高中数学同步讲义(人教A版必修二)直线与平面垂直的判定定理(第1课)(教师版)

知识点01：直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线l 与平面 内的任意一条直线都垂直，那么直线l 垂直于平面 ，记为l ．直线l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线l 的垂面，垂线与平面的交点P 叫垂足.
（2）符号语言：对于任意a ，都有l a l .
（3）图形语言：
（4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可
判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若a ,b ,则a b ”,简述为“若线面垂
直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法.
②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.知识点02：直线与平面垂直的判定定理
（1）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线
与此平面垂直.简记：线线垂直 线面垂直
（2）符号语言：l a ，l b ，a ，b ，a b P ∩ l
（3）图形语言：如图
【即学即练1】（2024上·全国·高三期末）如图所示，已知1AA 平面ABC ，11,BB AA AB AC //，点E 和F 分别为BC 和1AC 的中点.
(1)证明：//EF 平面11A B BA ；
(2)证明： AE 平面1BCB .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接1A B ，在1A BC 中，
∵点E 和F 分别是BC 和1AC 的中点，1//EF A B ，
又1A B ∵平面11A B BA 且EF 平面11A B BA ，
//EF 平面11A B BA ；
（2）,AB AC E ∵为BC 中点，AE BC ，
1AA ∵平面11,//ABC BB AA ，1BB 平面ABC ，
AE ∵平面ABC ，1BB AE ，
又1,BC BB ∵平面1BCB 且1BC BB B ∩，
AE 平面1BCB .
知识点03：直线与平面所成角
（1）直线与平面所成角的定义
如图，一条直线PA 和一个平面 相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）在正方体1111ABCD A B C D 中，1AB 与平面ABCD 所成角的大小
因为1BB AB ，所以1π4BAB
，故1AB 与平面ABCD 所成角为
π4.故答案为：π
4
（2）说明：①l 为斜线
②l 与 的交点A 为斜足
【典例1】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）已知直线,a b 和平面 ，若//a ，则“b a ”是“b ”的（）
条件.
A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．充分必要
D ．既非充分又非必要【答案】B
【详解】必要性，若//a ，则存在直线m ，//a m ，
由于b ，m ，得b m ，
因为b m ，//a m ，所以b a ，必要性成立；
充分性：若平面ABCD 为平面 ，直线11A B 为直线a ，直线11B C 为直线b ，满足//a ，b a ，但11//B C 平面ABCD ，即//b ，不满足充分性；
所以“b a ”是“b ”的必要非充分条件；
故选：B.
【典例2】（2024上·上海·高二上海市建平中学校考期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（）.
A ．若直线a 与平面 内的一条直线垂直，则直线a 与平面 垂直
B ．若直线a 与平面 内的两条平行直线垂直，则直线a 与平面 垂直
C ．若直线a 与平面 内的两条相交直线垂直，则直线a 与平面 垂直
D ．若直线a 与平面 内的无数条直线垂直，则直线a 与平面 垂直
【答案】C
【详解】直线a 与平面 内的两条相交直线垂直才可得直线a 与平面 垂直，
A 、
B 不符，D 中的无数条直线可能为无数条平行直线，不符，
故A 、B 、D 错误，C 正确.
故选：C.
【变式1】（2024·广东·高三学业考试）已知平面α和α外的一条直线l ，下列说法不正确的是（）A ．若l 垂直于α内的两条平行线，则l ⊥α
B ．若l 平行于α内的一条直线，则l ∥α
C ．若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α
D ．若l 平行于α内的无数条直线，则l ∥α
【答案】A 【详解】根据线面垂直的判断定理可知，直线需垂直于平面内的两条相交直线，故A 错误，C 正确；根据
线面平行的判断定理可知，平面外的线平行于平面内的一条直线，即可证明线面平行，若直线l 平行于α内的无数条直线，也可说明线面平行，故BD 正确.
故选：A
【变式2】（2023下·北京·高二统考学业考试）已知直线l ，m 和平面 ，满足//l m ，m ，则下列结论正确的是（
）A ．//l
B ．l
C ．l
D ．l 是平面 的斜线
【答案】C
【详解】因为//l m ，m ，
所以l ，
故选：C 题型02证明线面垂直
【典例1】（2023上·上海·高二专题练习）如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.
求证：AN ⊥平面PBM ；
【答案】证明见解析
【详解】∵AB 为⊙O 的直径，
∴AM ⊥BM .
又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，
∴PA ⊥BM .
又∵PA AM A ∩，,PA AM 平面PAM ，
∴BM ⊥平面PAM .
又AN 平面PAM ，
∴BM ⊥AN .
又AN ⊥PM ，且BM PM M ，,BM PM 平面PBM ，
∴AN ⊥平面PBM .
【典例2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥S ABC 中，90ABC ，D 是AC 的中点，且SA SB SC .
(1)求证：SD 平面ABC ；
(2)若AB BC ，求证：BD 平面SAC .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为SA SC ，D 是AC 的中点，所以SD AC .在Rt ABC △中，AD BD ，
由已知SA SB ，所以ADS BDS △△，所以SD BD .
又,,AC BD D AC BD 平面ABC ，
所以SD 平面ABC .
（2）因为AB BC ，D 是AC 的中点，
所以BD AC .
由(1)知SD BD .
又因为,,SD AC D SD AC ∩平面SAC ，
所以BD 平面SAC .
【典例3】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D ，
(1)求证：AC 平面11BDD B ；
(2)求证：平面11//AB D 平面1
BDC 【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为正四棱柱1111ABCD A B C D ，所以1DD 平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ，
又因为AC 平面ABCD ，所以1DD AC ，
因为1BD DD D ∩，且1,BD DD 平面11BDD B ，所以AC 平面11BDD B .
（2）因为11//DD BB ，11DD BB ，所以四边形11BDD B 为平行四边形，所以11//B D BD ，又因为BD 平面1BDC ，11B D 平面1BDC ，所以11//B D 平面1BDC ，
因为11//AB C D ，11AB C D ，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，又因为`BC 平面1BDC ，1AD 平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC ，
又因为1111B D AD D ，且111,B D AD 平面11AB D ，所以平面11//AB D 平面1BDC .
【变式1】（2024上·北京·高二统考学业考试）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA 平面ABCD ，E 为PD 的中点.
(1)求证：BD 平面PAC ；
(2)求证：//PB 平面AEC .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为PA 平面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以BD PA ，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ，
又,PA AC A PA AC ∩、=Ì平面PAC ，
所以BD 平面PAC ；
（2）E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，
则//OE PB ，又OE 平面AEC ，PB 平面AEC ，
所以//PB 平面AEC .
(1)求证：BD 平面ACP ；
(2)求四面体M ACP 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
3
【详解】（1）在正四棱锥P ABCD 则AC 与BD 交于点O ，且AC BD 所以PO BD ，又AC PO O ∩，AC （2）因为2AB ，3PO ，所以P V 又M 为PD 上靠近P 的三等分点，所以则13P ADC M AC M ADC P ADC P V V V V 【变式3】（2024·全国·高三专题练习）平面PBC ．证明：BC 平面PAB ；
【答案】证明见解析
【详解】过点A 作AE PB 因为平面PAB 平面PBC 所以 AE 平面PBC ，
又BC 平面PBC ，所以又PA 平面ABC ，BC 所以PA BC ，
又因为AE PA A ∩，AE 所以BC 平面．
【答案】1或2/2或1
【详解】由已知得1B D 平面若CF ⊥平面1B DF ，则必有设 03AF x x ，则CF 所以由222CF DF CD 得所以当1AF 或2时，CF 【答案】1111
AC B C 【详解】当底面111A B C 满足条件理由如下：1AA ∵面ABC 四边形11BCC B 是正方形，//CC AA ∵， A C CC
因为PA 平面ABCD ，BD 平面ABCD 所以PA BD ，
当四边形ABCD 为菱形时，AC BD ，
又PA AC A ∩，PA AC 、平面PAC 所以BD 平面PAC ，又PC 平面PAC 所以BD PC .
故答案为：四边形ABCD 为菱形.（答案不唯一）
【变式2】（2023下·全国·高一专题练习）
【答案】AB=AC
【详解】解：由线面垂直的判断定理有，要使直线AM 垂直于平面BMC 则应有AM 垂直于MC ，且垂直于MB ，即AM 是BC 上的高，又因为M 为边BC 的中点，
所以AB =AC ，即在AB =AC 的条件下直线AM 垂直于平面BMC ．
设三棱柱111ABC A B C -底面边长为由正三棱柱性质可知MN 易知32
CN a ，由勾股定理可得所以sin MN MCN CM
A ．10
4B ．【答案】A
【详解】取11AC 中点D ，连接在正三棱柱111ABC A B C -1CC ∵底面1111,A B C B D 又111111,,CC AC C CC AC 1B AD 为1AB 与平面AAC 1B D ∵平面11,AAC C AD 由题意，2221AD
【答案】45°
于E，由题意，
【详解】解法一：如图2，作CE AB
于O，连接OE，则BD 平面COE
作OC BD
【典例4】（2023下·天津和平·高一统考期末）如图，在四棱锥45,1
ADC AD AC
，O为AC中点，PO 平面ABCD，
(1)证明：PB//平面ACM；
(2)证明：AD 平面PAC；
（2）因为45,ADC AD AC 由余弦定理得2cos AD ADC 解得2CD ，
因为222AD AC CD ，所以AD 因为PO ⊥平面ABCD ，AD 因为,AC PO 平面PAC ，AC
【变式1】（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）如图是四棱锥开图，四边形ABCD 是矩形，ED 中，BP 与平面PDC 所成角的正切值为（A ．3
2B ．2
3【答案】D
【详解】如图，四棱锥P ABCD 由题意得PD DA 又DA DC D ∩，
【答案】45°
【详解】如图，作1A E 平面弦公式，11cos cos A AB A AE ∴12cos 2
A AE ，从而
【答案】π
4
【详解】
BC 中点为D ,连接,AD OD ,
1,60,1OC AOC AC ,
△AOB 中，1AB ,
1,2AB BC ,AD BC ,且22AD
，
【答案】6
4
【详解】取BC 的中点因为侧棱1AA 底面ABC 所以侧棱1BB 底面ABC 因为1BB BC B ∩，BB 所以所求直线与平面所成的角为由AO 平面11BCC B ，因为所有的棱长都相等，不妨假设棱长为
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，B C的中点．若点P为侧面正方形
11
成角的正切值最大为（）
A．2B．
【答案】D
A D的中点M
【详解】取11
在正方体1111ABCD A B C D 中，因为E 、F 分别是棱AD 、所以，四边形1AB FE 为平行四边形，则1AB ∵平面BEF ，EF 平面1//AB 平面BEF ，同理可证
（1）求证：平面COD （2）求直线CD 与平面【答案】（1）详见解析；（【详解】（1）AOB ∵将Rt AOB 以直线AO
A．3B．39
13
【答案】B
【详解】先证明一个结论：如图，直线
证明：对于平面 内的任意一条直线
此时直线m与直线ST所成角即为平移后的直线与直线设平移后的直线为直线TG（如图），过
S在平面 内的射影为O，连接
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）平面ABC ，且OB AB .
(1)证明：OB AC ；
(2)若F 是直线OC 上的一个动点，求直线【答案】(1)证明见解析；(2)2.
因为平面BCO 平面ABC ，平面所以BD 平面BCO ，又OB 因为OB AB ，,AB BD B AB I 所以OB 平面ABC ，又AC
【典例1】（2024上·山东淄博
AA与底面ABCD 和4，若侧棱1
28
故该正四棱台的体积为
22221242463
故选：B
【典例2】（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知正方形形ABC 是等边三角形．
(1)求异面直线AC 与BD 所成的角的大小；
(2)在线段AC 上是否存在一点不存在，说明理由.【答案】(1)45 ；(2)存在，1
【详解】（1）因为OBDC 为正方形，则
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知四棱锥
2
，BAD
PD AD CD
(1)平面PAD 平面PBC
(2)当直线BE与平面BCD的夹角为
【答案】(1)证明见解析
(2)3
3
因为PD 平面ABCD，所以又因为BM CD
，PD CD
所以BM 平面PCD，所以点
故
11
3
P BDE B PDE
V V
【变式1】（2024上·上海长宁
【变式2】（2024上·上海黄浦面ABCD，E为PD的中点．
(1)设平面ABE 与直线PC 相交于点(2)若2AB ，60DAB 【答案】(1)证明见解析(2)22
（2）由于四边形ABCD 为菱形，且所以2AD AB BD ,取AD 中点O ，连接,OE OB 由于PD 平面ABCD ，OB 又,,AD OB AD PD D
(1)证明：MN ∥平面AEF ；
(2)若PA PD ，11PC ，直线【答案】(1)证明见解析；
(2)3912
.【详解】（1）设Q 为AF 所以QN 为△FAB 的中位线，
所以1//,2
QN AB QN AB =，同理1//,2EM DC EM DC =
，又所以,//QN EM QN EM =，
故四边形QEMN 为平行四边形，
因为PA PD
，所以OA OD 又AD⊥AB，
(1)证明：l BC ；
(2)求顶点1C 到直线l 的距离.
【答案】(1)答案见解析
(2)22
【详解】（1）证明：由题知B 所以//B C 平面ABC ，又因为平面（2）作CE l 交直线l 于点E 所以1AA 平面ABC ，l 平面又因为CE l ，且1CC CE 因为1C E 平面1C CE ，所以作AD BC 交BC 于点D ，因为
(1)求证：PC CD ；
(2)求点B 到直线PC 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)63
a ）
证明：如图，连接AC ,在Rt ABC △中，AB 为直角梯形，且AB AD ,则CD ，由222AC CD AD 可知CD ABCD ,CD 平面ABCD ，故）
PBC 中，因2,PB a PC PBC 的面积12PBC S BC PB B 到直线PC 的距离为BH
故选：B
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 5
AB PC
.求点B到平面PAC
【答案】2.
【详解】由PA 平面
2,5
，则
PA AB
于是BC PC
，而PC
BC为点B到平面PAC
A 夯实基础
B 能力提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）空间中直线l 和三角形的两边AC ，BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（
）A ．平行
B ．垂直
C ．相交
D ．不确定【答案】B
【详解】因为三角形的两边AC ，BC 有交点C ，
且直线l 和AC ，BC 同时垂直，
所以该直线垂直平面ABC ，故该直线与AB 垂直.
故选：B
2．（2022·高一课时练习）在正方体1111ABCD A B C D 的六个面中，与1AA 垂直的平面有（）A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个【答案】B
【详解】在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体1111ABCD A B C D 的六个面中，与1AA 垂直的平面有平面ABCD 和平面1111D C B A ，共两个.
故选：B
3．（2019下·江苏常州·高一校联考期中）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，点D 是A 1B 1的中点，F 是侧面CC 1B 1B （含边界）上的动点，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段C 1F 的长的最大值为（）
A．5
B．2
2
【答案】A
【分析】由题可知，1C D AB
解F点的轨迹.
【详解】如图，在线段BB1上取一点
故AB1⊥平面C1DF，则F点轨迹为
故选：A.
4．（2019下·江苏·高一校联考期末）已知正方体（）
A．1B．2
【答案】B
【分析】作出辅助线，证明出AC⊥平面
【详解】连接AC交BD于点E，则因为四边形
故选：B
5．（2020下·高一课时练习）如图所示的正方形SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G
A．SG 平面EFG B C．GF 平面SEF D 【答案】A
，【解析】根据正方形的特点，可得SG FG
A ．1
3B ．3
2【答案】C
【分析】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可【详解】因为1AC BC ，ACB 因此222211111111A B A C B C 所以111C D A B ，且122
DB ，在直三棱柱而1C D 平面111A B C ，所以11AA C 111,AA A B 平面11AA B B ，所以1C D
A．32B．【答案】C
【详解】连接OE，作ON ∵是 AB的中点，OE
E
∵平面ABE，OE 平面BC
AB BC ∵，,
AB BC B
平面ABCF，又AD OE
， ，又ON AD OE AD
平面ONE，
AD
PQ
则111B O A C ，而1AA 平面又111111,,AA AC A AA AC 则1B AO 是直线1AB 与平面所以直线1AB 与平面ACC 故选：A
A ．BD 平面PAC
C ．//C
D 面PAB
【答案】ABC 【详解】由于四边形ABCD 又PA 面ABCD ，BD 面连接PO ，由A 可知：PD 与平面22,6,AC BD PO OD 故B 正确；
易知CD AB AB ∥，面PAB 由A 可知点D 到面PAC 的距离为
在三棱柱11ABC A B C -AD 平面ABC ，则ABC 为正三角形，1,BB BC 平面1BCC 1AB 在平面1BCC 内的射影为Rt BPC △中，tan BC BPC PC
(1)求证：DE 平面PAB；
的体积．(2)求三棱锥E PBC
【答案】(1)证明见解析(2)23
【详解】（1）证明：因为PD
【答案】当1
CD CC ＝1时，能使A 1【详解】解：如图，当
1CD CC ＝1时，能使证明：连接AC ，A 1C 1，B 1C ，A 1A ，设AC 和BD ∵四边形ABCD 是菱形，且60BCD
∴AC ⊥BD ，BC ＝CD ，
又∵∠BCC 1＝∠DCC 1，C 1C ＝C 1C ，∴△C 1BC ≌△
(1)证明：AB 平面CC (2)若1236AA AB ，求点【答案】(1)证明见解析
(2)3
2
【详解】（1）由三棱柱的性质可知因为1AA 平面ABC ，所以
2．
（2023下·河北石家庄2AB AC ，BAC (1)若2A A ，求三棱柱ABC (2)证明：//MN 平面AA C C (3)请问当AA 为何值时，CN 【答案】(1)4
(2)见解析
(3)2AA 时，CN 平面
∵M ，N 分别为A B 和B C ∴//NE A C ，//ME AA ，
∵A C 平面AA C C ，A A ME 平面''AA C C ，NE ∴//ME 平面''AA C C ，NE 又ME NE E ，∴平面MNE
(1)证明：BD 面APC ；
(2)若G 满足PC 面BGD ，求
【答案】(1)证明见解析
(2)32PG GC 【详解】（1）证明：因为BA 所以，ABD CBD ，则
(1)求证：AD PB ；
(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使DF AD ？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)当F 为PC 中点时，DF AD ；证明见解析
【详解】（1）连接BD ，
∵四边形ABCD 为菱形，AB AD ，又60DAB ，ABD 为等边三角形，G ∵为AD 中点，BG AD ；
PA PD ∵，G 为AD 中点，PG AD ，
又BG PG G ∩，,BG PG 平面PBG ，AD 平面PBG ，PB ∵平面PBG ，AD PB .
（2）当F 为PC 中点时，DF AD ，证明如下：
,E F ∵分别为,BC PC 中点，//EF PB ，又EF 平面PBG ，PB 平面PBG ，//EF 平面PBG ；
,E G ∵分别为,BC AD 中点，//BE DG ，BE DG ， 四边形BEDG 为平行四边形，//DE BG ，又DE 平面PBG ，BG 平面PBG ，//DE 平面PBG ，又DE EF E ∩，,DE EF 平面DEF ， 平面//DEF 平面PBG ，
由（1）知：AD 平面PBG ，AD 平面DEF ，
DF ∵平面DEF ，DF AD .。