n <.………………4分 下面用数学归纳法证明:①当3n =时，由上可知323S <成立； ②假设(3)n k k =≥时，上式成立，即1111232kk ++++<. 当1n k =+时，11111111232212112122121k k k k k kk k k k ++=++++++++<++++<+<++左边所以当1n k =+时成立.由①②可知当3n ≥()n ∈*N 时,2n S n <. ………………7分综上所述当1n =时, 121S >;当2n =时, 222S >;当3n ≥()n ∈*N 时,2n S n <. ………………8分（III ）131n n n a c n +==+ 当2n ≥时，121123232311(31)(31)(33)(31)(31)3131n n n nn n n n n n---⨯⨯⨯≤==--------.所以22222233232331111()()2(31)(31)22313131n n n T ⨯⨯=+++≤+-+------ ＋1111()22313131n n n -+-=-<---.………………12分。
2016届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科A卷)
2016届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学（理科A 卷）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数ii z -=12（i 是虚数单位），则=z ( ) A ．i +-1 B ．i --1 C ．i +1 D ．i -12.已知集合}065|{2<--=x x x A ，}33|{<<-=x x B ，则=B A ( )A ．)3,3(-B ．)6,3(-C ．)3,1(-D ．)1,3(-3.设变量y ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( ) A ．1 B ．3 C ．526 D ．19- 4.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则)2411(πf 的值为( ) A ．26- B ．23- C ．22- D ．1- 5.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( )A ．81 B ．1 C ．2 D ．4 6.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：甲 乙 9 8 2 6 8 92 10 3 1 1 ①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7.过点)1,0(A 作直线，与双曲线1922=-y x 有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．无数8.如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,15(A 为( )A ．4229B ．107C ．2417 D ．10273 9.已知函数)2(+=x f y 的图象关于直线2-=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，|log |)(2x x f =，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>10.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )A ．4B ．316C ．320 D ．12 11.C B A ,,是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OB OA OC μλ+=（R R ∈∈μλ,），则μλ+的取值范围是( )A ．)1,0(B ．),1(+∞C ．]2,1(D ．)0,1(-12.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A ．415B ．51C ．562D ．41 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.6)41(xx -的展开式中常数项为 . 14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤<-=10),1(log 01,2sin )(2x x x x x f π，且21)(-=x f ，则x 的值为 . 15.已知ABC ∆中，BC AD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4 于D ，则CD BD 的值为 . 16.若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）18.（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ，30=∠BAD ， 45=∠BAC ，将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'，且使2'=D C . （Ⅰ）求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）求二面角B D C A --'的余弦值.19.（本小题满分12分） 某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图： （Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分.用随机变量X 表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望.20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF .（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：直线AB 过定点.21. （本小题满分12分）已知b x ax e x f x +--=2)(2（e 为自然对数的底数，R b a ∈,）.（Ⅰ）设)('x f 为)(x f 的导函数，证明：当0>a 时，)('x f 的最小值小于0；（Ⅱ）若0)(,0>>x f a 恒成立，求符合条件的最小整数b .①②请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.（Ⅰ）证明：CD AE //；（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.2016届高三数学一模理科答案一．选择题：A 卷答案：1-5 BCBDA 6-10 CCCBB 11-12 BAB 卷答案：1-5 ACADB 6-10 CCCAA 11-12 AB二．填空题：13.. 516- 14. 13- 15. 6 16.32 三、解答题：17. 解：（I ）由已知得2351112=4+8=2010910+=10+45=1002a a a a d a d a d ++⎧⎪⎨⨯⎪⎩， -------------------------------2分解得112a d =⎧⎨=⎩，-------------------------------4分所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，--------------------------------5分（II ）由（I ）可知21(21)2n n n a b n -⋅=-⨯，所以1352321123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，①35721214123252(23)2(21)2n n n S n n -+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②---------------------7分 ①-②得：352121322(222)(21)2n n n S n -+-=+⨯++⋅⋅⋅+--⨯35212122(222)(21)23n n n n S -++⨯++⋅⋅⋅+--⨯∴=-………………9分 121628(14)(63)29n n n -+-+⨯-+-⨯=---------------------11分 2110(65)29n n ++-⨯=--------------------------12分 18. 解：（1）取AB 的中点O ，连,C O DO '，在,RT ACB RT ADB ∆∆，2AB =，则1C O DO '==，又2C D '=∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…………2分又C O AB '⊥，AB OD O =，,AB OD ⊂平面ABDC O '∴⊥平面ABD ，…………………4分又C O '⊂平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB…………5分（2）以O 为原点，AB ，OC '所在的直线分别为,y z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则31(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1),,0)2A B C D '-， 31(0,1,1),(0,1,1),(,1)2AC BC C D '''∴==-=-…………6分 设平面AC D '的法向量为1111(,,)n x y z =，则11n AC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩，即1100n AC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，1111103102y z x y z +=⎧+-=，令11z =，则11y =-，13x = 1(3,1,1)n ∴=-…………8分设平面BC D '的法向量为2222(,,)n x y z =，则22n BC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩，即2200n BC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，2222203102y z x y z -+=⎧+-=，令21z =，则21y =，23x =， 23(n ∴=………………10分 1233(1)1111053cos ,1731111533n n ⨯+-⨯+⨯∴===++⋅++⋅， 二面角A C D B '--的余弦值为35105-.……………12分 19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ，∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x …………………2分随机变量ξ的所有可能取值为-4，-2,0,2,4； …………………………………8分()421645625P X ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，625216)53()52()2(3134===C X P 625216)53()52()0(2224===C X P ；-4 -2 0 2 4 …………………10分…………………12分20.解：（1）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ()1696216216814420246256256256256255EX ()=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=||22p MF m ∴=+=，又42pm =，即42(2)2p p =---------------------2分 抛物线C 的方程为24y x =. -------------------4分（2）设点E (0,)(0)t t ≠，由已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx t y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+= 直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt =代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t --------------------------------------6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则 0000010122y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++-------------------------------8分 思路1：直线AB 的斜率为22(1)1AB t k t t =≠±- 直线AB 的方程为222()21t y x t t t =-+-，--------------------------------------10分 整理22(1)1t y x t =-- ∴直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------11分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时直线AB 为1x =，过点(1,0)F .综上，直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------12分思路2：直线AF 的斜率为22(1)1AF t k t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BF t t t k t t t t -+==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线--------------------------------------10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线. --------------------------------------11分 ∴直线AB 过定点F .--------------------------------------12分21. 解：（Ⅰ）证明：令()()22x g x f x e ax '==--,则()2xg x e a '=-因为0a >，令0()0g x '=，0ln 2x a =所以当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增--------------------2分则ln 2min min ()()(ln 2)2ln 22=22ln 22a f x g x g a e a a a a a '===------------------------3分 令()ln 2G x x x x =--，(0)x >当(0,1)x ∈时，()0G x '>，()G x 单调递增当(1,)x ∈+∞时，()0G x '<，()G x 单调递减所以max ()(1)10G x G ==-<，所以min ()0f x '<成立. --------------------5分（Ⅱ）证明：()0f x >恒成立，等价于min ()0f x >恒成立令()()22x g x f x e ax '==--，则()2xg x e a '=-因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，又(0)10g =-<，022)1(g >--=a e ，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =---------------------6分 则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；所以02min 000()()20xf x f x e ax x b ==--+>恒成立.........(1) 且00220xe ax --=...........(2) 由（1）（2）,000020000002(1)2(1)22x x x x x e b e ax x e x x e x >-++=-+-+=-+即可-----------------8分 又由（2）00202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------------9分 令()(1),(0,ln 2)2x xm x e x x =-+∈ 1()02x n x xe '=>， 所以021)0()(>=>n x n ，所以()m x 单调递增，1)1()0()(0-=-=>e m x m ，22ln 22ln )122ln ()2(ln )(2ln -=+-=<e m x m ---------------------11分所以1b >-，所以符合条件的=0b ---------------------12分法2：令0,(0)10,1x f b b ==+>>-，故符合条件的最小整数0b =.-------------------6分 现证明0b =时，()0f x > 求2()2x f x e ax x =--的最小值即可令()()22x g x f x e ax '==--，则()2xg x e a '=-因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，又(0)10g =-<，(1)220g e a =-->，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；所以02min 000()()2x f x f x e ax x ==-- .(1)且00220x e ax --=...........(2) 00000min 000()()(2)2(1)22x x x x x f x f x e e x e x ==---=-----------------8分 又由（2）00202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------9分 现在求函数()(1),(0,ln 2)2x xp x e x x =--∈的范围 0()q x =1()(1)12x p x x e '=--，01()02x q x xe '=-<， 所以021)0()(<-=<q x q ，所以()p x 单调递减， 02ln 22ln )22ln 1()2(ln )(2ln >-=--=>e p x p -------------11分所以=0b 是符合条件的. -------------12分 选做题：22.解：（I ）连接AB,P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又PA 与圆O 切于点A, PAB AEB ∴∠=∠,．．．．．．．．．．．．．4分//AE CD ∴.．．．．．．．．．．．．．5分（II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ．．．．．．．．．．．．．7分 由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯=．．．．．．．．．．．．．9分222725213OP PA OA ∴=+=+=. ∴四边形PBFA 13. ．．．．．．．．．．．．10分 23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ．．．．．．．．．．．．2分2C 的直角坐标方程为3x =；．．．．．．．．．．．．4分 （II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A, PQ OP ⊥,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ==．．．．．．．．．．．．6分代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ==．．．．．．．．．．．．8分 所以PQ=1|||||2cos |||22,cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号， 所以线段PQ 长度的最小值为2.．．．．．．．．．．．．10分24.解：（I ）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min ()1f x =， ．．．．．．．．．．．．3分所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，02m ∴≤≤，所以实数m 的最大值2M =. ．．．．．．．．．．．．5分百度文库 - 让每个人平等地提升自我！- 11 - （II ）法一：综合法1ab ≤，当且仅当a b =时取等号，①．．．．．．．．．．．．7分 又2a b ab +≤ 2ab b a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分 由①②得，21≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥.．．．．．．．．．．．．10分 法二：分析法因为0,0a b >>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，．．．．．．．．．．．．7分 即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥．．．．．．．．．．．．10分。
2016届河北省石家庄市高三(上)质检数学试卷(理科)(一)解析版汇编
2015-2016学年河北省石家庄市高三（上）质检数学试卷（理科）（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2016•凉山州模拟）复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）A．1 B．C．D．22．（5分）（2015秋•石家庄月考）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∩B=（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，4] C．[，4]D．[，2]3．（5分）（2015秋•张家界校级月考）已知命题p：∀x∈（0，+∞），x2≥x﹣1，则命题p的否定形式是（）A．￢p：∃x0∈（0，+∞），x02≥x0﹣1 B．￢p：∃x0∈（﹣∞，+0），x02≥x0﹣1C．￢p：∃x0∈（0，+∞），x02＜x0﹣1 D．￢p：∃x0∈（﹣∞，+0），x02＜x0﹣14．（5分）（2015秋•石家庄月考）执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）（2016春•长治校级期中）已知tanx=，则sin2x=（）A．B．C．D．6．（5分）（2016春•曲靖校级期末）已知双曲线﹣y2=1（m＞0）的离心率为，则m的值为（）A．B．3 C．8 D．7．（5分）（2015秋•辽源校级期末）函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则f（）=（）A．﹣ B．C．﹣D．8．（5分）（2015秋•石家庄月考）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），其图象经过点（2，0），且对任意x，x 2∈（1，+∞），且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，则不等式（x﹣1）f（x）≥0的解集为（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪[1，2]D．[0，1]∪[2，+∞）9．（5分）（2015秋•石家庄月考）小明准备参加电工资格证考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试机会．在理论考试环节，若第1此考试通过，则直接进入操作考试；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次为通过，则进行第2此考试，第2次通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过的概率为，每次操作考试通过的概率为，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中，共参加3次考试的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）（2015秋•太原校级月考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．11．（5分）（2015秋•保定校级月考）设抛物线y2=4x的焦点为F，过F作倾角为60°的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），与其准线交于点C，则=（）A．6 B．7 C．8 D．1012．（5分）（2015秋•张家界校级月考）已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（x）﹣a|x|=0（a∈R）有三个不同的实数根，则函数y=f（x）﹣a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）（2015秋•晋江市校级期中）已知等比数列{a n}满足：a1+a3=1，a2+a4=2，则a4+a6=______．14．（5分）（2014秋•成都校级期中）函数y=的定义域为______．15．（5分）（2016•惠州模拟）已知三棱锥S﹣ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为______．16．（5分）（2015秋•梅州校级期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是______．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015秋•甘谷县校级期中）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=2，a4=20（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设b n=，求数列{a n}的前n项和．18．（12分）（2016•太原三模）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．19．（12分）（2016•洛阳四模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）（2015秋•石家庄月考）某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产的灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：（I）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；（Ⅱ）某学校欲采购灯具，同时试用了南北两工厂的灯具各两件，试用500小时后，若北方工厂生产的灯具还能正常使用的数量比南方工厂多，该学校就准备采购北方工厂的灯具，否则就采购南方工厂的灯具，试估计该学校采购北方工厂的灯具的概率．（视频率为概率）21．（12分）（2015秋•辽源校级期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若不垂直于坐标轴的直线l经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求mn的值．22．（12分）（2016•太原三模）函数f（x）=+ax+2lnx，（a∈R）在x=2处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）单调区间；（Ⅱ）方程f（x）=m有三个实数x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求证：x3﹣x1＜2．2015-2016学年河北省石家庄市高三（上）质检数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2016•凉山州模拟）复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）A．1 B．C．D．2【分析】分别求出分子、分母的模，即可得出结论．【解答】解：∵复数z=，∴|z|=||==，故选：B．【点评】本题考查复数的模，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）（2015秋•石家庄月考）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∩B=（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，4] C．[，4]D．[，2]【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A及指数函数的性质求出B中y的范围，进而确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即A=[﹣1，2]，由B中y=2x＞0，x∈A，得到B=[，4），则A∩B=[，2]，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2015秋•张家界校级月考）已知命题p：∀x∈（0，+∞），x2≥x﹣1，则命题p的否定形式是（）A．￢p：∃x0∈（0，+∞），x02≥x0﹣1 B．￢p：∃x0∈（﹣∞，+0），x02≥x0﹣1C．￢p：∃x0∈（0，+∞），x02＜x0﹣1 D．￢p：∃x0∈（﹣∞，+0），x02＜x0﹣1【分析】利用全称命题与特称命题的否定关系，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈（0，+∞），x2≥x﹣1，则命题p的否定形式是：￢p：∃x0∈（0，+∞），x02＜x0﹣1．故选：C．【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4．（5分）（2015秋•石家庄月考）执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，i=0满足条件S＜24，S=1，i=1满足条件S＜24，S=2，i=2满足条件S＜24，S=6，i=3满足条件S＜24，S=24，i=4不满足条件S＜24，退出循环，输出i的值为4．故选：A．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．（5分）（2016春•长治校级期中）已知tanx=，则sin2x=（）A．B．C．D．【分析】tanx=，sin2x=2sinxcosx==，即可得出．【解答】解：∵tanx=，则sin2x=2sinxcosx====．故选：D．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、“弦化切”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）（2016春•曲靖校级期末）已知双曲线﹣y2=1（m＞0）的离心率为，则m的值为（）A．B．3 C．8 D．【分析】通过双曲线的几何量，结合离心率直接求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1（m＞0），可得a=，b=1，c=，双曲线﹣y2=1（m＞0）的离心率为，可得：=，解得m=3．故选：B．【点评】本题考查双曲线的解得性质的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015秋•辽源校级期末）函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则f（）=（）A．﹣ B．C．﹣D．【分析】通过函数的图象，求出T然后求出ω，利用图象经过（，0），求出φ的值，解得函数解析式，即可求值．【解答】解：由题意可知：T=2（+）=π，所以ω==2，因为函数经过（，0），所以0=sin（2×+φ），所以φ=2kπ﹣，k∈Z，则：f（）=sin（2×+2kπ﹣）=sin（+2kπ）=．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，学生的视图能力，注意角的范围的应用．8．（5分）（2015秋•石家庄月考）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），其图象经过点（2，0），且对任意x，x 2∈（1，+∞），且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，则不等式（x﹣1）f（x）≥0的解集为（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪[1，2]D．[0，1]∪[2，+∞）【分析】由题意可得f（x）的图象关于直线x=1对称，函数的图象经过点（2，0）和点0，0），f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减．数形结合可得①，或②，分别求得①、②解集，再取并集，即得所求．【解答】解：根据f（x）=f（2﹣x），可得f（x）的图象关于直线x=1对称．由图象经过点（2，0），可得函数f（x）的图象还经过点0，0）．根据对任意x，x 2∈（1，+∞），且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，可得函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，故函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减．如图所示：故由（x﹣1）f（x）≥0，可得①，或②．解①可得x≥2，解②可得0≤x≤1，故原不等式的解集为{x|x≥2或0≤x≤1}，故选：D．【点评】本题主要考查函数的单调性以及函数图象的对称性的应用，其它不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．9．（5分）（2015秋•石家庄月考）小明准备参加电工资格证考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试机会．在理论考试环节，若第1此考试通过，则直接进入操作考试；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次为通过，则进行第2此考试，第2次通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过的概率为，每次操作考试通过的概率为，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中，共参加3次考试的概率是（）A．B．C．D．【分析】小明本次电工考试中，共参加3次考试，包括3种情况：①小明理论考试第一次没过，第二次通过，操作考试第一次通过；②理论考试一次通过，操作考试第一次没过，第二次通过；③理论考试一次通过，操作考试第一次没过，第二次没过．由此能求出小明本次电工考试中，共参加3次考试的概率．【解答】解：小明本次电工考试中，共参加3次考试，包括3种情况：①小明理论考试第一次没过，第二次通过，操作考试第一次通过；②理论考试一次通过，操作考试第一次没过，第二次通过；③理论考试一次通过，操作考试第一次没过，第二次没过．∴小明本次电工考试中，共参加3次考试的概率：p=++=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要注意相互独立事件的乘法概率公式的合理运用．10．（5分）（2015秋•太原校级月考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．【分析】首先根据三视图，把平面图形转化成立体图形进一步根据几何体的体积公式求出结果【解答】解：根据三视图得知：该几何体是长、宽、高为、、1的长方体去掉一个外边的左上角的三棱锥和去掉一个里边右上角的三棱锥的多面体，如图所以：该几何体的体积为：V=V长方体﹣2V三棱锥=××1﹣2×××=2﹣=．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三视图和立体图的关系，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力和对知识的应用能力．11．（5分）（2015秋•保定校级月考）设抛物线y2=4x的焦点为F，过F作倾角为60°的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），与其准线交于点C，则=（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】由题意，直线的方程为y=（x﹣1），代入y2=4x可得3x2﹣10x+3=0，求出A，B的坐标，再求出C的坐标，即可求出．【解答】解：由题意，直线的方程为y=（x﹣1），代入y2=4x可得3x2﹣10x+3=0，∴x=3或，∴A（3，2），B（，），又抛物线的准线方程为x=﹣1，∴C（﹣1，﹣2），∴==6，故选：A．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的性质，考查三角形面积的计算，确定A，B，C的坐标是关键．12．（5分）（2015秋•张家界校级月考）已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（x）﹣a|x|=0（a∈R）有三个不同的实数根，则函数y=f（x）﹣a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由分段函数知需要讨论，当x≥0时，可得a=，x＞0；令g（x）=，从而求导g′（x）=；从而判断函数的单调性及零点的个数；当x＜0时，方程f（x）﹣a|x|=0可化为﹣x（x+2e﹣a）=0，从而确定a的取值范围；再按分段函数讨论即可．【解答】解：①当x≥0时，方程f（x）﹣a|x|=0可化为e x﹣ax=0，故a=，x＞0；令g（x）=，g′（x）=；故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；且g（1）=e；故当a=e时，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0时有一个解，当a＜e时，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0时没有解，当a＞e时，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0时有两个解；②当x＜0时，方程f（x）﹣a|x|=0可化为﹣x（x+2e﹣a）=0，故当a＜2e时，方程f（x）﹣a|x|=0在x＜0时有一个解，当a≥2e时，方程f（x）﹣a|x|=0在x＜0时没有解；综上所述，若关于x的方程f（x）﹣a|x|=0（a∈R）有三个不同的实数根，则e＜a＜2e；当x＜0时，令f（x）﹣a=﹣x2﹣2ex﹣a=0，可化为x2+2ex+a=0，由判别式△=4e2﹣4a＞0，及根与系数的关系知，方程有两个不同的负根；当x≥0时，令f（x）﹣a=e x﹣a=0，故x=lna；故函数y=f（x）﹣a的零点个数为3；故选：C．【点评】本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，同时考查了根与系数的关系应用．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）（2015秋•晋江市校级期中）已知等比数列{a n}满足：a1+a3=1，a2+a4=2，则a4+a6=8．【分析】设等比数列{a n}的公比为q：可得2=q（a1+a3）=q，于是a4+a6=q2（a2+a4）．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q：∵a1+a3=1，a2+a4=2，∴2=q（a1+a3）=q，则a4+a6=q2（a2+a4）=8．故答案为：8．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）（2014秋•成都校级期中）函数y=的定义域为．【分析】利用被开方数非负，结合对数的真数，求解函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，可得：，可得0＜3x﹣1≤1，解得x∈．函数的定义域为：．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力．15．（5分）（2016•惠州模拟）已知三棱锥S﹣ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为5π．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=1，AC=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆直径2r==2，∴r=1，∵SC⊥面ABC，SC=1，三角形OSC为等腰三角形，∴该三棱锥的外接球的半径R==，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=5π．故答案为：5π．【点评】本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．16．（5分）（2015秋•梅州校级期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015秋•甘谷县校级期中）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=2，a4=20（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设b n=，求数列{a n}的前n项和．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出；（II）b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，a4=20，∴20=2+3d，解得d=6．∴a n=2+6（n﹣1）=6n﹣4．（II）b n===，∴数列{a n}的前n项和=++…+==．【点评】本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016•太原三模）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2asin（C+）=b，∴2sinAsin（C+）=sin（A+C），∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAsinC=cosAsinC，∴tanA=，∴A=60°；（2）设AC=2x，∵AB=3，AC边上的中线BD的长为，∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°，∴x=4，∴AC=8，∴△ABC的面积S==6．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2016•洛阳四模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．证明AD⊥平面PBE，然后证明PB⊥AD；（Ⅱ）以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面APD的一个法向量为=（0，1，0），平面PDC的一个法向量为，利用向量的数量积求解二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．∵PA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…（3分）又PB⊂平面PBE，∴PB⊥AD；…（5分）（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2，∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0，0，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），则=（1，0，），=（﹣1，，0），由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；…（7分）设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），由得：，令y=1，则x=，z=﹣1，∴=（，1，﹣1）；则•=1，∴cos＜＞===，…（11分）由题意知二面角A﹣PD﹣C的平面角为钝角，所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣…（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直，二面角的平面角的求法，考查逻辑推理以及计算能力．20．（12分）（2015秋•石家庄月考）某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产的灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：（I）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；（Ⅱ）某学校欲采购灯具，同时试用了南北两工厂的灯具各两件，试用500小时后，若北方工厂生产的灯具还能正常使用的数量比南方工厂多，该学校就准备采购北方工厂的灯具，否则就采购南方工厂的灯具，试估计该学校采购北方工厂的灯具的概率．（视频率为概率）【分析】（I）由频率分布直方图能求出求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命．（Ⅱ）设北方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为A，B，南方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为C，D，由题意可知：P（A）=P（B）=P（C）=P（D）=，采购北方工厂灯具的概率P=P（ABC）+P（AB D）+P（AB）+P（A）+P（，由此能求出结果．【解答】解：（I）由频率分布直方图得到：北方工厂灯具平均寿命：=350×0.12+450×0.28+550×0.4+650×0.12+750×0.08=526小时；…3分南方工厂灯具平均寿命：=350×0.12+450×0.28+550×0.36+650×0.24=522小时．…6分（Ⅱ）设北方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为A，B，南方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为C，D，由题意可知：P（A）=P（B）=P（C）=P（D）=，…8分则采购北方工厂灯具的概率：P=P（ABC）+P（AB D）+P（AB）+P（A）+P（）…10分=+=．…12分【点评】本题考查灯具平均寿命的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意频率分布直方图和对立事件概率计算公式的合理运用．21．（12分）（2015秋•辽源校级期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若不垂直于坐标轴的直线l经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求mn的值．【分析】（Ⅰ）通过长轴长可知a=4，利用离心率可知c=，通过a2=b2+c2可知b2=9，进而可得结论；（Ⅱ）记A（x1，y1）、B（x2，y2），通过设直线l方程为y=k（x﹣m）（k≠0）并与椭圆方程联立，利用韦达定理可知x1+x2=、x1x2=，通过+=0，代入计算、化简即得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知2a=8，即a=4，∵=，∴c=，又∵a2=b2+c2，∴b2=9，∴椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设直线l方程为y=k（x﹣m）（k≠0），且A（x1，y1），B（x2，y2），直线AQ、BQ的斜率分别为k1、k2，将y=k（x﹣m）代入，得：（9+16k2）x2﹣32k2mx+16k2m2﹣144=0，由韦达定理可得：x1+x2=，x1x2=，由k1+k2=0得，+=0，将y1=k（x1﹣m）、y2=k（x2﹣m）代入，整理得：=0，即2x1x2﹣（m+n）（x1+x2）+2mn=0，将x1+x2=、x1x2=代入，整理可解得：mn=16．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（12分）（2016•太原三模）函数f（x）=+ax+2lnx，（a∈R）在x=2处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）单调区间；（Ⅱ）方程f（x）=m有三个实数x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求证：x3﹣x1＜2．【分析】（1）求导，在x=2处取得极值，可得f′（2）=2+a+1=0，利用导数求单调区间；（2）利用导数求出原函数的单调区间和极值，模拟函数图象；方程f（x）=m有三个实数x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），等价于函数y=f（x）与直线y=m有三个交点，根据函数图象得出x的范围．【解答】解：（1）f′（x）=x+a+，∵在x=2处取得极值，∴f′（2）=2+a+1=0，∴a=﹣3，∴f′（x）=x﹣3+=，当x∈（0，1）和（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；（2）由（1）可知：f（1）=是函数f（x）的极大值；f（2）=ln4﹣4是函数f（x）的极小值，∵方程f（x）=m有三个实数x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）；∴函数y=f（x）与直线y=m有三个交点，画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示：由图可知：ln4﹣4＜m＜；则＜x1＜1；2＜x3＜∴x3﹣x1＜﹣=2．【点评】考察了极值点的概念，利用导函数求单调区间和极值并模拟函数图象，利用图象法证明问题．。
(全优试卷)河北省石家庄市高三数学一模考试(理科)试题 Word版含答案
2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =( )A ．{}|13x x ≤≤B ．{}|03x x ≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( ) A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF的面积为则准线l 的方程为( )A．x =B．x =-C ．2x =-D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p :n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.1024 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥, ∵BD ⊄平面SAD ,SDAD D =,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则(3,2,3)SB =-，(33,0,3)SA =-，(2,3)SC =-，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z=，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =，∴1212cos 91||||13n n n n θ⋅===-⋅.19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得221)1D n x n -=+，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+22),1m m -=+② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x af x x x x x -+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为1x =，2x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞．（Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ， 于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---，令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈． []22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ=， 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值， 此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =． 23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立，所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-；当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。
2016年河北省石家庄市高考一模数学试卷(理科)(a卷)【解析版】
2016年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（i是虚数单位），则＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则A∩B＝（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，6）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）3．（5分）设变量，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+4y的最小值为（）A．1B．3C．D．﹣194．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值为（）A．B．C．D．﹣15．（5分）程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1C．2D．46．（5分）为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④7．（5分）过点A（0，1）作直线，与双曲线有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为（）A．0B．2C．4D．无数8．（5分）如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（15，2）表示为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝0对称，且当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，若a＝f（﹣3），，c＝f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 10．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A．4B．C．D．1211．（5分）A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ+μ（λ∈R，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（1，]D．（﹣1，0）12．（5分）如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中常数项为．14．（5分）已知函数，且，则x的值为．15．（5分）已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，则的值为．16．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为，则m的值为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}中，2a2+a3+a5＝20，且前10项和S10＝100．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列的前n项和．18．（12分）在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC，且使．（Ⅰ）求证：平面C′AB⊥平面DAB；（Ⅱ）求二面角A﹣C′D﹣B的余弦值．19．（12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|＝2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x﹣1）2+y2＝1相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点F（1，0）．21．（12分）已知f（x）＝e x﹣ax2﹣2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）．（Ⅰ）设f′（x）为f（x）的导函数，证明：当a＞0时，f′（x）的最小值小于0；（Ⅱ）若a＜0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，过点P分别做圆O的切线P A、PB和割线PCD，弦BE 交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC＝CF＝FD＝3，求四边形PBF A的外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2cosθ和曲线C2：ρcosθ＝3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2＝M，证明：a+b≥2ab．2016年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数（i是虚数单位），则＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：∵＝，∴．故选：B．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则A∩B＝（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，6）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3）．故选：C．3．（5分）设变量，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+4y的最小值为（）A．1B．3C．D．﹣19【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，），化目标函数z＝3x+4y为y＝，由图可知，当直线y＝过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3，故选：B．4．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值为（）A．B．C．D．﹣1【解答】解：由图象可得A＝，＝﹣，解得ω＝2．再由五点法作图可得2×+φ＝π，解得：φ＝，故f（x）＝sin（2x+），故f（）＝sin（2×+）＝﹣sin＝﹣＝﹣1．故选：D．5．（5分）程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：第1次执行循环体后，x＝2013，满足进行循环的条件，第2次执行循环体后，x＝2010，满足进行循环的条件，第3次执行循环体后，x＝2007，满足进行循环的条件，…第n次执行循环体后，x＝2016﹣3n，满足进行循环的条件，…第672次执行循环体后，x＝0，满足进行循环的条件，第673次执行循环体后，x＝﹣3，不满足进行循环的条件，故y＝，故选：A．6．（5分）为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：由茎叶图中的数据知，乙两地某月11时的气温分别为：甲：28，29，30，31，32乙：26，28，29，31，31；可得：甲地该月11时的平均气温为＝（28+29+30+31+32）＝30，乙地该月11时的平均气温为＝（26+28+29+31+31）＝29，故甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温；①错误，②正确；又甲地该月11时温度的方差为＝[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]＝2乙地该月14时温度的方差为＝[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]＝3.6，故＜，所以甲地该月11时的气温标准差小于乙地该月11时的气温标准差，③正确，④错误．综上，正确的命题是②③．故选：C．7．（5分）过点A（0，1）作直线，与双曲线有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为（）A．0B．2C．4D．无数【解答】解：设过点（0，1）与双曲线有且只有一个公共点的直线为y ＝kx+1．根据题意：，消去y整理得（9﹣k2）x2﹣2kx﹣10＝0，∵△＝0，∴k＝±．又注意直线恒过点（0，1）且渐近线的斜率为±3，与渐近线平行时也成立．故过点（0，1）与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条．故选：C．8．（5分）如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（15，2）表示为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中：归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为：，其它数字等于上一行该数字“肩膀“上两个数字的和，故A（15，2）＝++++…+＝+2（﹣）＝，故选：C．9．（5分）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝0对称，且当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，若a＝f（﹣3），，c＝f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【解答】解：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝0对称，∴f（﹣3）＝f（3），∵f（x）＝log2x，在x（0，+∞）为增函数，∴f（3）＞f（2）＞f（），∴a＞c＞b，故选：D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A．4B．C．D．12【解答】解：由三视图可知几何体的图形如图．是三棱柱截去两个四棱锥的几何体，原三棱柱的高为：4，底面是等腰直角三角形，直角边长为2．截去的四棱锥如图：几何体的体积为：﹣＝．故选：B．11．（5分）A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ+μ（λ∈R，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（1，]D．（﹣1，0）【解答】解：∵A，B，C是圆0上不同的三点，线段C0与线段AB交于点D；∴如图所示，不妨取∠AOB＝120°，∠AOC＝∠BOC＝60°，则四边形AOBC 为菱形；∴；又；∴λ＝μ＝1，λ+μ＝2，∴可排除B，C，D选项．故选：A．12．（5分）如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设椭圆方程为＝1，（a＞b＞0），由题意得，解得a＝8，b＝2，c＝＝2，∴该椭圆的离心率为e＝＝＝．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中常数项为．【解答】解：由，取6﹣2r＝0，得r＝3．∴的展开式中常数项为．故答案为：﹣．14．（5分）已知函数，且，则x的值为．【解答】解：∵，∴sin（）＝﹣或log2（x+1）＝﹣，∴x＝﹣或x＝﹣1（舍去），故答案为：﹣．15．（5分）已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，则的值为6．【解答】解：设AB＝x，由余弦定理可得：＝x2+42﹣2x×4c cos60°，化为x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝6．设BD＝m，CD＝n．∵AD⊥BC于D，∴＝，m+n＝2，解得m＝，n＝，∴＝＝6．故答案为：6．16．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为，则m的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R），∴f′（x）＝3x2+2ax+b，∵f（x）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），∴，解得，∴f′（x）＝（3x﹣m）（x﹣m），m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞m或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜m，∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，m）递减，在（m，+∞）递增，＝f（）＝，解得：m＝，∴f（x）极大值m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜m或x＞，令f′（x）＜0，解得：＞x＞m，∴f（x）在（﹣∞，m）递增，在（m，）递减，在（，+∞）递增，＝f（m）＝，而f（m）＝0，不成立，∴f（x）极大值综上，m＝，故选：D．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}中，2a2+a3+a5＝20，且前10项和S10＝100．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列的前n项和．【解答】解：（I）设公差为d，由已知得，（2分）解得，（4分）所以{a n}的通项公式为a n＝5+2（n﹣3）＝2n﹣1，（5分）（II）由（I）可知，所以，①，②（7分）①﹣②得：，∴（9分）＝＝（11分）＝（12分）18．（12分）在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC，且使．（Ⅰ）求证：平面C′AB⊥平面DAB；（Ⅱ）求二面角A﹣C′D﹣B的余弦值．【解答】解：（1）取AB的中点O，连C′O，DO，在RT△ACB，RT△ADB，AB＝2，则C′O＝DO＝1，又，∴C′O2+DO2＝C′D2，即C′O⊥OD，…（2分）又，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD∴C′O⊥平面ABD，…（4分）又C′O⊂平面ABC′∴平面C′AB⊥平面DAB…（5分）（2）以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则，∴…（6分）设平面AC′D的法向量为，则，即，，令z 1＝1，则y1＝﹣1，，∴…（8分）设平面BC′D的法向量为，则，即，，令z2＝1，则y2＝1，，∴…（10分）∴，二面角A﹣C′D﹣B的余弦值为．…（12分）19．（12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x，∵0.05×2+0.10+0.20＜0.5，且（0.40+0.20）×1＝0.6＞0.5，∴x∈[4，5]…（2分）由0.40×（5﹣x）+0.20×1＝0.5，解得x＝4.25，∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4.25（米）．（Ⅱ）由频率分布直方图得投篮命中时距离篮筐距离超过4米的概率为p＝，随机变量ξ的所有可能取值为﹣4，﹣2，0，2，4，…（8分），，，，，，∴X的分布列为：EX＝（﹣4）×+（﹣2）×+0×+2×+4×＝．…（12分）20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|＝2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x﹣1）2+y2＝1相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点F（1，0）．【解答】解：（1）抛物线C的准线方程为：，∴，又M在抛物线上，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴p2﹣4p+4＝0，解得p＝2；所以抛物线C的方程为y2＝4x；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设点E（0，t）（t≠0），由已知切线不为y轴，设EA：y＝kx+t，联立，消去y，可得k2x2+（2kt﹣4）x+t2＝0；直线EA与抛物线C相切，∴△＝（2kt﹣4）2﹣4k2t2＝0，即kt＝1代入，∴x＝t2，即A（t2，2t）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设切点B（x0，y0），则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y＝﹣tx+t对称，则，解得：，即；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）思路1：直线AB的斜率为，直线AB的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）整理，∴直线AB过定点恒过定点F（1，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当t＝±1时，A（1，±2），B（1，±1），此时直线AB为x＝1，过点F（1，0）；综上，直线AB过定点恒过定点F（1，0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）思路2：直线AF的斜率为，直线BF的斜率为，∴k AF＝k BF，即A，B，F三点共线；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当t＝±1时，A（1，±2），B（1，±1），此时A，B，F共线；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴直线AB过定点F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知f（x）＝e x﹣ax2﹣2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）．（Ⅰ）设f′（x）为f（x）的导函数，证明：当a＞0时，f′（x）的最小值小于0；（Ⅱ）若a＜0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．【解答】解：（Ⅰ）证明：令g（x）＝f'（x）＝e x﹣2ax﹣2，则g'（x）＝e x﹣2a，因为a＞0，令g'（x0）＝0，x0＝ln2a，所以当x∈（﹣∞，ln2a）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（ln2a，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）则f'（x）min＝g（x）min＝g（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a﹣2＝2a﹣2aln2a﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）令G（x）＝x﹣xlnx﹣2，（x＞0）G'（x）＝1﹣（lnx+1）＝﹣lnx当x∈（0，1）时，G'（x）＞0，G（x）单调递增当x∈（1，+∞）时，G'（x）＜0，G（x）单调递减所以G（x）max＝G（1）＝﹣1＜0，所以f'（x）min＜0成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min＞0恒成立令g（x）＝f'（x）＝e x﹣2ax﹣2，则g'（x）＝e x﹣2a，因为a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，又g（0）＝﹣1＜0，g（1）＝e﹣2a﹣2＞0，所以存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）则x∈（﹣∞，x0）时，g（x）＝f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，g（x）＝f'（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）min＝f（x0）＝e x0﹣ax02﹣2x0+b＞0恒成立 (1)且e x0﹣2ax0﹣2＝0 (2)由（1）（2），即可﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又由（2）a＝＜0，所以x0∈（0，ln2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）令+x，x∈（0，ln2）n（x）＝m'（x）＝+1n'（x）＝＞0，所以n（x）＞n（0）＝＞0，所以m（x）单调递增，m（x）＞m（0）＝（﹣1）e0＝﹣1，+ln2＝2ln2﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以b＞﹣1，所以符合条件的b＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）法2：令x＝0，f（0）＝1+b＞0，b＞﹣1，故符合条件的最小整数b＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）现证明b＝0时，f（x）＞0 求f（x）＝e x﹣ax2﹣2x的最小值即可令g（x）＝f'（x）＝e x﹣2ax﹣2，则g'（x）＝e x﹣2a，因为a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，又g（0）＝﹣1＜0，g（1）＝e﹣2a﹣2＞0，所以存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，则x∈（﹣∞，x0）时，g（x）＝f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，g（x）＝f'（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）min＝f（x0）＝e x0﹣ax02﹣2x0．（1）且e x0﹣2ax0﹣2＝0 (2)f（x）min＝f（x0）＝e x0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又由（2）a＝＜0，所以x0∈（0，ln2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）现在求函数﹣x，x∈（0，ln2）的范围q（x0）＝p'（x）＝﹣1，q'（x0）＝﹣＜0，所以q（x）＜q（0）＝﹣＜0，所以p（x）单调递减，p（x）＜p（0）＝（﹣1）e0＝1﹣ln2＝2﹣ln2＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以b＝0是符合条件的．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，过点P分别做圆O的切线P A、PB和割线PCD，弦BE 交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC＝CF＝FD＝3，求四边形PBF A的外接圆的半径．【解答】（I）证明：连接AB．∵P、B、F、A四点共圆，∴∠P AB＝∠PFB．…（2分）又P A与圆O切于点A，∴∠P AB＝∠AEB，…（4分）∴∠PFB＝∠AEB∴AE∥CD．…（5分）（II）解：因为P A、PB是圆O的切线，所以P、B、O、A四点共圆，由△P AB外接圆的唯一性可得P、B、F、A、O共圆，四边形PBF A的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，∴OP是该外接圆的直径．…（7分）由切割线定理可得P A2＝PC•PD＝3×9＝27 …（9分）∴．∴四边形PBF A的外接圆的半径为．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2cosθ和曲线C2：ρcosθ＝3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．【解答】解：（I）C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，…（2分），C2的直角坐标方程为x＝3；…（4分）（II）设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，∴PQ过点A（2，0），设直线PQ的参数方程为：，代入C1可得t2+2t cosθ＝0，解得，可知|AP|＝|t2|＝|2cosθ|…（6分）代入C2可得2+t cosθ＝3，解得，可知…（8分）所以PQ＝，当且仅当时取等号，所以线段PQ长度的最小值为．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2＝M，证明：a+b≥2ab．【解答】解：（I）由已知可得，所以f min（x）＝1，…（3分）所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M＝2…（5分）（II）法一：综合法∴ab≤1∴，当且仅当a＝b时取等号，①…（7分）又∴∴，当且仅当a＝b时取等号，②…（9分）由①②得，∴，所以a+b≥2ab…（10分）法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，…（7分）即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2＝a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab…（10分）。
2016届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科A卷)
2016届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学（理科A 卷）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数i iz -=12（i 是虚数单位），则=z ( )A ．i +-1B ．i --1C ．i +1D ．i -12.已知集合}065|{2<--=x x x A ，}33|{<<-=x x B ，则=B A ( )A ．)3,3(-B ．)6,3(-C ．)3,1(-D ．)1,3(-3.设变量y ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+2202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( )A ．1B ．3C ．526D ．19-4.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则)2411(πf 的值为( )A ．26- B ．23- C ．22- D ．1-5.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( )A ．81B ．1C ．2D ．46.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7.过点)1,0(A 作直线，与双曲线1922=-y x 有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．无数8.如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,15(A 为( )A ．4229B ．107C ．2417 D ．102739.已知函数)2(+=x f y 的图象关于直线2-=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，|log |)(2x x f =，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>10.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )A ．4B ．316C ．320 D ．1211.C B A ,,是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OB OA OC μλ+=（R R ∈∈μλ,），则μλ+的取值范围是( )A ．)1,0(B ．),1(+∞C ．]2,1(D ．)0,1(-12.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A ．415B ．51C ．562D ．41第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.6)41(xx -的展开式中常数项为 . 14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤<-=10),1(log 01,2sin )(2x x x x x f π，且21)(-=x f ，则x 的值为 . 15.已知ABC ∆中，BC AD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4 于D ，则CD BD 的值为 . 16.若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）18.（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ，30=∠BAD ， 45=∠BAC ，将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'，且使2'=D C . （Ⅰ）求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）求二面角B D C A --'的余弦值.19.（本小题满分12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分.用随机变量X 表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望.20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF .（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：直线AB 过定点.21. （本小题满分12分）已知b x ax e x f x +--=2)(2（e 为自然对数的底数，R b a ∈,）.（Ⅰ）设)('x f 为)(x f 的导函数，证明：当0>a 时，)('x f 的最小值小于0；（Ⅱ）若0)(,0>>x f a 恒成立，求符合条件的最小整数b . 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.A D CB ① D 'CBA ②22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.（Ⅰ）证明：CD AE //；（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.2016届高三数学一模理科答案一．选择题：A 卷答案：1-5 BCBDA 6-10 CCCBB 11-12 BAB 卷答案：1-5 ACADB 6-10 CCCAA 11-12 AB二．填空题：13.. 516- 14. 13- 15. 6 16.32 三、解答题：17. 解：（I ）由已知得2351112=4+8=2010910+=10+45=1002a a a a d a d a d ++⎧⎪⎨⨯⎪⎩， -------------------------------2分 解得112a d =⎧⎨=⎩，-------------------------------4分 所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，--------------------------------5分（II ）由（I ）可知21(21)2n n n a b n -⋅=-⨯，所以1352321123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，①35721214123252(23)2(21)2n n n S n n -+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②---------------------7分 ①-②得：352121322(222)(21)2n n n S n -+-=+⨯++⋅⋅⋅+--⨯ 35212122(222)(21)23n n n n S -++⨯++⋅⋅⋅+--⨯∴=-………………9分 1218(14)22()(21)2143n n n -+-+⨯--⨯-=- 121628(14)(63)29n n n -+-+⨯-+-⨯=---------------------11分 2110(65)29n n ++-⨯=--------------------------12分 18. 解：（1）取AB 的中点O ，连,C O DO '，在,RT ACB RT ADB ∆∆，2AB =，则1C O DO '==，又C D '=∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…………2分又C O AB '⊥，AB OD O =，,AB OD ⊂平面ABDC O '∴⊥平面ABD ，…………………4分又C O '⊂平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB…………5分（2）以O 为原点，AB ，OC '所在的直线分别为,y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则1(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1),,0)2A B C D '-， 31(0,1,1),(0,1,1),(,1)2AC BC C D '''∴==-=-…………6分 设平面AC D '的法向量为1111(,,)n x y z =，则11n AC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩，即1100nAC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，111110102y z x y z +=⎧+-=，令11z =，则11y =-，1x = 1(3,1,1)n ∴=-…………8分设平面BC D '的法向量为2222(,,)n x y z =，则22n BC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩，即2200nBC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，222220102y z x y z -+=⎧+-=，令21z =，则21y =，2x =， 23(n ∴=………………10分123cos ,n n ∴===，二面角A C D B '--的余弦值为35105-.……………12分 19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ，∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x …………………2分随机变量ξ的所有可能取值为-4，-2,0,2,4； …………………………………8分()421645625P X ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，625216)53()52()2(3134===C X P 62596)53()52()2(314==-=C X P 625216)53()52()0(2224===C X P ； 625216)53()52()2(3134===C X P ()438145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭…………………10分 …………………12分20.解：（1）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm =，即42(2)2p p =---------------------2分 2440,2p p p ∴-+=∴=抛物线C 的方程为24y x =. -------------------4分()1696216216814420246256256256256255EX ()=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=（2）设点E (0,)(0)t t ≠，由已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx ty x =+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+= 直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt = 代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t --------------------------------------6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则 0000010122y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++-------------------------------8分 思路1：直线AB 的斜率为22(1)1AB t k t t =≠±- 直线AB 的方程为222()21t y x t t t =-+-，--------------------------------------10分 整理22(1)1t y x t =-- ∴直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------11分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时直线AB 为1x =，过点(1,0)F .综上，直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------12分思路2：直线AF 的斜率为22(1)1AF t k t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BF t t t k t t t t -+==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线--------------------------------------10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线. --------------------------------------11分 ∴直线AB 过定点F .--------------------------------------12分21. 解：（Ⅰ）证明：令()()22x g x f x e ax '==--,则()2xg x e a '=-因为0a >，令0()0g x '=，0ln 2x a =所以当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增--------------------2分则ln 2min min ()()(ln 2)2ln 22=22ln 22a f x g x g a e a a a a a '===------------------------3分 令()ln 2G x x x x =--，(0)x >()1(ln 1)ln G x x x '=-+=-当(0,1)x ∈时，()0G x '>，()G x 单调递增当(1,)x ∈+∞时，()0G x '<，()G x 单调递减所以max ()(1)10G x G ==-<，所以min ()0f x '<成立. --------------------5分（Ⅱ）证明：()0f x >恒成立，等价于min ()0f x >恒成立令()()22x g x f x e ax '==--，则()2xg x e a '=-因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，又(0)10g =-<，022)1(g >--=a e ，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =---------------------6分 则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；所以02min 000()()20xf x f x e ax x b ==--+>恒成立.........(1) 且00220xe ax --=...........(2) 由（1）（2）,000020000002(1)2(1)22x x x x x e b e ax x e x x e x >-++=-+-+=-+即可-----------------8分 又由（2）00202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------------9分 令()(1),(0,ln 2)2x xm x e x x =-+∈ ()n x =1()(1)12x m x x e '=-+1()02x n x xe '=>， 所以021)0()(>=>n x n ，所以()m x 单调递增， 1)1()0()(0-=-=>e m x m ，22ln 22ln )122ln ()2(ln )(2ln -=+-=<e m x m ---------------------11分所以1b >-，所以符合条件的=0b ---------------------12分法2：令0,(0)10,1x f b b ==+>>-，故符合条件的最小整数0b =.-------------------6分现证明0b =时，()0f x > 求2()2x f x e ax x =--的最小值即可令()()22x g x f x e ax '==--，则()2xg x e a '=-因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，又(0)10g =-<，(1)220g e a =-->，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x = 则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；所以02min 000()()2x f x f x e ax x ==-- .(1)且00220xe ax --=...........(2) 00000min 000()()(2)2(1)22x x x x x f x f x e e x e x ==---=-----------------8分 又由（2）00202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------9分 现在求函数()(1),(0,ln 2)2x xp x e x x =--∈的范围 0()q x =1()(1)12x p x x e '=--，01()02x q x xe '=-<， 所以021)0()(<-=<q x q ，所以()p x 单调递减， 1)1()0()(0=-=<e p x p02ln 22ln )22ln 1()2(ln )(2ln >-=--=>e p x p -------------11分所以=0b 是符合条件的. -------------12分选做题：22.解：（I ）连接AB,P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又PA 与圆O 切于点A, PAB AEB ∴∠=∠,．．．．．．．．．．．．．4分PFB AEB ∴∠=∠//AE CD ∴.．．．．．．．．．．．．．5分 （II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ．．．．．．．．．．．．．7分 由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯=．．．．．．．．．．．．．9分OP ∴===.∴四边形PBFA . ．．．．．．．．．．．．10分23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ．．．．．．．．．．．．2分2C 的直角坐标方程为3x =；．．．．．．．．．．．．4分 （II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A, PQ OP ⊥,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ==．．．．．．．．．．．．6分代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ==．．．．．．．．．．．．8分所以PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号，所以线段PQ长度的最小值为.．．．．．．．．．．．．10分24.解：（I ）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min ()1f x =， ．．．．．．．．．．．．3分所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，02m ∴≤≤，所以实数m 的最大值2M =. ．．．．．．．．．．．．5分（II ）法一：综合法222a b ab +≥1ab ∴≤1≤，当且仅当a b =时取等号，①．．．．．．．．．．．．7分 又2a b ab +≤ 21≤+∴b a ab 2ab b a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分 由①②得，21≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥.．．．．．．．．．．．．10分 法二：分析法因为0,0a b >>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，．．．．．．．．．．．．7分 即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥．．．．．．．．．．．．10分。
河北省石家庄市高三数学一模考试(理科)试题 Word版含答案
2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =( )A ．{}|13x x ≤≤B ．{}|03x x ≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( ) A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF的面积为则准线l 的方程为( )A．x =B．x =-C ．2x =-D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p :n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.1024 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥, ∵BD ⊄平面SAD ,SDAD D =,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则(3,2,3)SB =-，(33,0,3)SA =-，(2,3)SC =-，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z=，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =，∴1212cos 91||||13n n n n θ⋅===-⋅.19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得221)1D n x n -=+，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+22),1m m -=+② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x af x x x x x -+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为1x =，2x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-，同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---，令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈．[]22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增，所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ=， 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立， 所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-； 当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。
石家庄市届高中毕业班第一次模拟考试试卷数学试题及答案(文科A卷)
河北省石家庄市2016届高中毕业班第一次模拟考试试卷（文科A 卷）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}3,2,1,2|{--=x A ，}31|{<<-=x x B ，则=B A ( ) A ．)3,2(- B ．)3,1(- C ．}2{ D ．}3,2,1{-2. 若复数2i1-iz =（i 是虚数单位），则=z ( ) A ．-1+i B ．-1-i C ．1+i D ．1-i3. 已知双曲线)0(19222>=-a y a x 的渐近线为x y 43±=，则该双曲线的离心率为( ) A ．43 B ．47C ．45D ．35 4.设变量y ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( )A ．1B ．3C ．526D ．19- 5.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则11π()24f 的值为( ) A ．26-B ．23-C ．22- D ．1-6.已知函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，x x f 2log )(=，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>7.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( )A ．81B ．1C ．2D ．48.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温 ②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温 ③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差 ④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 9. 如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,8(A 为( )A ．451 B ．861C ．1221D ．167110.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( ) A ．4 B ．316 C ．320D ．1211.已知C B A ,,是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OB OA OC μλ+=（,λμ∈∈R R ），则μλ+的取值范围是( ) A ．)1,0( B ．),1(+∞ C ．]2,1( D ．)0,1(-12. 若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为( )A ．32-B ．23-C ．32D ．23 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p ：“2000,||0x x x ∃∈+<R ”，则p ⌝为 .14.已知椭圆1222=+y ax 的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线x y -=的对称点P 仍在椭圆上，则21F PF ∆的周长为 .15.已知ABC ∆中，BC AD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4于D ，则CDBD的值为 .16.在三棱锥ABC P -中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ， 30=∠BAD ， 45=∠BAC ，将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'.（Ⅰ）当2'=D C 时，求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）当BD AC ⊥'时，求三棱锥ABD C -'的高.19.（本小题满分12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次.规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分.求该运动员得1分的概率.20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：A 、B 、F 三点共线.21. （本小题满分12分）已知函数()e 33xf x x a =-+（e 为自然对数的底数，a ∈R ）. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当3ln e a >，且0>x 时，e 3132x x a x x>+-.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，过点P 分别做圆的切线、和割线，弦交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.（Ⅰ）证明：CD AE //；（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；O PA PB PCDBE（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.参考答案一．选择题：1-5 CBCBD 6-10 DACCB 11-12 BD 二．填空题：13.. 2,0x x x ∀∈+≥R 14. 222+ 15. 6 16. 26π 三、解答题所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，……………………6分 （II ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n ……………………8分∴)1211215131311(21+--++-+-=n n T n ……………10分 12)1211(21+=+-=n n n ……………………12分18. 解：（1）当C D '=AB 的中点O ，连,C O DO '，在Rt ACB ∆，Rt ADB ∆，2AB =，则1COD O '==，又C D '=∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥…………………2分又C O AB '⊥，AB OD O =，,AB OD ⊂平面ABD ，C O '∴⊥平面ABD ，……………………4分 又C O '⊂平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB ． ……………………5分（2）当AC BD '⊥时，由已知AC BC ''⊥，∴AC '⊥平面BDC '，…………………7分 又C D '⊂平面BDC '，∴AC C D ''⊥，△AC D '为直角三角形，由勾股定理，1C D '=……………………9分而△BDC '中，BD =1,BC '=∴△BDC '为直角三角形，111122BDC S'=⨯⨯=……………………10分三棱锥C ABD '-的体积1113326BDC V S AC ''=⨯⨯=⨯=．112ABDS=⨯ ，设三棱锥C ABD '-的高为h ，则由622331=⨯⨯h 解得36=h ．……………………12分 19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ， ∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x …………………2分 由5.0120.0)5(40.0=⨯+-⨯x ，解得425.x =∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是425.（米）． …………………4分 （II ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4 . 从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（A 1，C 3），（A 1，C 4），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 1，C 3），（B 1，C 4），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 2，C 3），（B 2，C 4），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 1，C 4），（C 2，C 3），（C 2，C 4），（C 3，C 4）共21个基本事件. ……… 7分其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个.………… 10分所以该运动员得1分的概率P =62217=. ……………………… 12分 20.解：（I ）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm =，即42(2)2p p =-……………2分 2440,2p p p ∴-+=∴=抛物线C 的方程为24y x =. ……………4分（II ）设E (0,)(0)t t ≠，已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+ 联立24y kx ty x =+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+= 直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt = 代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t ……………………6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则 0000010122y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++……………………8分 直线AF 的斜率为22(1)1AF t k t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BF t t t k t t t t -+==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线. ……………………………………10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线.综上：,,A B F 三点共线. ……………………………………12分21. （I ）解: 由f (x )＝e x －3x ＋3a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －3，x ∈R . ………………………1分令f ′(x )＝0，得x ＝ln 3， ………………………………2分 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )单调递增区间是[ln3，＋∞)，………………………………5分f (x )在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f (ln 3)＝e ln3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a )．………6分 （II ）证明:待证不等式等价于23e 312x x ax >-+………………………………7分 设23()e 312x g x x ax =-+-，x ∈R ， 于是()e 33x g x x a '=-+，x ∈R .由（I ）及3ln ln 31a e>=-知：()g x '的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a )＞0. ………9分 于是对任意x ∈R ，都有()g x '＞0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当3ln ln 31ea >=-时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． ………………10分 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0.即23e 312xx ax >-+，故e 3132x x a x x >+- ……………………12分 22.解：（I ）连接AB ,P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ………………………………2分 又P A 与圆O 切于点A , PAB AEB ∴∠=∠, ………………………………4分PFB AEB ∴∠=∠//AE CD ∴. ………………………………5分 （II ）因为P A 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PB F A 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ………………………………7分由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯= ………………………………9分OP ∴===∴四边形PBF A………………………………10分23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ………………………………2分 2C 的直角坐标方程为3x =；………………………………4分（II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A ,PQ OP ⊥,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ== ………………………………6分 代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ== ………………………………8分 所以PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号， 所以线段PQ长度的最小值为 ………………………………10分24.解：（Ⅰ）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min ()1f x =， ………………………………3分 所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，02m ∴≤≤，所以实数m 的最大值2M =. ………………………………5分 （Ⅱ）法一：综合法222a b ab +≥1ab ∴≤1，当且仅当a b =时取等号，① ………………………………7分 又2a b ab +≤ 21≤+∴b a ab 2ab b a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，② ………………………………9分 由①②得，21≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥ ………………………………10分 法二：分析法因为0,0a b >>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥， 22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，………………………………7分 即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤，下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥ ………………………………10分。
河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 数学理科
2009石家庄市高三第一次模拟考试数学理科答案一、A卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.A2. B3. A4. B5.D6.A7. B8.A9. C 10. D 11.B 12.C 一、B卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. B2. A3. B4.D5.A6. B7.A8. C9. D 10.B 11.C 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．13a = 14．12315． 1 16．③ ，④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题10分)解：(Ⅰ)该天平均每人的课外阅读时间为0.520110 1.515251.0550⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）答：这一天平均每人的课外阅读时间为1.05小时.………………………4分 (Ⅱ) 记这2名学生该天阅读时间量互不相同为事件A ,222220151052502()7C C C C P A C +++==,………………………7分 25()1()177P A P A =-=-=.…………………………………9分 答: 这2名学生该天阅读时间量互不相同的概率为57.…………………10分18．(本题12分)解: (Ⅰ)由余弦定理知:2cos 2A ==………2分cos 1)12AB AC AB AC A ∴⋅=⋅=⋅=.……………5分 (Ⅱ)由AC mAO nAB =+,知,. AB AC mAB AO nAB AB AC AC mAC AO nAC AB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩∴2 1(31), 2(31).mAB AO nmAC AO n=⋅+=⋅+⎪⎩…………………………………7分O为ABC∆的外心，2112cos(1)2ABAB AO AB AO BAO AB AOAO∴⋅=⋅∠=⋅⋅=.同理1AC AO∴⋅=.………………………………10分即22111)1),221).m nm n=+⎪=+⎩，解得:1,mn⎧=⎪⎨=⎪⎩……12分19．(本题12分)（Ⅰ）取BC的中点M，连结PM，AM.四边形ABCD为菱形,0120BAD∠=,则,,BC AM BC PM⊥⊥……………2分BC APM∴⊥平面，BC PA⊥从而.同理DC PA⊥故PA ABCD⊥平面.……………………4分（或用同一法可证）（Ⅱ）先求二面角E AC B--的大小取AB的中点H，过H作HN AC⊥于点N，连结EN.则EH ABCD⊥平面，ENH∠是二面角E AC B--的平面角，……6分可求得ENH∠=，又PAC ABCD⊥平面平面，所以二面角E AC P--的大小为arctan2π-……………………8分BCDEPA HN法二: 过A 作AM AB ⊥交CD 于M ， 以A 为坐标原点，直线AM 、AB 、AP 分别为x y 、、z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -. 则A （0，0，0），,0)C ，P （0，0，2），(0,1,1)E .(0,0,2)AP ∴=,(3,1,0),AC =(0,1,1)AE =.…………………6分设平面PAC 的法向量为1111(,,)x y z =n ， 则110,0.AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n11120,0.z y =⎧⎪+=即取1x =1,-则1(1=-n . 设平面AEC 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则220,0.AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n22220,0.y y z +=+=⎪⎩即取21y =，则2(1)=-n . cos ＜1n ，2n ＞=1212⋅=⋅n n n n ，∴二面角E AC P --的大小为arccos7……………………8分 （Ⅲ）先求点B 到平面PAF 的最大距离.PA ABCD PAF ABCD PAFABCD AF ⊥∴⊥=平面，平面平面，平面平面，∴点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离. ……10分过B 作直线AF 的垂线段,在所有的垂线段中长度最大为2AB =. E 为PB 的中点,故点E 到平面PAF 的最大距离为1. ……………………12分 20.(本题12分)解：（Ⅰ）2()2,xf x e a '=-（ⅰ）当0a ≤时, ()0,f x '>∴()f x 的单调递增区间是(,-∞+∞).……………………2分(ⅱ) 当0a >时,令()0,f x '=得1ln .22a x =当1ln 22ax <时，()0,f x '< 当1ln 22ax >时，()0.f x '>()f x ∴的单调递减区间是(1,ln 22a-∞)，()f x 的单调递增区间是 (1ln ,22a+∞).……………………5分(Ⅱ)()f x a <,∴2,x e ax a -<2(1),x a x e +>(1,1]x ∈-,10x +>.∴2,1x e a x >+设2(),1xe g x x =+ 若存在实数(1,1]x ∈-,使得()f x a <成立, 则a >min ().g x ……………………8分22(21)(),(1)x e x g x x +'=+解得()0,g x '=得12x =-, ∴当112x -<<-时, ()0,g x '<当112x -<≤时, ()0,g x '>∴()g x 在1(1,)2--上是减函数,在1(,1]2-上是增函数. …………………10分∴1min12()(),1212e g x g e-=-==-a 的取值范围是(2,e+∞).…………………………………………………12分21．(本题12分)（I ）由2OP OM ON =+，得P 是MN 的中点. …………2分 设),(),,(),,(2211mx x N mx x M y x P -依题意得:121222212122,2,()()2.x x x mx mx y x x mx mx ⎧+=⎪-=⎨⎪-++=⎩ 消去21,x x ，整理得112222=+m y m x ． 当1>m 时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当10<<m 时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当1=m 时，方程表示圆． ……………………………5分 （II ）由1m >，焦点在y 轴上的椭圆，直线l 与曲线C 恒有两交点， 直线斜率不存在时不符合题意；可设直线l 的方程为1y kx =+，直线与椭圆交点1122(,),(,)A x y B x y .224222221()21011y kx x y m k x kx m m m =+⎧⎪⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎪⎩ 21212424221,k m x x x x m k m k -+=-=++22212124242(1)2(1)(1)1k m k y y kx kx m k m k--=++=++++.………………7分 要使AOB ∠为锐角，只需0OA OB ⋅>422121242(1)10m k m x x y y m k -++∴+=>+.………………9分即422(1)10m k m -++>， 可得22211m k m+>+，对于任意1m >恒成立. 而2212m m+>，21211,.k k ∴+≤-≤≤所以k 的取值范围是[1,1]-.………………12分 22(本题12分) 解:(Ⅰ)21231n n n a a n n --=+⋅-，………………1分 2211122323232(13)1313n nn n a n---=++⋅+⋅++⋅-=+=-，即13n n a n -=⋅(n ∈*N ).………………3分 （II ）1()n b n n =∈*N ，111111,12,2234+>+++> 1111111132345678+++++++<.猜想当3n ≥时，2n S n <.………………4分 下面用数学归纳法证明:①当3n =时，由上可知323S <成立； ②假设(3)n k k =≥时，上式成立，即1111232k k ++++<. 当1n k =+时，11111111232212112122121k k k k k kk k k k ++=++++++++<++++<+<++左边所以当1n k =+时成立.由①②可知当3n ≥()n ∈*N 时,2n S n <. ………………7分 综上所述当1n =时, 121S >;当2n =时, 222S >;当3n ≥()n ∈*N 时,2n S n <. ………………8分（III ）131n n n a c n +==+ 当2n ≥时，121123232311(31)(31)(33)(31)(31)3131n n n n n n n n n n---⨯⨯⨯≤==--------.所以22222233232331111()()2(31)(31)22313131n n n T ⨯⨯=+++≤+-+------ ＋1111()22313131n n n -+-=-<---.………………12分。
石家庄市2016届高三一模数学试题分析
注重考查数学本质、数学概念：
考试说明指出试题要注重考查学生对数学本质 的理解水平，试题要注重创新性，具有一定的 探究性，强调以能力立意，以知识为载体，从 问题入手，把握学科的整体意义，用数学观点 组织材料。如12题、18题，19题、20题.
注重考查基本方法的熟练程度，适度创新
考试说明要从学科的整体高度和思维价值的 高度考虑问题，在知识的交汇点设计试题， 使对数学基础知识的考查达到必要的深度， 同时要求试题具有一定的创新性，开放性。如：5、8、12、15、16题等
三、如何命制试题
命制试题的基本步骤
➢ 一、明确考试目的 ➢ 二、研读相关内容 ➢ 三、列双向细目表 ➢ 四、编制试卷内容 ➢ 五、审查修改筛选 ➢ 六、试答全部试题 ➢ 七、调整试题内容 ➢ 八、制定评分标准 ➢ 九、积累实测数据
石家庄市试题命制的流程
制定双向细目表和难 度系数估计表
指定负 责老师
能否的出一份好的试卷是教师基本功的一个重要方面，反映一名教师的教学水平和驾 驭教材、把握教学的一种综合能力，教师的命题实质上是教学过程的延伸和对课程教材 的深度开发，是教师专业化发展的新内容。
谢 谢！
携手共进，齐创精品工程
Thank You
世界触手可及
对供选试题筛选、改 造、制成初稿
解题 反馈
中心组成 员提供试 题供筛选
修改 成稿
一套好的试卷的基本标准
➢字 要 从 型 我 就体均效要们是一衡多评、 果 的、，样委字来试要题，。号看卷经目题为要最得阅目了恰有后起读要减到信会视量有少好度通觉要科不处与过的适学必，效学考尽度生度性要验量 ， 流， 的同 区 向选 还 误高 分 社择 要 解考 度 会题 有 或吻 合 ，的 原 可合 理 交题 创 能， 流干 性 的数 难 到不 、 歧字 度 各宜 逻 义标 适 学过 辑 ，点 中 校短 性 热要 ， ，也 、 点规 从 或不 思 问范 试 通宜 维 题， 题 过超 性 不的 网过 、 必图设 络三 覆 刻文计 传行盖意并来播，面追茂看到问等求不，各答。，单题地题在不调量市提我确，要，问们定图适社方的问形中会式学题分，公及生最布题众个家好 ➢数 长 绕要中开二求不走、适乏。要度教经。育得专起家专，家大的学考教证授，他们对考试都有较深刻的研究。 ➢ 三、要经得起公众的评论
高考数学理科模拟试题(附答案)
高三年级第一次模拟考试数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．。
1．复数23()1i i +-= （ ）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2．已知条件:|1|2,:,p x q x a +>>⌝⌝条件且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥- D ．3a ≤-3．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点可能落在下列哪个区间内（ ）A ．（0，1）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5） 4．如右图，是一程序框图，则输出结果为（ ）A ．49B ．511 C ．712 D ．613 5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若641241,4,S S S S S ==则 的值为（ ）A ．94B ．32C ．54D ．46．要得到函数()sin(2)3f x x π=+的导函数'()f x 的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 7．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若|FM|=2|ME|，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．28．如图所示的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中电路从P 到Q 接通的情况有（ ）A ．30种B ．10种C ．24种D ．16种第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上。
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2016届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学（理科A 卷）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数i iz -=12（i 是虚数单位），则=z ( )A ．i +-1B ．i --1C ．i +1D ．i -12.已知集合}065|{2<--=x x x A ，}33|{<<-=x x B ，则=B A ( )A ．)3,3(-B ．)6,3(-C ．)3,1(-D ．)1,3(-3.设变量y ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( )A ．1B ．3C ．526D ．19-4.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则)2411(πf 的值为( )A ．26- B ．23- C ．22- D ．1-5.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( )A ．81B ．1C ．2D ．46.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7.过点)1,0(A 作直线，与双曲线1922=-y x 有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．无数8.如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,15(A 为( )A ．4229B ．107C ．2417 D ．102739.已知函数)2(+=x f y 的图象关于直线2-=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，|log |)(2x x f =，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>10.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )A ．4B ．316C ．320 D ．1211.C B A ,,是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OB OA OC μλ+=（R R ∈∈μλ,），则μλ+的取值范围是( )A ．)1,0(B ．),1(+∞C ．]2,1(D ．)0,1(-12.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A ．415B ．51C ．562D ．41第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.6)41(xx -的展开式中常数项为 . 14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤<-=10),1(log 01,2sin )(2x x x x x f π，且21)(-=x f ，则x 的值为 . 15.已知ABC ∆中，BC AD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4 于D ，则CD BD 的值为 . 16.若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）18.（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ，30=∠BAD ， 45=∠BAC ，将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'，且使2'=D C . （Ⅰ）求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）求二面角B D C A --'的余弦值.19.（本小题满分12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分.用随机变量X 表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望.20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF .（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：直线AB 过定点.21. （本小题满分12分）已知b x ax e x f x +--=2)(2（e 为自然对数的底数，R b a ∈,）.（Ⅰ）设)('x f 为)(x f 的导函数，证明：当0>a 时，)('x f 的最小值小于0；（Ⅱ）若0)(,0>>x f a 恒成立，求符合条件的最小整数b . 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. A D CB ① D 'CBA ②22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.（Ⅰ）证明：CD AE //；（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.2016届高三数学一模理科答案一．选择题：A 卷答案：1-5 BCBDA 6-10 CCCBB 11-12 BAB 卷答案：1-5 ACADB 6-10 CCCAA 11-12 AB二．填空题：13.. 516- 14. 13- 15. 6 16.32 三、解答题：17. 解：（I ）由已知得2351112=4+8=2010910+=10+45=1002a a a a d a d a d ++⎧⎪⎨⨯⎪⎩， -------------------------------2分 解得112a d =⎧⎨=⎩，-------------------------------4分 所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，--------------------------------5分（II ）由（I ）可知21(21)2n n n a b n -⋅=-⨯，所以1352321123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，①35721214123252(23)2(21)2n n n S n n -+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②---------------------7分 ①-②得：352121322(222)(21)2n n n S n -+-=+⨯++⋅⋅⋅+--⨯ 35212122(222)(21)23n n n n S -++⨯++⋅⋅⋅+--⨯∴=-………………9分 1218(14)22()(21)2143n n n -+-+⨯--⨯-=- 121628(14)(63)29n n n -+-+⨯-+-⨯=---------------------11分 2110(65)29n n ++-⨯=--------------------------12分 18. 解：（1）取AB 的中点O ，连,C O DO '，在,RT ACB RT ADB ∆∆，2AB =，则1C O DO '==，又C D '=∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…………2分又C O AB '⊥，AB OD O =，,AB OD ⊂平面ABDC O '∴⊥平面ABD ，…………………4分又C O '⊂平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB…………5分（2）以O 为原点，AB ，OC '所在的直线分别为,y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则1(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1),,0)2A B C D '-， 31(0,1,1),(0,1,1),(,1)2AC BC C D '''∴==-=-…………6分 设平面AC D '的法向量为1111(,,)n x y z =，则11n AC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩，即1100nAC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，111110102y z x y z +=⎧+-=，令11z =，则11y =-，1x = 1(3,1,1)n ∴=-…………8分设平面BC D '的法向量为2222(,,)n x y z =，则22n BC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩，即2200nBC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，222220102y z x y z -+=⎧+-=，令21z =，则21y =，2x =， 23(n ∴=………………10分123cos ,n n ∴===，二面角A C D B '--的余弦值为35105-.……………12分 19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ，∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x …………………2分随机变量ξ的所有可能取值为-4，-2,0,2,4； …………………………………8分()421645625P X ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，625216)53()52()2(3134===C X P 62596)53()52()2(314==-=C X P 625216)53()52()0(2224===C X P ； 625216)53()52()2(3134===C X P ()438145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭…………………10分 …………………12分20.解：（1）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm =，即42(2)2p p =---------------------2分 2440,2p p p ∴-+=∴=抛物线C 的方程为24y x =. -------------------4分()1696216216814420246256256256256255EX ()=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=（2）设点E (0,)(0)t t ≠，由已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx ty x =+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+= 直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt = 代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t --------------------------------------6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则 0000010122y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++-------------------------------8分 思路1：直线AB 的斜率为22(1)1AB t k t t =≠±- 直线AB 的方程为222()21t y x t t t =-+-，--------------------------------------10分 整理22(1)1t y x t =-- ∴直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------11分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时直线AB 为1x =，过点(1,0)F .综上，直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------12分思路2：直线AF 的斜率为22(1)1AF t k t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BF t t t k t t t t -+==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线--------------------------------------10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线. --------------------------------------11分 ∴直线AB 过定点F .--------------------------------------12分21. 解：（Ⅰ）证明：令()()22x g x f x e ax '==--,则()2xg x e a '=-因为0a >，令0()0g x '=，0ln 2x a =所以当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增--------------------2分则ln 2min min ()()(ln 2)2ln 22=22ln 22a f x g x g a e a a a a a '===------------------------3分 令()ln 2G x x x x =--，(0)x >()1(ln 1)ln G x x x '=-+=-当(0,1)x ∈时，()0G x '>，()G x 单调递增当(1,)x ∈+∞时，()0G x '<，()G x 单调递减所以max ()(1)10G x G ==-<，所以min ()0f x '<成立. --------------------5分（Ⅱ）证明：()0f x >恒成立，等价于min ()0f x >恒成立令()()22x g x f x e ax '==--，则()2xg x e a '=-因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，又(0)10g =-<，022)1(g >--=a e ，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =---------------------6分 则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；所以02min 000()()20xf x f x e ax x b ==--+>恒成立.........(1) 且00220xe ax --=...........(2) 由（1）（2）,000020000002(1)2(1)22x x x x x e b e ax x e x x e x >-++=-+-+=-+即可-----------------8分 又由（2）00202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------------9分 令()(1),(0,ln 2)2x xm x e x x =-+∈ ()n x =1()(1)12x m x x e '=-+1()02x n x xe '=>， 所以021)0()(>=>n x n ，所以()m x 单调递增， 1)1()0()(0-=-=>e m x m ，22ln 22ln )122ln ()2(ln )(2ln -=+-=<e m x m ---------------------11分所以1b >-，所以符合条件的=0b ---------------------12分法2：令0,(0)10,1x f b b ==+>>-，故符合条件的最小整数0b =.-------------------6分现证明0b =时，()0f x > 求2()2x f x e ax x =--的最小值即可令()()22x g x f x e ax '==--，则()2xg x e a '=-因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，又(0)10g =-<，(1)220g e a =-->，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x = 则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；所以02min 000()()2x f x f x e ax x ==-- .(1)且00220xe ax --=...........(2) 00000min 000()()(2)2(1)22x x x x x f x f x e e x e x ==---=-----------------8分 又由（2）00202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------9分 现在求函数()(1),(0,ln 2)2x xp x e x x =--∈的范围 0()q x =1()(1)12x p x x e '=--，01()02x q x xe '=-<， 所以021)0()(<-=<q x q ，所以()p x 单调递减， 1)1()0()(0=-=<e p x p02ln 22ln )22ln 1()2(ln )(2ln >-=--=>e p x p -------------11分所以=0b 是符合条件的. -------------12分选做题：22.解：（I ）连接AB,P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又PA 与圆O 切于点A, PAB AEB ∴∠=∠,．．．．．．．．．．．．．4分PFB AEB ∴∠=∠//AE CD ∴.．．．．．．．．．．．．．5分 （II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ．．．．．．．．．．．．．7分 由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯=．．．．．．．．．．．．．9分OP ∴===.∴四边形PBFA . ．．．．．．．．．．．．10分23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ．．．．．．．．．．．．2分2C 的直角坐标方程为3x =；．．．．．．．．．．．．4分 （II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A, PQ OP ⊥,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ==．．．．．．．．．．．．6分代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ==．．．．．．．．．．．．8分所以PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号，所以线段PQ长度的最小值为.．．．．．．．．．．．．10分24.解：（I ）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min ()1f x =， ．．．．．．．．．．．．3分所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，02m ∴≤≤，所以实数m 的最大值2M =. ．．．．．．．．．．．．5分（II ）法一：综合法222a b ab +≥1ab ∴≤1≤，当且仅当a b =时取等号，①．．．．．．．．．．．．7分 又2a b ab +≤ 21≤+∴b a ab 2ab b a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分 由①②得，21≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥.．．．．．．．．．．．．10分 法二：分析法因为0,0a b >>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，．．．．．．．．．．．．7分 即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥．．．．．．．．．．．．10分。