函数的单调性与极值3理

所以,函数 f ( x)在x0 处取得极大值
例2 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
解
f
(
x)


2
(
x

1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
五、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
单减区间为_____________.
二、 确定下列函数的单调区间：
1、
y

4x3

10 9x2

；
6x
2、 y 3 (2 x a)(a x)2 (a 0)；
3、 y x sin 2x .
三、证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2 x x 2 ； 3、若 x 0，则sin x x 1 x 3. 64 Βιβλιοθήκη 1)02
2
当 x 1 时， f ( x) 1 0 2k
注意 k可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻 域内，f ( x) 都不单调递增．
思考题2解答
不正确．
例
f
(
x)

2

x2(2

sin
1 ), x
x0
2,
x0
当x 0时， f ( x)
f (0)
(4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
例2 确定函数 f ( x) 2x 3 9x 2
12x 3的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少；
1 x f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0,
在[0,)上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
三、函数极值的定义
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
f (2) 18 0, 故极小值 f (2) 48. f ( x) x3 3x2 24x 20 图形如下
M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处不一定取极值, 仍用定理2.
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
2
例3 求出函数 f ( x) 1 ( x 2)3的极值.
f ( x)
0

0

极
极
f (x)
大

值
小 值

极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
f ( x) x3 3x2 9x 5图形如下
M
m
定理3(第二充分条件)设 f ( x)在x0 处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值.
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y



o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y

y

o
x0
xo
求极值的步骤:

x0
x
(不是极值点情形)
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
思考题1解答
不能断定.
例
f
(x)

x

2 x2 sin
1, x
x0
0,
x0
f
(0)

lim (1
x0

2

x

sin
1 x
)

1

0
但 f ( x) 1 4x sin 1 2cos 1 , x 0
x
x
当
x

(2k
1
1)
时，
f
(
x)

1

(2k
第三节 函数的单调性及极值
Function monotony and extreme value
• 一、单调性的判别法 • 二、单调区间求法 • 三、函数极值的定义 • 四、函数极值的求法 • 五、小结 思考题
一、单调性的判别法
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
故命题不成立．
练 习 题1
一、填空题：
1、函数 y 2x 3 6x 2 18x 7 单调区间为________
_____________.
2、函数
y

1
2x x
2
在区间[-1,1]上单调________，
在_________上单调减.
3、函数 y x 2 ln x 2 的单调区间为____________，
但函数的驻点却不一定是极值点. 例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
y 3 x2
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]， [0,).
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加. 例4 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
x2(2 sin 1 ) 0 x
于是x 0为 f ( x)的极小值点
当x 0时，
f ( x) 2x(2 sin 1 ) cos 1
x
x
当 x 0时，
2x(2 sin 1 ) 0, x
cos
1 x
在–1和1之间振荡
因而 f ( x)在x 0的两侧都不单调.
1 x2 ；
四、方程 ln x ax (a 0)有几个实根.
五、设 f ( x)在[a, b ]上连续，在(a, b )内 f ( x) ,试证
明：对于[a, b ]上任意两x1 ，x2 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) [提示：方法（1）
2
2
f ( x) 0， f ( x) 单增；方法（2） f ( x) 0，
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0, 若在(a,b)内，f ( x) 0,
则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
思考题
1、 若 f (0) 0，是否能断定 f ( x)在原点
的充分小的邻域内单调递增？
2、下述命题正确吗？
如果x0 为 f ( x) 的极小值点，那么必存在 x0的某邻域，在此邻域内， f ( x) 在x0 的左侧 下降，而在x0 的右侧上升.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
例1 讨论函数y ex x 1的单调性.
解 y e x 1.又 D : (,).
在(,0)内, y 0,
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
导（. 1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
在[a, b]上单调增加；(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0，
那末函数 y f ( x)在[a, b]上单调减少.
证
(1)

f
( x0 )

lim
x0
f
( x0

x) x

f ( x0 ) 0,
故f ( x0 x) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
四、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,