高考数学一轮复习第八章几何第讲直线与圆、圆与圆的位置关系习题讲义
数学一轮复习讲义第8章§8-3圆的方程2023年新高考
§8.3 圆的方程考试要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆圆心C (a ，b )标准(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)半径为r 圆心C (－D 2，－E2)方程一般x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)半径r ＝12D 2＋E 2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系：(1)|MC |>r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在圆外；(2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)|MC |<r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在圆内．常用结论1．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)圆x 2＋y 2＝a 2的半径为a .( × )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( √ )教材改编题1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )A．(2,3)，3 B．(－2,3)，3C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，13答案 D解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13. 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．答案 (－2，2)解析 ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2<m<2.题型一 圆的方程例1 (1)(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案 C解析 到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立Error!解得Error!又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1. (2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．答案 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析 方法一 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得Error!解得Error!故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二 线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，联立Error!得交点坐标O(－1，－2)，又点O到点A的距离d＝10，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.教师备选1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( ) A.(x－32)2＋y2＝254 B.(x＋34)2＋y2＝2516C.(x－34)2＋y2＝2516D.(x－34)2＋y2＝254答案 C解析 方法一 (待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得Error!解得Error!所以圆E的一般方程为x2＋y2－32x－1＝0，即(x－34)2＋y2＝2516.方法二 (几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－12＝2(x－1)上．由题意知圆E的圆心在x轴上，所以圆E的圆心坐标为(34，0).则圆E的半径为|EB|＝(2－34)2＋(0－0)2＝54，所以圆E的标准方程为(x－34)2＋y2＝2516.2．在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8 D ．x 2＋(y －1)2＝16答案 B解析 由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1,2)，设圆心为B (0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝(－1－0)2＋(2－1)2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练1 (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝4答案 A解析 根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2)(2022·长春模拟)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1答案 B解析 设圆心坐标为(a ，b )(a >0，b >0)，由圆与直线4x －3y ＝0相切，可得圆心到直线的距离d ＝|4a －3b |5＝r ＝1，化简得|4a －3b |＝5，①又圆与x 轴相切，可得|b |＝r ＝1，解得b ＝1或b ＝－1(舍去)，把b ＝1代入①得4a －3＝5或4a －3＝－5，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)，所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型二 与圆有关的轨迹问题例2 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝yx ＋1，k BC ＝yx －3，所以yx ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．教师备选已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知点P 坐标为(2x －2,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2 (1)当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M 的轨迹方程是( )A．(x＋3)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1答案 C解析 设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，所以Error!所以Error!又因为P在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以M的轨迹方程即为(2x－3)2＋4y2＝1.(2)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0答案 D解析 由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，连接PC，CQ(图略)，因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0.题型三 与圆有关的最值问题命题点1 利用几何性质求最值例3 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)求y －3x ＋2的最大值和最小值；(3)求y －x 的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝22.又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝22.(2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k .设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.∵直线MQ 与圆C 有交点，∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(3)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值，∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9，最小值为1.命题点2 利用函数求最值例4 (2022·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)．则PA → ·PB →的最大值为________．答案 12解析 由题意，得PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA → ·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA → ·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，PA → ·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.延伸探究 若将本题改为“设点P (x ，y )是圆(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0,2)，B (0，－2)”，则|PA → ＋PB →|的最大值为________．答案 10解析 由题意，知PA →＝(－x ，2－y )，PB →＝(－x ，－2－y )，所以PA → ＋PB →＝(－2x ，－2y )，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4，故y 2＝－(x －3)2＋4，所以|PA → ＋PB →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5.由圆的方程(x －3)2＋y 2＝4，易知1≤x ≤5，所以当x ＝5时，|PA → ＋PB →|的值最大，最大值为26×5－5＝10.教师备选1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7 B ．6 C ．5 D ．4答案 B解析 ∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)，∴|OC |－r ≤m ＝|OP |≤|OC |＋r ，又C (3,4)，r ＝1，∴4≤|OP |≤6，即4≤m ≤6.2．若点P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，A (－1,0)，B (1,0)为两个定点，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．2 B ．22 C ．42 D ．4答案 B解析 由已知得线段AB 为圆的直径．所以|PA |2＋|PB |2＝4，由基本不等式得(|PA |＋|PB |2)2≤|PA |2＋|PB |22＝2，所以|PA |＋|PB |≤22，当且仅当|PA |＝|PB |＝2时，等号成立．思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝y －bx －a，t ＝ax ＋by ，(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3 (1)已知A (－2,0)，B (2,0)，点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －7)2＝1上的动点，则|AP |2＋|BP |2的最小值为( )A ．9 B ．14 C ．16 D ．26答案 D解析 设O 为坐标原点，P (x ，y )，则|AP |2＋|BP |2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8＝2|PO |2＋8.圆C 的圆心为C (3，7)，半径为r ＝1，OC ＝4，所以|PO |2的最小值为(OC －r )2＝(4－1)2＝9，所以|AP |2＋|BP |2的最小值为26.(2)已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则2x ＋3y ＋3x ＋3的最大值为( )A ．2 B.174 C.295 D.13134答案 B解析 由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0得(x －2)2＋(y －1)2＝9.2x ＋3y ＋3x ＋3＝2＋3×y －1x ＋3＝2＋3k PA ，其中A (－3,1)为定点，点P (x ，y )为圆上一点．设过定点A 的直线l ：y －1＝k (x ＋3)与圆相切，则|5k |1＋k 2＝3，解得k ＝±34，所以－34≤k PA ≤34，所以2x ＋3y ＋3x ＋3的最大值为2＋3×34＝174.课时精练1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A ．(4，－6)，16 B ．(2，－3)，4C ．(－2,3)，4 D ．(2，－3)，16答案 C解析 将圆的一般方程化为标准方程得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.2．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1答案 A解析 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，所以圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析 设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝|3a＋4|32＋42＝3a＋45＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x ＝0，故选D.4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案 A解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则Error!解得Error!因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.5．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )A．圆M的圆心坐标为(1,3)B．圆M的半径为5C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点(2,3)在圆M内答案 ABD解析 设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则Error!解得Error!所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1,3)，圆M的半径为5，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M 不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内．6．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π答案 ABD解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．7．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，6)在圆C内，则m 的取值范围为________．答案 (0,4)解析 设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝(2＋1)2＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)2<10，解得0<m<4.8．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．答案 25解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝5的圆．设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故Error!解得Error!故A′(－4，－2)．连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝25.9．已知圆心为C的圆经过点A(－1,1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上．(1)求圆心为C的圆的标准方程；(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．解 (1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵圆经过点A (－1，1)和B (－2，－2)，且圆心在直线l ：x ＋y －1＝0上，∴Error!解得a ＝3，b ＝－2，r ＝5，∴圆的标准方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)∵圆心C 到直线x －y ＋5＝0的距离为d ＝|3＋2＋5|2＝52>5，∴直线与圆C 相离，∴|PQ |的最小值为d －r ＝52－5.10．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当|QM |最小时，|CQ |最小，此时CQ ⊥l 1，|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.11．点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，|PA |＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x答案 B解析 ∵|PA |＝1，∴点P 和圆心的距离恒为2，又圆心坐标为(1,0)，设P (x ，y )，∴由两点间的距离公式，得(x －1)2＋y 2＝2.12．等边△ABC 的面积为93，且△ABC 的内心为M ，若平面内的点N 满足|MN |＝1，则NA →·NB →的最小值为( )A ．－5－23B ．－5－43C ．－6－23D ．－6－43答案 A解析 设等边△ABC 的边长为a ，则面积S ＝34a 2＝93，解得a ＝6.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M 为△ABC 的内心，则M 在OC 上，且OM ＝13OC ，则A (－3,0)，B (3,0)，C (0,33)，M (0，3)，由|MN |＝1，则点N 在以M 为圆心，1为半径的圆上．设N (x ，y )，则x 2＋(y －3)2＝1，即x 2＋y 2－23y ＋2＝0，且3－1≤y ≤1＋3，又NA →＝(－3－x ，－y )，NB →＝(3－x ，－y )，所以NA →·NB →＝(x ＋3)(x －3)＋y 2＝x 2＋y 2－9＝23y －11≥23×(3－1)－11＝－5－23.13．(多选)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为42答案 ACD解析 因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在直线y ＝－x 上，A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C 上，故C 正确；它们的圆心距为(5－1)2＋(－5＋1)2＝42，D 正确．14．已知长为2a (a ＞0)的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝a 2解析 如图，不论直线怎么移动，线段AB 的中点P (x ，y )与原点O 的连线始终为Rt △OAB 斜边上的中线，即|OP |＝a ，即x 2＋y 2＝a 2.故所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.15．已知直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0，圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0，则圆C 的半径r ＝________；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，则实数m 的取值范围是______．答案 2 [－16，4] 解析 圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2，圆心为C (2,0)，半径为r ＝2，若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，过P 作圆的两条切线PM ，PN (M ，N 为切点)，则由题意得，∠MPN ≥90°，而当CP ⊥l 时，∠MPN 最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C 到直线l 的距离为d ＝|CP |＝|6＋m |5.所以r d ＝2|6＋m |5≥22，解得－16≤m ≤4.16．在平面直角坐标系Oxy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解 由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1，0)，B (x 2，0)，可得Δ＝m 2－8m ＞0，则m ＜0或m ＞8，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC → ·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12.此时C (0，－1)，AB 的中点M (－14，0)即圆心，半径r ＝|CM |＝174，故所求圆的方程为(x ＋14)2＋y 2＝1716.(2)证明 设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0,2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0.整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令Error!可得Error!或Error!故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0,1)和(25，45).。
广东专用2023版高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系课件
(2021 北京卷)已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：y＝kx＋m，当 k 变化时，l 截圆 C
所得弦长的最小值为 2，则 m 的取值为
()
A. ±2
B. ± 2
C. ± 3
D. ±3
解：由题可得圆心为(0，0)，半径为 2，则圆心到直线的距离 d＝
|m| ，则弦长为
k2＋1
2 4－k2m＋2 1，则当 k＝0 时，弦长取得最小值为 2 4－m2＝2，解得 m＝± 3. 故选
8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
1. 直线与圆的位置关系
设圆的半径为 r(r>0)，圆心到直线的距离为 d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 关系
图示
公共点 个数
几何 特征
相切，所以|－2k－1＋1|＝ k2＋1
2，解得 k＝±1，因为 k<0，所
以 k＝－1，所以直线 l 的方程为 x＋y－1＝0. 圆心 D(2，0)到直线 l 的距离 d＝|2＋0－1| 2
＝
2 2<
3，所以直线 l 与圆 D 相交. 故选 A.
(2)(2021 广东惠州市高三一模)“a≥－3”是“直线 y＝x＋1 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公
C.
【点拨】 ①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、 圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点 的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为
1＋k2·|x1－x2|，必要时考虑运用这一公式也可解题.
2022届高考数学一轮复习第八章第四节直线与圆圆与圆的位置关系课时作业理含解析北师大版2021070
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第359页[A 组 基础保分练]1．（2021·某某某某模拟）直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定解析：将圆的方程化为标准方程得⎝⎛⎭⎫x －a 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22．因为圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a 22＋b 22a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切． 答案：B 2．（2021·某某质检）圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析：由（x 2＋y 2－4）－（x 2＋y 2－4x ＋4y －12）＝0得公共弦所在直线的方程为x －y ＋2＝0，它与两坐标轴分别交于（－2，0），（0，2），所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为12×2×2＝2． 答案：B 3．（2021·某某十四校二联）已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ） A ．6或－ 6 B ．5或－ 5 C ． 6 D ． 5 解析：因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋（－2）2＝1，所以a ＝±5． 答案：B 4．（2021·某某市第一次统考）直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1．因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件． 答案：A 5．（2021·某某一中模考）圆C 1：（x ＋1）2＋（y －2）2＝4与圆C 2：（x －3）2＋（y －2）2＝4的公切线的条数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：圆C 1：（x ＋1）2＋（y －2）2＝4的圆心为（－1，2），半径为2，圆C 2：（x －3）2＋（y －2）2＝4的圆心为（3，2），半径为2，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－3）2＋（2－2）2＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故公切线的条数为3． 答案：C 6．（2021·某某调研）已知直线l ：x ＋y －5＝0与圆C ：（x －2）2＋（y －1）2＝r 2（r ＞0）相交所得的弦长为22，则圆C 的半径r ＝（ ） A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析：法一：依题意，得圆C 的圆心坐标为（2，1），圆心到直线l 的距离d ＝|2＋1－5|1＋1＝2，因为弦长为22，所以2r 2－d 2＝22，所以r ＝2．法二：联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，（x －2）2＋（y －1）2＝r 2，整理得2x 2－12x ＋20－r 2＝0，设直线l 与圆C 的两交点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝20－r 22，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝22，所以r ＝2． 答案：B 7．（2021·某某天河模拟）已知圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点，则当△ABC 面积最大时，直线l 的斜率k ＝_________．解析：由x 2－2x ＋y 2＝0，得（x －1）2＋y 2＝1，则圆的半径r ＝1，圆心C （1，0）， 直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点， 当CA 与CB 垂直时，△ABC 面积最大，此时△ABC 为等腰直角三角形，圆心C 到直线AB 的距离d ＝22， 则有|2－k |1＋k 2＝22，解得k ＝1或7． 答案：1或7 8．（2021·某某六校联考）已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则圆C 的面积为_________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0可化为（x －a ）2＋（y －1）2＝a 2－1，因为直线y ＝ax 和圆C 相交，△ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为32·a 2－1，即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3（a 2－1）2，解得a 2＝7，所以圆C 的面积为6π．答案：6π9．已知圆M 过C （1，－1），D （－1，1）两点，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上． （1）求圆M 的方程；（2）设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解析：（1）设圆M 的方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0），根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝4．（2）由题意知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12（|AM |·|P A |＋|BM |·|PB |）．又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |2＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 所以S ＝2|PM |2－4．因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为2|PM |2－4＝25．10．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）与直线3x －4y ＋15＝0相切． （1）若直线l ：y ＝－2x ＋5与圆O 交于M ，N 两点，求|MN |； （2）设圆O 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线交圆O 于B ，C 两点，且k 1k 2＝－3，试证明直线BC 恒过一点，并求出该点的坐标．解析：（1）由题意知，圆心O 到直线3x －4y ＋15＝0的距离d ＝159＋16＝3＝r ，所以圆O ：x 2＋y 2＝9．又圆心O 到直线l ：y ＝－2x ＋5的距离d 1＝54＋1＝5，所以|MN |＝29－d 21＝4．（2）证明：易知A （－3，0），设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则直线AB ：y ＝k 1（x ＋3），由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋3），x 2＋y 2＝9，得（k 21＋1）x 2＋6k 21x ＋9k 21－9＝0， 所以－3x 1＝9k 21－9k 21＋1，即x 1＝－3k 21＋3k 21＋1，所以y 1＝k 1（x 1＋3）＝6k 1k 21＋1，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3k 21k 21＋1，6k 1k 21＋1． 同理C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3k 22k 22＋1，6k 2k 22＋1． 由k 1k 2＝－3得k 2＝－3k 1，将－3k 1代替k 2，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 21－27k 21＋9，－18k 1k 21＋9． 当3－3k 21k 21＋1≠3k 21－27k 21＋9，即k 1≠±3时，k BC ＝6k 1k 21＋1＋18k 1k 21＋93－3k 21k 21＋1－3k 21－27k 21＋9＝4k 13－k 21，k 1≠±3．从而直线BC ：y －6k 1k 21＋1＝4k 13－k 21⎝⎛⎭⎪⎫x －3－3k 21k 21＋1． 即y ＝4k 13－k 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －3－3k 21k 21＋1＋9－3k 212（k 21＋1）， 化简得y ＝4k 13－k 21⎝⎛⎭⎫x ＋32． 所以直线BC 恒过一点，该点为⎝⎛⎭⎫－32，0． 当k 1＝±3时，k 2＝∓3，此时x B ＝－32＝x C ，所以直线BC 的方程为x ＝－32，过点⎝⎛⎭⎫－32，0． 综上，直线BC 恒过定点⎝⎛⎭⎫－32，0． [B 组 能力提升练]1．（2021·某某马某某模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若圆C ：（x －3）2＋（y －a ）2＝4上存在两点A ，B 满足：∠AOB ＝60°，则实数a 的最大值是（ ） A ．5 B ．3 C ．7 D ．2 3 解析：根据题意，圆C 的圆心为（3，a ），在直线x ＝3上， 分析可得：当圆心距离x 轴的距离越远，∠AOB 越小，如图，当a >0时，圆心C 在x 轴上方，若OA ，OB 为圆的切线且∠AOB ＝60°，此时a 取得最大值，此时∠AOC ＝30°，有|OC |＝2|AC |＝4，即（3－0）2＋（a －0）2＝16，解得a ＝7，故实数a 的最大值是7． 答案：C 2．（2021·某某某某模拟）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点（0，1），（0，3），且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx （k >0）关于y 轴对称，则k 的最小值为（ ）A ．233B ． 3C ．2 3D ．4 3解析：如图，因为圆C 经过点（0，1），（0，3），且与x 轴正半轴相切， 所以圆心的纵坐标为2，半径为2，则圆心的横坐标为22－12＝3，所以圆心坐标为（3，2），设过原点与圆相切的直线方程为y ＝k 1x ，由圆心到直线的距离等于半径，得|3k 1－2|k 21＋1＝2，解得k 1＝0（舍去）或k 1＝－43．所以若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx （k >0）关于y 轴对称，则k 的最小值为43．答案：D 3．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0 解析：⊙M ：（x －1）2＋（y －1）2＝4， 则圆心M （1，1），⊙M 的半径为2． 如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形P AMB ＝12|PM |·|AB |＝|P A |·|AM |＝2|P A |，∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－4．当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l ．故直线PM 的方程为y －1＝12（x －1），即x －2y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P （－1，0）． 又∵P A 与⊙M 相切，∴直线P A 的方程为x ＝－1（∵在⊙M 中，－1≤x ≤1）， ∴P A ⊥x 轴，P A ⊥MA ，∴A （－1，1）． 又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0，将A （－1，1）的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1． ∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0． 答案：D4．已知圆的方程为x 2＋（y －1）2＝4，圆心为C ，若过点P ⎝⎛⎭⎫1，12的直线l 与此圆交于A ，B 两点，则当∠ACB 最小时，直线l 的方程为（ ）A ．4x －2y －3＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．x －2y ＋2＝0解析：圆心坐标为（0，1），当弦长|AB |最小时，∠ACB 最小，此时直线AB 与PC 垂直，k l ＝－11－120－1＝2，所以直线l 的方程为y －12＝2（x －1），即4x －2y －3＝0．答案：A5．已知直线l ：x ＋ay －1＝0（a ∈R ）是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A （－4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝_________．解析：由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，所以圆心C （2，1）在直线x ＋ay －1＝0上，所以2＋a －1＝0，所以a ＝－1，所以A （－4，－1）．所以|AC |2＝36＋4＝40．又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36．所以|AB |＝6． 答案：6 6．（2021·某某启东中学检测）已知圆C 1：（x －1）2＋（y ＋1）2＝1，圆C 2：（x －4）2＋（y －5）2＝9，点M ，N 分别是圆C 1，圆C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PN |－|PM |的最大值是_________．解析：圆C 1：（x －1）2＋（y ＋1）2＝1的圆心为C 1（1，－1），半径为1，圆C 2：（x －4）2＋（y －5）2＝9的圆心为C 2（4，5），半径为3．要使|PN |－|PM |最大，需|PN |最大，且|PM |最小，|PN |的最大值为|PC 2|＋3，|PM |的最小值为|PC 1|－1，故|PN |－|PM |的最大值是（|PC 2|＋3）－（|PC 1|－1）＝|PC 2|－|PC 1|＋4，设C 2（4，5）关于x 轴的对称点为C ′2（4，－5），|PC 2|－|PC 1|＝|PC ′2|－|PC 1|≤|C 1C ′2|＝（4－1）2＋（－5＋1）2＝5，故|PC 2|－|PC 1|＋4的最大值为5＋4＝9，即|PN |－|PM |的最大值是9． 答案：97．已知圆O ：x 2＋y 2＝9及点C （2，1）．（1）若线段OC 的垂直平分线交圆O 于A ，B 两点，试判断四边形OACB 的形状，并给出证明；（2）过点C 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程． 解析：（1）四边形OACB 为菱形，证明如下：易得OC 的中点为⎝⎛⎭⎫1，12，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），易得OC 的垂直平分线的方程为y ＝－2x ＋52，代入x 2＋y 2＝9，得5x 2－10x －114＝0，∴x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝－2×1＋52＝12，∴AB 的中点为⎝⎛⎭⎫1，12，则四边形OACB 为平行四边形， 又OC ⊥AB ，∴四边形OACB 为菱形．（2）当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为（2，5），（2，－5），∴S △OPQ ＝12×2×25＝25．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k （x －2）⎝⎛⎭⎫k ≠12， 即kx －y ＋1－2k ＝0⎝⎛⎭⎫k ≠12， 则圆心O 到直线l 的距离d ＝|1－2k |k 2＋1．由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2， ∴S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92．当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值为92．∵25＜92，∴S △OPQ 的最大值为92，此时，令4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－7或k ＝－1．故直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0．[C 组 创新应用练]1．已知直线l ：x ＋y －1＝0截圆Ω：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）所得的弦长为14，点M ，N 在圆Ω上，且直线l ′：（1＋2m ）x ＋（m －1）y －3m ＝0过定点P ，若PM ⊥PN ，则|MN |的取值X 围为（ ）A ．[2－2，2＋ 3 ]B ．[2－2，2＋ 2 ]C ．[6－2，6＋ 3 ]D ．[6－2，6＋ 2 ]解析：由题意，2r 2－12＝14，解得r ＝2，因为直线l ′：（1＋2m ）x ＋（m －1）y －3m ＝0过定点P ，故P （1，1），设MN 的中点为Q （x ，y ），则OM 2＝OQ 2＋MQ 2＝OQ 2＋PQ 2，即4＝x 2＋y 2＋（x －1）2＋（y －1）2，化简可得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝32，所以点Q 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，12为圆心，62为半径的圆，所以|PQ |的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，|MN |的取值X 围为[6－2，6＋2]．答案：D2．已知从圆C ：（x ＋1）2＋（y －2）2＝2外一点P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为M ，且有|PM |＝|PO |（O 为坐标原点），则当|PM |取得最小值时点P 的坐标为_________． 解析：如图所示，圆C 的圆心为C （－1，2），半径r ＝2，因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝（x 1＋1）2＋（y 1－2）2，即2x 1－4y 1＋3＝0．要使|PM |最小，只要|PO |最小即可．当直线PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0，即直线PO 的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |最小，此时点P 即为两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．答案：⎝⎛⎭⎫－310，35。
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件
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1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 如果 两个 圆 的方 程 组成 的方 程 组只 有一 组 实数 解 ，则 两 圆 外
切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公
(4)由题意知圆的方程为 x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0， －1)，半径为 2，则圆心到直线 y＝x＋1 的距离 d＝|－1－2 1|＝ 2， 所以|AB|＝2 22－ 22＝2 2.
(5)由xx22＋ ＋yy22－ －44＝ x＋04，y－12＝0， 得两圆公共弦所在直线为 x －y＋2＝0.又圆 x2＋y2＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 2
若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为( A )
A．4π
B．2π
C．9π
D．22π
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【解析】 (1)因为圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝
a2|c＋| b2＝
|c| ＝ 2|c|
22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半
就等于 1－ 222＝ 22，所以弦长为 2. (2)易知圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 的圆心为(0，a)，半径为
置关系是( A )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1) 在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆相交．
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2．(方向 2)已知直线 y＝ax 与圆 C：x2＋y2－6y＋6＝0 相交于 A，B
第八章 §8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课标要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r )相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系(⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)图形量的关系外离d >r 1＋r 2外切d ＝r 1＋r 2相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2内切d ＝|r 1－r 2|内含d<|r1－r2|3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝1＋k2·(x M＋x N)2－4x M x N.常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(×)(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．(√)(4)在圆中最长的弦是直径．(√)2．(选择性必修第一册P93T1改编)直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是() A．相交B．相切C．相离D．相切或相交答案A解析圆心到直线的距离d＝532＋42＝1<4，所以直线与圆相交．3．(选择性必修第一册P93T3改编)直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|等于()A.3B．23C.5D ．25答案B解析因为圆x 2＋y 2＝8的圆心为(0,0)，半径为22，所以圆心到直线x －2y ＋5＝0的距离d ＝|5|12＋(－2)2＝5，所以|AB |＝28－d 2＝2 3.4．(选择性必修第一册P98练习T1改编)圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是()A ．外切B ．相交C ．外离D ．内切答案A解析圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝2，圆C 2可化为(x －4)2＋(y －3)2＝9，∴圆心C 2(4,3)，半径r 2＝3，∴|C 1C 2|＝(4－0)2＋(3－0)2＝5＝r 1＋r 2，故两圆外切.题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1(1)M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝1内异于圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝1与该圆的位置关系为()A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交答案C解析由题意知M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝1内异于圆心的一点，则0<x 20＋y 20<1，而圆x 2＋y 2＝1的圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝1的距离d ＝1x 20＋y 2>1＝r ，故直线x 0x ＋y 0y ＝1与该圆的位置关系为相离．(2)直线kx －y ＋2－k ＝0与圆x 2＋y 2－2x －8＝0的位置关系为()A ．相交、相切或相离B ．相交或相切C ．相交D ．相切答案C 解析方法一直线kx －y ＋2－k ＝0的方程可化为k (x －1)－(y －2)＝0，该直线恒过定点(1,2)．因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x 2＋y 2－2x －8＝0的内部，所以直线kx －y ＋2－k ＝0与圆x 2＋y 2－2x －8＝0相交．方法二圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx －y＋2－k ＝0的距离为|k ＋2－k |1＋k2＝21＋k 2≤2<3，所以直线与圆相交．思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系判断．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．命题点2弦长问题例2(1)(2023·滁州模拟)已知过点P (0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，则当|AB |＝23时，直线l 的方程为________________．答案x ＝0或3x ＋4y －4＝0解析因为圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0可以化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r ＝2，因为|AB |＝23，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1，当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时圆心(－1,3)到直线x ＝0的距离为1，满足条件；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则圆心(－1,3)到直线l 的距离d ＝|－k －3＋1|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，此时直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0，综上，所求直线的方程为3x ＋4y －4＝0或x ＝0.(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值为________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设直线x －my ＋1＝0为直线l ，点C 到直线l 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，又d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±12或m ＝±2.思维升华弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.命题点3切线问题例3已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．解由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴过点P 的切线的斜率为－1k PC＝1，∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，∴直线x ＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，由圆心C 到切线的距离d ′＝|k －2＋1－3k |k 2＋1r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .注意验证斜率不存在的情况．命题点4直线与圆位置关系中的最值问题例4已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，则四边形PACB 面积的最小值为________．答案22解析圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，即圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C (1,1)，半径r ＝1，如图，连接PC ，因为S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2×12×|AP |·|AC |＝|AP |＝|PC |2－1，所以求S 四边形P ACB 的最小值就是求|PC |的最小值，而|PC |的最小值就是圆心到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离d ，即d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3，即四边形PACB 面积的最小值为9－1＝2 2.思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．跟踪训练1(1)若直线x a ＋yb ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则()A.1a 2＋1b 2<1B.1a 2＋1b 2>1C ．a 2＋b 2<1D ．a 2＋b 2>1答案B解析由直线x a ＋yb＝1，可化为bx＋ay－ab＝0，因为直线bx＋ay－ab＝0与圆x2＋y2＝1相交，可得|－ab|a2＋b2<1，整理得a2＋b2>a2b2，所以1a2＋1b2 >1.(2)直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A.2B．2C．22D．4答案C解析圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0,0)，半径为2，由直线l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)可化为y－1＝2t(x－1)，∴直线l过定点P(1,1)，又12＋12＝2<4，∴点P在圆C内部，当直线l与线段CP垂直时，弦长|AB|最小，∵|CP|＝(0－1)2＋(0－1)2＝2，∴弦长|AB|的最小值为24－2＝2 2.题型二圆与圆的位置关系例5(1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为()A．内含B．相交C．外切D．外离答案B解析圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，则|MN|＝22＋12＝5，故有|R－r|<|MN|<R＋r.故两圆是相交关系．(2)(2023·重庆模拟)圆A：x2＋y2＝4与圆B：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程为()A．x－y＋2＝0B．x－y－2＝0C．x＋y＋2＝0D．x＋y－2＝0答案A解析将两圆方程作差得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.因此，两圆的公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0.思维升华(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．跟踪训练2(1)若圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和圆x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长度为()A ．4 B.355C.1255D.655答案C解析x 2＋y 2＋4x －4y ＝0，①x 2＋y 2＋2x －8＝0，②由①－②可得x －2y ＋4＝0.∴两圆的公共弦所在直线的方程是x －2y ＋4＝0，∵圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0的圆心坐标为(－2,2)，半径为22，∴圆心到公共弦的距离d ＝|－2－4＋4|12＋(－2)2＝255，∴公共弦长为＝1255，即|MN |＝1255.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．答案x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3,4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称．易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，＝－1，＝43x＝－1，＝－43，由对称性可知公切线l21设公切线l2的方程为y＋43＝k(x＋1)，则点O(0,0)到l2的距离为1，所以1＝|k－43|k2＋1，解得k＝724，所以公切线l2的方程为y＋43＝724(x＋1)，即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝43x垂直，设公切线l3的方程为y＝－34x＋t，易知t>0，则点O(0,0)到l3的距离为1，所以1解得t＝54或t＝－54(舍去)，所以公切线l3的方程为y＝－34x＋54，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.课时精练一、单项选择题1．已知圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)与y轴相切，则r等于()A.2B.3C．2D．3答案C解析圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)的圆心为(2,3)，半径为r.因为圆与y轴相切，所以r＝2. 2．(2024·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是()A．外离B．相交C ．外切D ．内切答案B解析由题意知，圆O 1：(x －1)2＋y 2＝1，可得圆心坐标O 1(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2：x 2＋(y －2)2＝4，可得圆心坐标O 2(0,2)，半径r 2＝2，则两圆的圆心距|O 1O 2|＝1＋4＝5，则2－1<5<2＋1，即|r 2－r 1|<|O 1O 2|<r 1＋r 2，所以圆O 1与圆O 2相交．3．(2023·北京模拟)直线y ＝x ＋1被圆O ：x 2＋y 2＝1截得的弦长为()A ．1 B.2C ．2D ．22答案B解析圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，半径r ＝1，则圆心O (0,0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝12＝22，所以直线y ＝x ＋1被圆O ：x 2＋y 2＝1所截得的弦长为2r 2－d 2＝2×1－12＝ 2.4．若一条光线从点A (－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案D解析点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，圆心为(－3,2)，得|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.5．圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0距离为2的点有()A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个答案B 解析因为x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，所以圆心C (－1，－2)，圆的半径r ＝22，又因为圆心C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，所以r －d ＝2，所以过圆心平行于直线x ＋y ＋1＝0的直线与圆有2个交点，另一条与直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，所以圆C 上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有3个．6．(2023·武汉模拟)已知点P 在圆O ：x 2＋y 2＝1上运动，若对任意点P ，在直线l ：x ＋y －4＝0上均存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2AB 长度的最小值是()A.2－1B.2＋1C ．22－1D ．42＋2答案D 解析如图，由题可知，圆心为O (0,0)，半径R ＝1，若直线l ：x ＋y －4＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则O ：x 2＋y 2＝1始终在以AB 为直径的圆内或圆上，点O (0,0)到直线l 的距离d ＝|0－0－4|12＋12＝22，所以AB 长度的最小值为2(d ＋1)＝42＋2.二、多项选择题7．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝25，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋a )2＝4，若圆C 1与圆C 2内切，则实数a 的值是()A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案BC 解析由题可知圆心C 1(a ，－2)，半径r 1＝5，圆心C 2(－1，－a )，半径r 2＝2，因为圆C 1与圆C 2内切，所以|C 1C 2|＝(a ＋1)2＋(－2＋a )2＝|r 1－r 2|＝3，解得a ＝－1或a ＝2.8．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，点P 是直线l ：x ＋y ＝0上一动点，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点分别是A 和B ，则下列说法错误的是()A ．圆C 上恰有一个点到直线l 的距离为12B ．切线|PA |长的最小值为1C ．四边形ACBP 面积的最小值为2D ．直线AB 答案AC 解析对于A ，由圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，可得圆心C (2,0)，半径r ＝1，∴圆心C 到直线l ：x ＋y ＝0的距离为|2|2＝2，∵2－1<12<2＋1，故圆C 上不是只有一个点到直线l 的距离为12，故A 错误；对于B ，由圆的性质，可得切线长|PA |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1，当|PC |最小时，|PA |最小，又|PC |min ＝2，则|PA |min ＝1，故B 正确；对于C ，由四边形ACBP 的面积为2×12×|PA |·|CA |＝|PA |，因为|PA |min ＝1，所以四边形ACBP 的面积的最小值为1，故C 错误；对于D ，设P (t ，－t )，由题知A ，B 在以PC 为直径的圆上，又由C (2,0)，所以(x －t )(x －2)＋(y ＋t )(y －0)＝0，即x 2＋y 2－(t ＋2)x ＋ty ＋2t ＝0，因为圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－4x ＋3＝0.两圆的方程相减得直线AB：(2－t)x＋ty－3＋2t＝0，即2x－3－t(x－y－2)＝0，x－3＝0，－y－2＝0，＝32，＝－12，即直线ABD正确．三、填空题9．写出一个经过原点，截y轴所得弦长是截x轴所得弦长2倍的圆的标准方程__________．答案(x－1)2＋(y－2)2＝5(答案不唯一)解析显然圆截x轴、y轴所得弦的一个端点为O(0,0)，设圆截x轴所得弦的另一端点为A(a,0)，a≠0，则该圆截y轴所得弦的另一端点为B(0,2a)或B(0，－2a)，因此该圆的圆心Cr＝52|a|，所以该圆的标准方程为＋(y－a)2＝54a2或＋(y＋a)2＝54a2，取a＝2，得圆的一个标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.10．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程为________________________．答案(x－2)2＋(y－2)2＝2解析曲线方程化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝|6＋6－2|2＝52.所求的最小圆的圆心在直线y＝x上，其到直线的距离为2，圆心坐标为(2,2)．标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.11．若圆C1：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝1上，则r的取值范围是__________．答案[5－1，5＋1]解析设圆C1关于y轴的对称圆为圆C3，其方程为(x＋1)2＋y2＝r2，根据题意，圆C3与圆C2有交点，又圆C3与圆C2的圆心距为(－1＋2)2＋(2－0)2＝5，要满足题意，只需|r－1|≤5≤r＋1，解得r∈[5－1，5＋1]．12．(2023·大庆模拟)已知直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，并且点B(3,4)到直线l 的距离是2，这样的直线l有________条．答案4解析由已知可得，圆心C(2,1)，半径r1＝1.由点B(3,4)到直线l的距离是2，所以直线l是以B(3,4)为圆心，r2＝2为半径的圆的切线，又直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，所以直线l是圆C与圆B的公切线．因为|BC|＝(3－2)2＋(4－1)2＝10>3＝r1＋r2，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l有4条．四、解答题13．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，则圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m.解得m＝25＋1011.(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.所以公共弦的长为2×27.14．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l恒过点P(4,1)．(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝23时，求l的方程．解(1)由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径r＝2，①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x＝4，此时直线与圆相切，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，若直线l与圆相切，则d＝|1－2k|k2＋1＝2，解得k＝－34，∴l：－34x－y＋4＝0，即l：3x＋4y－16＝0，综上，当直线l与圆C相切时，所求直线l的方程为x＝4或3x＋4y－16＝0.(2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，∴直线l的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，设圆心到直线l的距离为d，则d＝|1－2k| k2＋1，由垂径定理可得，d2＝4，即(2k－1)2k2＋1＋3＝4，整理得，3k2－4k＝0，解得k＝0或k＝4 3，则直线l的方程为y＝1或4x－3y－13＝0.15．(多选)(2023·重庆九龙坡育才中学模拟)已知圆M：(x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2＝1，直线l：y ＝kx，则()A．对任意实数k与θ，直线l和圆M相切B．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切答案BD解析圆M：(x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2＝1恒过定点O(0,0)，直线l：y＝kx也恒过定点O(0,0)，所以对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，故B正确；圆心M(－cosθ，sinθ)，圆心到直线l 的距离d ＝|k cos θ＋sin θ|1＋k 2＝|1＋k 2sin (θ＋α)|1＋k 2＝|sin(θ＋α)|≤1，其中tan α＝k ，则对任意实数k ，存在θ，使得直线l 和圆M 的关系是相交或者相切，故D 正确，A 错误；当θ＝0时，圆M 为(x ＋1)2＋y 2＝1，此时不存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切，故C 错误．16．(2023·赣州统考)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆C ′是以圆x 2＋y 2＝1上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C 与圆C ′交于A ，B 两点，则当∠ACB 最大时，|CC ′|＝________.答案2解析依题意，在△ABC 中，|AC |＝|BC |＝5，如图，显然0<|AB |≤2，∠ACB 是锐角，sin ∠ACB2＝12|AB ||AC |＝|AB |25，又函数y ＝sin x 因此当且仅当公共弦AB 的长度最大时，∠ACB 最大，此时弦AB 为圆C ′的直径，在Rt △ACC ′中，∠AC ′C ＝90°，|AC ′|＝1，所以|CC ′|＝|AC |2－|AC ′|2＝2.。
高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型探究 题型一 直线和圆相交 例 1 已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：无论 m 取何实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程．
高中数学
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲点击 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 一、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 Δ＞0⇔① 判别式 Δ＝0⇔② ――→ 2 Δ＝b －4ac Δ＜0⇔③ (2)几何法： 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关 系 d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 一、圆的切线方程的求法 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为 1 － k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由 图形写出切线方程 x＝x0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法 当斜率存在时，设为 k，切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径， 即可得出切 线方程． (2)代数方法 设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入 圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0，求得 k，切 线方程即可求出． 【说明】 过圆外一点作圆的切线有两条， 若在解题过程中， 只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．
高三理科数学一轮总复习第八章 直线和圆的方程
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命题展望
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；
当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以＝2，解得k＝－，方程为3x＋4y－10＝0.
故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.
5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.
7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.
10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.
本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.
l的倾斜角为2θ，tan2θ＝ ＝＝.
高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系PPT课件
16－34k2>0，解得－8
3
38 <k<
3
3，
.
由题易知点(1,2)应在已知圆的外部， 把点代入圆的方程得 1＋4＋k＋4＋k2－15>0， 即(k－2)·(k＋3)>0，解得 k>2 或 k<－3， 则实数 k 的取值范围是－83 3，－3∪2，8 3 3.
[答案]
1．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上， 直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选 D 设圆心的坐标为(a,0)(a>0)， 又因为直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切， 所以 |33a2＋＋44|2＝2，解得 a＝2 或－134(舍)， 因此圆的方程为(x－2)2＋y2＝22， 即 x2＋y2－4x＝0.
(2)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A，B
两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线
l 的斜率等于( )
A. 3 B．－ 3 C．± 3 D．－ 3
3
3
3
[自主解答] (1)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－ a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－a，则圆心 C 到直线 x ＋y＋2＝0 的距离 d＝ 12＋1＝ 2，所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a ＝－4.
解析：法一：几何法：圆心到直线
的距离为d＝
|0－2| 2
＝
2 ，圆的半径r＝
2，所以弦长l＝2× r2－d2 ＝2 4－2 ＝
2 2.
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——直线与圆、圆与圆的位置关系
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。
高考数学一轮复习第八章第二节第1课时系统知识__圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系讲义含解析
第二节圆与方程第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系1．圆的定义及方程点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：当F＝0时，圆过原点.当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上.当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点.当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A版教材P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________．答案：(x－2)2＋y2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝01．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard.[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|.[谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝D 2＋E 2－4F ＞交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λAx ＋By ＋C ＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化解析：选B ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________．解析：由题意知点M 在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________． 解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝05．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋y 2＝86．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 2圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)[提醒] 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交时：将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； 两圆圆心的连线垂直平分公共弦；x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λx 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0表示过两圆交点的圆系方程不包括C 2[小题练通]1.[人教A 版教材P133A 组T9]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋－2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有( ) A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝7－32＋[1－－2]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.。
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲
高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲【本讲主要内容】圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=，方程表示圆心为(),C a b ，半径为r 的圆。
2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x⑴当0422>-+F E D 时，表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，的圆； ⑵当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ⑶当0422<-+F E D 时，它不表示任何图形。
3. 圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①2x 和2y 的系数相同，都不等于０；②没有xy 这样的二次项。
二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是：①2x 和2y 的系数相等且不为零，即0A C =≠；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+F E D ，其中①、②是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。
说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。
4. 圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩()*，并且对于t 的每一个允许值，由方程组()*所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么方程组()*就叫做这条曲线的参数方程，联系,x y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩()θ为参数表示圆心为()a ，b ，半径为r 的圆。
5. 直线与圆的位置关系： ⑴点与圆的位置关系：若圆()()222x a y b r -+-=，那么点()000,P x y 在⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-⇔<-+-⇔=-+-⇔220202202022020)()()()()()(r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上⑵直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。
高考数学 第八章 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
D．x－ 3y＋2＝0
3．(2013·高考广东卷)垂直于直线 y＝x＋1 且与圆 x2＋y2＝1
相切于第一象限的直线方程是( A )
A．x＋y－ 2＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋ 2＝0
4．(2013·高考浙江卷) 直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝ 0所截得的弦长等于__4___5___. 5．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实 数k的 取值范围是__(_－___3_，____3_)___．
1．(2012·高考安徽卷)若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2
有公共点，则实数 a 的取值范围是( C )
A．[－3，－1]
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【解析】 由题意知，圆心为(a，0)，半径 r＝ 2. 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径， 即|a－0＋1|≤ 2，∴|a＋1|≤2.∴－3≤a≤1.
圆的切线与弦长
(1)(2013·高考山东卷文)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－
2)2＝4 的弦，其中最短弦的长为__2___2___．
(2)(2013·高考山东卷理)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1 的两
条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为 ( A )
A．2x＋y－3＝0
位置关系
r2的关系
代数法：两圆方程联 立组成方程组的解的
情况
相离 外切
_d_>_r_1＋__r_2 _ _d_＝__r_1＋__r_2
高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。
届数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系教师文档教案文
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页［基础梳理］1．直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d〈r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d〉r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x（或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.①Δ〉0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ〈0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r错误!(r1〉0)，圆O2＋（y－b2＝r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d〉r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2）一组实数解内含0≤d〈|r1－r2|(r1≠r2）无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ(Ax＋By＋C）＝0.（2）经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0。
[四基自测]1．（基础点:直线与圆的位置关系）直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为（)A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系）两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切 D.内含答案：B3．（基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点,则｜AB｜＝________．答案：104．（易错点:求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋错误!）和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或3授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的判断/ 自主练透[例1](1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D。
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第8节直线与圆锥曲线的位置关系第2课时范围最值问题教师用书
第2课时 范围、最值问题考点1 范围问题——综合性(2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 距离的取值范围．解：(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 2(c,0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆：(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ． 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)设B (m ，n )，设M ，N 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点． 因为O 为△BMN 的重心，则BO ＝2OD ＝OA ，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－n 2，即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时B 在长轴的端点处． 由|OB |＝2，得|OD |＝1，则O 到直线MN 的距离为1，B 到直线MN 的距离为3．当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0．因为D 为M ，N 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2．因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2＝12144＋16n2＝39＋n2．因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23， 所以123≤19＋n 2<13，所以332≤3d <3． 综上所述，332≤3d ≤3，即点B 到直线MN 距离的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤332，3．圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m,0)，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a ＋c ＝2＋1，1×4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1．(2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k (x －1)，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝(－4k 2)2－4(2k 2－2)(1＋2k 2)＝8k 2＋8>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2． 可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2．当k ＝0时，直线MN 为x 轴，此时m ＝0；当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 化简得ky ＋x －k 21＋2k2＝0．令y ＝0，得x ＝k 21＋2k2，所以m ＝k 21＋2k 2＝11k2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12． 综上所述，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12．考点2 最值问题——应用性考向1 利用几何性质求最值在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为___________．22解析：双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线间的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22，由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22． 考向2 利用函数、导数求最值(2022·江门市高三一模)如图，抛物线C ：y 2＝8x 与动圆M ：(x －8)2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B ，C ，D 四个不同点．(1)求r 的取值范围；(2)求四边形ABCD 面积S 的最大值及相应r 的值．解：(1)联立抛物线与圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，(x －8)2＋y 2＝r 2，消去y ，得x 2－8x ＋64－r 2＝0．若圆与抛物线有四个不同交点，则方程有两个不等正根．所以⎩⎪⎨⎪⎧64－r 2>0，64－4(64－r 2)>0，解得43<r <8，所以r 的取值范围为(43，8)．(2)设A (x 1,22x 1)，B (x 2,22x 2)，其中x 2>x 1>0，则x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝64－r 2，S ＝12(42x 1＋42x 2)(x 2－x 1)＝(22x 1＋22x 2)(x 2－x 1)， S 2＝8(x 1＋x 2＋2x 1x 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]， S 2＝64(4＋64－r 2)[16－(64－r 2)]．令x ＝64－r 2(0<x <4)，令f (x )＝(4＋x )(16－x 2)(0<x <4)，f ′(x )＝16－8x －3x 2＝(4－3x )(x ＋4)．当0<x <43时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当43<x <4时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2 04827，S ＝8f (x )≤25669．当x ＝43时，S 取得最大值，取64－r 2＝43，r ＝4353．考向3 利用基本不等式求最值(2022·唐山三模)在直角坐标系xOy 中，A (－1,0)，B (1,0)，C 为动点，设△ABC的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于P ，Q ，R ，且|CP |＝1，记点C 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)不过原点O 的直线l 与曲线E 交于M ，N ，且直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，求△OMN的面积的最大值．解：(1)依题意可知，|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4>|AB |， 所以曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)， 因此曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，代入x 24＋y 23＝1整理，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，(*)Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)>0．则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3，故MN 的中点T ⎝⎛⎭⎪⎫－4km 4k 2＋3，3m 4k 2＋3．而直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，得3m 4k 2＋3＝－12×－4km4k 2＋3， 又m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝32．故(*)式可化简为3x 2＋3mx ＋m 2－3＝0，故x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－33．由Δ＝36－3m 2>0且m ≠0，得－23<m <23且m ≠0． 又|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝132×36－3m 23＝1323×12－m 2，而点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13， 则△OMN 的面积为S ＝12×2|m |13×1323×12－m 2＝123|m |×12－m 2≤123×m 2＋12－m 22＝3， 当且仅当m ＝±6时，等号成立，此时满足－23<m <23且m ≠0，所以△OMN 的面积的最大值为3．最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(一般方法、基本不等式法、导数法等)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过点T (0，p )作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1交抛物线C 于A ，B 两点，l 2交抛物线C 于E ，F 两点，当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，线段AB 的中点为M ，线段EF 的中点为N ，求△OMN 面积的最小值．解：(1)因为x 2＝2py 可化为y ＝x 22p ，所以y ′＝xp．因为当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12，所以1p ＝12，所以p ＝2，所以，抛物线C 的标准方程为x 2＝4y ． (2)由(1)知点T 坐标为(0,2)，由题意可知，直线l 1和l 2斜率都存在且均不为0． 设直线l 1方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝4y ，联立消去y 并整理，得x 2－4kx －8＝0，Δ＝(－4k )2＋32＝16k 2＋32>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－8， 所以，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4． 因为M 为AB 中点，所以M (2k,2k 2＋2)．因为l 1⊥l 2，N 为EF 中点，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，2k2＋2，所以直线MN 的方程为y －(2k 2＋2)＝2k 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋22k ＋2k·(x －2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ·(x －2k )， 整理得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k x ＋4，所以，直线MN 恒过定点(0,4)．所以△OMN 面积S ＝12×4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ＋1k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫|k |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ≥4·2|k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k＝8，当且仅当|k |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k即k ＝±1时，△OMN 面积取得最小值为8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆C 的右顶点，过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，M 在x 轴的上方，直线AM 与圆O 的另一交点为P ，直线AN 与圆O 的另一交点为Q ．(1)若AP →＝3AM →，求直线AM 的斜率；(2)设△AMN 与△APQ 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值．[四字程序]读想算思已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交 1．向量AP →＝3AM →如何转化？2．如何表示三角形的面积把S 1S 2用直线AM 的斜率k 来表示 转化与化归求直线AM 的斜率，求△AMN 与△APQ 的面1．用A ，P ，M 的坐标表示．S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |，进把面积之比的最大值转化为一个变量的不积之比2．利用公式S ＝12ab ·sin C 表示并转化而用基本不等式求其最大值等式思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，将y ＝k (x －2)与椭圆方程x 24＋y 2＝1联立，(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，得x A ＋x M ＝16k21＋4k2，求得点M 的横坐标为x M ＝8k 2－24k 2＋1，纵坐标为y M ＝－4k4k 2＋1．将y ＝k (x －2)与圆方程x 2＋y 2＝4联立，得(1＋k 2)·x 2－4k 2x ＋4k 2－4＝0，得x A ＋x P ＝4k21＋k2， 求得点P 的横坐标为x P ＝2k 2－2k 2＋1，纵坐标为y P ＝－4kk 2＋1． 由AP →＝3AM →得y P ＝3y M ， 即－4k k 2＋1＝－12k4k 2＋1． 又k <0，解得k ＝－2．(2)由M ，N 关于原点对称，得点N 的坐标为x N ＝－8k 2＋24k 2＋1，y N ＝4k4k 2＋1，所以直线AN 的斜率为k AN ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－2＝－14k． 于是|AM ||AP |＝y M y P ＝k 2＋14k 2＋1，同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋1＝16k 2＋116k 2＋4．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝k 2＋14k 2＋1·16k 2＋116k 2＋4＝16k 4＋17k 2＋14(16k 4＋8k 2＋1) ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9k 216k 4＋8k 2＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋916k 2＋1k2＋8 ≤14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋9216k 2·1k 2＋8＝2564， 当且仅当16k 2＝1k 2，即k ＝－12时等号成立，所以S 1S 2的最大值为2564．思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，由AP →＝3AM →转化为x P －x A ＝3(x M －x A )求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16k 2x ＋4(4k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x M ＝4(4k 2－1)4k 2＋1，而x A ＝2，所以x M ＝2(4k 2－1)4k 2＋1． 将y ＝k (x －2)代入圆的方程，整理得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4(k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x P ＝4(k 2－1)k 2＋1，而x A ＝2，所以x P ＝2(k 2－1)k 2＋1．由AP →＝3AM →，得x P －x A ＝3(x M －x A )，即2(k 2－1)k 2＋1－2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(4k 2－1)4k 2＋1－2，解得k 2＝2． 又k <0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，所以k AM k AN ＝－14，即kk AN ＝－14，所以k AN ＝－14k．下同解法1(略)．思路参考：设直线AM 的方程为x ＝my ＋2，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋2(m ≠0)，将其代入椭圆方程，整理得(m 2＋4)y 2＋4my ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－4mm 2＋4． 将x ＝my ＋2代入圆的方程，整理得(m 2＋1)y 2＋4my ＝0，得点P 的纵坐标为y P ＝－4mm 2＋1． 由AP →＝3AM →，得y P ＝3y M ，即m m 2＋1＝3m m 2＋4．因为m ≠0，解得m 2＝12，即m ＝±12．又直线AM 的斜率k ＝1m<0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，又k AM k AN ＝－14，由(1)知k AM ＝1m ，所以有1m k AN ＝－14，则k AN ＝－m4．又y M ＝－4m m 2＋4，y P ＝－4mm 2＋1， 所以|AM ||AP |＝y M y P ＝m 2＋1m 2＋4．同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋1＝m 2＋164(m 2＋4)．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝m 2＋1m 2＋4·m 2＋164(m 2＋4)．下同解法1(略)．1．本题考查三角形面积之比的最大值，解法较为灵活，其基本策略是把面积的比值表示为斜率k 的函数，从而求其最大值．2．基于新课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力．本题的解答体现了数学运算的核心素养．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由题意知2c ＝233，解得c ＝3．因为e ＝ca ＝32， 所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1． 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)(方法一)显然直线l 的斜率存在．设直线l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且P 在线段AQ 上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＋4y 2－4＝0得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，所以x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)>0，得k 2>34．则S △OPQ ＝S △AOQ －S △AOP＝12×2×|x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝44k 2－34k 2＋1． 令4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，于是S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，所以l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2． (方法二)依题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将直线l 的方程代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，则Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34．x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由弦长公式得|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·44k 2－34k 2＋1．由点到直线的距离公式得点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2，所以S △OPQ ＝12|PQ |×d ＝121＋k 2×44k 2－34k 2＋1×21＋k 2＝44k 2－34k 2＋1． 设4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，所以S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立．7 2x－2或y＝－72x－2．故所求直线l的方程为y＝。
高考文科数学一轮复习练习第八篇第3节 直线圆的位置关系
第3节直线、圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆、圆与圆的位置关系2,8,12直线与圆相切问题1,6,7,13与圆的弦长有关问题3,4,9,10综合应用问题5,11,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x4y=0相切,则a的值为( B )(A)± (B)±5 (C)3 (D)±3解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y2)2=5,因为直线与圆相切,所以有=,即a=±5.故选B.2.(2018·四川遂宁期末)圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y24x+8y+4=0的位置关系是( B )(A)相交(B)外切(C)内切(D)相离解析:圆C1:x2+y2+2x=0即(x+1)2+y2=1的圆心C1(1,0),半径等于1.圆C2:x2+y24x+8y+4=0化为(x2)2+(y+4)2=16的圆心C2(2,4),半径等于4.两圆的圆心距等于=5,而5=1+4,故两圆相外切,故选B.3.(2018·广西南宁、梧州联考)直线y=kx+3被圆(x2)2+(y3)2=4截得的弦长为2,则直线的倾斜角为( A )(A)或(B)或(C)或(D)解析:由题知,圆心(2,3),半径为2,所以圆心到直线的距离为d==1.即d==1,所以k=±,由k=tan α,得α=或.故选A.4.(2017·河南师大附中期末)已知圆的方程为x2+y26x8y=0.设该圆过点(1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( B )(A)15 (B)30 (C)45 (D)60解析:圆的标准方程为(x3)2+(y4)2=25,过点(1,4)的最长弦AC所在的直线过圆心,故AC=10,过点(1,4)的最短弦BD所在直线垂直于AC,由勾股定理得BD=6,故四边形ABCD的面积为S=×6×10=30.故选B.5.已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则a的取值范围为( A )(A)(3,3)(B)(∞,3)∪(3,+∞)(C)(2,2)(D)[3,3 ]解析:由圆的方程可知圆心为O(0,0),半径为2,因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d<2+1=3,即d==<3,解得a∈(3,3),故选A.6.(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2xy+4=0与2xy6=0同时相切的圆的标准方程为( A )(A)(x1)2+(y1)2=5 (B)(x+1)2+(y+1)2=5(C)(x1)2+y2=5 (D)x2+(y1)2=5解析:因为两条直线2xy+4=0与2xy6=0的距离为d==2,所以所求圆的半径为r=,所以圆心(a,1)到直线2xy+4=0的距离为==,即a=1或a=4,又因为圆心(a,1)到直线2xy6=0的距离也为r=,所以a=1,所以所求的标准方程为(x1)2+(y1)2=5,故选A.7.已知圆C的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.解析:由题意可得圆心(1,0),圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径,故r==,所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=28.导学号 94626201(2018·湖南郴州质监)过点M(,1)的直线l与圆C:(x1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为.解析:由题意得,当CM⊥AB时,∠ACB最小,k CM=2,所以k AB=,从而直线方程为y1=(x),即2x4y+3=0.答案:2x4y+3=09.(2017·深圳一模)直线axy+3=0与圆(x2)2+(ya)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是.解析:设圆心到直线的距离为d,则d==,由r2=d2+()2知()2=4≥3,解得a≤.答案:(∞,)能力提升(时间:15分钟)10.已知圆(x2)2+(y+1)2=16的一条直径经过直线x2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( D )(A)3x+y5=0 (B)x2y=0(C)x2y+4=0 (D)2x+y3=0解析:直线x2y+3=0的斜率为,已知圆的圆心坐标为(2,1),该直径所在直线的斜率为2,所以该直径所在的直线方程为y+1=2(x2),即2x+y3=0,故选D.11.导学号 94626202已知点P的坐标(x,y)满足过点P的直线l与圆C:x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值是( B ) (A)2 (B)4 (C) (D)2解析:根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,设点P到圆心的距离为d,则求最短弦长,等价于求到圆心的距离最大的点,即为图中的P点,其坐标为(1,3),则d==,此时|AB|min=2=4,故选B.12.(2017·河南豫北名校联盟联考)已知圆C:x2+y2+8x+15=0,若直线y=kx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围为.解析:圆C即(x+4)2+y2=1,所以圆心为(4,0),半径r=1,直线即kxy2=0,≤2,解之得≤k≤0,即实数k的取值范围为[,0].答案:[,0]13.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·= .解析:由题意,圆心为O(0,0),半径为1.因为P(1,),不妨设PA⊥x 轴,PA=PB=.所以△POA为直角三角形,其中OA=1,AP=,则OP=2,所以∠OPA=30°,所以∠APB=60°.所以·=||||·cos∠APB=××cos 60°=.答案:14.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心C(a,0)(a>),则=2⇒a=0或a=5(舍).所以圆C:x2+y2=4.(2)当直线AB⊥x轴时,x轴上任意一点都满足x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)x22k2x+k24=0.所以x1+x2=,x1x2=.若x轴平分∠ANB,则k AN=k BN⇒+=0⇒+=0⇒2x1x2(t+1) (x1+x2)+2t=0⇒+2t=0⇒t=4,所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.15.(2018·广东汕头期末)在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y212x14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.解:圆M的标准方程为(x6)2+(y7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心在直线x=6上,可设N(6,y0),因为N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7y0=5+y0,解得y0=1,因此,圆N的标准方程为(x6)2+(y1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2xy+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=15.故直线l的方程为2xy+5=0或2xy15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以①因为点Q在圆M上,所以(x26)2+(y27)2=25,②将①代入②,得(x1t4)2+(y13)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x(t+4)]2+(y3)2=25上,从而圆(x6)2+(y7)2=25与圆[x(t+4)]2+(y3)2=25有公共点, 所以55≤≤5+5,解得22≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[22,2+2].。
高中数学第一轮总复习 第8章第48讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文
5．直线与圆相切的问题是考得比较多的内容，
因而要重视．
1 过圆上的点作圆的切线只有一条；
2 过圆外一点作圆的切线肯定有两条，如果只
求到一条，要考虑是否把斜率不存在的情况漏掉了．
3 判断或利用直线与圆相切时，用d＝r比用
＝0更简便一些．
6．直线与圆相交时，半径r、弦心距d、弦长的
一半 l 的勾股关系r2＝d 2＋( l )2非常重要．
1．直线与圆的三种位置关系的判断方法有两种:
1几何法：将圆心到直线的距离d与圆的半
径r进比较：①相交 d r；②相切 d＝r； ③相离 d r.
2 代数法：将直线方程代入圆的方程后得到
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0或ay2＋by＋c＝0，然后 用判别式＝b2－4ac判断：① 0 相交；②＝ 0 相切；③ 0 相离．
因为OP
1 OC,所以(－1, 2)＝1
3
3
(a，b)，所以ba
3 6
故所求圆的方程为(x＋3)2＋( y－6)2＝20.
本题的关键是采用待定系数法求圆心 的坐标，步骤是：根据两圆相外切的位置 关系，寻找圆心满足的条件，列出方程组 求解．方法2利用向量沟通两个圆心的位置 关系，既有共线关系又有长度关系，显得 更简洁明快，值得借鉴．
直线与圆相切
【例1】 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，P点的坐标为(2， －1)，过点P作圆C的切线，切点为A、B.求： (1)直线PA、PB的方程； (2)过P点的圆的切线长； (3)直线AB的方程．
【解析】1如图，设过P点的圆
的切线方程为y＋1＝k ( x－2)， 即kx－y－2k－1＝0.
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐 标和方程表示问题中的元素，将平面几何问题转 化为代数问题；
备战高考数学一轮复习讲义第八章
第八章 解析几何第38讲 直线的方程及位置关系1. C 解析： 若1－k ＝0，即k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25，显然两直线垂直．若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝k k －1，k 2＝1－k 2k ＋3.由k 1k 2＝－1，得k ＝－3.综上，k ＝1或k ＝－3.2. C 解析： 因为直线x ＋ay ＋b ＝0经过第一、二、四象限，则该直线的斜率－1a <0，可得a >0，该直线在y 轴上的截距－b a >0，可得b <0.3. B 解析： 当直线过原点时，直线方程为y ＝32x .当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y b ＝1.因为在两坐标轴上的截距相等，所以b ＝a ，将点P (2,3)代入得2a ＋3a ＝1，解得a ＝b ＝5，此时直线方程为x ＋y －5＝0.综上，满足过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条．4. B 解析： 直线kx －y ＋2k ＝0恒过定点M (－2,0)，直线x ＋ky －2＝0恒过定点N (2,0)，而k ·1＋(－1)·k ＝0，即直线kx －y ＋2k ＝0与直线x ＋ky －2＝0垂直．当P 与N 不重合时，PM ⊥PN ，PM→·PN →＝0，当P 与N 重合时，PM →·PN →＝0，设P (x ，y )，则PM→＝(－2－x ，－y )，PN →＝(2－x ，－y )，于是得x 2＋y 2＝4，显然点P 与M 不重合，因此，点P 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆(除点M 外)，如图．由图可知，射线AP 绕点A 旋转，且∠OAP ∈[0,90°)．当AP 旋转到与圆O ：x 2＋y 2＝4相切时，∠OAP 最大，tan ∠OAP 最大．因为|OA |＝4，AP ′为切线，P ′为切点，|OP ′|＝2，∠OP ′A ＝90°，所以∠OAP ′＝30°，所以∠OAP 的最大值为30°，(tan ∠OAP )max ＝tan30°＝33.(第4题)5. AC 解析： 由方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2，即交点P (0,2)．又l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以l 的斜率为－43，所以故直线l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.6. BD 解析： 方法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0，可知①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，只需2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或m ＝－3.综上，m 的值为2或－3.方法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2.综上，m 的值为2或－3.7. －13 解析： 由题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则⎩⎨⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎨⎧ a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 8. 12 解析： 由题意知a ≠2，所以k AB ＝22－a ＝k AC＝2－b 2⇒4＝(2－a )(2－b )⇒ab ＝2(a ＋b )⇒1a ＋1b ＝12.9. 2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0或2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0 解析：因为l 1∥l 2，所以m 2＝8m ≠n －1，所以⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧ m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0，所以|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18，所以直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0，所以|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22，所以直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.综上，直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0或2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.10. 【解答】 (1) 直线l 的方程整理得(2x ＋y ＋4)＋m (x －2y －3)＝0，由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝－4，x －2y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－2，所以无论m 为何实数，直线l 过定点M (－1，－2)．(2) 过定点M (－1，－2)作一条直线l 1，使直线l 1夹在两坐标轴之间的线段被点M 平分，则直线l 1过点(－2,0)，(0，－4)．设直线l 1的方程为y ＝kx ＋b ，把两点坐标代入得⎩⎨⎧ －2k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎨⎧ k ＝－2，b ＝－4，则直线l 1的方程为y ＝－2x －4，即2x ＋y ＋4＝0.11. 【解答】 (1) 将(a ＋1)x ＋y －5－2a ＝0整理成(x －2)a ＋x ＋y －5＝0，令⎩⎨⎧ x －2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3，所以定点P 为(2,3)，故不论a 为何值，直线l 必过定点P (2,3)．(2) 由题意知a ＋1≠0，由(a ＋1)x ＋y －5－2a ＝0，得当y ＝0时，x A ＝5＋2a a ＋1，当x ＝0时，y B ＝5＋2a .由⎩⎨⎧ 5＋2a a ＋1>0，5＋2a >0，得a >－1，所以△AOB 的面积S ＝12·x A ·y B＝12·5＋2a a ＋1·(5＋2a )＝12，解得a ＝12，此时A (4,0)，B (0,6)，|AB |＝42＋62＝213，所以△AOB 的周长为4＋6＋213＝10＋213，故当△AOB 的面积为12时，△AOB 的周长为10＋213.12. BC 解析： 因为函数f (x )在x ＝2处的导数存在，所以lim Δx →0 f (2)－f (2＋Δx )2Δx ＝－12lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝－12f ′(2)，则B 正确．又因为lim Δx →0 f (2－Δx )－f (2)2Δx ＝－12lim Δx →0 f (2－Δx )－f (2)－Δx＝－12f ′(2)，所以C 正确． 13. 【解答】 (1) 因为a m ＝27，所以数列{a n }的前m 项中含有A 中的元素为1,3,5,7,9，…，27，共有14项，数列{a n }的前m 项中含有B 中的元素为3,9,27，共有3项，排列后为1,3,3,5,7,9,9，…，27,27，所以m ＝16或17.(2) 因为2×50－1＝99,34＝81<99,35＝243>99，所以数列{a n }的前50项中含有B 中的元素为3,9,27,81，共有4项，它们都是正奇数，均属于A ，所以数列{a n }的前50项中含有A 中的元素为1,3,5,7,9，…，27,29，…，79,81,83，…，2×46－1＝91，共有46项，所以S 50＝46×(1＋91)2＋(3＋9＋27＋81)＝2 116＋120＝2 236.第39讲 圆的方程1. A 解析： 方程x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0⇒(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为(－1,2)，半径为3.2. D 解析： 设圆C 的圆心坐标为C (a,0)，半径为r ，则圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，由题知⎩⎨⎧(－1－a )2＋12＝r 2，(1－a )2＋32＝r 2，解得a ＝2，r 2＝10，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.3. B 解析： 若方程x 2＋y 2－x ＋3y ＋a ＝0表示圆，则(－1)2＋32－4a ＝10－4a >0，解得a <52.因为a <3D ⇒/a <52，a <52⇒a <3，所以甲是乙的必要不充分条件．4. D 解析： 设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是线段AB 的中点，所以x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋32，于是x 0＝2x －4，y 0＝2y －3①.因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，即(x 0＋1)2＋y 20＝4②.把①代入②，得(2x －4＋1)2＋(2y －3)2＝4，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，这就是点M 的轨迹方程，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，半径为1的圆．5. AB 解析： 对于A ，圆心为(k ，k )，一定在直线y ＝x 上，A 正确；对于B ，将(3,0)代入得2k 2－6k ＋5＝0，其中Δ＝－4<0，方程无解，即所有圆C k 均不经过点(3,0)，B 正确；对于C ，将(2,2)代入得k 2－4k ＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8>0，故经过点(2,2)的圆C k 有两个，故C 错误；所有圆的半径为2，面积为4π，故D 错误．6. AB 解析： 将点(0,2)代入曲线C ：(x －m )2＋(y －m )2＝(m －1)2可得(－m )2＋(2－m )2＝(m －1)2，整理得m 2－2m ＋3＝0，即(m －1)2＋2＝0，显然此方程无解，即曲线C 一定不过点(0,2)，A 正确；当m >1时，易得曲线C 是圆心为(m ，m )，半径为m －1的圆，此时原点和圆心之间的距离为m 2＋m 2＝2m ，2m －(m －1)＝(2－1)m ＋1>0，故原点在圆外，过原点有两条直线与曲线C 相切，B正确；当m ＝1时，曲线C ：(x －1)2＋(y －1)2＝0，则⎩⎨⎧ x －1＝0，y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，则曲线C 表示一个点，C 错误；当m ＝2时，曲线C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1，圆心(2,2)在直线y ＝x 上，则直线y ＝x 被曲线C 截得的弦长即为圆的直径，等于2，D 错误． 7. 2 解析： 圆(x －1)2＋y 2＝2的圆心为(1,0)，半径r ＝2，则圆心(1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|1－0＋3|12＋(－1)2＝22>2，所以直线与圆相离，则点P 到直线y ＝x ＋3的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径，所以点P 到直线x －y ＋3＝0的最短距离为22－2＝ 2.8. x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0 解析： 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2①.因为半径为r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20②.由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎨⎧D ＝－4，E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D 2＜0，即D ＞0，－E 2>0，即E <0，则⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4，故圆C 的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.9. x 2＋y 2－4x －2y －20＝0 解析： 方法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由题意知⎩⎨⎧ －D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0. 方法二：由题意可求得线段AC 的垂直平分线的方程为x ＝2，线段BC 的垂直平分线的方程为x ＋y －3＝0，则圆心是两垂直平分线的交点(2,1)，半径r ＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25，一般方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.10. 【解答】 (1) 由y ＝x 2－2x －3，令y ＝0，解得x ＝－1或x ＝3.令x ＝0，得y ＝－3，所以圆C 过(0，－3)，(3,0)，(－1,0)．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧ 9－3E ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－3，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0. (2) 设M (x ，y )，则A (2x,2y )，将A 的坐标代入圆C 的方程得4x 2＋4y 2－4x＋4y －3＝0，即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－x ＋y －34＝0.11. 【解答】 (1) 令P (x ，y )，由题意知C (1,3)．因为|PC |＝2|PB |，所以(x －1)2＋(y －3)2＝4[(x －4)2＋y 2]，整理得(x －5)2＋(y ＋1)2＝8，故曲线E 的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝8.(2) 由(4－5)2＋(0＋1)2＝2<8，知B (4,0)在曲线E 内部，要使△OBM 的面积是△OBN 的面积的3倍，即|y M |＝3|y N |.当直线l 的斜率为0时，直线l 为y ＝0，此时△OBM ，△OBN 的面积均为0，不满足题设；令直线l 为x ＝ky ＋4，代入曲线E 中，整理得(1＋k 2)y 2＋2(1－k )y －6＝0，Δ＝4(1－k )2＋24(1＋k )2>0，所以y M ＋y N ＝2(k －1)1＋k 2，y M y N ＝－61＋k 2<0，则y M ＝－3y N ，所以y M ＋y N ＝－2y N ＝2(k －1)1＋k 2，得y N ＝1－k 1＋k 2，则y M ＝3(k －1)1＋k 2.又y M y N ＝－3(1－k )2(1＋k 2)2＝－61＋k 2，整理得(k ＋1)2＝0，即k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＝－y ＋4，即x ＋y －4＝0.12. CD 解析： 对于A ，因为z ＝3－2i ，所以z 的虚部为－2，故A 错误；对于B ，设z ＝a ＋b i ，由|z |＝1可得a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1，有好多种情况，例如，a ＝12，b ＝32，此时z ＝12＋32i ，故B 错误；对于C ，若Z 的坐标为(－1,3)，则z ＝－1＋3i ，又z 是关于x 的实系数方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，所以(－1＋3i)2＋p (－1＋3i)＋q ＝－8－p ＋q ＋(3p －6)i ＝0，所以⎩⎨⎧3p －6＝0，－8－p ＋q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝2，q ＝10，p ＋q ＝12，故C 正确；对于D ，设z ＝a ＋b i ，则1≤a 2＋(b －2)2≤2，即1≤a 2＋(b －2)2≤2，所以Z 的集合所构成的图形为环形，如图所示，其面积为π(2－1)＝π，故D 正确．(第12题)13. 【解答】 (1) S n ＝n 2a n ，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1，两式相减得，a n＝n 2a n －(n －1)2a n －1，a 1＝1≠0，化简得a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·13·1＝2n (n ＋1)(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1满足上式，所以a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)． (2) 由(1)得，b n ＝1n ，b n b n ＋1b n ＋2＝1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)，所以T n ＝12×⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2－12×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3－13×4＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2－1(n ＋1)(n ＋2)＝14－12(n ＋1)(n ＋2)<14. 第40讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1. B 解析： 如图，(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心为(a ，b )，经过原点，可得a 2＋b 2＝1，则圆心(a ，b )在单位圆x 2＋y 2＝1上，原点(0,0)到直线y ＝x ＋2的距离为|OB |＝21＋1＝2，延长BO 交x 2＋y 2＝1于点C ，以C 为圆心，OC 为半径作圆C ，BC 的延长线交圆C 于点D .当圆心(a ，b )在C 处时，点(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离最大，且为|OB |＋1＝2＋1，此时，圆(x －a )2＋(y －b )2＝1上的点D 到直线y ＝x ＋2的距离最大，且为|OB |＋1＋1＝2＋2.(第1题)2. C解析：方法一：由题意得，圆M是过原点，以BC为直径的圆，所以圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，直线l过定点(2,2)，定点在圆上，所以圆与直线的位置关系为相交或相切．方法二：圆M的圆心为(1,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为d＝|－k＋1| k2＋1＝k2－2k＋1k2＋1＝1－2kk2＋1.当k＝0时，d＝1<2，所以直线和圆相交．当k<0时，d＝1－2kk2＋1＝1＋21－k＋(－k)≤2(当且仅当k＝－1时，等号成立)，所以直线和圆相交或相切．当k>0时，d＝1－2kk2＋1＝1－21k＋k，则0≤d<1，所以直线和圆相交．3. B解析：由x2＋y2＋4y＝0，得x2＋(y＋2)2＝4，则圆心为C(0，－2)，半径为2，如图，易知O在圆上．因为∠AOB＝45°，所以∠ACB＝90°，得CA⊥CB，则圆心C到直线x－y＋m＝0的距离d＝r sin45°＝2×22＝2，即2＝|2＋m|2，解得m＝0或m＝－4.(第3题)4. A解析：直线y＝2x＋1上任取一点P(x0，y0)作圆C：x2＋y2－4x＋3＝0的切线，设切点为A.圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，圆心C(2,0)，r＝1，切线长为|PC|2－r2＝|PC|2－1.因为|PC|min＝|2×2＋1|22＋(－1)2＝5，所以切线长的最小值为(5)2－1＝2.5. BD解析：由圆C：(x＋1)2＋y2＝2，得圆心C(－1,0)，半径r＝2，因为圆心C(－1,0)到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝|－1－0＋4|12＋(－1)2＝322>r，所以直线l 与圆C 相离，A 不正确，B 正确；|PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝22，C 不正确，D 正确．6. BD 解析： 对于A ，圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，其圆心为C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，r 1＝62，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，其圆心为C 2(1,1)，r 2＝2，直线C 1C 2的方程为y ＝x ，即线段AB 垂直平分线的方程为x －y ＝0，故A 错误；对于B ，因为|r 1－r 2|<|C 1C 2|＝22<|r 1＋r 2|，所以两圆相交，两圆方程作差可得x ＋y －3＝0，即公共弦AB 所在直线的方程为x ＋y －3＝0，故B 正确；对于C ，圆心C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在公共弦AB 上，则公共弦AB 的长为6，故C 错误；对于D ，因为圆心C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在公共弦AB 上，所以在过A ，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C 1，故D 正确．7. (x ＋1)2＋(y －2)2＝16 解析： 由题知，圆心为C (－1,2)，到直线x ＋3y ＋5＝0的距离为d ＝|－1＋6＋5|10＝10.因为圆心为C (－1,2)，且截直线x ＋3y ＋5＝0所得的弦的长为26，所以r 2＝d 2＋(6)2＝16，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝16.8. π3 解析： 设直线AP 的斜率为k ，倾斜角为α，方程为y －1＝k (x －3)⇒kx －y ＋1－3k ＝0.当直线AP 是圆x 2＋y 2＝1的切线时，|1－3k |k 2＋1＝1⇒k ＝0或k ＝3，所以0≤k ≤3，即0≤tan α≤3⇒0≤α≤π3，故直线AP 倾斜角的最大值为π3.9. ±6 解析： 联立⎩⎨⎧x ＋y －m ＝0，x 2＋y 2＝4⇒2x 2－2mx ＋m 2－4＝0.设A (x 1，－x 1＋m )，B (x 2，－x 2＋m )，则Δ＝4m 2－8(m 2－4)＝32－4m 2>0，即m 2<8，则x 1x 2＝m 2－42，x 1＋x 2＝m .因为OA →·OB →＝2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝2，所以m 2－4－m 2＋m 2＝2，解得m ＝± 6.10. 【解答】 由题意得，圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1) 因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC ＝1，所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2) 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M 在圆C 外部. 当过点M 的切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆C 的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34，所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0，切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.11. 【解答】 (1) 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，Δ＝16(k ＋1)2－28(1＋k 2)>0(*)，所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，满足(*)式，所以l 的方程为y ＝x ＋1，则圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.12. B 解析： 由题意，集合B ＝{y |y ＝2x ＋1}＝{y |y >1}，可得∁R B ＝{y |y ≤1}．又由A ＝{－2，－1,0,1,2}，可得A ∩(∁R B )＝{－2，－1,0,1}．13. f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(答案不唯一) 解析： 由题意，设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，由f (x )的最小值为－2，得A ＝2.若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π为半个周期长度，则T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π2＝π，即ω＝2πT ＝2.由①，不妨令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝－π2，解得φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，经检验，符合①②条件．14. 【解答】 (1) 在△ABC 中，因为c ＝b cos A ＋a sin B ，由正弦定理得sin C ＝sin B cos A ＋sin A sin B ，又由C ＝π－(A ＋B )，可知sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin(A ＋B )＝sin B cos A ＋sin A sin B ，即sin A sin B ＝sin A cos B .因为A ∈(0，π)，可得sin A ≠0，所以sin B ＝cos B ，即tan B ＝1.又因为0<B <π，所以B ＝π4.(2) 由M 为AC 边的中点，可得BM →＝12(BA →＋BC →)，所以BM→2＝14(BA →2＋2BA →·BC →＋BC→2)．又由|BM →|＝22，且B ＝π4，可得c 2＋a 2＋2ac ＝32①.因为b ＝4，所以由余弦定理可得a 2＋c 2－2ac ＝16②.联立①②解得ac ＝42，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝2.第41讲 椭 圆第1课时 椭圆的标准方程与基本性质1. C 解析： 由题意，椭圆C 的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.2. B 解析： 设正三角形F 2AB 的边长为m ，不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)．设|BF 1|＝x ，则|AF 1|＝m －x ，由椭圆的定义可知|BF 1|＋|BF 2|＝2a ⇒x ＋m ＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ⇒m －x ＋m ＝2a ，解得m ＝43a ，x ＝23a .在△F 2F 1B 中，由余弦定理可知|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|cos π3，即4c 2＝49a 2＋169a 2－2·2a 3·4a 3·12⇒a 2＝3c 2⇒e ＝c a ＝33.3. B 解析： 由椭圆x 2m ＋y 2m －1＝1(m >1)，可得a 2＝m ，b 2＝m －1，所以c 2＝a 2－b 2＝1，则c ＝1.如图，设△AF 1F 2内切圆的半径为r ，因为S △AF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y A |＝12(|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|)·r ，所以2c ·|y A |＝(2a ＋2c )·r ，则r ＝1m ＋1|y A |.要使△AF 1F 2内切圆的半径最大，则需|y A |最大，因为|y A |≤b ＝m －1，又△AF 1F 2内切圆的半径的最大值为33，即33＝m －1m ＋1，解得m ＝4，所以a ＝2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝12.(第3题)4. C 解析： 由椭圆定义可得点P (x ，y )在椭圆x 22＋y 2＝1上，因为点A ，B 关于点D (0，－2)对称，所以P A →·PB →＝(PD →＋DA →)·(PD →＋DB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PD →－12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PD →＋12AB →＝PD →2－14|AB →|2＝|PD→|2－1，而|PD →|＝x 2＋(y ＋2)2＝2－2y 2＋(y ＋2)2＝－(y －2)2＋10.因为－1≤y ≤1，所以当y ＝1时，|PD →|取得最大值3，所以P A →·PB→的最大值为32－1＝8.5. ACD 解析： 令椭圆的半焦距为c ，则F 1(－c,0)，F 2(c ，0)，由tan ∠BF 1F 2＝15，得b ＝15c ，a ＝4c ，椭圆C ：x 216c 2＋y 215c 2＝1，B (0，15c )．而BQ→＝2QF →2，则点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，15c 3.对于A ，椭圆C 的离心率e ＝c a ＝14，A 正确；对于B ，设K (x 0，y 0)，则y 20＝15c 2－1516x 20，KF →1·KF →2＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝116x 20＋14c 2>0，即∠F 1KF 2为锐角，B 不正确；对于C ，直线PF 1的斜率k ＝15c 32c3－(－c )＝155，C 正确；对于D ，直线BF 1的方程为15x －y ＋15c ＝0，点Q到直线BF 1的距离d ＝|2c 3×15－15c3＋15c |(15)2＋(－1)2＝15c3，即点Q 到直线F 1B 与F 1F 2的距离相等，所以PF 1平分∠BF 1F 2，D 正确．6. CD 解析： 对于A ，由椭圆方程知a ＝2，c ＝4－3＝1，所以离心率e ＝c a ＝12，A 错误；对于B ，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2，所以△PF 1F 2的周长为4＋2＝6，B 错误；对于C ，当P 为椭圆短轴端点时，tan ∠F 1PF 22＝c b ＝33，则tan ∠F 1PF 2＝2tan∠F 1PF 221－tan 2∠F 1PF 22＝2331－13＝3，所以∠F 1PF 2＝60°，即(∠F 1PF 2)max ＝60°，所以∠F 1PF 2<90°，C 正确；对于D ，因为|PF 1|min ＝a －c ＝1，|PF 1|max ＝a ＋c ＝3，所以1≤|PF 1|≤3，D 正确．7. (1,2) 解析： 因为椭圆x 2k －1＋y 23－k＝1的焦点在y 轴上，所以⎩⎨⎧3－k >k －1，3－k >0，k －1>0，解得1<k <2，所以实数k 的取值范围为(1,2)．8. 32 解析： 在椭圆x 24＋y 23＝1中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则|F 1F 2|＝2.(1) 若∠F 2MF 1为直角，则⎩⎨⎧|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝4，该方程组无解，不符合题意；(2) 若∠MF 1F 2为直角，则⎩⎨⎧|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，|MF 2|2－|MF 1|2＝(2c )2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|＝32，|MF 2|＝52，所以S △MF 1F 2＝12|F 1F 2|·|MF 1|＝12×2×32＝32；(3) 若∠MF 2F 1为直角，同理可求得S △MF 1F 2＝32.综上所述，S △MF 2F 1＝32.9.5－12 解析： 如图，不妨设AB 经过右焦点F ，由对称性可得CD 经过另一个焦点，则|AD |＝2c .又由c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ，则|AB |＝2b 2a ，则2b 2a ＝2c ，即b 2＝ac ＝a 2－c 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca －1＝0，解得c a ＝－1±52.又离心率e ∈(0,1)，所以离心率为5－12.(第9题)10. (1) 由题意得c ＝1，因为2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，所以4c ＝2a ，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y23＝1.(2) 设P 点坐标为(x ，y )，x <0，y >0，因为∠F 2F 1P ＝120°，所以PF 1所在直线的方程为y ＝－3(x ＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝335，所以S△PF 1F 2＝12|F 1F 2|×335＝335.11. 【解答】 (1) 如图，在△ABC 中，A (－1,0)，B (1,0)，|AC |＝22，因为线段AC 上的点M 满足∠MBC ＝∠MCB ，所以|MC |＝|MB |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MC |＝|AC |＝22>|AB |＝2，根据椭圆的定义，可得点M 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆(不含与x 轴的交点)，其中2a ＝22，2c ＝2，可得a ＝2，c ＝1，则b ＝a 2－c 2＝1，所以Γ的方程为x 22＋y 2＝1(y ≠0)．图(1)图(2)(第11题)(2) 由(1)知椭圆的方程为x 22＋y 2＝1，设过点B (1,0)的直线为x ＝my ＋1.联立方程组⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 2＋2y 2＝2，整理得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8(m 2＋1)>0，y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因为PB→＝3BQ →，可得(1－x 1，－y 1)＝3(x 2－1，y 2)，所以－y 1＝3y 2，将－y 1＝3y 2代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝m m 2＋2，3y 22＝1m 2＋2，消去y 2可得3m 2(m 2＋2)2＝1m 2＋2，解得m 2＝1，即m ＝±1，所以l 的斜率为1m ，即±1.第2课时 直线与椭圆1. C 解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 24＝1，得(4＋m )x 2＋4mx ＝0，所以x A ＝0，x B ＝－4m4＋m .又|AB |＝1＋k 2|x B －x A |＝2|x B |，所以2|4m 4＋m |＝3 2.因为m >0，所以4m4＋m ＝3，解得m ＝12.2. B 解析： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知直线l 的方程为y ＝x －1.由AF →2＝λF 2B →，得(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，则有－y 1＝λy 2①.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 22＋y 2＝1，消去x ，得3y 2＋2y －1＝0，所以y 1＝13，y 2＝－1，代入①得λ＝13.3. D 解析： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差并化简整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2，而x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝14，直线l 的方程为y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －4y －92＝0. 4. A 解析： 设与已知直线平行且与椭圆相切的直线为x ＋2y ＋b ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋b ＝0，x 24＋y 23＝1，消去y 得4x 2＋2bx ＋b 2－12＝0，所以Δ＝(2b )2－4×4(b 2－12)＝0⇒b ＝±4，所以椭圆上点P 到直线x ＋2y －9＝0的最短距离为d ＝|－9－(－4)|12＋22＝ 5.5. AC 解析： 由题意知|AF |＝(x 1－4)2＋y 21＝x 21－8x 1＋16＋9－9x 2125＝16x 2125－8x 1＋25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x 1－52，同理|CF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x 2－52.因为|x 1|≤5，|x 2|≤5，所以45x 1－5<0，45x 2－5<0.又|AF |＋|CF |＝2|BF |，所以5－45x 1＋5－45x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫95－0，所以10－45(x 1＋x 2)＝185，所以x 1＋x 2＝8，故A 正确，B 错误．因为x 1＋x 2＝8，所以设线段AC 的中点为D (4，y 0)．又A ，C 在椭圆上，所以x 2125＋y 219＝1①，x 2225＋y 229＝1②.由①－②得x 21－x 2225＝－y 21－y 229，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)25(y 1＋y 2)＝－9×825×2y 0＝－3625y 0，即k AC ＝－3625y 0，所以直线DT 的斜率k DT ＝－1k AC ＝25y 036，从而直线DT 的方程为y －y 0＝25y 036(x －4)．令y ＝0，得x ＝6425，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫6425，0，所以直线BT 的斜率k ＝54，故C 正确，D 错误．6. BC 解析： 由题知c ＝2，则椭圆的右焦点为F 1(2，0)．因为点C (－2，1)在椭圆上，且|CF 1|＝(2＋2)2＋12＝3，|CF |＝1，所以2a ＝|CF 1|＋|CF |＝4，解得a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝4－2＝2，所以椭圆G 的标准方程为x 24＋y 22＝1，故A 错误，B 正确．因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k (k >0)，则直线l 的方程为y ＝kx .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2＝4，得(1＋2k 2)x 2－4＝0，易知Δ>0，且x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－41＋2k 2，则|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41＋k 21＋2k 2＝3，解得k 2＝72，所以k ＝±142.又k >0，所以直线l 的方程为14x －2y ＝0，故C 正确，D 错误．7. 53 解析： 由已知可得直线的方程为y ＝2x －2，|OF |＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝43，不妨设A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，则S △AOB＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.8.4105 解析： 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，Δ＝80－16t 2>0，即t 2<5，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8t 52－16(t 2－1)5＝42·5－t 25，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.9. 3 解析： 如图，由题可知E (1,0)，|NE |＝1，设M (x 0，y 0)，x 209＋y 28＝1⇒y 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209，－3≤x 0≤3，则|MN |＝|ME |2－|NE |2＝|ME |2－1＝(x 0－1)2＋y 20－1＝x 20－2x 0＋8⎝⎛⎭⎪⎫1－x 209＝x 209－2x 0＋8＝x 20－18x 0＋723＝(x 0－9)2－93，故当x 0＝3时，|MN |min ＝36－93＝ 3.(第9题)10. 【解答】 (1) 设椭圆E 的半焦距为c ，则离心率为c a ＝33，即a ＝3c ，b 2＝a 2－c 2＝2c 2，椭圆E 的方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，把x ＝c 代入椭圆方程得|y |＝23c3，于是得43c 3＝433，解得c ＝1，所以椭圆E 的方程为x 23＋y 22＝1.(2) 由(1)知，F 1(－1,0)，显然直线AF 1不垂直于y 轴，设其方程为x ＝ty －1，由⎩⎨⎧x ＝ty －1，2x 2＋3y 2＝6，消去x 并整理得(2t 2＋3)y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，Δ＝16t 2＋16(2t 2＋3)>0，则y 1＋y 2＝4t2t 2＋3，y 1y 2＝－42t 2＋3，且|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2t 2＋32＋162t 2＋3＝43·t 2＋12t 2＋3.由直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆E 交于A ，B 两点及椭圆的对称性知，点A ，B 关于原点O 对称，则S △AOC ＝12S △ABC ＝67，因此S △AOC ＝12|OF ||y 1－y 2|＝23·t 2＋12t 2＋3＝67，解得t 2＝2，即t ＝±2，所以直线AC 的方程为x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0.11. 【解答】 (1) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，k OM ＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆C 上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，整理得y 21－y 22x 21－x 22＝y 1＋y 2x 1＋x 2×y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2，所以k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即－12＝－b 2a 2，则a 2＝2b 2.又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则1a 2＋32b 2＝1，联立解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2) 不存在，理由如下：假定C 上存在P ，Q 两点关于l ：y ＝x ＋1对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N ，如图，则N 为线段PQ 的中点，连接ON .因为PQ ⊥l ，则k AB ·k PQ ＝－1，即k PQ ＝－1.由(1)可得k ON ·k PQ ＝－12，则k ON ＝12，即直线ON ：y ＝12x .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1，即N (－2，－1)．因为(－2)24＋(－1)22＝32>1，所以点N (－2，－1)在椭圆C 外，所以假设不成立，故C 上不存在P ，Q 两点关于l 对称．(第11题(2))第42讲 双曲线1. D 解析： 由题意得a 2＋4＝32⇒a 2＝5，所以e ＝35＝355. 2. C 解析： 双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±b 2x ，所以b2＝3，b ＝2 3.3. A 解析： 由题意可知，a ＝2，c ＝4＋12＝4，|PF 1|≥c －a ＝2.若|PF 2|＝5，则||PF 1|－5|＝4，|PF 1|＝9或1(舍去)．若|PF 1|＝9，则|9－|PF 2||＝4，|PF 2|＝5或13.故“|PF 2|＝5”是“|PF 1|＝9”的充分不必要条件．4. A 解析： 由题意得F (c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a .因为M 为线段OB 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－bc 2a ，又F 为AB 的中点，所以MF ∥OA ，即四边形OAMF为梯形．又O ，A ，F ，M 四点共圆，即四边形OAMF 为圆内接四边形，而圆内接四边形的对角互补，可知四边形OAMF 为等腰梯形，所以|OM |＝|AF |，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝bca ，整理得a 2＝3b 2，所以e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 5. CD 解析： 双曲线C ：y 23－x 2＝1的焦点在y 轴上，a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2.对于A ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝23，而P 点在哪支上并不确定，故A 错误；对于B ，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±ab x ＝±3x ，故B 错误；对于C ，e ＝c a ＝23＝233，故C 正确；对于D ，设P (x ，y )，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋(3x 2＋3)＝3＋4x 2≥3(当x ＝0时取等号)，因为O 为F 1F 2的中点，所以|PF →1＋PF →2|＝|2PO →|＝2|PO →|≥23，故D 正确．6. BD 解析： 如图，连接AF 2，BF 2，MF 2.设|AF 1|＝x ，因为|AB |＝4，a ＝1，所以|AF 2|＝|BF 2|＝|MF 1|＝x ＋2，D 正确．因为M 为线段AB 的中点，所以MF 2⊥AB .又tan ∠BF 1F 2＝33，所以|MF 2|＝c ，|MF 1|＝|AF 2|＝3c ，则|AM |＝2c ＝2，得c ＝2，所以双曲线的离心率为c a ＝2，A 不正确；F 2F →1·F 2M →＝|F 2F →1||F 2M →|cos ∠F 1F 2M ＝|F 2M →|2＝2，F 2A →·F 2M →＝|F 2A →||F 2M →|cos ∠AF 2M ＝|F 2M →|2＝2，F 1F →2·F 1M →＝|F 1F 2→||F 1M →|·cos ∠MF 1F 2＝|F 1M →|2＝6，则B 正确，C 不正确．(第6题)7. 5 解析： 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以b a ＝2，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 8. x 22－y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫答案不唯一，满足x 22－y 2＝λ(λ≠0)即可 解析： 若双曲线C的焦点在x 轴上，则b a ＝22，此时a 2＝2b 2，则双曲线的方程为x 22b 2－y 2b 2＝1，此时双曲线C 的方程可表示为x 22－y 2＝λ(λ>0)；若双曲线C 的焦点在y 轴上，则a b ＝22，此时b 2＝2a 2，则双曲线的方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，此时双曲线C 的方程可表示为x22－y 2＝λ(λ<0)．综上所述，双曲线C 的方程可表示为x 22－y 2＝λ(λ≠0)．9. 5 解析： 不妨设焦点F 1，F 2在x 轴上，两曲线在第一象限的公共点为P ，设C 2的实半轴长为a ，则C 1的长半轴长为3a ，半焦距为c .设|PF 1|＝x (x >y )，|PF 2|＝y (x >y )，则⎩⎨⎧ x ＋y ＝6a ，x －y ＝2a ⇒⎩⎨⎧x ＝4a ，y ＝2a .由题意知P 在以F 1F 2为直径的圆上，所以x 2＋y 2＝4c 2＝20a 2，解得e ＝ 5.10. 【解答】 (1) 由渐近线为y ＝3x 知，b a ＝3①.又焦点到渐近线的距离为3，即(c,0)到直线y ＝3x 的距离|3c |3＋1＝3c 2＝3，所以c ＝2，a 2＋b 2＝4②.联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3，则双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2) 因为直线l 与双曲线交于两支，交点分别为P ，Q ，所以直线l 的斜率必存在，且经过点(0,1)，可设直线l ：y ＝kx ＋1，与双曲线联立得(3－k 2)x 2－2kx －4＝0.设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2＝2k 3－k 2，x 1·x 2＝－43－k 2<0，解得－3<k < 3.由OM →＝OP →＋OQ →知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋x 2＝2k 3－k 2，y ＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝63－k 2，两式相除得x y ＝k 3，即k ＝3x y ，代入y ＝63－k2得y 2－2y －3x 2＝0.又－3<k <3，所以y ≥2，所以点M 的轨迹方程为y 2－2y －3x 2＝0(y ≥2)．11. 【解答】 (1) 因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，则可设双曲线的方程为x 29－y 23＝λ(λ≠0)，将点P (3，2)代入得99－23＝λ，解得λ＝13，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2) 显然直线BQ 的斜率不为零，设直线BQ 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，A (x 1，－y 1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 23－y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x 整理得(m 2－3)y 2＋2my －2＝0，由题意得m 2－3≠0且Δ＝4m 2＋8(m 2－3)>0，即m 2>2且m 2≠3，y 1＋y 2＝－2m m 2－3，y 1y 2＝－2m 2－3，直线AD 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝(x 2－x 1)y 1y 2＋y 1＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝(my 1＋1)y 2＋(my 2＋1)y 1y 2＋y 1＝2my 1y 2＋(y 1＋y 2)y 2＋y 1＝2m ·－2m 2－3－2m m 2－3－2m m 2－3＝－6mm 2－3－2mm 2－3＝3，所以直线AD 过定点(3,0)． 第43讲 抛物线 1. B 解析： 点M (m,4)在抛物线C ：y 2＝4x 上，则42＝4m ，解得m ＝4，则M (4,4)．又抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线x ＝－1，则直线MF 的方程为4x －3y －4＝0，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－83，则|FN |＝(－1－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－83－02＝103. 2. C 解析： 如图，圆与抛物线都关于x 轴对称，故所截得的弦AB 与x 轴垂直，圆心为原点，圆的半径为2，所以x 2A ＋y 2A ＝22.因为y A ＝3，x A <0，解得x A ＝－1，故－p 2＝－1，得p ＝2.(第2题)3. A 解析： 由抛物线C ：y 2＝4x 知，焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，如图，由抛物线的定义知|PN |＋|PM |＝|PQ |－1＋|PM |＝|PF |＋|PM |－1，当F ，P ，M 三点共线时，|PM |＋|PN |最小，且为|MF |－1＝(3－1)2＋(4－0)2－1＝25－1.(第3题)4. B 解析： 由题意知，抛物线的焦点(1,0)恰为圆心F ，抛物线的准线l 1：x＝－1，圆的半径为2，可得圆F 与l 1相切．如图，设直线l ：y ＝t 与准线l 1交于点D ，由抛物线的定义知|AF |＝|AD |，又|FB |＝2，所以△F AB 的周长为|F A |＋|AB |＋|FB |＝|AD |＋|AB |＋2＝|DB |＋2.由图知2<|DB |<4，故|DB |＋2∈(4,6)．结合选项知△F AB 的周长可能为5.(第4题)5. ABD 解析： 对于A ，因为|PF |＝5，所以由抛物线的定义得y P ＋1＝5，得y P ＝4，所以x 2P ＝4y P ＝16，且点P 在第一象限，所以点P 的坐标为(4,4)，故A正确；对于B ，直线PF 的方程为y ＝34x ＋1，由y ＝34x ＋1与x 2＝4y 联立得，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14，则由两点间距离公式得|QF |＝54，故B 正确；对于C ，方法一：S △OPQ ＝12|OF ||x P －x Q |＝12×1×5＝52；方法二：由B 得|PQ |＝254，原点O 到直线PF 的距离为d ＝45，所以S △OPQ ＝52，故C 错误；对于D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x 2＝4y 得，y ＝x 24，则y ′＝x 2，MA 的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y －y 1＝x 12x －x 212，由x 21＝4y 1，得y ＝x 12x －y 1，把点M (x 0，－1)代入y ＝x 12x －y 1，得x 0x 1－2y 1＋2＝0，同理x 0x 2－2y 2＋2＝0，即A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点满足方程x 0x －2y ＋2＝0，所以AB 的方程为x 0x －2y ＋2＝0，故D 正确．6. AD 【解答】 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由抛物线的定义可得|MN |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝16，又因为MN 的中点到y 轴的距离是6，所以|x 1＋x 2|＝12，所以x 1＋x 2＝－12，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，所以A 正确；准线方程为x ＝2，所以B 不正确；设直线l 的方程为x ＝my －2，联立⎩⎨⎧x ＝my －2，y 2＝－8x ，整理得y 2＋8my －16＝0，Δ＝64m 2＋64>0，则y 1＋y 2＝－8m ，y 1·y 2＝－16，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－8m 2－4＝－12，解得m ＝±1，所以l 的方程为x ＝±y －2，所以C 不正确；S △MON ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12·2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝82＋64＝82，所以D 正确．7. 1 解析： 如图，由抛物线y 2＝4x 可知其焦点为F (1,0)，由抛物线的定义可知|PF |＝x P ＋1，故点P 到点M (0，3)的距离与点P 到y 轴的距离之和为|PM |＋x P ＝|PM |＋|PF |－1≥|MF |－1＝1＋(3)2－1＝1，即点P 到点(0，3)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为1.(第7题)8. 163 解析： 如图，设AF 的中点为M ，因为∠AFP ＝∠AFQ ，AF 的垂直平分线分别交l 和x 轴于P ，Q 两点，所以△PMF ≌△QMF ，所以|P A |＝|PF |＝|FQ |，M 是PQ 的中点，所以四边形APFQ 是菱形，于是AP ∥FQ .由抛物线的定义可得|P A |＝|AF |，所以△APF 为等边三角形，所以∠P AF ＝∠AFQ ＝60°，直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，可得3x 2－10x ＋3＝0，Δ>0显然成立，所以x 1＋x 2＝103，x 1x 2＝1，故|AB |＝1＋(3)2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(1＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1009－4＝163.(第8题)9. 4 解析： 抛物线的焦点坐标为(1,0)，当直线的斜率不存在时，令x ＝1，得y ＝±2，所以|AB |＝4.当直线的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，k ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16>0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2>4，所以|AB |的最小值为4.10. 【解答】 (1) 把M (x 0,4)代入抛物线C 得16＝2px 0，则x 0＝8p .由|MF |＝5，得x 0＋p 2＝8p ＋p 2＝5，所以p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8.(2) 当p ＝8时，x 0＝1，舍去；当p ＝2时，x 0＝4，则M (4,4)且C ：y 2＝4x ，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2. 方法一：设直线AB 的方程为x ＝my ＋n ，与抛物线C 联立得y 2－4my －4n＝0，Δ＝16m 2＋16n >0，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n ，由MA ⊥MB ，得MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－4＋(y 1－4)(y 2－4)＝0.由y 1≠4且y 2≠4，得(y 1＋4)(y 2＋4)＋16＝0，即y 1y 2＋4(y 1＋y 2)＋32＝0，所以－4n ＋16m ＋32＝0，即n ＝4m ＋8，从而直线AB 为x ＝my ＋4m ＋8＝m (y ＋4)＋8，即直线AB 过定点Q (8，－4)．又k MQ ＝－2，当|MN |最大时，AB ⊥MQ ，所以m ＝2，直线AB 的方程为x －2y －16＝0.方法二：k AB ＝y 1－y 2y 214－y 224＝4y 1＋y 2.由MA ⊥MB ，得MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－4＋(y 1－4)(y 2－4)＝0.由y 1≠4且y 2≠4，得(y 1＋4)(y 2＋4)＋16＝0，即y 1y 2＋4(y 1＋y 2)＋32＝0①.直线AB 的方程为y －y 1＝4y 1＋y 2⎝⎛⎭⎪⎫x －y 214，整理得4x ＋y 1y 2＝y (y 1＋y 2)，将①代入得4x －32＝(y 1＋y 2)(y ＋4)，即直线AB 过定点Q (8，－4)．又k MQ ＝－2，当|MN |最大时，AB ⊥MQ ，所以直线AB 的方程为y ＋4＝12(x －8)，即x －2y －16＝0.11. 【解答】 (1) 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝0，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ＝0时，直线y ＝1符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16－16k ＝0，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0，y ＝1或x －y ＋1＝0.(2) 方法一：设Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨令x 1<x 2，因为直线l与抛物线C 有两个交点，所以⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝－16k ＋16>0，所以k <1，且k ≠0，x 1＋x 2＝4－2k k 2，x 1x 2＝1k 2.由|AP ||PB |＝|AQ ||QB |，得x 1x 2＝x －x 1x 2－x ，所以x ＝2x 1x 2x 1＋x 2＝12－k ，所以y ＝k 2－k ＋1＝22－k ，所以y ＝2x .因为k <1，且k ≠0，所以0<x <1，且x ≠12，所以点Q 的轨迹方程为y ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1且x ≠12. 方法二：设Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨令x 1<x 2，因为直线l 与抛物线C 有两个交点，所以⎩⎨⎧ k ≠0，Δ＝－16k ＋16>0，所以k <1，且k ≠0，x 1＋x 2＝4－2k k 2，x 1x 2＝1k 2.因为点Q 在线段AB 上，设|AP ||PB |＝|AQ ||QB |＝λ，则P A →＝λPB→，AQ →＝λQB →，所以⎩⎨⎧ x 1＝λx 2，x －x 1＝λ(x 2－x )，所以x ＝2x 1x 2x 1＋x 2＝12－k ，从而y ＝k 2－k ＋1＝22－k ，所以y ＝2x .因为k <1，且k ≠0，所以0<x <1，且x ≠12，所以点Q 的轨迹方程为y ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1且x ≠12. 第44讲 圆锥曲线的综合问题第1课时 圆锥曲线中的求值与证明问题1. 【解答】 (1) 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝12，8a 2－1b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1，所以双曲线C 的标准方程是x 24－y 2＝1.(2) 假定存在直线AB ，使得|AM |·|BM |＝10成立，显然AB 不垂直于y 轴，否则|AM |·|BM |＝5.设直线AB 的方程为x ＝my ＋3，由⎩⎨⎧x ＝my ＋3，x 2－4y 2＝4，消去x 并整理得(m 2－4)y 2＋6my ＋5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由题得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4≠0，Δ＝36m 2－20(m 2－4)＝16(m 2＋5)>0，y 1＋y 2＝－6m m 2－4，y 1y 2＝5m 2－4>0，解得m 2>4，即m <－2或m >2，因此，|AM |·|BM |＝1＋m 2|y 1－0|1＋m 2·|y 2－0|＝(1＋m 2)|y 1y 2|＝5(1＋m 2)m 2－4＝10，解得m ＝±3，所以存在直线AB ，使得|AM |·|BM |＝10成立，此时，直线AB 的方程为x －3y －3＝0或x ＋3y －3＝0.2. 【解答】 (1) 由长轴的两个端点分别为A (－2,0)，B (2,0)，可得a ＝2，由离心率为32，可得c a ＝32，所以c ＝3.又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 由题可知l 的斜率存在，且斜率不为零，故设l 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，Δ＝4m 2＋12(m 2＋4)＝16m 2＋48>0，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，所以2my 1y 2＝3(y 1＋y 2)．因为k AM ＝y 1x 1＋2，直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，又k NB ＝y 2－0x 2－2＝y 2x 2－2，k BQ ＝6y 1x 1＋2－04－2＝6y 1x 1＋22＝3y 1x 1＋2，所以k NB －k BQ ＝y 2x 2－2－3y 1x 1＋2＝y 2(x 1＋2)－3y 1(x 2－2)(x 2－2)(x 1＋2)＝y 2(my 1＋3)－3y 1(my 2－1)(x 2－2)(x 1＋2)＝－2my 1y 2＋3(y 1＋y 2)(x 2－2)(x 1＋2)＝0，即k NB ＝k BQ ，所以N ，B ，Q 三点共线．3. 【解答】 (1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2，故椭圆C 的。
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2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015²广东惠州第三次调研考试)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为导学号 25401966( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[答案] B[解析] 两圆心的距离为17，∵1＜17＜5，即|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，∴两圆相交． 2．(2015²天津武清区水平测试)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为导学号 25401967( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3[答案] D[解析] 直线方程为y ＝3x ，圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心坐标为(0,2)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝23 2＋1＝1，所以弦长为2r 2－d 2＝2 3.3．(2015²陕西西安西北工业大学附中第一次适应性训练)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是导学号 25401968( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[答案] B[解析] 方法一：圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，表示以O (1，－1)为圆心、半径等于3的圆．圆心到直线的距离d ＝| a ＋1 － a －1 ＋2a | a ＋1 2＋ a －1 2＝|2a ＋2|2a 2＋2. 9－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1，而方程7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180<0，故有9>d 2，即d <3，故直线和圆相交．方法二：直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0过定点(－1，－1)，显然点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0内，故直线与圆相交，故选B.4．(2015²山东莱芜一中1月自主考试)过点P (3,1)作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为导学号 25401969( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －3＝0D ．2x ＋y －3＝0[答案] A[解析] 圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为C (2,0)，半径为1，以P (3,1)，C (2,0)为直径的圆的方程为(x －2.5)2＋(y －0.5)2＝0.5，将两圆的方程相减可得公共弦AB 所在直线的方程为x ＋y －3＝0，故选A.5．(2015²新课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)、B (4,2)、C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝导学号 25401970( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10[答案] C[解析] 设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝04D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y－20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2＝4 6.故选C.6．(2015²重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝导学号 25401971( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210[答案] C[解析] 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.二、填空题7．(2015²重庆)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为____________________.导学号 25401972[答案] x ＋2y －5＝0[解析] 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.8．(2015²山东烟台期末检测)已知过点A (1,0)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －3)＋(y －2)2＝1相交于P 、Q 两点，则AP →²AQ →的值为_____________.导学号 25401973[答案] 7[解析] 设过A 的圆的切线为AT (T 为切点)，则|AT |＝ 1－3 2＋ 0－2 2－1＝7，由切割线定理得AP →²AQ →＝|AP →|²|AQ →|＝|AT |2＝7.9．(2015²宁夏育才中学第五次月考)已知点P (0,1)是圆x 2＋y 2－4y ＝0内一点，AB 为过点P 的弦，且弦长为14，则直线AB 的方程为_________.导学号 25401974[答案] x ＋y －1＝0或x －y ＋1＝0[解析] 圆心(0,2)，半径为2.设直线y ＝kx ＋1，圆心到直线的距离d ＝1k 2＋1.由d2＋(AB 2)2＝r 2，即(1k 2＋1)2＋(142)2＝4，得k ＝±1.所求直线AB 的方程为x ＋y －1＝0或x－y ＋1＝0.10．(2015²河北邯郸1月质检)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，过点A (2,3)作C 的切线，切点分别为P 、Q ，则直线PQ 的方程为_________.导学号 25401975[答案] 2x ＋3y －4＝0[解析] 以O (0,0)，A (2,3)为直径端点的圆的方程为x (x －2)＋y (y －3)＝0，即x 2＋y2－2x －3y ＝0.与圆C ：x 2＋y 2＝4相减，得2x ＋3y －4＝0，所以直线PQ 的方程为2x ＋3y －4＝0.三、解答题11．(2015²浙江杭州地区七校期末联考)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.导学号 25401976(1)求m 的取值范围；(2)当m ＝4时，若圆C 与直线x ＋ay －4＝0交于M 、N 两点，且CM →⊥CN →，求a 的值． [答案] (1)m <5 (2)a ＝1或177[解析] (1)D 2＋E 2－4F ＝4＋16－4m ＞0，∴m ＜5.(2)∵m ＝4，∴(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心C (1,2)，半径r ＝1.∵CM ⊥CN ，∴d ＝22r ，即|1＋2a －4|1＋a2＝22. 化简，得7a 2－24a ＋17＝0，解得a ＝1或a ＝177.12．(2015²吉林实验中学上学期第三次模拟)已知圆C 的圆心C 在第一象限，且在直线3x －y ＝0上，该圆与x 轴相切，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，直线l ：kx －y －2k ＋5＝0与圆C 相交.导学号 25401977(1)求圆C 的标准方程．(2)求出直线l 所过的定点；当直线l 被圆所截得的弦长最短时，求直线l 的方程及最短的弦长．[答案] (1)(x －1)2＋(y －3)2＝9 (2)x ＋2y －12＝0,4[解析] (1)设圆心C (a ，b )，a ＞0，b ＞0，半径为r ，则b ＝3a ，r ＝3a .圆心C (a,3a )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －3a |12＋12＝2a ，(2a )2＋(7)2＝(3a )2，即a 2＝1.∵a ＞0，∴a ＝1.∵圆心C (1,3)，半径为3，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.(2)∵直线l ：kx －y －2k ＋5＝0即(x －2)k －(y －5)＝0， ∴直线l 过定点M (2,5)．k CM ＝2，弦长最短时，k l ＝－12.直线l ：x ＋2y －12＝0，|CM |＝5，∴最短弦长为4.B 组 能力提升1．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A 、B 、O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是导学号 25401978( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)[答案] C[解析] 如图，当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O 、A 、B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时，|OA →＋OB →|＞33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k ＜22，综上k 的取值范围为[2，22)．2．已知A (－2,0)，B (0,2)，M 、N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0(k 是常数)上两个不同的点，P 是圆上的动点，如果M 、N 两点关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是导学号 25401979( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．2＋ 3D ．2＋ 2[答案] B[解析] 因为M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称，故圆心(－k2，0)在直线x －y －1＝0上，则－k2－1＝0，解得k ＝－2，则圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.又直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB 的距离为d ＝|1＋2|2＝322，所以圆上的点到直线AB 的最远距离为1＋322，故△PAB 面积的最大值为S ＝12|AB |(1＋322)＝12³22³(1＋322)＝3＋ 2.3．(原创题)圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0相内切，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________________.导学号 25401980[答案] 9[解析] 将圆的方程配方得C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为C 1(－2a,0)，半径r 1＝2，C 2：x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为C 2(0，b )，半径r 2＝1，又两圆内切，故|C 1C 2|＝r 1－r 2，故有 －2a 2＋b 2＝1，整理得4a 2＋b 2＝1，故1a 2＋1b 2＝(1a 2＋1b 2)(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2²4a 2b 2＝9(当且仅当b 2＝2a 2时取等号)，所以1a 2＋1b2的最小值为9. 4．(2015²绵阳诊断)已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.导学号 25401981(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；若不存在请说明理由．[答案] (1)(x －1)2＋y 2＝4 (2)不存在 [解析] (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋42＝r ，a 2＋3＝r ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πr 2＜13，∴a ＝1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x －1 2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0.∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0， 解得k ＜1－263或k ＞1＋263.x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，解得k ＝34∉(－∞，1－263)∪(1＋263，＋∞)，假设不成立，∴不存在这样的直线l .5．(2015²江苏宿迁宿豫区实验高中第四次质量抽测)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称.导学号 25401982(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →²MQ →的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和直线AB 是否平行，并说明理由．[答案] (1)x 2＋y 2＝2 (2)－4 (3)平行[解析] (1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2.将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →²MQ →＝(x －1，y －1)²(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，则x ＋y －2＝2sin(θ＋π4)－2，最小值为－2－2＝－4，所以PQ →²MQ →的最小值为－4.(3)直线OP 和直线AB 平行．理由如下：由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设直线PA ：y －1＝k (x －1)，直线PB ：y －1＝－k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1 ，x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解．故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k2. 所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k x B －1 －k x A －1 x B －x A＝2k －k x A ＋x Bx B －x A＝1＝k OP .所以直线OP 与直线AB 一定平行．。