2018-2019学度北京海淀区高一上年末数学试卷(含解析解析).doc.doc

2018-2019学度北京海淀区高一上年末数学试卷（含解析解析）
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

一.选择题〔每题4分，共32分，每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的〕
1、〔4分〕集合U＝｛1，2，3，4，5，6｝，M＝｛1，5｝，P＝｛2，4｝，那么以下结论正确的选项是〔〕
A、1∈∁
U 〔M∪P〕B、2∈∁
U
〔M∪P〕C、3∈∁
U
〔M∪P〕D、6∉∁
U
〔M∪P〕
2、〔4分〕以下函数在区间〔﹣∞，0〕上是增函数的是〔〕
A、f〔x〕＝x2﹣4x
B、g〔x〕＝3x＋1
C、h〔x〕＝3﹣x
D、t〔x〕＝tanx
3、〔4分〕向量＝〔1，3〕，＝〔3，t〕，假设∥，那么实数t的值为〔〕
A、﹣9
B、﹣1
C、1
D、9
4、〔4分〕以下函数中，对于任意的x∈R，满足条件f〔x〕＋f〔﹣x〕＝0的函数是〔〕
A、f〔x〕＝x
B、f〔x〕＝sinx
C、f〔x〕＝cosx
D、f〔x〕＝log
2
〔x2＋1〕
5、〔4分〕代数式sin〔＋〕＋cos〔﹣〕的值为〔〕
A、﹣1
B、0
C、1
D、
6、〔4分〕在边长为1的正方形ABCD中，向量＝，＝，那么向量，
的夹角为〔〕
A、B、C、D、
7、〔4分〕如果函数f〔x〕＝3sin〔2x＋φ〕的图象关于点〔，0〕成中心对称〔｜φ｜《〕，那么函数f〔x〕图象的一条对称轴是〔〕
A、x＝﹣
B、x＝
C、x＝
D、x＝
8、〔4分〕函数f〔x〕＝其中M∪P＝R，那么以下结论中一定正确的
选项是〔〕
A、函数f〔x〕一定存在最大值
B、函数f〔x〕一定存在最小值
C、函数f〔x〕一定不存在最大值
D、函数f〔x〕一定不存在最小值
二.填空题〔本大题6小题，每题4分，共24分〕
9、〔4分〕函数y＝的定义域为、
4，那么a，b，c从小到大的排列为、10、〔4分〕a＝40.5，b＝0.54，c＝log
0.5
11、〔4分〕角α终边上有一点P〔x，1〕，且cosα＝﹣，那么tanα＝、
12、〔4分〕△ABC中，点A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，C〔x，1〕
〔i〕假设∠ACB是直角，那么x＝
〔ii〕假设△ABC是锐角三角形，那么x的取值范围是、
13、〔4分〕燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v＝alog
、假设两岁燕子耗氧量
2
达到40个单位时，其飞行速度为v＝10m／s，那么两岁燕子飞行速度为25m／s 时，耗氧量达到单位、
14、〔4分〕函数f〔x〕＝｜ax﹣1｜﹣〔a﹣1〕x
〔1〕当a＝时，满足不等式f〔x〕》1的x的取值范围为；
〔2〕假设函数f〔x〕的图象与x轴没有交点，那么实数a的取值范围为、
三.解答题〔本大题共4小题，共44分〕
15、〔12分〕函数f〔x〕＝x2＋bx＋c，其对称轴为y轴〔其中b，c为常数〕〔Ⅰ〕求实数b的值；
〔Ⅱ〕记函数g〔x〕＝f〔x〕﹣2，假设函数g〔x〕有两个不同的零点，求实数c的取值范围；
〔Ⅲ〕求证：不等式f〔c2＋1〕》f〔c〕对任意c∈R成立、
16、〔12分〕如表为“五点法”绘制函数f〔x〕＝Asin〔ωx＋φ〕图象时的五
，｜φ｜《π〕
〔Ⅱ〕求函数f〔x〕的单调递减区间；
〔Ⅲ〕求函数f〔x〕在区间【0，】上的取值范围、
17、〔10分〕如图，在平面直角坐标系中，点A〔﹣，0〕，B〔，0〕，锐角α的终边与单位圆O交于点P、
〔Ⅰ〕用α的三角函数表示点P的坐标；
〔Ⅱ〕当•＝﹣时，求α的值；
〔Ⅲ〕在x轴上是否存在定点M，使得｜｜＝｜｜恒成立？假设存在，求出点M的横坐标；假设不存在，请说明理由、
18、〔10分〕函数f〔x〕的定义域为R，假设存在常数T≠0，使得f〔x〕＝Tf 〔x＋T〕对任意的x∈R成立，那么称函数f〔x〕是Ω函数、
〔Ⅰ〕判断函数f〔x〕＝x，g〔x〕＝sinπx是否是Ω函数；〔只需写出结论〕〔Ⅱ〕说明：请在〔i〕、〔ii〕问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择〔i〕计分
〔i〕求证：假设函数f〔x〕是Ω函数，且f〔x〕是偶函数，那么f〔x〕是周期函数；
〔ii〕求证：假设函数f〔x〕是Ω函数，且f〔x〕是奇函数，那么f〔x〕是周期函数；
〔Ⅲ〕求证：当a》1时，函数f〔x〕＝a x一定是Ω函数、
选做题〔此题总分值10分〕
19、〔10分〕记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V〔，
〕＝｜x∈V｜x•＝x•｜
〔1〕请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V〔，〕中的三个元素；〔2〕请根据你在〔1〕中写出的三个元素，猜想集合V〔，〕中元素的关系，并试着给出证明；
〔3〕假设V〔，〕＝V〔，〕，其中≠，求证：一定存在实数λ
1，λ
2
，
且λ
1＋λ
2
＝1，使得＝λ
1
＋λ
2
、
2016－2017学年北京市海淀区高一〔上〕期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题〔每题4分，共32分，每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的〕
1、〔4分〕集合U＝｛1，2，3，4，5，6｝，M＝｛1，5｝，P＝｛2，4｝，那么以下结论正确的选项是〔〕
A、1∈∁
U 〔M∪P〕B、2∈∁
U
〔M∪P〕C、3∈∁
U
〔M∪P〕D、6∉∁
U
〔M∪P〕
【解答】解：由得到M∪P＝｛1，5，2，4｝；所以∁
U
〔M∪P〕＝｛3，6｝；故A、B、D错误；
应选：C、
2、〔4分〕以下函数在区间〔﹣∞，0〕上是增函数的是〔〕
A、f〔x〕＝x2﹣4x
B、g〔x〕＝3x＋1
C、h〔x〕＝3﹣x
D、t〔x〕＝tanx
【解答】解：对于A，f〔x〕＝x2﹣4x＝〔x﹣2〕2﹣4，在〔﹣∞，0〕上是单调减函数，不满足题意；
对于B，g〔x〕＝3x＋1在〔﹣∞，0〕上是单调增函数，满足题意；
对于C，h〔x〕＝3﹣x＝是〔﹣∞，0〕上的单调减函数，不满足题意；
对于D，t〔x〕＝tanx在区间〔﹣∞，0〕上是周期函数，不是单调函数，不满足题意、
应选：B、
3、〔4分〕向量＝〔1，3〕，＝〔3，t〕，假设∥，那么实数t的值为〔〕
A、﹣9
B、﹣1
C、1
D、9
【解答】解：向量＝〔1，3〕，＝〔3，t〕，假设∥，
可得t＝9、
应选：D、
4、〔4分〕以下函数中，对于任意的x∈R，满足条件f〔x〕＋f〔﹣x〕＝0的函数是〔〕
A、f〔x〕＝x
B、f〔x〕＝sinx
C、f〔x〕＝cosx
D、f〔x〕＝log
2
〔x2＋1〕
【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f〔x〕＋f〔﹣x〕＝0的函数是奇函数、
A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，
应选B、
5、〔4分〕代数式sin〔＋〕＋cos〔﹣〕的值为〔〕
A、﹣1
B、0
C、1
D、
【解答】解：sin〔＋〕＋cos〔﹣〕＝、
应选：C、
6、〔4分〕在边长为1的正方形ABCD中，向量＝，＝，那么向量，
的夹角为〔〕
A、B、C、D、
【解答】解：设向量，的夹角为θ，
以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，
∴A〔0，0〕，B〔1.0〕，C〔1，1〕，D〔0，1〕，
∵向量＝，＝，
∴E〔，1〕，F〔1，〕，
∴＝〔，1〕，＝〔1，〕，
∴｜｜＝，＝，•＝＋＝，
∴cosθ＝＝＝，
∴θ＝，
应选：B
7、〔4分〕如果函数f〔x〕＝3sin〔2x＋φ〕的图象关于点〔，0〕成中心对称〔｜φ｜《〕，那么函数f〔x〕图象的一条对称轴是〔〕
A、x＝﹣
B、x＝
C、x＝
D、x＝
【解答】解：∵函数f〔x〕＝3sin〔2x＋φ〕的图象关于点〔，0〕成中心对称，
∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，解得：φ＝kπ﹣，k∈Z，
∵｜φ｜《，
∴φ＝，可得：f〔x〕＝3sin〔2x＋〕，
∴令2x＋＝kπ＋，k∈Z，可得：x＝＋，k∈Z，
∴当k＝0时，可得函数的对称轴为x＝、
应选：B、
8、〔4分〕函数f〔x〕＝其中M∪P＝R，那么以下结论中一定正确的
选项是〔〕
A、函数f〔x〕一定存在最大值
B、函数f〔x〕一定存在最小值
C、函数f〔x〕一定不存在最大值
D、函数f〔x〕一定不存在最小值
【解答】解：由函数y＝2x的值域为〔0，＋∞〕，
y＝x2的值域为【0，＋∞〕，
且M∪P＝R，
假设M＝〔0，＋∞〕，P＝〔﹣∞，0】，
那么f〔x〕的最小值为0，故D错；
假设M＝〔﹣∞，2〕，P＝【2，＋∞〕，
那么f〔x〕无最小值为，故B错；
由M∪P＝R，可得图象无限上升，
那么f〔x〕无最大值、
应选：C、
二.填空题〔本大题6小题，每题4分，共24分〕
9、〔4分〕函数y＝的定义域为【2，＋∞〕、
【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，那么x≥2、
∴函数y＝的定义域为【2，＋∞〕、
故答案为：【2，＋∞〕、
10、〔4分〕a＝40.5，b＝0.54，c＝log
0.5
4，那么a，b，c从小到大的排列为c《b 《a、
【解答】解：∵a＝40.5》40＝1，
0《b＝0.54《0.50＝1，
c＝log
0.54《log
0.5
1＝0，
∴a，b，c从小到大的排列为c《b《A、
故答案为：c《b《A、
11、〔4分〕角α终边上有一点P〔x，1〕，且cosα＝﹣，那么tanα＝﹣、【解答】解：∵角α终边上有一点P〔x，1〕，且cosα＝﹣＝，∴x＝
﹣，∴tanα＝＝﹣，
故答案为：﹣、
12、〔4分〕△ABC中，点A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，C〔x，1〕
〔i〕假设∠ACB是直角，那么x＝
〔ii〕假设△ABC是锐角三角形，那么x的取值范围是〔﹣2，﹣〕∪〔2，＋
∞〕、
【解答】解：〔i〕∵△ABC中，点A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，C〔x，1〕，
∴＝〔﹣2﹣x，﹣1〕，＝〔2﹣x，﹣1〕，
∵∠ACB是直角，
∴＝〔﹣2﹣x〕〔2﹣x〕＋〔﹣1〕〔﹣1〕＝x2﹣3＝0，
解得x＝、
〔ii〕∵△ABC中，点A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，C〔x，1〕，
∴＝〔﹣2﹣x，﹣1〕，＝〔2﹣x，﹣1〕，＝〔x＋2，1〕，＝〔4，0〕，
＝〔x﹣2，1〕，＝〔﹣4，0〕，
∵△ABC是锐角三角形，
∴，解得﹣2《x《﹣或x》2、
∴x的取值范围是〔﹣2，﹣〕∪〔2，＋∞〕、
故答案为：，〔﹣2，﹣〕∪〔2，＋∞〕、
13、〔4分〕燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v＝alog
、假设两岁燕子耗氧量
2
达到40个单位时，其飞行速度为v＝10m／s，那么两岁燕子飞行速度为25m／s 时，耗氧量达到320单位、
【解答】解：由题意，令x＝40，v＝10
10＝alog
4；所以a＝5；
2
v＝25m／s，25＝5log，得到x＝320单位、
故答案为：320、
14、〔4分〕函数f〔x〕＝｜ax﹣1｜﹣〔a﹣1〕x
〔1〕当a＝时，满足不等式f〔x〕》1的x的取值范围为〔2，＋∞〕；
〔2〕假设函数f〔x〕的图象与x轴没有交点，那么实数a的取值范围为【，1〕、【解答】解：〔1〕a＝时，f〔x〕＝｜x﹣1｜＋x＝，
∵f〔x〕》1，
∴，
解得x》2，
故x的取值范围为〔2，＋∞〕，
〔2〕函数f〔x〕的图象与x轴没有交点，
①当a≥1时，f〔x〕＝｜ax﹣1｜与g〔x〕＝〔a﹣1〕x的图象：
两函数的图象恒有交点，
②当0《a《1时，f〔x〕＝｜ax﹣1｜与g〔x〕＝〔a﹣1〕x的图象：
要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，
∴a≥，故≤≤a《1
③当a≤0时，f〔x〕＝｜ax﹣1｜与g〔x〕＝〔a﹣1〕x的图象：
两函数的图象恒有交点，
综上①②③知：≤a《1
故答案为：〔2，＋∞〕，【，1〕
三.解答题〔本大题共4小题，共44分〕
15、〔12分〕函数f〔x〕＝x2＋bx＋c，其对称轴为y轴〔其中b，c为常数〕〔Ⅰ〕求实数b的值；
〔Ⅱ〕记函数g〔x〕＝f〔x〕﹣2，假设函数g〔x〕有两个不同的零点，求实数c的取值范围；
〔Ⅲ〕求证：不等式f〔c2＋1〕》f〔c〕对任意c∈R成立、
【解答】解：〔Ⅰ〕∵函数f〔x〕＝x2＋bx＋c，其对称轴为y轴，
∴＝0，
解得：b＝0；
〔Ⅱ〕由〔I〕得：f〔x〕＝x2＋c，
那么g〔x〕＝f〔x〕﹣2＝x2＋c﹣2，
假设函数g〔x〕有两个不同的零点，
那么△＝﹣4〔c﹣2〕》0，
解得：c《2；
〔Ⅲ〕证明：函数f〔x〕＝x2＋c的开口朝上，
∵｜c2＋1｜2﹣｜c｜2＝c4＋c2＋1＝〔c2＋〕2＋》0恒成立，
故｜c2＋1｜》｜c｜，
故不等式f〔c2＋1〕》f〔c〕对任意c∈R成立、
16、〔12分〕如表为“五点法”绘制函数f〔x〕＝Asin〔ωx＋φ〕图象时的五
，｜φ｜《π〕
〔Ⅱ〕求函数f〔x〕的单调递减区间；
〔Ⅲ〕求函数f〔x〕在区间【0，】上的取值范围、
【解答】解：〔Ⅰ〕由表格可得A＝2，＝＋，∴ω＝2，结合五点法作图可得2•＋φ＝，∴φ＝，
∴f〔x〕＝2sin〔2x＋〕，它的最小正周期为＝π、
〔Ⅱ〕令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，求得kπ＋≤x≤kπ＋，
可得函数f〔x〕的单调递减区间为【kπ＋，kπ＋】，k∈Z、
〔Ⅲ〕在区间【0，】上，2x＋∈【，】，sin〔2x＋〕∈【﹣，
1】，f〔x〕∈【﹣，2】，
即函数f〔x〕的值域为【﹣，2】、
17、〔10分〕如图，在平面直角坐标系中，点A〔﹣，0〕，B〔，0〕，锐角α
的终边与单位圆O交于点P、
〔Ⅰ〕用α的三角函数表示点P的坐标；
〔Ⅱ〕当•＝﹣时，求α的值；
〔Ⅲ〕在x轴上是否存在定点M，使得｜｜＝｜｜恒成立？假设存在，求出点M的横坐标；假设不存在，请说明理由、
【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P、
〔Ⅰ〕用α的三角函数表示点P的坐标为〔cosα，sinα〕；
〔Ⅱ〕，，•＝﹣时，
即〔cos〕〔cos〕＋sin2α＝，整理得到cos，所以锐角α＝
60°；
〔Ⅲ〕在x轴上假设存在定点M，设M〔x，0〕，，
那么由｜｜＝｜｜恒成立，得到＝，整理得
2cosα〔2＋x〕＝x2﹣4，
所以存在x＝﹣2时等式恒成立，所以存在M〔﹣2，0〕、
18、〔10分〕函数f〔x〕的定义域为R，假设存在常数T≠0，使得f〔x〕＝Tf 〔x＋T〕对任意的x∈R成立，那么称函数f〔x〕是Ω函数、
〔Ⅰ〕判断函数f〔x〕＝x，g〔x〕＝sinπx是否是Ω函数；〔只需写出结论〕〔Ⅱ〕说明：请在〔i〕、〔ii〕问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择〔i〕计分
〔i〕求证：假设函数f〔x〕是Ω函数，且f〔x〕是偶函数，那么f〔x〕是周期函数；
〔ii〕求证：假设函数f〔x〕是Ω函数，且f〔x〕是奇函数，那么f〔x〕是周期函数；
〔Ⅲ〕求证：当a》1时，函数f〔x〕＝a x一定是Ω函数、
【解答】解：〔I〕①对于函数f〔x〕＝x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf〔x ＋T〕＝f〔x〕，那么T〔x＋T〕＝x，取x＝0时，那么T＝0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f〔x〕＝x不是Ω函数、
②对于g〔x〕＝sinπx是Ω函数，令T＝﹣1，那么sin〔πx﹣π〕＝﹣sin〔π﹣πx〕＝﹣sinπx、即﹣sin〔π〔x﹣1〕〕＝sinπx、
∴Tsin〔πx＋πT〕＝sinπx成立，即函数f〔x〕＝sinπx对任意x∈R，有Tf〔x＋T〕＝f〔x〕成立、
〔II〕〔i〕证明：∵函数f〔x〕是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf〔x＋T〕＝f 〔x〕，Tf〔﹣x＋T〕＝f〔﹣x〕、
又f〔x〕是偶函数，∴f〔﹣x〕＝f〔x〕，∴Tf〔﹣x＋T〕＝Tf〔x＋T〕，T≠0，化为：f〔x＋T〕＝f〔﹣x＋T〕，
令x﹣T＝t，那么x＝T＋t，∴f〔2T＋t〕＝f〔﹣t〕＝f〔t〕，可得：f〔2T＋t〕＝f〔t〕，因此函数f〔x〕是周期为2T的周期函数、
〔ii〕证明：∵函数f〔x〕是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf〔x＋T〕＝f〔x〕，Tf〔﹣x＋T〕＝f〔﹣x〕、
又f〔x〕是奇函数，∴f〔﹣x〕＝﹣f〔x〕，∴﹣Tf〔x＋T〕＝Tf〔﹣x＋T〕，T ≠0，化为：﹣f〔x＋T〕＝f〔﹣x＋T〕，
令x﹣T＝t，那么x＝T＋t，∴﹣f〔2T＋t〕＝f〔﹣t〕＝﹣f〔t〕，可得：f〔2T ＋t〕＝f〔t〕，因此函数f〔x〕是周期为2T的周期函数、
〔III〕证明：当a》1时，假设函数f〔x〕＝a x是Ω函数，那么存在非零常数T，
Tf〔x＋T〕＝f〔x〕，
∴Ta x＋T＝a x，化为：Ta T a x＝a x，∵a x》0，∴Ta T＝1，即a T＝，此方程有非0的
实数根，因此T≠0且存在，
∴当a》1时，函数f〔x〕＝a x一定是Ω函数、
选做题〔此题总分值10分〕
19、〔10分〕记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V〔，
〕＝｜x∈V｜x•＝x•｜
〔1〕请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V〔，〕中的三个元素；〔2〕请根据你在〔1〕中写出的三个元素，猜想集合V〔，〕中元素的关系，并试着给出证明；
〔3〕假设V〔，〕＝V〔，〕，其中≠，求证：一定存在实数λ
1，λ
2
，
且λ
1＋λ
2
＝1，使得＝λ
1
＋λ
2
、
【解答】解：〔1〕比如＝〔1，2〕，＝〔3，4〕，设＝〔x，y〕，由•＝•，可得x＋2y＝3x＋4y，
即为x＋y＝0，
那么集合V〔，〕中的三个元素为〔1，﹣1〕，〔2，﹣2〕，〔3，﹣3〕；〔2〕由〔1〕可得这些向量共线、
理由：设＝〔s，t〕，＝〔a，b〕，＝〔c，d〕，
由•＝•，可得as＋bt＝cs＋dt，
即有s＝t，
即＝〔t，t〕，
故集合V〔，〕中元素的关系为共线；
〔3〕证明：设＝〔s，t〕，＝〔a，b〕，＝〔c，d〕，
＝〔u，v〕，＝〔e，f〕，
假设V〔，〕＝V〔，〕，
即有as＋bt＝cs＋dt，au＋bv＝ue＋fv，解得a＝•c＋•e＋，
可令d＝f，可得λ
1
＝，
λ2＝，
那么一定存在实数λ
1，λ
2
，且λ
1
＋λ
2
＝1，使得＝λ
1
＋λ
2
、。