(完整word版)全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导：第十三讲联赛训练之平面图形立体图形空间向量

全国高中数学联赛金牌教练员讲座
兰州一中数学组
第十三讲：联赛训练之平面图形立体图形空间向量一, 基础知识导引
＜一＞，直线，平面之间的平行与垂直的证明方法
1,运用定义证明（有时要用反证法）；2,运用平行关系证明；
3,运用垂直关系证明；4,成立空间直角坐标系，运用空间向量证明 .
比如 , 在证明：直线 a 直线 b 时.能够这样考虑
（1） ,运用定义证明直线 a 与b所成的角为 90 0;（2），运用三垂线定理或其逆定理；
⑶，运用若a平面，b，则a b”;（4），运用"若b//c且a c,则a b ”；
v v
（5），成立空间直角坐标系，证明a b 0.
＜二＞，空间中的角和距离的计算
1,求异面直线所成的角
（1） ,（平移法）过P 作a'//a ,b'//b ,则a'与b'的夹角就是 a 与b的夹角；
（2）,证明a b（或a//b）,则a与b的夹角为90°（或00）；
（3）,求v与言所成的角
（［ 0,］），再化为异面直线 a 与b所成的角（（0," ）.
2,求直线与平面所成的角
（1） ,（定义法）若直线a在平面内的射影是直线 b ,则a与 b 的夹角就是a与的夹角；
（2）,证明（或 a// ），则a的夹角为 90 0（或 00）；
a与
，则 a 与所成的角为90 0或 900.
v v
⑶求 a 与
（1）,（直接计算）在二面角AB的半平面内任取一点 P AB ,过P作AB的垂线,
交 AB 于 C,再过 P 作的垂线，垂足为D,连结 CD,则CD AB，故PCD 为所求的二面角
（2）,（面积射影定理）设二面角AB的大小为（90 0），平面内
一个平面图形F
33
的面积为 S,F 在内的射影图形的面积为S,则cos§. （当为钝角时取“”） .
12
§
（3）,（异面直线上两点的距离公式）：EF2d2m2n22mn cos，此中是二面角AB的平面角 ,EA 在半平面内且EA AB于点A,BF在半平面内且FB
34
AB 于 B,而AB d ,EA m ,FB n .
（4）,（三面角的余弦定理）,三面角S ABC中，BSC CSA , ASB，又二面角
BSAC
cos cos cos
，则 cos
sin sin
iv LU
（5 ）,（法向量法）平面的法向量 n 与平面的法向量 n 2所成的角为，则所求的二面角（同类）或（异类） .
4,求两点 A,B 间距离
uuv
（1 ）,结构三角形进行计算；（2），导面直线上两点间的距离公
式;(3),
求AB
5, 求点到直线的距离
（1 ）,结构三角形进行计算；（2），转变为求两平行红色之间的距离.
6, 求点到平面的距离
⑴，直接计算从点到平面所引垂线段的长度；（ 2） ,转变为求平行线面间的距离或平行平面间的距离
；
（3 ）,（体积法）转变为求一个棱锥的局在
uuv 3V _
h"S，此中V为棱锥体积￡为底面面积， h 为底面上的局.（4）,
平面上取一点A,求AP与平面的法向量n 的夹角的余弦cos ，则点P到平面
的距离为 d AP cos.
7, 求异面直线的距离
（1）（定义法）求异面直线公垂线段的长；（2 ）（体积法）转变为求几何体的高；
（3）（转变法）转变为求平行线面间的距离或平行平面间的距离；
（4）（最值法）结构异面直线上两点间距离的函数，而后求函数的最小值；
（5 ）（射影法）假如两异面直线a,b 在
同一平面内的射影分别是一个点P 和一条直线l,
则 a 与b的距离等于P到l的距离；（6）（公式法）d 2 EF2 m 2 n 2 2mncos.
8,求平行的线线，线面，面面之间的距离的方法，往常是转变为求点与线或点与面之间的距离.
＜三〉，多面体与旋转体
1,柱体（棱柱和圆柱）
35
⑴侧面积 S 侧 c l （ c 为直截面周长，l为侧棱或母线长）⑵体积V Sh（S为底面积小为高）2,锥体（棱锥与圆锥）
⑴正棱锥的侧面积％ 1c h '（c为底面周长，h'为斜高）（2）圆锥的侧面积：S侧rl
2
1
（r为底面周长，l为母线长）（3）锥体的体积:V—Sh（S为底面面积，h为局）.
3
,,, S h 1 V h 1
3,锥体的平行于底面的截面性质：2，3
S h V h
36
243
4,球的表面积 :S 4 R ;球的体积：V—R .
二, 解题思想与方法导引
3
1,空间想象能力；2, 数形联合能力；3,平几与立几间的互相转变；4,向量法一，
习题导引
<一 >, 选择题
1,正四周体的内切球和外接球的半径之比为
A,1:2B,1:3C,1:4D,1:9
2,由曲线x24y ,x24y ,x 4,x4围成的图形绕 y 轴旋转一周所得的几何体的体
积为 V1;知足 x2y216 ,x2 (y2) 24,x2_ 2
(y
2） 4 的点（x, y ）构成的图形y 轴旋转一周所得的几何体的体积为V2,则
绕
A,V1%B,V1我
C,V1V2D,V12V2
23，截面是离
D
心
3,如右图，底面半径r 1 ,被过A,D两点的倾斜平面所截
??2 “、，户
率为—的椭圆，若圆柱母线截后最缺点AB 1 ,则截面以下部分的
几何体体2积是A
3
B,2C,号C B A,一D，（1
2
1,CD*,直线AB与CD的距离为2,夹角为~,m
4,在四周体 ABCD 中，设AB
面体 ABCD的体积等于
11
B,—C,-
5,
23
，假如每个圆柱底面半径都是1,三个圆柱侧面两两相切，且它们的轴也两两互相垂直
那么，与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是
A, 21
2 1 5 151
B, --------C,D, -------
224
6,四周体 ABCD 的极点为 A,B,C,D, 其 6条棱的中点为M I,M 2,M 3,M 4,M S,M6,共10个
点，任取 4 个点，则这 4 个点不共面的概率是7C,-24
47
5B,—35
D,-
A, 7—70
< 二>, 填空题10
7,正方体ABCD ABCD 的棱长为 a,则异面直线C D与BD间的距离等于
8,正四棱锥S ABCD中，ASB 450 ,二面角A SB C为且cos,(m ,
37
n 为整数），则m n.
9,在正三棱锥 P ABC 中， AB a ,PA 2a ,过A作平面分别交平面PBC 于 DE.当截面ADE 的周长最小时，S ADE,P到截面ADE的距离为
10, 空间四个球，它们的半径分别是2,2,3,3 .每个球都与其余三个球外切. 另一个小球与这四个球都相切，则这个小球的半径等于.
11, 三个12 12的正方形都被连结两条邻边的中点的直线分红A,B 两
片，如图，把这六片粘在一个正六边形的外面，而后折成多面体，则这个多面体的体
积为 .
12, 直三棱柱A^G ABC中，平面ABC平面ABB〔A，且AC=
J3AA，则AC与平面ABC所成的角的取值范围是＜三＞，解答题
13, 如图，直三棱柱ABC A 1 B1 C1中,AC BC,连结 AB 1, BC1,
CAM AB 1 BC1,求证:AB 1 CA 1
14, 如图，设S ABCD是一个高为3,底面边长为 2 的正四棱锥 K 是棱 SC 的中
点，过 AK 作平面与线段 SB,SD 分别交于 M,N （M,N 能够是线段的端点）.试
求四棱锥S AMKN的体积 V 的最大值与最小值.
15, 有一个m n p的长方体盒子，还有一个（m 2）（n 2）（p 2）的长方体盒子
此中 m,n, p 均为正整数（m n p ）,而且前者的体积是后者一半，求p的最大值.
38
四，解题导引
2
■■■■3 2」 6_ 2
1, B 设棱长为a,外接球的半径为R,内切球的半径为r ,则 R2( 〔a)2( 」a R)2
33
解得 R 乎 a, r 修 a -^ 6 a a ,有 r ：R= I：3.
222一2, C 设A(0, a)(a 0),则过 A 的两个截面都是圆环，面积分别是(4 x )(44a) 和
22°22_2_2_2
(X i X 2 )((4 a ) [2 (a 2) ])(44a) ，于是 V V2.
3, B 在椭圆中b r 1 ,又C,#a J2,所求的体积V 121 1(122)2
a 22
4,B过C
作 CE//AB ，以
CDE
为底面
,BC
为侧棱作棱柱
ABF ECD ,
则所求四周体的体
,,11
积 V1等于上述棱柱体积V2的-，而CDE的面积S-CE CD sin ECD,AB
与 CD
31-CD sin ECD =
— MNCE2
的公垂线 MN 就是棱柱ABF ECD 的高，于是 V2
-.3311
21 花:- ,?此^-V2-
5,A三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线，而异面直线的距离都为2,则所求球的半径为
C10 6C 6 3 14147
6,D
C140
270 70
设 E 是CD上的点，过 E 作 EH DC于 H,因此 EH 面 ABCD, 过 H 在面 ABCD
BD ,连结EF,因此EF BE DH X，HE a X，FH学x,因此EF=
内作 HF
39
(a x) 2 (f x)2 J|x2 2ax a 23,2 .2 a 2.3
8,5 因各侧面为全等的等腰三角形
(x a)a. .在SAB内作
高 AE，则 CE 也是SBC 的高，故
40
, _ 1 0
AEC .设 SA
1 则 AECE 亍，AB
- 45-
2
AB 2 BC
2
、、
2
BC 2sin —— ,AC 2
2 45
cos 45 0
) 4 2
2
_2
2
_ 2
4(
、、 2 . cos
AE CE AC
3.8,
= 8sin 245-
1
2AE CE
2
5 .
9— 2
将三棱锥的侧棱
PA 剪开，当 ADE 的周长最小时
，其睁开图如 64
图
__________
ABD
ADE 的周长即是睁开图中线段
AA 的长.易证
s PAB ，又 PA=2AB= 2a ,故 AD AB
2BD a ,
3 a .
4
PD PB BD
la ’DE 蚩 BC
ADE
中
,
AD 2 (1DE)
2
.55
DE 上的高 AH
-
1
3.55 2
从 P 向底面作高
PO.则 PO=
AO
2
匚
DE -------- a
S
ADE
AH
64
2
(2a)
33
J ■33 .3 2
--- a 3 V
P ABC
匚
3 a 一 a
12
a . 于正
3
4
3、、石
又邑 ^
2\/
9
9
'、石 3
3
. 设 P 到截面的距离
S 一
PB
2
，得 V A PDE
V
A PBC
--- a a D PBC
16
16 16
12
64
为 d ，则
V 1 d S 3.11
_3
普 3
, 于是 d 咨 .
PDE
V
P ADE d S ADE
V A
3
C
10, — 设半径为 3 的球心为 A,B,半径为 2 的球心为 C,D.则易知
11
AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为 O, 半径为r,则O在四周O
体 ABCD 内且 AO=BO=3+ r ,CO=DO=2+r .取AB中点E,连结CE,DE，
贝 U CE AB,DE 因此 O 在平面 CDE
为线段 AB 的垂直均分面
AB, 故平面 CDE
内，又由 OC=OD=2+r 知O在CD的垂直平A 分面内，故 O 在等腰CED 底边CD上的高EF上（F为CD中点），易算出ED=EC=
J52324,得ECD 为等边三角形.于是EF=J3E D 2后. 而OF JOC 2CF2
2
= ..(2 r)222r(4 r) .OE= .OA 2 AE2一(3 r) 2 32. r(6 r) ,代入OE+OF
41
-
------- -----------
-
6
=EF=2 、、 3 得. r （ 4 r ） .. r （6 r ） 2.3 ，解得
r 布 .
12 3
11,864 将几何体补成一个棱长为
12 的正方体，几何体的体积为正方体体积的一半
，为
30 0
1
B 于 D,易证 AD
平面 A i BC ，因此ACD
. 设 AA 1 a ,
作AD A 12, 0
AB
x ,
则
AD
村屈 sin
，故
x
2
3a 2 sin 2
BC 平面 A 1ABB 1,
——广 ?易证
3sin 2
_ 2
2。

2
故 CBA 90
，进而 AB AC , 即 x 岳，于是 0
3a sin
■
3a , sin
1 3sin
2
又 0
90°，得 0
30 0
.
13, 证明 : 设 D, D 〔分别为 AB, A& 的中点 . 连结 CD, C 1D 1 及 BD 1, DA . 由于 BD//D 1A 1 ，因此 四边形 BD 1A D 为平行四边形，得 BD // DA 1 . 因 AC=BC, 于是 B C C A .又 D, D 分别为
1 1 1 1 , 1
AB,乃日的中点，故 CD AB, C 1 D 1
A 1
B 1,而 AB 1 在平面 AB
C （或 A 1 B 1C 1 ）内的射影为
AB
（或 AB 1 ），得 AB 1 CD, AB 1 G D 1，又已知 AB 1 BC 1，因此 AB 1 平面 B G D 〔，进而 AB 〔
BD 〔, 又 BD 1// DA 1，因此 AB 1 DA 1. 又 AB 1 C 1D 1, 得 AB 1
平面 A 〔CD ,进而得证 .
14, 解 : 为了成立 V 与原四棱锥 S 下 ABCD 的关系 . 我们先引用
面的事实：
S
（如图）设 A, B 1,G 分别在三棱锥
S ABC 的侧棱 SA,SB,SC 上,
B 1
A 1
B 1
C 1 与 S ABC 的体积分别是
V 1 和 V,则
SA SB SG
SA SB SC
事实上，设C, C1在平面 SAB 的射影分别是H, H〔 .则
A
C
B
CH SG
CH
SC
42
又 d SA SB V_1
SA SB SG
3 G H1S SA,B1. 下边回到原题 .
S SAB—一，因此V
SA SB SC SA SB1_
设 SM x,-SN
1
SD ABCD 的体积为V 3 22 4 .于是由上边的事实有
SB
V S AMN V S KMN V S AMK V SANK3
V SM SN SA SM SN SK V S ABD V S CBD V S ABC V S ADC V
SB SD SA SB SD SC 2V。

得—
43
SM SK SA SN SK SA11
SB SC SA SD=xy-xy - x3x 1
而由 0
3x 1SC SA x 1 .则 V x 1x 1 ). / 日13x 1，( 2
又得 V'1，次3x2).因此
(3x 1)(3x 1)
⑴当 1 x-时,V'0,V为减函数，(2)当-x 1时,V
0 ,V为增函数.
233
433
因此碍V min V Y3,又勺［V、1-.
15, 解:由题意 ,2mnp(m 2)( n 2)( p 2) ,得(1 -)(1 -)(1 -)2.
m n p
⑴当 m 8 时，由 m n,222(1 —)3 2 ,矛盾!
p ,则(1— )(1— )(1— )8 ,22 2 一
⑵当 m 2 时,(1—)(1 -)(1— ) 2 ,矛盾! m n p
⑶当 m 3 时，则6np 5(n2)( p2), 即(n10)( p 10) 120 .
因此 p 的最大值为130;
(4) 当 m 4时，则 4np 3(n2)( p2),即(n6)( p 6) 48 .
因此 p 的最大值为54;
, L一2、22r
(5) 当 m 5时 ,(1 -) — 2——2-2——，得P98.
5
p (1—)(1 -)(1 2)(1 -) m n 5
综上所述 :p的最大值为 130.
［参照题］
（如图）在棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1中，
（1）求异面直线A〔B与 B〔C所成的角的大小；（ 60 °）
3
（2）求异面直线 A 1B与 B〔C之间的距离；（甘）
（3）求直线A〔B与平面B〔CD所成的角的大小;（300）
（4）求证:平面A1BD// 平面 C B1D1;（略）
（5）求证:直线 A C1平面A〔BD;（略）（6）求证:平面 AB C〔平面A〔BD;（略）
3.6,
⑺求点 A 1到干面C B1 D 1的距圄,(—)(8)求—面角 A 1B i C D 〔的大小.(arccos —)
44。