不一般的相似——圆锥曲线中的位似关系

2020年第34期总第491期
数理化解题研究不一般的相似
-圆锥曲线中的位似关系
陈峰
(江苏省苏州大学附属中学215006)
摘 要：本文分别探讨了抛物线、椭圆、双曲线中的位似关系，最终获得结论：离心率相等的圆锥曲线是位
似图形.
关键词：位似；抛物线；椭圆；双曲线；圆锥曲线
中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2020)34 -0007 -02
在苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2
-1》课本P 74 - P 75中提出了一个很有意思的问题:尝试
证明离心率相同的圆锥曲线“形状都相同”.如果上述结 论成立，这意味着圆锥曲线中也存在着相似关系，为了弄 清这个问题,首先必须引入位似的概念.
一、位似
两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于
一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的 两个图形叫做位似图形(homothetic figures ),这个交点叫
做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
两个图形位似，它们的相对位置关系有三种:位似中 心在图形的一侧(如图1)、两个图形分居位似中心的两侧
(如图2)、位似中心在两个图形的内部(如图3).
根据位似的定义不难得出:两个图形位似则它们一 定相似，而两个图形相似则它们不一定位似.同时,当两 个图形位似时，除了满足相似的一切性质外,还满足一些
特有性质,如“对应顶点的连线相交于一点”、“对应边互
相平行或在同一直线上”等.
二、圆锥曲线的位似关系
1.抛物线
结论 1 抛物线 y 二 a%2 (a > 0)与 y 二 4%2 (A > 0,A H
a )是位似图形，原点是位似中心.
证明 设直线I 的方程为y 二m%( m > 0),则这条直 线与抛物线y 二a%2 (a > 0)和y 二A%2 (A > 0,A H a )分别相
m m 2 m m 2 m
交于 M ( m ,m )和 N ( m ,m ),则 OM 二 m 1 + m 2 和 ON
a a A A a
1
二m 1+m 2,所以on 二A 二a (常数).则抛物线y 二
A
ON a 1
A
a%2( a >0)与y 二A%2( A >0)形状相同，它们是位似图形, 原点是位似中心.
结论 2 抛物线 y 二 a 1 %2 ( a 1 > 0),y 二 a 2%2 ( a 2 > 0), …,y 二a re %2 (a re >0)是位似图形,原点是位似中心.
证明 设直线I 的方程为y 二m%( m > 0),则这条直 线与抛物线 y 二 a 1 %2(a 1 >0) ,y 二 a 2%2(a 2〉0),…,y 二 a ”%2
(a ”〉0)分别相交于P 1 ( m ,
),匕(m ,
),…，匕(m ,
a 1 a 1
a 2 a 2
a ”
m )侧 OP 1 二 1 + m 2 , OP 2 二 1 + m 2，…,OP 二 m a ” a 1 a 2 a ”
1 + m 2，所以 OP 1： OP 2：…：OP ” 二 1 ： 1 ：…：1 .则抛物
a 1 a 2
a ”
线 y 二 a 1 %2 (a 1 > 0), y 二 a 2 %2 (a 2 > 0)，…，y 二 a ”%2 (a ” > 0)
形状相同,它们是位似图形,原点是位似中心.
以上结论说明所有的抛物线形状都是相同的,换而
收稿日期：2020 -09 -05
作者简介：陈峰(1982. 9 -)，男，江苏省苏州人，硕士，中学高级教师，从事高中数学教学研究.
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数理化解题研究
2020年第34期总第491期
言之，所有抛物线的开口大小都是相同的.而两条抛物线
的图象的开口明显有大小之分,这又该如何解释呢？以
抛物线y _%2和y _ 1 %2为例,首先在图4中作出了抛物 线y _ %2和y _
%2的图象，然后将图4中y _ 4 %2的图
象放大2倍，得图5中y _ 1 %2的图象，不难发现,它与图
4中y _ %2的图象是可以重合的.因此，这两条抛物线形
状相同,它们的开口大小必然也是相同的.
点是位似中心.(证明略)
由结论3可知，抛物线的位似中心并不是唯一的，其 顶点和焦点均可作为位似中心.
«2 淫 + /弓 + cp
52 : - 5 —，由(*)式可得务$.同 © 2 + m
2 + m 1
©
理，0p 2 — 5.所以椭圆C 1与椭圆C 2是位似图形，原点是
位似中心,5为位似比.
%2 y 2
%2 y 2
若椭圆 C 1: 2+十2_1(。

1〉61 > 0)与 C 2: 2+十2_1
1 6
1 2 6
2
(a 2 > 62 > 0)是位似图形，原点是位似中心.则满足
© 61
6 + «2 m 2 a 1a 262 a 2
丿6： + a 2 m 2
飞+a 2
© 61
牛-5,其中5为位似比.则丿61 + m
62 a 262
2
+ m
62
—5 5
- 5,所以工 + m 2 —
2
+ m
1
2.椭圆与双曲线
结论4若椭圆C 1： %2 + y 2 _1(5 > 61 >0)与椭圆
Q 1 61
C 2： %2+y 2 _1( «2> ^2 >0)离心率相同，则它们是位似图
a 2 62
形，原点是位似中心;反之亦然.
证明 设直线I 的方程为y _ m%(m >0)，则这条直线与%2 y 2 %2 y 2
椭圆 2 +寸2 _ 1(© > 61 >0)与—2 + ^2 _ 1(a 2 > 62 >0)分别
相交于C (
如6
1
丿6； +
«2 m 2
5 61 m
丿6； + «2 m 2
2
© 61
丿6； +
«2 m 2
5 61 m
+ «2 m 2
4
a 2 62
+ «2 m 2
(
a 2 62 a 2 62 m
、
+ «2 m 2
62 + «2 m 2
62 m
2 2 2 2 2 2
—)."令 C ] — Q ] — 6] , Cry — 一 62
.2 22 1 1 1 2 2 2
62 + «2
m
)、«2 /~r + m
_ 52
7
© 2 + m
1
m 2,即作-故乞-丄因此椭圆C 1与椭圆C 2
«2+
斫
离心率相同.。

2
°1 °2
若椭圆C 1与椭圆C 2离心率相同，所以e — = _乞,
© a 2
易得61
1
6 a, 6]-2 ( *).令 1 - 61 2
2
62
cp -5 (常数)，亦
丿1 + m 2
a 161
6； + a 2 m 2 a 161丁6 + a 2 m 2a /1 + m 2
a 62
a ? 62
6： + a ； m 2
J 6 + a 2 m 2
结论5若双曲线C 1： %； — y 2 _1(©〉0,6］〉0)与双
1 6
1
%2 y 2
曲线C 2： %2 — y 2 _1(«2>0,62 >0)离心率相同，则它们是
2 62位似图形，原点是位似中心;反之亦然.(证明略)
利用证明结论4的方法可以类似地证明结论5,在此
不再赘述.同时,如果将结论5中双曲线C 1和双曲线C 2
y 2 %2 y 2 %2
关系式分别改为耳—72 _ 1( «1 > 0,61 > 0)和耳—^7 _ 1
1 61 a
2 62
(a 2 >0,62 >0)则结论亦成立.
3.圆锥曲线的统一形式
在极坐标系中，运用圆锥曲线的统一定义，可得圆锥
曲线统一的极坐标方程p _［印6(*).
1 — e cos O
当0< e < 1时，方程(* )表示椭圆；当e — 1时,方程
(* )表示抛物线；当e >1时，方程(* )表示双曲线.
结论6离心率相等的圆锥曲线C 1，C 2是位似图形,
反之，若圆锥曲线C 1，C 2是位似图形,则它们的离心率相 等.(证明略)
参考文献:
［1 ］林群.数学九年级下册［M ］.北京：人民教育出版
社，2014：36.
［责任编辑:李璟］
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