九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.3求二次函数的表达式练习(新版)华东师大版

第26章 二次函数
26.2.3 求二次函数的表达式
1．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式是( )
A ．y ＝()x －12
＋1 B ．y ＝()x ＋12
＋1
C ．y ＝2()x －12
＋1 D ．y ＝2()x ＋12
＋1
2．若抛物线y ＝2x 2
＋bx ＋c 的顶点坐标是(－2，3)，则b ＝____，c ＝____.
3．如图，已知抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是_____________．
4. 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：
x … －1 0 2 4 … y
…
－5
1
1
m
…
求：(1)这个二次函数的解析式；
(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m 的值．
5．[2018·云南]已知二次函数y＝－3
16x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)、B(－4，－
9
2
)
两点．
(1)求b、c的值；
(2)二次函数y＝－3
16
x2＋bx＋c的图象与x轴是否存在公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由．
6. 已知二次函数图象的顶点坐标为(2，－3)，且与y轴的交点坐标为(0，1)．
(1)在坐标系中画出函数的图象；
(2)利用图象判断点A(1，－3)是否在抛物线上；
(3)若此抛物线经过点(－2，y1)、(3，y2)，试比较y1、y2的大小．
7．如图，已知抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)和点B (3，0)，与y 轴交于点C ，连结BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出点C 和点D 的坐标；
(3)若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP ＝4S △COE ，求点P 的坐标．
8．[2018·广安改编]如图，已知抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与直线y ＝1
2x ＋3相交于A 、B
两点，交x 轴于C 、D 两点，连结AC 、BC ，已知A (0，3)、C (－3，0)．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB －MD |的值最大，并求出这个最大值．
9．[2018·遂宁改编]如图，已知抛物线y ＝ax 2
－4x ＋c 与反比例函数y ＝9x
的图象相交
于点B ，且点B 的横坐标为3，抛物线与y 轴交于点C (0，6)，A 是抛物线y ＝ax 2
－4x ＋c 的顶点，点P 是x 轴上一动点，当PA ＋PB 最小时，求点P 的坐标．
参考答案
【分层作业】 1．C 2．8 11
3．y ＝－x 2
＋2x ＋3
4.解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1，
∴二次函数的解析式为y ＝－2x 2
＋4x ＋1. (2)当x ＝4时，m ＝－2×16＋16＋1＝－15， 由y ＝－2x 2
＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3， 故其顶点坐标为(1，3)．
5．解：(1)∵二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象经过A (0，3)、B (－4，－9
2
)两点，
∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－92
＝－316×（－4）2
－4b ＋c . 解得b ＝9
8
，c ＝3.
(2)由(1)知该二次函数为y ＝－316x 2＋9
8x ＋3.
在y ＝－316x 2＋9
8x ＋3中，
当y ＝0时，0＝－316x 2＋9
8x ＋3，
解得x 1＝－2，x 2＝8.
∴二次函数y ＝－316x 2
＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个公共点，分别为(－2，0)，(8，0)．
6. 解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a (x －2)2
－3， 把(0，1)代入得4a －3＝1，解得a ＝1，
答图
所以抛物线的解析式为y ＝(x －2)2
－3， 函数的图象如答图．
(2)把x ＝1代入y ＝(x －2)2
－3得y ＝1－3＝－2， 所以A (1，－3)不在抛物线上． (3)当x ＝－2时，y 1＝(x －2)2－3＝13， 当x ＝3时，y 1＝(x －2)2
－3＝－2，所以y 1＞y 2.
7． 解：(1)将点A (－1，0)和点B (3，0)代入，得⎩
⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，
－9＋3b ＋c ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧b ＝2
c ＝3，
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋3. (2)令x ＝0，则y ＝3， ∴C (0，3)．
∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2
＋4， ∴D (1，4)．
(3)设P (x ，y )(x >0，y >0)， S △COE ＝12×1×3＝32，
S △ABP ＝1
2×4y ＝2y .
∵S △ABP ＝4S △COE ， ∴2y ＝4×3
2，
∴y ＝3，
∴－x 2
＋2x ＋3＝3，
解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝2， ∴P (2，3)．
8． 解：(1)∵抛物线y ＝12
x 2
＋bx ＋c 经过点A (0，3)、C (－3，0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，12×（－3）2
－3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝52，c ＝3，
∴抛物线的解析式为y ＝12x 2＋5
2
x ＋3.
(2)根据二次函数的对称性可知MD ＝MC ，要求|MB －MD |的值最大，就是求|MB －MC |的值最大，由三角形两边之差小于第三边，得当点B ，C ，M 在同一条直线上时，|MB －MD |的值最大，为BC 的长．
由一次函数和二次函数交于A 、B 两点，得 12x 2＋52x ＋3＝1
2x ＋3， 解得x ＝－4或x ＝0，
当x ＝－4时，y ＝1，即点B (－4，1)． ∵点C (－3，0)，
∴BC ＝（－4＋3）2
＋（1－0）2
＝2， ∴|MB －MD |的最大值为 2.
9．解：∵点B 的横坐标为3，且点B 在反比例函数y ＝9
x
的图象上，
∴B (3，3)．
∵抛物线y ＝ax 2
－4x ＋c 经过B 、C 两点，
∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －12＋c ＝3，c ＝6，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝6， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2
＋2， ∴抛物线的顶点A 的坐标为(2，2)，
∴点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标为(2，－2)． 设A ′B 所在的直线方程为y ＝kx ＋b ，
则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－2，3k ＋b ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝5，b ＝－12， ∴直线A ′B 的方程为y ＝5x －12. 令y ＝0，解得x ＝125
，
∴直线A ′B 与x 轴的交点坐标为(12
5
，0)．
根据两点之间线段最短，可得当P 的坐标为(12
5，0)时，PA ＋PB 最小，故P 点的坐标为
(12
5
，0)．。