湖南省十三校2014届高三第二次联考数学理试题Word版含解析

湖南省2014届高三·十三校联考 第二次考试
理科数学试卷
考试时间:2014年4月12日15:00～17:00
得分:
【试卷综析】 本套试卷是湖南省13校第二次联考试题，试卷在题型、题量、分值、
难度、知识点分布及覆盖面上都和高考试题比较接近。

从整体上看，试卷难度适当，具有较好的区分度、效度和信度。

试题注重考查了基础知识、基本技能和基本方法，突出了对学生数学能力的考查。

例如第6题，第8题，9题都很好地考查了学生的数学能力。

在学生熟悉的背景下进行命题，进行创新，这是高考的要求，也是中学教学的要求。

在本套试卷中，有所体现，这是一大亮点。

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.已知集合1
{|
1}1
A x x =≤-，{|ln 0}
B x x =≤,则A B =( ) A. (,1)-∞ B. (0,1] C. [0,1) D. (0,1) 【知识点】借助分式不等式和对数不等式考查集合的运算。

【答案解析】D {|1A x x =<或2}x ≥，{|01}B x x =<<，所以A
B =(0,1)
【思路点拨】解分式不等式时，要时刻注意，移项通分。

利用数轴求集合的交集。

2.已知a R ∈,则“”是“复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为纯虚数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【知识点】本题考查了复数知识和充分必要条件的判断。

【答案解析】C 复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为纯虚数的充要条件是
220
10
a a a ⎧--=⎨
+≠⎩，所以2a =。

【思路点拨】复数为纯虚数，必须保证实部等于0，虚部不等于0.
先求出充要条件，然后再把充要条件的范围放大或缩小。

3.(2013·肇庆二模改编)若某程序框图如图所示,则该程序运行 后输出的值是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【知识点】程序框图问题。

【答案解析】A 11
1,3;2,11;3,112k s k s k s ======+
【思路点拨】根据程序框图的循环结构，依次求出即可。

4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2410,36S S ==,则过点(,)n P n a 和*2(2,)()
n Q n a n N ++∈的直线的斜率是( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 14
【知识点】 考查等差数列的基本知识，基本量的计算。

【答案解析】C 由2410,36S S == 求出公差4d =。

22n n
a a k d n n
+-=
=+-。

【思路点拨】等差数列的通项公式是关于n 的一次函数形式，其图像是一些孤立的点，它的斜率就是等差数列的公差。

5.若函数()y f x =的图象如图,则函数(1)y f x =-的图象大致为( )
【答案解析】A 函数()y f x = 的图象与的图象关于y
轴对称，再把()y f x =-的图象向右平移一个单位即可。

【思路点拨】函数(1)[(1)]y
f x f x =-=--，先把()y f x =
的图象作关于y 轴对称的图象，然后再平移。

点距离为1)组成的正三角形点阵,在其中任意取三
个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是( ) A. 12 B. 13 C. 15 D. 16
【知识点】计数问题
【答案解析】C 按顺序查即可 【思路点拨】依次查可得
7.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该棱锥的体积等于( ) A. 10cm 3 B. 20cm 3 C. 30cm 3 B. 40cm 3 【知识点】计数问题
【答案解析】C 按顺序查即可 【思路点拨】依次查可得
8.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>,12,A A 为实轴顶点,F 是右焦点,(0,)B b 是虚轴端点,
B
D
C 正视图
侧视图 俯视图
若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i P i =,使得12i PA A ∆构成以12A A 为斜边的 直角三角形,则双曲线离心率e 的取值范围是( )
A. )+∞
B. )+∞
C.
D. 【知识点】考查双曲线的性质和基本量的计算（离心率的求法）。

【答案解析】D ，由题意知，圆心O 到直线BF
a <，解
得1
2
e <。

假设点B 与点1P 重合，求得e =D 。

【思路点拨】根据题意，可以确定点i P 在以12A A 为直径的圆2
2
2
x y a +=上，再利用特殊点可求。

9.(2013•金山区一模改编)若实数a ,b ,c 成等差数列,点(1,0)P -在,点(3,3)N ,则||MN 的最大
值是( )
A. 5
B. 5
C. 5+
D. 5-【知识点】等差数列的性质；直线关于点、直线对称的直线方程。

【答案解析】A 2b=a+c ，所以a-2b+c=0，可知直线恒过定点（1，-2）。

又(1,0)P - 在动
直线0ax by c ++=上的射影为M ,所以0
90PMQ ∠=，此时圆心（0，-1），2r =。

||5AN =+
【思路点拨】此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c ，即a-2b+c=0是解本题的突破点．
10.已知点G 是ABC ∆的重心,且11,tan tan tan AG BG A B C
λ
⊥+=
,则实数λ的值为( ) A.
1
3
B. 12
C. 3
D. 2
【知识点】考查三角形的重心，三角基本关系式。

【答案解析】B 以G 为坐标原点，以GA 、GB 分别为x,y 轴建立平面直角坐标系。

不妨设A(1，0), B(0，1)，依题意，G 为ABC ∆的重心，则点C(1，1). 所以可得tanA=tanB=3,tanC=4/3.
可得λ的值为1
2。

【思路点拨】利用点G 是ABC ∆的重心, 且AG 与BG 垂直，用特值法，建立平面直角坐标系，再应用重心坐标公式求出tanA=tanB=3,tanC=4/3.
二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应
题号后的横线上.
（一）选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 11.(2011•天津卷改编)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点,F E
是AB 延长线上一点,且2DF CF AF BF ===,若CE 与圆相切,
且CE =,则BE = . 【知识点】相交弦定理，切割线定理
【答案解析】
12 由AF BF DF CF ⋅=⋅得1BF =,又2
CE BE AE =⋅,得12
BE =. 【思路点拨】应用相交弦定理，切割线定理解题，属容易题。

12.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2x t y t ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
为参数),在以原点O 为极点,x 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=.则l 与C 的交点直角坐标为 .
【知识点】考查抛物线的参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，直线与抛物线的位置关系。

【答案解析】（1,2） 曲线C 的普通方程为2
2y x =，直线l 的直角坐标方程是1y x =+，二者联立，求出交点坐标。

【思路点拨】把参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，联立求解。

13.设,,,2280x y z R x y z ∈+++=,则222(1)(2)(3)x y z -+++-的最小值为 . 【知识点】考查柯西不等式。

【答案解析】9
222222[(1)(2)(3)](221)x y z -+++-++2[2(1)2(2)(3)]x y z ≥-+++- 2(221)81x y z =++-=
【思路点拨】根据已知条件凑成柯西不等式的形式。

（二）必做题（14 ～16题）
14.定积分2101
sin e
dx xdx x
π
-⎰⎰的值为 .
【知识点】定积分运算
【答案解析】0 原式=2
1
ln |(cos )|0e
x x π
--= 【思路点拨】记住基本初等函数的导数公式
15.(2013•昌平区一模)在Rt ABC ∆中,90,4,2,C AC BC ∠===D 是BC 的中点, (1)()AB AC AD -⋅= .
(2)E 是AB 的中点,P 是ABC ∆(包括边界)内任意一点,则AD EP ⋅的取值范围是 .
A
C E
B F D
【知识点】向量的数量积运算、线性规划
【答案解析】（1）2 （2）[9,9]- （1）以C 为坐标原点，CA 、CB 分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则A(4，0), B(0,2)，D(0,1)，()(0,2)(4,1)2AB AC AD CB AD -⋅=⋅=⋅-=;
(2) 根据题意知，点P 所在的平面区域为240
00x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，
(4,1)(2,1)47AD EP x y x y ⋅=-⋅--=-++，令47z x =-+，画出平面区域，可知
min max 16,2z z =-=。

所以AD EP ⋅的取值范围是[9,9]-。

【思路点拨】根据题意建立直角坐标系，运用向量的坐标运算能使过程简单、易操作。

16.(2013•石景山区一模改编)给定有限单调递增数列*{}(n x n N ∈,数列{}n x 至少有两项)且x i ≠0（1≤i≤n ），定义集合*{(,)|1,,,}i j A x x i j n i j N =≤≤∈且.若对任意点1A ∈A , 存在点2A ∈A 使得12OA OA ⊥(O 为坐标原点),则称数列{}n x 具有性质P . (1)给出下列四个命题,其中正确的是 .(填上所有正确命题的序号) ①数列{}:n x -2,2具有性质P ; ②数列{}n y :-2,-1,1,3具有性质P ;
③若数列{}n x 具有性质P ,则{}n x 中一定存在两项,i j x x ,使得0i j x x +=; ④若数列{}n x 具有性质P ,121,0x x =->且1(3)n x n >≥,则21x =.
(2)若数列{}n x 只有2014项且具有性质13,1,2P x x =-=,则{}n x 的所有项和2014S = . 【知识点】；．本题考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
【答案解析】（1）①③④ （2）2013
2
2-
【思路点拨】利用数列{a n }具有性质P 的概念，对数列{x n }：-2，2与数列{y n }：-2，-1，1，3分析判断即可；取A 1（x i ，x i ），数列{x n }具有性质P ，故存在点A 2（x i ，x j ）使得OA 1⊥OA 2，利用向量的坐标运算整理即可证得x i +x j =0；数列{x n }中一定存在两项x i ，x j 使得x i +x j =0；数列{x n }是单调递增数列且x 2＞0，1为数列{x n }中的一项，通过反证法可证得x 2=1；若数列{x n }只有2014项且具有性质P ，可得x 4=4，x 5=8，猜想数列{x n }从第二项起是公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可．
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知ABC ∆的三内角分别为,,,3
A B C B π
=
,向量(1cos2,2sin ),A C =+-m (tan ,A =n
cos )C ,记函数()f A =⋅m n .
(Ⅰ)若()0,2f A b ==,求ABC ∆的面积;
(Ⅱ)若关于A 的方程()f A k =有两个不同的实数解,求实数k 的取值范围.
【知识点】向量的数量积运算、辅助角公式的应用，利用图形判断方程解的情况。

【答案解析】(Ⅰ)由()(1cos2)tan 2sin cos ,f A A A C C =⋅=+-m n 即2()2cos tan 2sin cos sin 2sin 2f A A A C C A C =⋅-⋅=-,
又因为23A C π+=,所以23
C A π=-代入上式得, 41
()s i n 2s i n 2s i n 2s i n (2)s i n 2c o s 2s i n (2)
32
2
3
f A A C A A
A
A A ππ
=-=--=+=+ 由()0f A =,得sin(2)03
A π
+=,
又20,32A A ππ<<
≠且,所以52333A πππ<+<
,且4233
A ππ
+≠………………………5分 也所以23A π
π+
=,即3A π
=
,从而ABC ∆为正三角形,
所以2
ABC S ∆8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知()sin(2)3f A A π=+,令4452,(,)(,)33333
x A x πππππ
=+∈,
则方程()f A k =有两个不同的实数解等价于sin k x =在445(,)(,)3333
x ππππ
∈上有两上
不同实根,作出445sin ,(,)(,)
3333y x x ππππ
=
∈草图如右, 1k <<或1k -<<时,直线y
k =与曲线 s i n y x =有两个交点,符合题意,故实数k 的取值范围为 3
(1,(,1)k ∈-.…………………………………………………………………12分 【思路点拨】熟练应用辅助角公式，正确画出函数的图象，利用数形结合解决问题。

18. (本小题满分12分)
甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是
35
,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.
【知识点】概率问题，分布列、数学期望、独立重复试验。

【答案解析】(Ⅰ)设乙答题所得分数为X ,则X 的可能取值为15,0,15,30-.…………………1分
且311
55533101015
(15),(0),1212
C C C P X P X C C =-=====
21
35553310105
1(15),(30)1212
C C C P X P X C C ======………5分
乙的得分的分布列如右表,且1510515530115
()122
E X -⨯+⨯+⨯+⨯=
=……………8分
(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对2题才能入选, 记甲、乙入选的
事件分别为,A B ,则由(Ⅰ)知,511
()12122
P B =+=,
又甲回答3题可以视为独立重复试验,故223332381
()()()555125P A C =+=,
于是甲、乙至少有一人入选的概率441103
1()11252125
P P A B =-⋅=-⨯=
………………12分 【思路点拨】（1）求出X 的可能取值，并求出其概率，即可得到分布列。

（2）是独立重复试验问题。

利用对立事件求解。

19. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD , //,AD BC AD CD ⊥,
且2AD CD BC PA ====,
点M 在PD 上.
(Ⅰ)求证:AB PC ⊥;
(Ⅱ)若二面角M AC D --的大小为
45,求BM 与平面
PAC 所成角的正弦值.
【知识点】空间线面的位置关系、二面角的大小。

X -15 0 15 30
P
112 512 512 112
A
B
C
D
M
P
【答案解析】(Ⅰ)如图,设E 为BC 的中点,连结AE ,
则,//AD EC AD EC =,所以四边形AECD 为平行四边形, 故AE BC ⊥,
又AE BE EC === 所以45ABC ACB ∠=∠=,故AB AC ⊥, 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以AB PA ⊥,
且PA AC A =,所以AB ⊥平面PAC ,故有AB PC ⊥…………………………………5分 (Ⅱ)如图,以A 为原点,分别以射线,,AE AD AP
为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系A xyz -.
则(0,0,0),(0,(0,0,2)A E B C D P -,
设,2)(01)PM PD λλλ==-≤≤,
易得,22)M λ-,
设平面AMC 的一个法向量为1(,,)x y z =n ,
则11220
22(22)
AC AM y z λ⎧
⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩n
n ,
令y =得21t x z t ==
-,
即12()1
t
t =-n . 又平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)=n ,
由题知1212122|
|
|||cos ,|cos45||||
λ
⋅<>
===⨯n n n n n n ,解得12λ
=,
即(M BM =-,
而AB =-是平面PAC 的一个法向量, 设平面BM 与平面PAC 所成的角为θ,则
sin |cos ,|BM AB θ=<>=. 故直线BM 与平面PAC .…………………………………12分 【思路点拨】（1）熟练应用线面平行、垂直的判定定理和性质定理是解此类问题的关键。

（2）建立平面直角坐标系，用空间向量求出各面的法向量求解。

20. (本小题满分13分) 如图,矩形ABCD 是一个观光区的平面示意图,建立平面直角 坐标系,使顶点A 在坐标原点,O B D 、分别为x 轴、y 轴,3AD = (百米),AB a =(百米)(34a ≤<)观光区中间叶形阴影部分MN 是
一个人工湖,它的左下方边缘曲线是函数2
(12)y x x
=≤≤的图象的
一段.为了便于游客观光,拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直 路(宽度不计),要求其与人工湖左下方边缘曲线段MPN 相切(切点 记为P ),并把该观光区分为两部分,且直线l 左下部分建设为花圃. 记点P 到AD 的距离为,()t f t 表示花圃的面积
.
(Ⅰ)求花圃面积()f t 的表达式; (Ⅱ)求()f t 的最小值.
【知识点】分段函数、利用导数研究函数的切线方程、判断单调性、求最值。

【答案解析】(Ⅰ)由题意可设2(,),12P t t t ≤≤,又因22
y x
'=-
,所以过点P 的切线方程为 222()y x t t t -
=--,即224
(2)y x i t t t
=-+≤≤, 切线l 与x 轴交于点(2,0)F t ,与y 轴交于点4(0,)E t ,
①当2,43,1t a t
t ≤⎧⎪⎪
≤⎨⎪≤≤2
⎪⎩,即432a t ≤≤时,切线左下方区域为直角三角形.
所以14
()242f t t t
=
⨯=; ②当2,43,1t a t
t >⎧⎪⎪
≤⎨⎪≤≤2
⎪⎩,即2a t <≤2时,切线左下方区域为直角梯形.
所以2
22
14424()()2t a at a f t a t t t --=+=
; ③当2,
43,1t a t
t ≤⎧⎪⎪
>⎨⎪≤≤2
⎪⎩,即413t ≤<时,切线左下方区域为直角梯形.
所以2
2
1439()(2)36224
t t t
f t t t -=+⨯=-
; 综上有,22
2
946,1,434()4,,324,2t t t a f t t at a a
t t ⎧-≤<⎪⎪
⎪
=≤≤⎨⎪
⎪-<≤2⎪⎩…………………………………………………………7分
(Ⅱ)①当4
13
t ≤<时,22994()6()4443t f t t t =-=--+,当1t =时,min 15()44f t =<;
②当22
a
t <≤时,22442(2)(),()0at t at a t f t f t t t --'==<,
所以()f t 在(,2]2
a
上递减,所以2min ()(2)244a f t f a ==-<,
下面比较224a a -与154
的大小,由于2215815(3)(5)
(2)04444a a a a a a -+----==≤
,
所以可知min 15
()4
f t =
即求.………………………………………………………………13分 【思路点拨】解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．
21.(本小题满分13分)
已知12,F F 分另为椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的
上、下焦点,1F 是抛物线2
2:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点, 且15
||.3
MF = (Ⅰ)求椭圆1C 的方程;
(Ⅱ)与圆22(1)1x y ++=相切的直线:(),0l y k x t kt =+≠交椭1C 于,A B ,若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=,求实数λ的取值范围.
【知识点】考查椭圆、抛物线的基本量运算，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系其中还糅合着函数值域的求法。

【答案解析】(Ⅰ)由题知1(0,1)F ,所以221a b -=, 又由抛物线定义可知1513M MF y =+=
,得23
M y =,
于是易知2
()3
M ,
从而273MF ==, 由椭圆定义知1224a MF MF =+=,得2a =,故23b =,
从而椭圆的方程为22
134
x y +=……………………………………………………………6分
(Ⅱ)设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则由OA OB OP λ+=知, 1201
2,x x x y y y λλ
+=+=,且22
00134
x y +=,……①
又直线:(),0l y k x t kt =+≠与圆22(1)1x y ++=相切,
1=,
由0k ≠,可得2
2(1,0)1t
k t t t =
≠±≠-……② 又联立22
(),
4312,
y k x t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得22222(43)63120k x k tx k t +++-=
且0∆>恒成立,且222121222
6312,4343k t k t x x x x k k -+=-=++, 所以12122
8()243kt y y k x x kt k +=++=+,所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++…………8分 代入①式得422222222212161(43)(43)k t k t k k λλ+=++,所以22
22443k t k
λ=+ 又将②式代入得,22224
,0,11()1t t t t
λ=≠≠±1++,……………………………………10分 易知2222221111()11,()13t t t t ++>++≠且,所以244(0,)(,4)33
λ∈,
所以λ的取值范围为{|22,0,λλλλ-<<≠≠且且…………………………13分 【思路点拨】（1）运用抛物线和椭圆的定义解题；（2）利用直线和圆相切得到k 和t 的关系，在联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系得到P 坐标，带入椭圆方程，再分离变量求函数的值域。

22.(本小题满分13分) 设x a =和x b =是函数21()ln (2)2
f x x x m x =+-+的两个极值点,其中,a b m R <∈. (Ⅰ)求()()f a f b +
的取值范围;
(Ⅱ)
若2(m e ≥-为自然对数的底数),求()()f b f a -的最大值. 【知识点】利用导数研究函数的极值问题，考查运算求解能力、等价转化能力、函数与方程的思想，考查分析问题和解决问题的能力。

【答案解析】(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1'()(2)x m x f x x m x x
-++=+-+=. 依题意,方程2(2)10x m x -++=有两个不等的正根,()a b a b <, 故有2(2)40,20m m +->⎧⎨+>⎩
,解得0m >,且2,1a b m ab +=+=, 所以221()()ln ()(2)()2f a f b ab a b m a b +=++-++,
22211[()2](2)(2)122a b ab m m =+--+=-+-，
又21
0,(2)132
m m >-+-<-,所以()()f a f b +的取值范围是(,3)-∞-.……………6分 (Ⅱ)由221()()ln
()(2)()2b f b f a b a m b a a -=+--+-,221ln ()()()2
b b a b a b a a =+--+- 2222111ln ()ln ln ()222b b b a b b a b a a a ab a a b -=--=-=--
令1b t a =>,所以11()()()ln ()2f b f a g t t t t
-==--,
又因为2122(2)2m m m e
e ≥-⇔+≥⇔+≥++, 所以221()111()2222a b a b e e t e e ab e t e
++≥++⇔≥++⇔++≥++,可化为 ()(1)0t e te te --≥,因为1te e >>,所以得t e ≥,求11()ln ()2g t t t t
=--在t e ≥上最大值, 由2
22
111(1)()(1)022t g t t t t -'=-+=-<,所以()g t 在[,e +∞)上递减, 所以1()()122e g t g e e ≤=-+,故()()f b f a -的最大值为1122e e
-+.…………………13分 【思路点拨】（1）函数的极值点问题通常都转化为导数值为0来解决。

（2）构造函数。

把所求问题进行适当的转化，转化为大家熟悉的知识上来。