江苏省辅仁高级中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

江苏省辅仁高级中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，
则直线AB 的斜率为( ) A ．2± B ．2- C ．22 D ．22±
2．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
22n n S λ+=+，则λ的值是( )
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
4．若复数z 满足2
(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）
A ．
54
B 5
C ．
102
D ．
105
5．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A ．134
B ．67
C ．182
D ．108
6．已知实数,x y 满足线性约束条件1
020
x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
，则1y x +的取值范围为（ ）
A ．(-2,-1］
B ．(-1,4］
C ．[-2,4)
D ．[0,4]
7．已知点P 在椭圆τ：22
22x y a b
+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对
称点为Q ，设3
4
PD PQ =
，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A ．
12
B ．
22
C ．
32
D ．
33
8．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3-
B ．6-
C ．4
D ．9
9．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） A 2
B ．
9
8
C ．1
D ．
78
10．函数()sin 3f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3,12⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
11．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )
A ．15π2cm
B ．21π2cm
C ．24π2cm
D ．33π2cm
12．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[
)12,0,x x ∈+∞有
()()1212
0f x f x x x -<-成立，
若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]
1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1
ln6,126e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
B ．1
ln3,126e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
C ．1
ln3,23e ⎡⎤
+
⎢⎥⎣⎦
D ．1
ln6,23e ⎡⎤
+
⎢⎥⎣⎦
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．点(2,1)到直线340x y +=的距离为________
14．已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点(不与M 重合)，若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离ON 的最小值是__________.
15．设变量x ，y 满足约束条件20
24030x y x y y -+≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数2z x y =-的最小值为______．
16．已知{}n a 是等比数列,若2(,2)a a =，3(,3)b a =,且a ∥b ,则
24
35
+a a a a =+______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，四边形ABCD 是边长为3的菱形，DE ⊥平面,,//,3ABCD AB AD AF DE DE AF ⊥=.
（1）求证：AC ⊥平面BDE ；
（2）若BE 与平面ABCD 所成角为60︒，求二面角F BE D --的正弦值. 18．（12分）已知函数()x
f x e x =-，()()()ln
g x x k x k x =++-．
（1）若1k =，()()f t g t ''=，求实数t 的值．
（2）若,a b R +∈，()()()()00f a g b f g ab +≥++，求正实数k 的取值范围． 19．（12分）若0,0a b >>,且
11
ab a b
+= （1）求33+a b 的最小值；
（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 20．（12分）已知函数，
．
（Ⅰ）若，求的取值范围； （Ⅱ）若
，对
，
，都有不等式
恒成立，求的取值范围．
21．（12分）如图，90,1,BCD BC CD AB ∠===⊥平面,60,,BCD ADB E F ∠=分别是,AC AD 上的动点，且
AE AF
AC AD
=.
（1）若平面BEF 与平面BCD 的交线为l ，求证：//EF l ；
（2）当平面BEF ⊥平面ACD 时，求平面BEF 与BCD 平面所成的二面角的余弦值.
22．（10分）已知函数
2
14
()log (238)f x mx x m =-+. （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1
[,2]2
上的值域；
（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可． 【详解】
解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，
设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,
22)A ．
则直线AF 的斜率21
k ±==±- 故选：D ． 【点睛】
本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题． 2、B 【解析】
列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值. 【详解】
根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，
执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，
当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =， 由于5a ≥不成立，执行下一次循环，
5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.
故选：B ． 【点睛】
3、C 【解析】
利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】
根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142
a λ
+∴=
, 故当2n ≥时，1
12n n n n a S S --=-=,
数列{}n a 是等比数列, 则11a =，故412
λ
+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】
本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 4、D 【解析】 先化简得31
i,55
z =+再求||z 得解. 【详解】
2i 2i(13i)31
i,13i 1055
z -=
==++
所以||5
z =. 故选：D 【点睛】
本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5、B 【解析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【详解】
解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为
12，
则小正方形的边长为31
22-，小正方形的面积2
3131222S ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
3
1325001500(10.866)5000.134********-
⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯= ⎪ ⎪⨯⎝⎭
，
故选：B. 【点睛】
本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 6、B 【解析】 作出可行域，1
y x
+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值． 【详解】
作出可行域，如图阴影部分（含边界），
1
y x
+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)
410
QA k --=
=-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤．
故选：B ．
【点睛】
本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题
1
y x
+表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．
7、C
设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到22
34a c =，得到答案. 【详解】
设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =
，则11,2y D x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，设()22,B x y ，
则22
112
222
2222
11
x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-， 21212
21212PB
y y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()121112
4PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PB
k k ⋅=-，即2
241b a -=-，故2234a c =
，故e =.
故选：C . 【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 8、B 【解析】
根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由
()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.
【详解】
根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒
则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-
则DC = 则CD AB ⊥
则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目. 9、B 【解析】
首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2
A B π
=-
，再求出3,24B ππ⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭
，最后根据sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
求出sin sin A C +的最大值；
【详解】
解：因为cos sin a A b A =， 所以sin cos sin sin A A B A = 因为sin 0A ≠ 所以cos sin A B =
2
B π
>
2
A B π
∴=-
022
02A B C ππππ⎧
<<⎪⎪
⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛
⎫<--< ⎪⎪
⎝⎭⎩
，3,
24B ππ
⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭，cos 2B ⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭
sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
cos cos2B B =--
22cos cos 1B B =--+
2
192cos 48B ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭
1cos 4B ⎛⎫∴=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时()max 9
sin sin 8A C += 故选：B 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.
10、B 【解析】
首先由[]0,x π∈，可得3
x π
ω-的范围，结合函数()f x 的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数ω的不等式，解
不等式即可求得范围. 【详解】
因为[]0,x π∈，所以,333x π
π
πωωπ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦，若值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
， 所以只需42
3
3π
π
πωπ≤-
≤
，∴5563
ω≤≤. 故选：B
【点睛】
本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 11、C 【解析】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，据此可计算出答案. 【详解】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，
∴该几何体的表面积233524S πππ=⨯+⨯⨯=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键. 12、B 【解析】
结合题意可知()f x 是偶函数,且在[
)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】
结合题意可知()f x 为偶函数,且在[
)0,+∞单调递减,故
()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为
()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤
即02ln 6mx x ≤-≤对[]
1,3x ∈恒成立
即ln 6ln 22x x m m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =
,则()[)1ln '1,x
g x e x
-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1
g x e =
令()()26ln 5ln ,'0x x
h x h x x x
+--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33h x +=.故1
ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦
,故选B. 【点睛】
本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2 【解析】
直接根据点到直线的距离公式即可求出。

【详解】
依据点到直线的距离公式，点(2,1)到直线340x y +=。

【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式的应用。

14、2 【解析】
根据抛物线2
:8C y x =，不妨设(M
m ，取 =y
l k =
，
()
:l y x m -=
-，再根据以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则MF NF ⊥ ，得到
()2:2
NF m l y x =
-，两式联立，求得点N 的轨迹，再求解最值.
【详解】
因为抛物线2:8C y x =，不妨设(),22M m m ，取 2
2=y x ，
所以2
y x
'=
，即2
l k m
=
，
所以
()2
:22l y m x m m
-=
-，
因为以线段MN 为直径的圆恰好经过F ， 所以MF NF ⊥ ， 所以1
222NF MF
m k k m
-=-
=
，
所以()2:222NF m l y x m
-=
-，
由 ()()2222222y m x m m m y x m ⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩
，解得2x =-，
所以点N 在直线 2x =-上，
所以当()2,0N -时， ON 最小，最小值为2. 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15、-8 【解析】
通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线122
z
y x =-在y 轴截距最大的问题，通过图像解决. 【详解】
由题意可得可行域如下图所示：
令122
z
y x =
-，则min z 即为在y 轴截距的最大值
由图可知：
当122
z
y x =
-过()2,3A -时，在y 轴截距最大 min 2238z ∴=--⨯=-
本题正确结果：8- 【点睛】
本题考查线性规划中的z ax by =+型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在y 轴截距的问题. 16、
23
【解析】
若()2,2a a =，()3,3b a =,且a ∥b ,则2332a a =，由{}n a 是等比数列,可知公比为323q 2
a a =
=. 2435+12
3
a a a a q ==+.
故答案为
23
.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析（2239
【解析】
（1）由已知线面垂直得DE AC ⊥，结合菱形对角线垂直，可证得线面垂直；
（2）由已知知,,DA DC DE 两两互相垂直.以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，由已知线面垂直知BE 与平面ABCD 所成角为60DBE ∠=︒，这样可计算出,DE DF 的长，写出各点坐标，求出平面的法向量，由法向量夹角可得二面角． 【详解】
证明：（1）因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC ⊥. 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.
又因为BD DE D ⋂=，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， 所以AC ⊥平面BDE .
解：（2）据题设知，,,DA DC DE 两两互相垂直.以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，
因为BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，所以3DE
DB
=又3,3AD DE AF ==，所以36,6DE AF ==
所以()()((()3,0,0,3,3,0,6,0,0,36,0,3,0A B F E C 所以(
)(0,3,
6,3,0,26BF EF =-=-
设平面BEF 的一个法向量(),,m x y z =，则360
3260
y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令6z =(4,6m =.
因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，且()3,3,0CA =-
所以
()
()2
2
2
2
22
34320613
cos ,13426
330m CA m CA m CA
⨯+-⨯+⋅<>=
=
=
++
⋅+-+，
239
sin ,13
m CA <>=
所以二面角F BE D --239
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，考查用向量法求二面角．立体几何中求空间角常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，这样可减少思维量，把问题转化为计算． 18、（1）1（2）1k
【解析】
（1）求得()f x '和()g x '，由1k =，()()f t g t '='，得()ln 110t
e t -+-=，令()()ln 11t
t e t ϕ=-+-，令导数求
得函数()t ϕ的单调性，利用()()00t ϕϕ≤=，即可求解．
（2）解法一：令()()()()()00h x f x bx g b f g =-+--，利用导数求得()h x 的单调性，转化为()()()
ln 1h x h b ≥+，令()()()()()ln 1ln 1ln t x x k x k x x k k =++-++-（0x >），利用导数得到()t x 的单调性，分类讨论，即可求解． 解法二：可利用导数，先证明不等式，10x e x --≥，1ln x x -≥，ln 10x x x --≤，
令()()()()()00h x g x ax f a f g =-+--（0x >），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】
（1）由题意，得()1x
f x e '=-，()()ln
g x x k ='+，
由1k =，()()f t g t '='…①，得()ln 110t
e t -+-=，
令()()ln 11t
t e t ϕ=-+-，则()11
t t e t ϕ='-
+， 因为()()
2
1
01t
t e t ϕ=+
+'>'，所以()t ϕ'在()1,-+∞单调递增，
又()00ϕ'=，所以当10x -<<时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增； 当0x >时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减；
所以()()00t ϕϕ≤=，当且仅当0t =时等号成立． 故方程①有且仅有唯一解0t =，实数t 的值为1．
（2）解法一：令()()()()()00h x f x bx g b f g =-+--（0x >）， 则()()1x
h x e b ='-+，
所以当()ln 1x b >+时，()0h x '>，()h x 单调递增; 当()0ln 1x b <<+时，()0h x '<，()h x 单调递减;
故()()()
ln 1h x h b ≥+ ()()
()()()()ln 100ln 1f b g b f g b b =++---+
()()()()ln 1ln 1ln b k b k b b k k =++-++-．
令()()()()()ln 1ln 1ln t x x k x k x x k k =++-++-（0x >）， 则()()()ln ln 1t x x k x =+-+'．
（i ）若1k >时，()0t x '>，()t x 在()0,+∞单调递增，
所以()()00t x t >=，满足题意． （ii ）若1k =时，()0t x =，满足题意．
（iii ）若01k <<时，()0t x '<，()t x 在()0,+∞单调递减， 所以()()00t x t <=．不满足题意． 综上述：1k ≥．
解法二：先证明不等式，10x e x --≥，1ln x x -≥，ln 10x x x --≤…（*）． 令()1x
x e x ϕ=--，
则当0x ≥时，()10x
x e ϕ='-≥，()x ϕ单调递增，
当0x ≤时，()10x
x e ϕ='-≤，()x ϕ单调递减，
所以()()00x ϕϕ≥=，即()10x
e x x R --≥∈．
变形得，1x e x ≥+，所以1x >-时，()ln 1x x ≥+， 所以当0x >时，1ln x x -≥. 又由上式得，当0x >时，
11
1ln x x
-≥，1ln x x x -≥-，ln 10x x x --≤. 因此不等式（*）均成立．
令()()()()()00h x g x ax f a f g =-+--（0x >）， 则()()ln h x x k a '=+-，
（i ）若ln a k >时，当a x e k >-时，()0h x '>，()h x 单调递增; 当0a x e k <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减;
故()()
a
h x h e k ≥- ()()
()()()00a
a
g e k a e k f a f g =---+--
()11ln k a k k k =-+--．
（ii ）若0ln a k <≤时，()0h x '≥，()h x 在()0,+∞单调递增， 所以()()()()00h x h f a f >=- 1a e a =--．
因此，①当01k <≤时，此时ln 0k <，ln a k >，()()11ln 0h x k a k k k ≥-+--≥，
则需10,
10,k k klnk -≥⎧⎨
--≥⎩
由（*）知，ln 10k k k --≤，（当且仅当1k =时等号成立），所以1k =． ②当1k >时，此时ln 0k >，0a >，
则当ln a k >时，()()11ln h x k a k k k ≥-+-- ()1ln 1ln k k k k k >-+-- ln 10k k =-+->（由（*）知）
； 当0ln a k <≤时，()10a
h x e a >-->（由（*）知）．故对于任意0a >，()0h x >．
综上述：1k ≥． 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 19、（1）42；（2）不存在. 【解析】 （1）由已知
11
ab a b
+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可求23a b +的最小值为43，而436>，故不存在． 【详解】 （1）由112
ab a b ab
=
+≥，得2ab ≥，且当2a b ==时取等号．
故33+a b 33242a b ≥≥，且当2a b ==时取等号．
所以33+a b 的最小值为42；
（2）由（1）知，232643a b ab +≥≥．
由于436>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立． 【考点定位】 基本不等式． 20、（Ⅰ）；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）由题意不等式化为
，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）由题意把问题转化为，分别求出和，列出不等式求解即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，，
若，则不等式化为，解得；
若，则不等式化为，解得，即不等式无解；
若，则不等式化为，解得，
综上所述，的取值范围是；
（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，
只需，
当时，，，
因为，所以当时，
，
即，解得，
结合，所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.
21、（1）见解析；（2）42 7
【解析】
（1）首先由线面平行的判定定理可得//
EF平面BCD，再由线面平行的性质定理即可得证；
（2）以点B为坐标原点，BD，BA所在的直线分别为,y z轴，以过点B且垂直于BD的直线为x轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【详解】
解：（1）由AE AF
AC AD
=，//
EF CD
∴
又EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，所以//
EF平面BCD. 又EF⊂平面BEF，且平面BCD平面BEF l=，
故//EF l .
（2）因为AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥，又DC BC ⊥，所以DC ⊥平面ABC ， 所以DC BE ⊥，又//EF CD ，所以BE EF ⊥.
若平面BEF ⊥平面ACD ，则BE ⊥平面ACD ，所以BE AC ⊥， 由1BC CD ==且902BCD BD ∠=⇒=，
又60ADB ∠=，所以AB 6=
.
以点B 为坐标原点，BD ，BA 所在的直线分别为,y z 轴，以过点B 且垂直于BD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系，
则6)A ，22
(0,0,0),(
B C ，设(,,)E a a b 则22(,,),(
,,6),(,,6)22
BE a a b AC AE a a b ==-=- 由0//BE AC AC AE ⎧⋅=⎨⎩，可得2260222626a a b a b +=⎪⎪⎨⎪=
⎪-⎩
，32
76a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，即32326()77E ，所以可得626(0,7F ，所以32326626(
,,),(0,77777
BE BF ==， 设平面BEF 的一个法向量为(,,)m x y z =，则
00m BE m BF ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，32326
0776260x y z y z ⎧++=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩
，33030x y z z ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，取23z =，得1,1x y =-=- 所以(1,1,23)m =--
易知平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =， 设平面BEF 与平面BCD 所成的二面角为θ，
则cos (1)m n m n
θ=
=
=
- 结合图形可知平面BEF 与平面BCD . 【点睛】
本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用，利用空间向量法求二面角，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．
22、（Ⅰ）114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（Ⅱ）3,10⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】
（Ⅰ）把1m =代入，可得()
12
2
()log 238f x x x =-+，令2
238y x x =-+，求出其在1[,2]2
上的值域，利用对数函
数的单调性即可求解.
（Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2
()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得
0,34,4(4)0,
m m g >⎧⎪⎪
≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】
（Ⅰ）当1m =时，(
)
12
2
()log 238f x x x =-+，
此时函数()f x 的定义域为1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
因为函数2
238y x x =-+的最小值为2428355
88
⨯⨯-=
. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤
⎢⎥⎣⎦；
（Ⅱ）因为函数
14
log y x =在(0,)+∞上单调递减，
故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,34,4(4)0,
m m
g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.。