数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（2016.4.21）之马矢奏春创作
一、用数学归纳法证实与正整数有关命题的步调是：
（1）证实当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论精确；
（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论精确,证及时1n k =+结论也精确．
分化（1）、（2）,……
留心：数学归纳法运用要点：两步调,一结论. 二、题型归纳：
题型1.证实代数恒等式
例1．用数学归纳法证实：
证实：①n=1时,左边31311=⨯=
,右边3
1121=+=,左边=右边,等式成立．
②假设n=k 时,等式成立,即：
()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n=k+1时．
这就说明,当n=k+1时,等式亦成立,
由①、②可知,对一切自然数n 等式成立． 题型2.证实不等式
例2．证实不等式n n 21
31
21
1<++++ (n∈N)．
证实：①当n=1时,左边=1,右边=2．
左边<右边,不等式成立．
②假设n=k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++
．
那么当n=k+1时,
这就是说,当n=k+1时,不等式成立．
由①、②可知,原不等式对随便率性自然数n 都成立． 说明：这里要留心,当n=k+1时,要证的目标是
1211
1
31
21
1+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是要证实：
1211
2+<++k k k ．
熟习了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标．
题型3.证实数列问题
例3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n≥2,n∈N*)．
(1)当n ＝5时,求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．
(2)设bn ＝a22n －3
,Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证实：当n≥2时,Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3
. 解：(1)当n ＝5时,
原等式变成(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋a4(x －1)4＋a5(x －1)5
令x ＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.
(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n,所以a2＝Cn2·2n－2
bn ＝a22n －3
＝2Cn2＝n(n －1)(n≥2) ①当n ＝2时．左边＝T2＝b2＝2,
右边＝2(2＋1)(2－1)3
＝2,左边＝右边,等式成立． ②假设当n ＝k(k≥2,k∈N*)时,等式成立,
即Tk ＝k(k ＋1)(k －1)3
成立 那么,当n ＝k ＋1时,
左边＝Tk ＋bk ＋1＝k(k ＋1)(k －1)3
＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k(k ＋1)(k －1)3
＋k(k ＋1) ＝k(k ＋1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫k －13＋1＝k(k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3
＝右边． 故当n ＝k ＋1时,等式成立．
综上①②,当n≥2时,Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3
.。