1.2应用举例(3课时)
新高一数学学科教学进度计划安排表
1.6三角函数模型的简单应用、章末复习
1.6三角函数模型的简单应用（2课时）
第一章章末复习（5课时）
12.14—12.20
7
2.1平面向量概念
2.1平面向量的线性运算
2.1平面向量概念（2课时）
2.2.1向量加法运算及其几何意义（2课时）
2.2.2向量减法运算及其几何意义（2课时）
2.2.3向量数乘运算及其几何意义（1课时）
2.1.2指数函数及其性质（2课时）
10.5—10.11
7
2.2对数函数
2.2.1对数与对数运算（2课时）
2.2.2对数函数及其性质（3课时）
习题2.2（2课时）
10.12—10.18
7
2.3幂函数、章末复习
2.3幂函数（2课时）
习题2.3（1课时）
第二章章末复习（4课时）
10.19—10.25
7
3.1函数与方程
7
1.4三角函数的图像与性质
1.4.1正、余弦函数的图像（2课时）
1.4.2正、余弦函数的性质（4课时）
1.4.2正切函数的性质与图像（1课时）
11.30—12.6
7
1.5函数 的图像
1.4.2正切函数的性质与图像（1课时）
习题1.4（2课时）
1.5 性质与图像（3课时）
习题1.5（1课时）
12.7—12.13
1.1.1任意角（2课时）
1.1.2弧度制（2课时）
习题1.1（1课时）
1.2.1任意角的三角函数（2课时）
11.16—11.22
7
1.2任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数（2课时）
1.2.2同角三角函数的基本关系（2课时）
1.2 充分条件与必要条件(3课时)
1.2.1 充分条件与必要条件【教学目标】理解必要条件和充分条件的意义；2.会判断p 是q 的充分条件和p 是q 的必要条件.【重点和难点】1.重点：理解充分条件和必要条件的概念.2.难点：理解必要条件的概念. 【教学过程】（预习《选修1-1》910~P P ）一、课前准备1.请同学们画出四种命题的相互关系图.2.四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 .3.写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假： （1）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加； （2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 二、新知导学1、创设情境，引出研究的问题问题1：（1）命题“若22x a b >+，则2x ab >”.①该命题是“若p ，则q ”的形式，其中p ： ，q ： ； ②判断该命题的真假 ； .2：命题“若0ab =,则0a =”①该命题是“若p ，则q ”的形式，其中p ： ，q ： ；②判断该命题的真假 ； 2、引导探究、获得新知探究：命题（1）是真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作：p q ⇒（即222x a b x ab >+⇒>），读 作：由p 可推出q . 命题（2）是假命题，是指由p 通过推理不可以得出q ，记作：p ⇒q （即0ab=0a =），读作：由p推不出q . 新知1：一般地，“若p ，则q ”为真命题，我们就说,由p 可推出q ,记作p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，我们就说,由p 推不出q .,记作：p ⇒q . 概念辨析1：用符号“⇒”与“⇒”填空：（1）22x y = x y =；（2）内错角相等 两直线平行；（3）整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数；（4）ac bc = a b =. （5）a b = ln ln a b =；（6）21(2)0x y ++-= 1x y +=.新知2：（1）“若p ，则q ”为真命题，即p q ⇒，我们就说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）“若p ，则q ”为假命题，即p ⇒q ，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.概念辨析2：下列各题中，哪些p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件？哪些p 不是q 的充分条件，q 不是p的必要条件？（1）若1x =-，则210x -=； （2）若22x a b >+，则2x ab >；（3）若0ab =,则0a =； （4）若两个三角形相似，则这两个三角形全等. 应用举例例1.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数；（4）若2x >，则22x x >. 分析：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件.解： 反思：（1）判断命题的真假是解题的关键；（2）小范围可以推出大范围.变式练习：下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（2）若5x >，则10x >.（3）若30A =，则1sin 2A =；（4）若0m >，则方程20x x m +-=有实数根. 例2. 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b >，则ac bc >. 分析：若p q ⇒，则q 是p 的必要条件.解：反思：变式练习：下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若5a +是无理数，则a 是无理数；（2）若()()0x a x b --=，则x a =.例3.判断下列命题的真假： （1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件.分析：判断“p 是q 的什么条件”时，首先要弄清哪个是条件p ，哪个是结论q ？若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.解： 反思：变式练习：判断下列命题的真假：（1）2x =是2440x x -+=的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；（3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件；（4）0ab ≠是0a ≠的充分条件. 【随堂练习】1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）A.平行四边形对角线相等B.四边形两组对边相等C.四边形的对角线互相平分D.四边形的对角线垂直2.（1）p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件. （填“充分”或“必要”） （2）“2b ac =”是“,,a b c 成等比数列”的 条件.（填“充分”或“必要”）3.“,0x y xy >>”是“11x y <”的充分条件还是必要条件？请说明理由.三、小结:充分条件与必要条件的理解. 四、作业：1. 判断下列命题的真假（1）ac bc =”是“a b =”的充分条件；（2）“a c b c >”是“a b >”的必要条件；“（3）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（4）“||||ab >”是“22a b >”的必要条件. 2.已知2:20,:230p x a q x x +<-->，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.【课后巩固】1.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）.A.存在一条直线,//,//a a a αβB.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂2.设集合{}{}03,02M x x N x x =<≤=<≤.那么“a M ∈”是“a N ∈”的 条件.（填“充分”或“必要”）3.已知集合[]{}{}2(2)(31)0,21A x x x a B x a x a =--+<=<<+.（1）当2a =时，求A B ；（2）当13a >时，若元素x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.【我的收获】（学生学后记、教师教后记）1.2.2 充要条件（第1课时）【教学目标】1. 理解充要条件的概念；2. 掌握充分、必要条件的判断方法.【重点和难点】1.重点：充要条件概念的理解. 2.难点：对充分、必要条件的判断. 【教学过程】（预习《选修1-1》1113~P P ）一、课前准备 1.一般地，“若p ，则q ”为真命题，我们就说,由p 可推出q ,记作 ；“若p ，则q ”为假命题，我们就说,由p 推不出q ,记作 . 2.（1）“若p ，则q ”为真命题，即p q ⇒，我们就说p 是q 的 条件，q 是p 的 条件；（2）“若p ，则q ”为假命题，即p ⇒q ，我们就说p 不是q 的 条件，q 不是p 的 条件.3.下列各题中，p 是q 的充分条件吗？p 是q 的必要条件吗？（1）:p a Q ∈，:q a R ∈； （2）2:1p x >，:1p x >；（3）:p 内错角相等，:q 两直线平行； （4）:p a b <，:1aq b<二、新知导学1、创设情境，引出研究的问题问题1：问题：已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2 和3的倍数.那么p 是q 的什么条件?q又是p 的什么条件?2、引导探究、获得新知探究：由p 可以推出q 吗？此时，p 是q 的 条件，q 是p 的 条件；反过来，由q 可以推出p 吗？此时，p 是q 的 条件，q 是p 的 条件.新知：一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔.此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 是p 的充要条件.概括地说，如果p q ⇔，那么互为充要条件.概念辨析1：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充要条件?(1)p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；(2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题. 应用举例例1. 在下列各题中, p 是q 的什么条件? （1）p ：2x >且3y >，q ：5x y +>；（2）p ：sin 0α>，q ：α是第一象限角； （3）p ：0c =，q ：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点.（4）p ：a b >，q ：a b >；（5）p ：,x y 不全为0，q ：0x y +≠.分析：判断“p 是q 的什么条件”时，首先要弄清哪个是条件p ，哪个是结论q ？然后考虑由p 能否推出q 和由q 能否推出p ，最后回答p 是q 的什么条件.解： 反思：（1）从命题的角度来判断“p 是q 的什么条件”，有四种情况：①若原命题为真，同时逆命题为假，则p 是q 的充分不必要条件；②若原命题为假，同时逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；③若原命题和逆命题同为真，则p 是q 的充要条件；④若原命题和逆命题同为假，则p 是q 的既充分也不必要条件.（2）对于条件或结论是否定形式的命题，可以转化为逆否命题来判断（命题“若p ⌝，则q ⌝”与它的逆否命题“若q ，则p ”等价.）变式练习：在下列各题中, p 是q 的什么条件?(1) p :234x x =+ , q:x (2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --=；(3) p : 240(0)b ac a -≥≠ , q :20(0)ax bx c a ++=≠；(4)p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根，q :0a b c ++=；（5）p :2x ≠或3x ≠，q :5x y +≠.例 2.已知2:8200,:11(0)p x x q m x m m --≤-≤≤+>，若q 是p 的必要而不充分条件，则m 的取值范围为 . 分析：当命题中的条件p 和结论q 可由集合A 、B 确定时，（1）若p 是q 的充分不必要条件，即p q ⇒且q ⇒p ，则有AB ；（2）若p 是q 的必要不充分条件，即p ⇒q 且q p ⇒，则有BA ；（3）若p 是q 的充要条件，即p q ⇔，则有B A =.解： 反思：变式练习：1.若“21x >”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 . 2.设命题p ：112x ≤≤，命题q ：()(1)0x a x a ---≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【随堂练习】1. 下列命题为真命题的是（ ）.A.a b >是22a b >的充分条件B.||||a b >是22a b >的充要条件C.21x =是1x =的充分条件 D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件2.“直线a 与平面α内两条直线垂直”是“直线a 与平面α垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.用“充分条件、必要条件、充要条件”填空.(1)“3x >”是“5x >”的 ；(2)“3x =”是“2230x x --=”的 ；(3)在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 ； （4）“1sin 2α≠”是“30α≠”的 . 三、小结:1.充要条件概念的理解.2.充分、必要条件的判断方法：（1）定义法（判断原命题和逆命题的真假）；（2）等价法（对于条件或结论是否定形式的命题，可以转化为逆否命题来判断）；（3）集合法（利用集合间的包含关系来判断）.四、作业：1.下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：1x =，q：1x -（2）p ：|2|3x -=，q ：15x -≤≤ ； （3）p ：2x =，q：3x -；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形. 2.已知p ：2450,:33(0)x x q a x a a --≤-<<+>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【课后巩固】1.（2013年高考山东卷（文））给定两个命题q p ,,p ⌝是q 必要而不充分条件，则p 是q ⌝的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知条件p ：(1)()0x x a --≤，条件q ：12x ≤≤，且p 是q 的充分但不必要条件，求实数a 的取值范围.【我的收获】（学生学后记、教师教后记）1.2.2 充要条件（第2课时）【教学目标】1.进一步理解充分条件、必要条件、充要条件的概念；2.掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性. 能够对充要性进行证明.【重点和难点】1.重点：充要条件的证明方法.2.难点：能够对充要性进行证明. 【教学过程】（预习《选修1-1》1113~P P ）一、课前准备1.（1）“若p ，则q ”为真命题，即p q ⇒，我们就说p 是q 的 条件，q 是p 的 条件；（2）“若p ，则q ”为假命题，即p ⇒q ，我们就说p 不是q 的 条件，q 不是p 的 条件；（3）若既有p q ⇒，又有q p ⇒，即p q ⇔，我们就说p 是q 的 条件，q 也是p 的 条件2.（2012高考天津文科5）设x ∈R ，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设命题“若p ，则q ”为真，其否命题为假，则q 是p 的（ ）条件A.充分但不必要B.必要但不充分C.充要D.既不充分也不必要 4.设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“,la lb ⊥⊥”是“l α⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、新知导学1、创设情境，引出研究的问题问题1：（1）“0c =”是“二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点”的 条件；（2）“二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点”的充要条件是 ；（3）求证：“0c =”是“二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点”的充要条件.2、引导探究、获得新知探究：对于（3），“0c =”，“二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点”，哪个是条件p ，哪个是结论q ？ 要证“p 是q 的充要条件”， 既要证明p q ⇒（充分性），还要证明q p ⇒（必要性）.你能从这两个方面证明“0c =”是“二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点”的充要条件吗？反思：（1）求充要条件时，需先寻求让结论成立的等价条件，再从充分性和必要性两个方面进行证明.（2）证明充要条件要注意从“充分性（p q ⇒）”与“必要性（q p ⇒）”两个方面入手. 应用举例例1.直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切的充要条件为 . 分析： 解： 反思：变式练习：求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件. 例2.求证：关于x 的方程02=++c bx ax 有一个根为1的充要条件是0a b c ++=.分析：该题中，哪个是条件p ，哪个是结论q ？证明充要条件，既要证明充分性（p q ⇒），还要证明必要性（q p ⇒）. 解： 反思：变式练习：求证：一元二次方程02=++c bx ax 有一个正根和一个负根的充要条件是0ac <.例3.已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d .求证:d r =是直线l 与O 相切的充要条件.分析：该题中，哪个是条件p ，哪个是结论q ？证明充分性（p q ⇒），就是要证明“若d r =，则直线l 与O 相切”，证明必要性（q p ⇒），就是要证明“若直线l 与O 相切,则d r =”. 解： 反思：变式练习：证明：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件.（提示：分0b =和0b ≠讨论）【随堂练习】1.（2012年高考福建）已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ ）A ．21-=xB ．1-=xC ．5=xD ．0=x 2.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102x -<< C.132x -<< D.16x -<< 3.求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>对于一切实数x 都成立的充要条件是04a <<.三、小结:1.求充要条件的方法.2 证明充要条件，既要证明充分性（p q ⇒），还要证明必要性（q p ⇒）. 四、作业：1.求不等式2210ax x ++>恒成立的充要条件.2.求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边. 【课后巩固】1.已知直线,a b 和平面α，则//a b 的一个必要不充分条件是（ ）A.//,//a b ααB.,a b αα⊥⊥C.//,a b αα⊂D.,a b 与平面α成等角2.（1）设A 、B 是两个集合，则B A ⊆的一个充分但不必要条件是（ ）A.A B A =B.B B A =C.B A =D.B A ≠（2）已知221,()x xa f x a+>=，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ ）A.10x -<<B.21x -<<C.20x -<<D.01x << 3.（1）已知,x y 是非零实数，且xy >，求证：11x y<的充要条件是0xy >. （2）试求关于x 的方程2320x mx m -+-=的两根均大于1的充要条件.【我的收获】（学生学后记、教师教后记）。
1.2解三角形应用举例(测量距离、高度、角度)
福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案班级姓名设计者日期课题：§1.2应用举例（第一课时测量距离问题）课时：3课时●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程一、课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
二、讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。
人教A高中数学必修五同步课时分层训练：第1章 解三角形 第2课时 含解析
第一章 1.2 应用举例第二课时 高度、角度问题课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：选C 根据题图，由题意知CM ＝DM . ∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°×10≈37.3(m)，故选C. 2．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h解析：选C 由物理学知识，画出示意图如图．AB ＝15，AD＝4，∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°.在△ADC 中，由余弦定理，得AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．故选C.3．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米解析：选C如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ， 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理，得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．4．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507 minB ．157 hC ．21.5 minD ．2.15 h 解析：选A 设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知PQ 2＝B P 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos 120°，即s 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28x 2－20x ＋100，∴当x ＝514 h 时，s 2最小，即当航行时间为514 h ＝1507 min 时，s 最小．5.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m解析：选D 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，① cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.② ∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.6．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10 m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝ .解析：如图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10.∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋(103)2－1022×10×103＝32， ∴∠ACB ＝30°.答案：30°7.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.解析：根据题图所示，AC ＝100 2.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3.在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．答案：1508．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近，此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船到达商船．解析：如图，设观测站、商船、分别位于A，B处，开始时，海盗船位于C处，20分钟后，海盗船到达D处．在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC2 2AD·CD＝400＋900－7002×20×30＝12，则∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知，得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，所以BD＝AD＝20，2090×60＝403(分)．答案：40 39.在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中3≈1.732)．解：(1)∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，由正弦定理得BCsin 45°＝4sin 30°，解得BC＝42(米)，即BC的长为4 2 米．(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝42，∴DC＝42sin 75°.∵sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋23，∴CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(米)，即这棵桃树顶端点C 离地面的高度约为7.16米．10．碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．解：如图，设经过t 小时，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD .根据题意，知在△ADC 中，AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD＝60°.由余弦定理，知CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos 60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos 60°＝244t 2－560t ＋400＝244⎝ ⎛⎭⎪⎫t －70612＋400－244×⎝ ⎛⎭⎪⎫70612， ∴当t ＝7061时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．‖层级二‖|应试能力达标|1．在一座20 m 高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m解析：选B 如图所示，AB 为观测台，CD 为水塔，AM 为水平线．依题意得AB ＝20，∠DAM ＝45°，∠CAM ＝60°，从而可知MD ＝20，AM ＝20，CM ＝203， ∴CD ＝20(1＋3)(m)． 2．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A.π4B ．π3 C.π6 D ．512π解析：选C 设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π6.故选C. 3.某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )A ．100 2 mB ．100 3 mC ．50(2＋6)mD ．200 m解析：选A ∠BAC ＝75°－30°＝45°.在△ABC 中，AC ＝100 m ，由正弦定理，得BC sin ∠BAC＝AC sin B ，∴BC ＝AC sin ∠BAC sin B ＝100×sin 45°sin 30°＝1002(m)．故选A.4．如图，在O 点测量到远处有一物体做匀速直线运动，开始时物体位于P 点，1分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过1分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为( )A.12 B ．22 C.32 D ．3解析：选C 由题意知，PQ ＝QR ，设其长为1，则PR ＝2.在△OPR 中，由正弦定理，得2sin 120°＝OP sin R .在△OQR 中，由正弦定理，得1sin 30°＝OQ sin R ，则tan ∠OPQ ＝OQ OP ＝sin 120°2sin 30°＝32.故选C.5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.解析：设两条船所在位置分别为A ，B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．答案：306．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船 (填“有”或“无”)触礁的危险．解析：如图所示，暗礁位于C 处，开始时，轮船在A 处，航行30海里后，轮船在B 处．由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，则∠ACB ＝15°.由正弦定理，得BC＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin 30°sin 15°＝156－24＝15(6＋2)． 在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.所以，此船无触礁的危险．答案：无7．如图，小明同学在山顶A 处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为 m/s(精确到0.1，参数数据：2≈1.414，5≈2.236)．解析：由题意，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ，在△ABC 中，由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22≈ 316．17 m ，这辆汽车的速度为316.17÷14≈22.6 m/s.答案：22.68.如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意，知AB＝5(3＋3)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得BDsin∠DAB ＝ABsin∠ADB，即BD＝AB sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)sin 45°sin 105°＝5(3＋3)sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝10 3 n mile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 3 n mile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝BD2＋BC2－2BD·BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×1 2＝30 n mile，则救援船到达D点需要的时间为3030＝1 (h)．。
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
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又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
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解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
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6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
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由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
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2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
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所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
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题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
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又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
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故边 AB 的长为 2 5 . 3
人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 1.2 应用举例》_30
第一课时 1.2 应用举例（一）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程：一、复习准备：1.在△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝＋1)，c ＝，则∠A 为 .2.在△ABC 中，sin A ＝sin sin cos cos B C B C++，判断三角形的形状. 解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简二、讲授新课：1. 教学距离测量问题：① 出示例1：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =51︒，∠ACB =75︒. 求A 、B 两点的距离(精确到0.1m ).分析：实际问题中已知的边与角？ 选用什么定理比较合适？→ 师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？ ③ 出示例2：如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD =a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA =α，∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？→ 写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下：在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得AC =sin()sin[180()]a γδβγδ+︒-++ =sin()sin()a γδβγδ+++， BC =sin sin[180()]a γαβγ︒-++=sin sin()a γαβγ++. 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =④ 练习：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60︒，∠ACD =30︒，∠CDB =45︒，∠BDA =60︒. （答案：AB .2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、巩固练习：1. 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°. A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离. ()2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B在观察站C 南偏东60︒，则A 、B a km ）3. 作业：教材P14 练习1、2题.第二课时 1.2 应用举例（二）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m )③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C, BC =sin sin AB A C =5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？ 答案：(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.第三课时 1.2 应用举例（三）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.教学重点：熟练运用定理.教学难点：掌握解题分析方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？ 如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课：1. 教学角度的测量问题：① 出示例1：甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时10(3＋1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.分析：根据题意，如何画图？ →解哪个三角形？用什么定理？如何列式？→ 学生讲述解答过程 （答案：630） → 小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？② 练习：已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°，甲船自A 以50海里／小时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？画出图形，并标记已知和要求的 →解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？ ③ 出示例2：某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析:如何画出方位图？ → 寻找三角形中的已知条件和问题？ →如何解三角形.→ 师生共同解答. （答案：北偏东8331'︒方向；1.4小时）④ 练习：某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？2. 小结：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习：1. 我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2. 某时刻A 点西400千米的B 处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A 进入台风圈？A 处在台风圈中的时间有多长？3. 作业：教材P22 习题1.2 A 组 2、3题.第四课时 1.2 应用举例（四）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明. 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程：一、复习准备：1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？二、讲授新课：1. 教学面积公式：①讨论：∆ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha 、hb、h c，那么它们如何用已知边和角表示？→如何计算三角形面积？②结论：三角形面积公式，S=12absin C，S=1bcsin A,S=12acsinB③练习：已知在∆ABC中，∠B=30︒,b=6,c求a及∆ABC的面积S.（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）④出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？→师生共同解答. →小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.→讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）2. 教学恒等式证明：①讨论：射影定理：a = b cos C + c cos B；b = a cos C + c cos A；c = a cos B + b cos A.分析：如何证明第一个式子？证一：右边=22222222222a b c a c b ab c aab ac a+-+-+=== 左边证二：右边= 2R sin B cos C + 2R sin C cos B=2R sin(B+C)=2R sin A= a = 左边→学生试证后面两个.②出示例2：在∆ABC中，求证：（1）222222sin sin;sina b A Bc C++=（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+abcosC）分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习：1. 在△ABC中，若22tantanA aB b=，判断△ABC的形状. （两种方法）2. 某人在M汽车站的北偏西20︒的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40︒. 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）3. 作业：教材P24 14、15题.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 第3课时 导数的运算法则学案 新人教A版选修2-2-新人教A
1.2.2 第三课时 导数的运算法则一、课前准备 1.课时目标1. 能运用函数四则运算的求导法则，求常见函数四则运算的导数；2. 能运用复合函数的求导法则，求简单的复合函数的导数；3. 能综合利用导数的公式和运算法则解决简单的综合问题。
2.基础预探1.(1)[f (x )±g (x )]′＝________. (2)[f (x )·g (x )]′＝________. (3)[f (x )g (x )]′＝________.2.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y ＝f [φ(x )]是由________和________复合而成的．3．设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′x ＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u ＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数，且y ′x ＝________，或写作f ′x [φ(x )]＝________.二、学习引领1．对导数的运算法则的理解(1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．特别的，[cf (x )]′＝cf ′(x ) 即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2即需记忆如下几个特征：两个函数商的导数，其分母为原分母的平方；分子类似乘法公式，中间用减号链接，f ′(x )g (x )减去含分母导数f (x )g ′(x )的式子。
北京市第二十四中学高中通用技术《技术与设计2》1.2《稳固结构的探析》教案 苏教版
二十四中教学案例纸教学过程教师：（观看幻灯片）来看一下这些图片，在日常生活中，我们时常会看到翻到在地的物体。
是什么原因出现了图上所示的现象？学生发言：这些物体失去了平衡。
教师：在台风来之前它是稳定的！是什么原因出现了不平衡状态？学生发言：是台风把它们吹倒了！[引出问题]：那到底什么样的结构是稳定的，什么样的结构又是不稳定的？第二节稳固结构的探析新课内容：结构的稳定性是指结构在负载的作用下，维持原有平衡状态的能力。
台风过后，部分结构却完好无损，这又说明，有的结构稳定，有的结构不稳定。
想一想：结构的稳定性与什么因素有关？填表说明下表中的物体有可能因受哪些力的作用而出现不稳定现象，并根据你的生活经验，简要说明原因。
（P012）物体受到的外力不稳定的主要因素广告牌重力、风力底座小、重心高、受风面积大落地灯重力、撞击力底座小、重心高重力、撞击力底座小、重心高底小口大的空竹篓（一）影响结构稳定性的主要因素：[实验探究1]：学生拿一本书，让它直立在桌面上，它马上倾倒了，显然，其稳定性不好。
同样的一本书，把它的下端各书页展开一定的角度，仍旧将它直立在桌面上，它就能很好的挺立住。
因素一：支撑面积的大小1.稳定性与支撑面积的大小有关，支撑面越大越稳定，越小越不稳定。
A.落地电风扇或者宾馆里的落地灯，它们都有一个比较大的底座。
[引导学生得出结论]：结构的底座，结构与地面接触所形成的支撑面大,稳定。
B：为什么大坝的横截面总是建成梯形？生：思考回答师：大坝需要承受很大的力的作用，如自身的重力，水的冲击力、压力等等，要起到防洪的作用，大坝必须要求非常稳固。
大坝建成梯形，增大了与地面接触所形成的支撑面，支撑面越大越坚实，稳定性就越好。
通过分析长方体重心的垂线位置与稳定性示意图，使学生容易理解，比萨斜塔不倒的原因是它的重心所在点的垂线落在塔的底面的范围内。
当塔倾斜到一定程度，重心的垂线不再落在塔的底面时，塔就会倾倒。
[引导学生得出结论]：结构的稳定性与重心位置有关。
人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 1.2 应用举例》_2
第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。
主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。
因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。
本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。
对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。
二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。
这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。
在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。
学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。
三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。
（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。
（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。
四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。
难点：测量方法的寻找与计算。
五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。
六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。
知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。
人教版数学五年级上册教案-1.2第3课时《小数倍的应用和验算》
人教版数学五年级上册教案-1.2第3课时《小数倍的应用和验算》一. 教材分析《小数倍的应用和验算》是人教版数学五年级上册的一个重要内容。
在本节课之前，学生已经学习了小数的意义、小数的加减法和乘除法。
本节课主要让学生掌握小数倍的概念，以及运用小数倍解决实际问题。
教材通过丰富的情景素材，引导学生探索小数倍的应用，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的数学基础，对小数有一定的认识。
但学生在运用小数倍解决实际问题时，可能会受到整数倍的影响，对小数倍的概念理解不够深入。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知特点，引导学生逐步理解和掌握小数倍的概念，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握小数倍的概念，能正确运用小数倍解决实际问题。
2.过程与方法：通过探索和交流，培养学生运用小数倍解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握小数倍的概念，能正确运用小数倍解决实际问题。
2.难点：理解小数倍在实际问题中的应用，以及如何进行验算。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境，引导学生探索小数倍的应用。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，发现规律，总结方法。
3.合作学习法：让学生在小组内交流讨论，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计教学活动。
2.学生准备：预习相关知识，了解小数倍的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活情境，如超市购物，引导学生发现小数倍的应用。
提问：“如果你买了3.5元的商品，你给了店员10元，店员应该找你多少元？”从而引出小数倍的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示几个小数倍的例子，如0.5倍、1.2倍等，让学生观察并说出它们的意义。
同时，教师引导学生发现小数倍与整数倍的区别。
高中数学 1-2-3角度和几何计算问题课件 新人教A版必修5
[错解]
设缉私船用 t 小时， D 处追上走私船， 在 在△ABC
中，由余弦定理，得 BC2 ＝ AB2 ＋ AC2 － 2AB· cos ∠ CAB ＝ ( 3 － 1)2 ＋ 22 － AC· 2×( 3－1)×2×cos120° ＝6， ∴BC＝ 6. 在△BCD 中，BD＝10t，CD＝10 3t， 由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC· BD×cos∠CBD， 1 ∴(10 3t) ＝6＋(10t) －2× 6×10t×(－2)，
由余弦定理得： SB2＝SA2＋AB2－2SA· cos∠SAB AB· ＝3002＋(30t)2－2· 30tcos60° 300· 若 S 岛受到台风影响，则应满足条件 |SB|≤270 即 SB2≤2702， 化简整理得 t2－10t＋19≤0，解之得 5－ 6≤t≤5＋ 6， 所以从现在起， 经过 5－ 6小时 S 岛开始受到影响， (5＋ 6) 小时后影响结束，持续时间：
2 2
∵BC＝2x，∴x＝14. 3 ACsin∠BAC 20× 2 又 由 正 弦 定 理 得 ， sin ∠ ABC ＝ ＝ 28 BC ≈0.62. ∴∠ABC＝38° .
而如图所示的 Rt△ADB 中，∠ABD＝40° . ∴∠EBC＝90° －38° －40° ＝12° . 即我巡逻艇用每小时 14 n mile 的速度向北 12° 东的方向航 行．
→ → → 设OE＝F， 将力 F 沿AO， 两个方向进行分解， OB 作▱OCED， → → → 则OD＝－F1， ＝－F2 由题设条件知|OE|＝12， OC ∠COE＝60° ， ∠OCE＝45° ，∴∠OEC＝75° ， 12 OC CE 在△OCE 中，由正弦定理得，sin45° sin75° sin60° ＝ ＝ ， 12sin60° 12sin75° ∴CE＝ sin45° ＝6 6，OC＝ sin45° ＝6( 3＋1)，
高中数学新人教A版必修5学案 1.2 应用举例(第3课时)
1.2 应用举例(第3课时)学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.2.本节课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综合训练强化相应的能力.3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神. 合作学习一、设计问题,创设情境提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问题.二、信息交流,揭示规律在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决,大家身边有什么例子吗?三、运用规律,解决问题【例1】如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile)问题1:要想解决这个问题,首先应该搞懂“北偏东75°的方向”这指的是什么?【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多长时间才追赶上该走私船?问题2:你能否根据题意画出方位图?问题3:以上是用正弦定理、余弦定理来解决的,我们能不能都用余弦定理来解决呢?四、变式训练,深化提高【例3】如图,海中小岛A周围38海里内有暗礁,船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里到C处,在C处测得小岛A在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?练习:如图,有两条相交成60°角的直线XX',YY',交点是O,甲、乙分别在OX,OY上,起初甲在离O点3千米的A点,乙在离O点1千米的B点,后来两人同时以每小时4千米的速度,甲沿XX'方向,乙沿Y'Y方向步行.(1)起初,两人的距离是多少?(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离;(3)什么时候两人的距离最短?五、限时训练1.在某电场中,一个粒子的受力情况如图所示,则粒子的运动方向为( )A.南偏西B.北偏西C.北偏东D.南偏东2.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ=.3.一辆汽车从A点出发,沿一条笔直的海岸公路以100km/h向东匀速行驶,汽车开动时,在点A的南偏东方向距点A 500km的B处的海上有一快艇,此时,快艇所在B处距海岸300km.现快艇上有一快递要送给汽车的司机,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角,并求出快艇的最小速度.六、反思小结,观点提炼解三角形应用题的一般步骤:参考答案三、运用规律,解决问题【例1】解:在△ABC中,∠ABC=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理,AC=≈113.15(n mile),根据正弦定理,,sin∠CAB=≈0.3255,所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15n mile.问题1:这是方位角,这实际上就是解三角形,由方位角的概念可知,首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC,即可用余弦定理算出AC边,再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB,就可以知道AC的方向和路程.【例2】解:如图,设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则CB=10x,AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理,可得(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°,化简得32x2-30x-27=0,即x=或x=-(舍去).所以BC=10x=15,AB=14x=21.又因为sin∠BAC=,所以∠BAC=38°13',或∠BAC=141°47'(钝角不合题意,舍去).所以38°13'+45°=83°13'.答:巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.问题2:在解三角形中有很多问题都要画出平面示意图,图画的好坏有时也会影响到解题,这是建立数学模型的一个重要方面.问题3:同例2中解得BC=15,AB=21,在△ABC中,由余弦定理,得cos∠CAB=≈0.7857,所以∠CAB≈38°13',38°13'+45°=83°13'.所以巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.四、变式训练,深化提高【例3】解:在△ABC中,BC=30,B=30°,∠ACB=180°-45°=135°,则A=15°.由正弦定理知,即.所以AC==60cos15°=15+15.所以A到BC所在直线的距离为AC·sin45°=(15+15)×=15(+1)≈40.98>38(海里).答:不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险.练习:解:(1)因为甲、乙两人起初的位置是A,B,则AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=32+12-2×3×1×=7,所以起初,两人的距离是千米.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P,Q,则AP=4t,BQ=4t,当0≤t≤时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;当t>时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7,所以,PQ=48t2-24t+7.(3)PQ2=48t2-24t+7=48+4,所以当t=时,即在第15分钟末,PQ最短.答:在第15分钟末,两人的距离最短.五、限时训练1.D2.解析:如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,即得BC=20(海里).由正弦定理,,所以sin∠ACB=sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,cos∠ACB=.由θ=∠ACB+30°,则cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.3.分析:设快艇在B处以v km/h的速度出发,在△ABC中,由正弦定理求解.解:如图,设快艇在B处以v km/h的速度出发,沿BC方向航行t小时与汽车相遇(在C点). 在△ABC中,AB=500km,BQ=300km,AC=100t,BC=vt.则sin∠BAC=.在△ABC中,由正弦定理得,即,则v=≥60,当且仅当∠ABC=90°时等号成立.故快艇最小速度为60km/h且行驶方向与AB成直角.六、反思小结,观点提炼①根据题意作出示意图;②明确所涉及的三角形,搞清已知和未知;③选用合适的定理进行求解;④给出答案.。
1.2 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 课件(共22张PPT) 北师版九年级上册
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
习题解析
习题解析
习题2
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
思考：线段AE和哪条线段有关系？这里用到了直角三角形的哪个性质？
例1
课程讲授
新课推进
分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
课程讲授
新课推进
习题解析
习题1
如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
习题解析
证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM. ∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
人教社A版数学·必修5教材学习与解读(浙江省杭州长征中学 朱成万)2007.1.16
教师：这是新增类型， 教师：这是新增类型，与高考题型接轨 课标： 课标：直接运用 启示： 启示：不宜技巧化
新旧教材题量比较 题量偏多？ 题量偏多？
例题 练习 习题 复习参考 总题量 课时平均 大纲教材 课标教材 课时） 课时） （8课时） （8课时） 课时 课时 7 11 12 19 18 44 9 14 45 88 11 5．6 ．
实习 作业
比较分析
内 容 处 理 大纲： 大纲：关注边角恒等变换 ——侧重运算 侧重运算 标准： 标准：运用知识解决实际问题 ——侧重探究和推理能力培养 侧重探究和推理能力培养 大纲： 大纲：解 角 —— 标准： 标准：解 角 —— 知识 用 理 用 用
课 程 定 位
四、整体分析
关注数学情境 强调数学应用 重视数学文化
4）教学挖掘到何深度？ ）教学挖掘到何深度？
2.2等差数列 2.2等差数列
新旧教材例、 新旧教材例、习题比较
大纲教材 例题、 例题、习题 总题量 恒等变形 应用题 4+11=15 3+7=10 1+4=5 课标教材 例题、 例题、习题 3+7=10 2+2=4 1+5=6
新教材：题量减少； 新教材：题量减少；应用题增多 启示：淡化技巧； 启示：淡化技巧；强化应用
三、纲标比较
内容 正弦 定理 余弦 定理 应用 《标准》目标表述 标准》 通过对任意三角形边长 和角度关系的探索， 和角度关系的探索，掌握正 弦定理、余弦定理， 弦定理、余弦定理，并能解 决一些简单的三角形度量问 题。 能够运用正弦定理、 能够运用正弦定理、余 弦定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关的 实际问题。 实际问题。 根据实际需要， 根据实际需要，做一个有关 测量的实习作业。 测量的实习作业。培养学生 应用数学知识解决实际问题 的能力和实际操作的能力。 的能力和实际操作的能力。 《大纲》目标表述 大纲》 掌握正弦定理、 掌握正弦定理、余弦 定理， 定理，并能运用它们解斜 二角形， 二角形，能利用计算器解 决解斜三角形的计算问题。 决解斜三角形的计算问题。 通过解三角形的应用 的教学， 的教学，提高运用所学知 识解决实际问题的能力。 识解决实际问题的能力。 实习作业以测量为内 容，培养学生应用数学知 识解决实际问题的能力和 实际操作的能力。 实际操作的能力。
一年级数学上册说课稿《1.2比多少》32-人教版
一年级数学上册说课稿《1.2比多少》32-人教版一. 教材分析《1.2比多少》是人教版一年级数学上册第二单元第一课时的内容。
本节课主要让学生初步理解“比多少”的概念，学会用目测的方法比较两组物体的多少，并能用简单的语言进行表达。
教材通过图片和情境的设置，引导学生观察、思考和交流，从而培养学生的数感和语言表达能力。
二. 学情分析一年级的学生刚接触数学，对数学概念的理解还不够深入。
但他们好奇心强，喜欢观察和动手操作。
通过前面的学习，学生们已经掌握了基本的数数能力，对生活中的数量关系有一定的认识。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣，引导他们主动参与课堂活动。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生会用目测的方法比较两组物体的多少，并能用简单的语言进行表达。
2.过程与方法：学生通过观察、思考和交流，培养数感和语言表达能力。
3.情感态度与价值观：学生体验数学与生活的联系，培养学习数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能用目测的方法比较两组物体的多少，并用简单的语言进行表达。
2.教学难点：学生学会通过观察、思考和交流，解决生活中的数量关系问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用情境教学法、启发式教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和卡片等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过出示两组实物，让学生观察并说出它们之间的数量关系，引出“比多少”的概念。
2.探究新知：让学生分组讨论，思考如何用目测的方法比较两组物体的多少，并交流分享心得。
3.巩固新知：通过多媒体课件展示不同情境下的“比多少”问题，让学生运用所学知识解决问题。
4.拓展延伸：引导学生联系生活实际，举例说明“比多少”的应用。
5.总结归纳：总结本节课所学内容，强调“比多少”的比较方法和表达方式。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出“比多少”的概念和比较方法。
(新人教A版)高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题练习必修5
A 级 基础巩固一、选择题1．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( D )A ．10 kmB ． 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km[解析] 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107 km ．2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( D )A ．γ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，α，βD ．b ，α，γ[解析] 本题中a 、c 、β这三个量不易直接测量，故选D ．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )A ．5 n mlieB ．5 3 n mlieC ．10 n mlieD ．10 3 n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300 m 和500 m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为( C )A ．500 mB ．600 mC ．700 mD ．800 m[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120 m 由此可得河宽为(精确到1m)( C )A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝406．设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin75°≈95(m)．6．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船的距离是( B )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13 km ．二、填空题7．在相距2km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是__6__km ．[解析] 如图所示，由题意易知C ＝45°，由正弦定理得AC sin60°＝2sin45°，从而AC ＝222·32＝6(km)．8．一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝__1063__cm ．[解析] 如图，由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°.∠B ＝60°， 由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin B ，∴x ＝10sin ∠ACB sin B ＝10×sin45°sin60°＝1063．三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°， AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°．在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°.由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7.06(n mile)．∵h >6.5 n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行．B 级 素养提升一、选择题1．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A 、B 两船的距离为( D )A ．2 3 kmB ．3 2 kmC ．15 kmD ．13 km[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13．2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( A )A ．1762 n mile/hB ．34 6 n mile/hC ．1722n mile/hD ．34 2 n mile/h[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．3．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12 h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是( B )A ．10 kmB ．10 2 kmC ．15 kmD ．15 2 km[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20( km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102( km)．二、填空题4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站107 n mile ，20 min 后测得海盗船距观测站20 n mlie ，再过__403__min ，海盗船到达商船．[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20 min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12．∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．5．如图，一艘船上午8∶00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距4 2 n mile ，则此船的航行速度是__16__n mile/h ．[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°，∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB ，∴AB ＝BS ·sin ∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午8∶00在A 地，8∶30在B 地， ∴航行0.5小时的路程为8 n mile ， ∴此船的航速为16 n mile/h ． 三、解答题6．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29 800， EF 2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665．C 级 能力拔高1．为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图)．能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．[解析] 方案一：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算AM ，由正弦定理，得AM ＝d sin α2sin α1＋α2；第二步：计算AN ，由正弦定理，得AN ＝d sin β2sin β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos α1－β1．方案二：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算BM ，由正弦定理，得BM ＝d sin α1sin α1＋α2；第二步：计算BN ，由正弦定理，得BN ＝d sin β1sin β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos β2＋α2．2．已知海岛B 在海岛A 的北偏东45°方向上，A 、B 相距10 n mile ，小船甲从海岛B 以2 n mile/h的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船乙从海岛A 出发沿北偏西15°方向也以2 n mile/h 的速度移动．(1)经过1 h 后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．[解析] 经过1 h 后，甲船到达M 点，乙船到达N 点， AM ＝10－2＝8，AN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos60°＝64＋4－2×8×2×12＝52．所以MN ＝213．所以经过1 h 后，甲、乙两小船相距213海里．(2)设经过t (0<t <5)h 小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A 距离为AE ＝(10－2t )n mile ，乙船与A 距离为AF ＝2t n mile ，∠EAF ＝60°，∠EF A ＝75°，则由正弦定理，得AF sin45°＝AE sin75°，即2tsin45°＝10－2t sin75°，则t ＝10sin45°2sin75°＋2sin45°＝103＋3＝53－33<5．答：经过53－33小时小船甲处于小船乙的正东方向．。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]
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CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
高中数学：1.2应用举例第三课时：测量角度问题(新人教A版必修5)
1. 2应用举例第三课时：测量角度问题一、教学目标：1、能力要求：①综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题； ②体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；③能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力2、过程与方法：测量角的问题多在行驶问题中出现，利用正弦、余弦定理求得最优解。
二、教学重点、难点：重点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。
难点：掌握求解实际问题的一般步骤。
三、例题讲解：例1、一艘海伦从A 出发，沿北偏东 75的方向航行67.5n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东 32的方向航行54.0n mile 后到达海岛C 。
如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需航行多少距离？（角度精确到 1.0，距离精确到01.0n mile ） 解：在ABC ∆中， 1373275180=+-=∠ABC ，由余弦定理 又由正弦定理ABC AC CAB BC ∠=∠sin sin 即3255.015.113137sin 0.54sin sin ≈=∠=∠AC ABC BC CAB 所以，此船应该沿北偏东0.56的方向航行，需要航行n 15.113 mile 。
例2、一架飞机以h km /360的速度，沿北偏东 75的航向从城市A 出发向城市B 飞行，min 18后，飞机由于天气原因按指令改飞另一个城市C 。
如下图所示，已知km AD 57=，km CD 110=，km BC 204=， 133,66=∠=∠DCB ADC ,问收到命令时，飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C 的距离是多少？（角度精确到 1，距离精确到km 1） 解：设飞机在E 处改变航向，要求改变航向后只需求出AEC ∠，则航向为南偏西AEC ∠- 75，这需在AEC ∆中使用正弦定理或余弦定理求解，故需求解AC 与CE 的长。
必修5
数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
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课题: §1.2解三角形应用举例第一课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75。
求A、B两点的距离(精确到0.1m)51，∠ACB=︒启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
解：根据正弦定理，得ACBAB ∠sin =ABCAC ∠sinAB = ABCACB AC ∠∠sin sin= ABCACB∠∠sin sin55=)7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒= ︒︒54sin 75sin55≈ 65.7(m)答:A 、B 两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：2a km例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。
首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点。
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得AC = )](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++a BC =)](180sin[sin γβαγ++-︒a =)sin(sin γβαγ++a计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离 AB =αcos 222BC AC BCAC⨯-+分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒ 略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
Ⅲ.课堂练习课本第14页练习第1、2题 Ⅳ.课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅴ.课后作业课本第22页第1、2、3题 ●板书设计 ●授后记课题: §1.2解三角形应用举例第二课时授课类型：新授课●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。
采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。
通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。
教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。
作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 ●教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题 ●教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 ●教学过程 Ⅰ.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解]例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。
解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。
由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得AC =)sin(sin βαβ-aAB = AE + h = AC αsin + h=)sin(sin sin βαβα-a + h例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。
已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在∆ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？ 生：需求出BD 边。
师：那如何求BD 边呢？生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得。
解:在∆ABC 中, ∠BCA=90︒+β,∠ABC =90︒-α,∠BAC=α- β,∠BAD =α.根据正弦定理,)sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC解Rt ∆ABD 中,得 BD =ABsin ∠BAD=)sin(sin cos βααβ-BC将测量数据代入上式,得 BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒=934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177 (m)CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.师：有没有别的解法呢？生：若在∆ACD 中求CD ，可先求出AC 。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？ 生：同理，在∆ABC 中，根据正弦定理求得。
（解题过程略）例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD.师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 生：在∆BCD 中师：在∆BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？ 生：BC 边解:在∆ABC 中, ∠A=15︒,∠C= 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,ABC sin =CAB sin ,BC =CA AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈ 7.4524(km)CD=BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m)答:山的高度约为1047米 Ⅲ.课堂练习课本第17页练习第1、2、3题 Ⅳ.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
Ⅴ.课后作业1、 课本第23页练习第6、7、8题2、 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？ 答案：20+3320(m)●板书设计 ●授后记课题: §1.2解三角形应用举例第三课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。
除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。