等比数列及其前n项和复习导学案

§6.3 等比数列及其前n 项和
1.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；
2.运用基本量法求解等比数列问题；
3.考查等比数列的应用问题． 复习备考要这样做 1.注意方程思想在解题中的应用；2.使用公式要注意公比q ＝1的情况；3.结合等比数列的定义、公式，掌握通性通法．
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q __表示．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.
3．等比中项
若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫作a 与b 的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m ，(n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，
当q ＝1时，S n ＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q
. 6．等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __.
[难点正本 疑点清源]
1．等比数列的特征
从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数．
2．等比数列中的函数观点
利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．
3．两个防范
(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.
(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．
1．(2012·辽宁)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n
＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
答案 2n
解析 先判断数列的项是正数，再求出公比和首项．
a 25＝a 10>0，根据已知条件得2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1q ＋q ＝5，解得q ＝2. 所以a 21q 8＝a 1q 9，所以a 1＝2，所以a n ＝2n .
2．在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.
答案 51
解析 由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，得a 24＋a 28＝41.
因为a 4a 8＝5，
所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.
又a n >0，所以a 4＋a 8＝51.
3．已知a ，b ，c 成等比数列，如果a ，x ，b 和b ，y ，c 都成等差数
列，则a x ＋c y ＝________.
答案 2 解析 令a ＝1，b ＝3，c ＝9，则由题意，有x ＝2，y ＝6.
此时a x ＋c y ＝12＋96＝2.
4．(2011·广东)已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.
答案 2
解析 由a 2＝2，a 4－a 3＝4，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝2，a 2q 2－a 2
q ＝4， ⇒q 2－q －2＝0，
解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }是递增等比数列，故q ＝2.
5．(2012·课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( )
A ．7
B ．5
C ．－5
D ．－7 答案 D
解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧
q 3＝－12，a 1＝－8，
∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.
方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧ q 3＝－12，a 1＝－8，
∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.
题型一 等比数列的基本量的计算
例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．
(1)求{a n }的公比q ；
(2)若a 1－a 3＝3，求S n .
思维启迪：(1)由S 1，S 3，S 2成等差数列，列方程求出q .
(2)由a 1－a 3＝3求出a 1，再由通项和公式求出S n .
解 (1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．
由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.
又q ≠0，从而q ＝－12.
(2)由已知可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3.故a 1＝4.
从而S n ＝4[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ]1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . 探究提高 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比
q ∈(0,1)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．
解 (1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329，又a 1＋a 6＝11，
故a 1，a 6可看作方程x 2－11x ＋329＝0的两根，
又q ∈(0,1)，∴a 1＝323，a 6＝13，
∴q 5＝a 6a 1
＝132，∴q ＝12， ∴a n ＝323·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －6. (2)由(1)知S n ＝643⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n ＝21，解得n ＝6. 题型二 等比数列的性质及应用
例2 在等比数列{a n }中，
(1)若已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；
(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
思维启迪：注意巧用性质，减少计算．如：对于等比数列{a n }，若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ；若m ＋n ＝2p (m ，
n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p .
解 (1)设公比为q ，则a 5a 2
＝q 3，即q 3＝－18， ∴q ＝－12，∴a n ＝a 5·q n －5＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －4. (2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 24，∴a 34＝8，a 4＝2.
∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.
探究提高 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可
以减少运算量，提高解题速度．
(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，
a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于
( )
A ．5 2
B ．7
C ．6
D ．4 2
答案 A
解析 把a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项．因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝5×10＝5 2.
(2)已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________. 答案 －78
解析 根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，
即8,7－8，S 9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S 9－7)．解得S 9＝718.
所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.
题型三 等比数列的判定
例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －
a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .
(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；
(2)求数列{b n }的通项公式．
思维启迪：(1)由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1转化成a n 与a n ＋1的递推关系，再构造数列{a n －1}．
(2)由c n 求a n 再求b n .
(1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，①
∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②
②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，
∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，
∴a n ＋1－1a n －1＝12
，∴{a n －1}是等比数列． 又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，
∵首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－12，公比q ＝12.
又c n ＝a n －1，
∴{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．
(2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n . ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n . 探究提高 注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n ＝1时是否符合n ≥2时的通项公式，能合并的必须合并．
已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比
数列，并求出通项公式．
证明 ∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.
∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .
∴a n ＋1＝2a n ，又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1，
∴a 1＝－1≠0.又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0，
∴a n ＋1a n
＝2.∴{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.
等差与等比数列综合性问题的求解
典例：(12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这
三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n ＋54是等比数列． 审题视角 设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d ，从而求出数列{b n }的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问．
规范解答
(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.[2分]
所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .
依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，
解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．[4分]
故{b n }的第3项为5，公比为2.
由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.
所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝
54
·2n －1＝5·2n －3.[6分] (2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2
＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.[8分]
所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54
＝5·2n －15·2－＝2. 因此⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．[12分]
求解等差和等比数列综合性问题的一般步骤：
第一步：设等比数列、等差数列的基本量；
第二步：根据条件列方程，解出基本量；
第三步：根据公式求通项或前n 项和；
第四步：根据定义证明等差、等比数列；对
于
等比数列，
一定要说明首项非零．
温馨提醒 关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量
.
方法与技巧
1．等比数列的判定方法有以下几种：
(1)定义：a n ＋1a n
＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式：a n ＝cq n －1 (c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．
(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·
a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．
2．方程观点以及基本量(首项和公比a 1，q )思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a 1，q ，n ，a n ，S n 五个量中，知三求二．
3．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意性质的应用，以减少运算量而提高解题速度． 失误与防范
1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．
2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.
3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情况而导致解题失误．
A 组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2011·辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为
( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
答案 B
解析 由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，
后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4.
∵a 1a 2＝a 21q ＝16>0，∴q >0，∴q ＝4.
2．等比数列{}a n 中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2.a 5＞a 2，则a n 等于
( )
A ．(－2)n －1
B ．－(－2)n －1
C ．(－2)n
D ．－(－2)n
答案 A
解析 ∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1.
∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2.
又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1
＝1.故a n ＝a 1·(－2)n －1＝(－2)n －1.
3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )
A ．2n ＋1－2
B ．3n
C ．2n
D ．3n －1 答案 C
解析 由已知得数列{a n }的前三项分别为2,2q,2q 2.又(2q ＋1)2＝3(2q 2＋1)，整理得2q 2－4q ＋2＝0，解得q ＝1，S n ＝2n .
4．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为 ( )
A ．1
B ．－12
C ．1或－12
D ．－
1或12
答案 C
解析 根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21.得1＋q ＋q 2
q 2＝3. 整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________. 答案 240
解析 ∵a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60， ∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3
＝30×8＝240.
6．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是______________________________．
答案 a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1， n ＝12×3n －2， n ≥2 解析 由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1①
当n ≥3时，a n －1＝2S n －2②
①－②整理得a n a n －1＝3 (n ≥3)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1， n ＝1，2×3n －2， n ≥2. 7．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．
答案 －2
解析 由已知条件得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，
即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1
＝－2. 三、解答题(共22分)
8．(10分)已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n .
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，
则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝2a 1
＋4d ＝8.∴a 1＝0，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.
(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.
∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.
∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2
＝2n －1. 9．(12分)已知数列{a n }的各项均为正数，且前n 项和S n 满足S n ＝16(a n
＋1)(a n ＋2)．若a 2，a 4，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式．
解 因为S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，①
所以当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，
解得a 1＝1或a 1＝2；
当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)．②
①－②并整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0 (n ≥2)． 因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n －a n －1＝3 (n ≥2)． 当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，此时a 24＝a 2a 9成立． 当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，此时a 24＝a 2a 9不成立． 所以a 1＝2舍去．故a n ＝3n －2.
B 组 专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3
＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为
( )
A.158或4
B.4027或4
C.4027
D.158
答案 C
解析 设数列{a n }的公比为q .
当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.
而S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．
当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 6
1－q
.解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027. 2．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等
比数列，则m n 等于( )
A.32
B.32或23
C.23
D ．以上都不对
答案 B
解析 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，
不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列
的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3或m
＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.
3．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和、前2n 项和与前3n 项和
分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是
( )
A ．X ＋Z ＝2Y
B ．Y (Y －X )＝Z (Z －Y )
C ．Y 2＝XZ
D ．Y (Y －X )＝X (Z －X )
答案 D
解析 对于含有较多字母的选择题，可以取满足条件的数字代替
字母，代入验证，若能排除三个选项，则剩下的唯一选项就一定
正确；若不能完全排除，则可以取其他数字继续验证排除．
取等比数列为1,2,22,23,24，…，
令n ＝1，得X ＝1，Y ＝3，Z ＝7.
代入验算，只有选项D 成立．
二、填空题(每小题5分，共15分)
4．已知等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，a n ＋1>a n ，且a 3＋2是a 2与a 4的等差中项，则数列{a n }的通项公式是_________________． 答案 a n ＝2n
解析 因为a 3＋2是a 2与a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.
因为a 2＋a 3＋a 4＝28，所以2(a 3＋2)＋a 3＝28. 所以a 3＝8，a 2＋a 4＝20.
设数列{a n }的公比为q ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝2，或⎩⎨⎧
a 1＝32，q ＝12. 因为数列{a n }满足a n ＋1>a n ，所以a 1＝2，q ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .
5．在等比数列{a n }中，若a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.
答案 b 9
a 8
解析 因为{a n }是等比数列，所以a 9＋a 10，a 19＋a 20，…，a 99＋
a 100成等比数列，从而得a 99＋a 100＝
b 9
a 8.
6．已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________. 答案 100
解析 由lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，
得lg x n ＋1－lg x n ＝1，∴x n ＋1x n
＝10， ∴数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100， ∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg 10100＝100.
三、解答题
7．(13分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n
＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2
＋c 3＋…＋c 2 013.
解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.
又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.
(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n
＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2
＋…＋c n －1b n －1＝a n . 两式相减得：n ≥2时，c n b n
＝a n ＋1－a n ＝2. ∴c n ＝2b n ＝2·3n －1 (n ≥2)．
又当n ＝1时，c 1b 1
＝a 2，∴c 1＝3. ∴c n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3 (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2). ∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013
＝3＋6－2×32 013
1－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.。