2019-2020人教A版理科数学课时试题及解析(1)集合及其运算

课时作业(一) [第1讲 集合及其运算]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1． 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
2． 已知全集是实数集R ，M ＝{x |x ≤1}，N ＝{1,2,3,4}，则(∁R M )∩N 等于( )
A ．{4}
B ．{3,4}
C ．{2,3,4}
D ．{1,2,3,4}
3． 已知集合A ＝{y |y ＝lg x ，x >1}，B ＝{x |0<|x |≤2，x ∈Z }，则下列结论正确的是( )
A ．A ∩
B ＝{－2，－1} B ．A ∪B ＝{x |x <0}
C ．A ∪B ＝{x |x ≥0}
D ．A ∩B ＝{1,2}
4．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图K1－1(阴影区域及其边界)，其中为凸集的是
( )
图K1－1
A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①④
能力提升
5． 已知集合M ＝{－4，－3，－2，－1，0,1,4}，N ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，且M ，N 都是全集I 的子集，则图K1－2( )
A ．{－1，－2，－3}
B ．{0,1,2,3}
C ．{2,3}
D ．{0，－1，－2，－3}
6． 若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A ．M ∪N
B ．M ∩N
C ．(∁U M )∪(∁U N )
D ．(∁U M )∩(∁U N )
7．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( )
A ．－3≤m ≤4
B ．－3<m <4
C ．2<m <4
D ．2<m ≤4
8．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )
A ．m >－1且n <5
B ．m <－1且n <5
C ．m >－1且n >5
D ．m <－1且n >5
9．设集合A ＝{x |y ＝ln(x －3)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
y ＝1－4＋5x －x 2，则A ∩B ＝( )
A ．∅
B ．(3,4)
C ．(－2,1)
D ．(4，＋∞)
10．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．
11．若全集U ＝{0,1,2,4,16}，集合A ＝{0,2，a }，∁U A ＝{1，a 2}，则a 的值为________．
12．设数集M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫n －13≤x ≤n ，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________．
13．已知集合A ＝{x |1≤log 2x ≤2}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 14．(10分) 已知集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{x |x 2＋ax －6<0}，C ＝{x |x 2－2x －15<0}．
(1)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围；
(2)是否存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
15．(13分)设函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭
⎫2x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B .
(1)求证：函数f (x )的图象关于原点成中心对称；
(2)a ≥2是A ∩B ＝∅的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)？并证明你的结论．
难点突破
16．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．
(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；
(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；
(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．
作业手册
课时作业(一)
【基础热身】
1．B [解析] 因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，所以P ＝M ∩N ＝{1,3}，
所以集合P 的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．
2．C [解析] 因为∁R M ＝{x |x >1}，所以(∁R M )∩N ＝{2,3,4}．
3．D [解析] A ＝{y |y >0}，B ＝{－1，－2,1,2}，故A ∩B ＝{1,2}．
4．B [解析] 只有②③两个图形内任意两点所连线段仍在图形内．
【能力提升】
5．C [解析] 根据补集和交集的运算，把N 中属于M 的元素去掉即可．
6．D [解析] 方法一：∵M ∪N ＝{1,2,3,4}，
∴(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}．故选D.
方法二：∵∁U M ＝{1,4,5,6}，∁U N ＝{2,3,5,6}，
∴(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}．故选D.
7．D [解析] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，又B ≠∅，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，
解得2＜m ≤4.
8．A [解析] ∵P ∈A ，∴m >－1，又∁U B ＝{(x ，y )|x ＋y －n >0}，∵P ∈(∁U B )，∴n <5，故选A.
9．B [解析] 集合A ，B 均是函数的定义域，求出定义域后计算即可．
集合A ＝(3，＋∞)，集合B 中的x 满足－4＋5x －x 2>0，即x 2－5x ＋4<0，即得1<x <4，即集合B ＝(1,4)，故A ∩B ＝(3,4)．故选B.
10．1 [解析] ∵A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，∴a ＋2＝3或a 2＋4＝3，
又∵a 2＋4＝3不符合题意，无解．
∴a ＝1，经检验，符合题意．
11．4 [解析] a 只可能等于4.
12.112 [解析] 由题意，知集合M 的“长度”是34，集合N 的“长度”是13
，由集合M 、N 是{x |0≤x ≤1}的子集，知当且仅当M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}时，集合M ∩N 的“长度”最小，
最小值是34＋13－1＝112
. 13．(－∞，－2] [解析] 集合A 是不等式1≤log 2x ≤2的解集，求出这个集合，根据集合之间的关系得a ，b 满足的条件，即可求出a －b 的取值范围．由题意，集合A ＝[2,4]，因为A ⊆B ，故a ≤2，b ≥4，故a －b ≤2－4＝－2，即a －b 的取值范围是(－∞，－2]．
14．[解答] A ＝{x |－1<x <3}，C ＝{x |－3<x <5}．
(1)由A ∪B ＝B 知，A ⊆B ，令f (x )＝x 2＋ax －6，则⎩
⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝(－1)2－a －6≤0，f (3)＝32＋3a －6≤0， 解得－5≤a ≤－1，即a 的取值范围是[－5，－1]．
(2)假设存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆B 知A ⊆B ，
由A ∪B ＝B ∩C ⊆C 知B ⊆C ，于是A ⊆B ⊆C ，
由(1)知若A ⊆B ，则a ∈[－5，－1]，
当B ⊆C 时，由Δ＝a 2＋24>0，知B 不可能是空集， 于是⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝(－3)2－3a －6≥0，f (5)＝52＋5a －6≥0，－3<－a 2<5，
解得a ∈⎣⎡⎦
⎤－195，1， 综合a ∈[－5，－1]知存在a ∈⎣⎡⎦
⎤－195，－1满足条件． 15．[解答] (1)证明：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 2x ＋1－1>0， 由2x ＋1－1>0⇔x －1x ＋1
<0⇔(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1，
∴A ＝(－1,1)，故f (x )的定义域关于原点对称．
又f (x )＝lg 1－x x ＋1，则f (－x )＝lg 1＋x －x ＋1＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x x ＋1－1＝－lg 1－x x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．
即函数f (x )的图象关于原点成中心对称．
(2)B ＝{x |x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a ]． 若A ∩B ＝∅，则只需要－1－a ≥1或者1－a ≤－1，解得a ≤－2或者a ≥2， 故A ∩B ＝∅等价于a ≤－2或者a ≥2，而{a |a ≥a |a ≤－2或a ≥2}． 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件．
【难点突破】
16．[解答] (1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅满足B ⊆A .
②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，
需⎩
⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围是m ≤3.
(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.
(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又A ∩B ＝∅， 则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2，满足条件．
②若B ≠∅，则要满足的条件是
⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＋1≤2m －1，2m －1<－2， 解得m >4.
综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。