03-04学年《高等代数》第二学期期末考试卷

1
一 选择题（6题×4分）
1． 和矩阵1
00
1M ⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
正交相似的矩阵是（ ）。

A.⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0110
B. ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-0011
C. ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-1111
D. ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-0110 2. 实数域上阶实对称阵按合同关系分类, 共有( )类
A. n +1
B.
2
)1(n
n - C.
2
)1(n
n + D.
2
)
2)(1(++n n
3. 设*V 是数域F 上三维线性空间V 的对偶空间. 123,,v v v 是V 的一组基, ***
123,,v v v 是其对偶基, 则V 中
基12233,,v v v v v --的对偶基是( )
A. *
3*2*2*1*1*3,,v v v v v v +++
B. *
3*2*1*2*1*1,,v v v v v v +++
C. *
3*3*2*2*1,,v v v v v --
D. *
1*2*3*2*2,,v v v v v -+
4. 设21,V V 是n 维欧氏空间V 的子空间, ϕ是正交变换, 则下列命题中正确的有( )项.
① 若21V V ⊆，则⊥
⊥
⊆21V V
② 若⊥
⊥=21V V ，则21V V =
③ 若1V 是ϕ不变子空间，则⊥
1V 也是ϕ不变子空间 ④ 11)V (V =⊥⊥
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 设,ϕψ是n 维欧氏空间V 的线性变换, *
*
,ϕψ分别是,ϕψ的伴随变换, 则下列命题中错误的是( ).
①ϕ是单的线性变换，则*
ϕ是满的线性变换 ②*
Im dim Im dim ϕϕ=
③)),(()),((*
αβϕβαϕ=,对任意的V ∈βα, ④ϕ是同构变换,则*
ϕ也是同构变换 A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6． 已知二次型222
123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换X = TY 化为标准形
2
1231(,,)6f y y y y =，则( )a =.
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
2
二 填空题(6题×4分)
1. 在欧氏空间3R (标准内积)中, 设(2,2,0),(1,2,3)αβ==, 则β的长度是( ), α与β的距离是( ), α与β的夹角是( ).
2. 设V 是数域K 上n 维线性空间, 则线性映射()v η= ( )，V ∈∀v ，导出了线性空间的同构
*
*
)(V V ≅.
3. 三阶正交矩阵在正交相似下的所有可能的标准形是( ).
4. 设,A C 为n 阶对称阵，且⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'
C B B A 为正定阵, 则以B A B C 1
-'-为相伴阵的二次型为( )型.
5. 当t 取值范围为( )时, 二次型222
12312
323(,,)232f x x x x x x tx x =+++是正定型. 6. 设二次型(,,)f x y z xy yz zx =++, 则与f 相伴矩阵是( ), f 的正惯性指数是( ),
f 的符号差是( ).
三 (15分)
设实数域上3阶方阵0
222
4424
3A -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪--⎝
⎭
, 求正交矩阵T , 使'T AT 为对角阵, 并写出该对角阵. 四 (10分)
设A 是m n ⨯阶阵, λ＞0, 证明'
n I A A λ+是正定阵.
五 (15分)
设ϕ是n 维欧氏空间V 的对称变换, V ∈α,
且1α=。

求证: (1) 2
2
()
()ϕαϕα≤；
(2) 当且仅当α是2
ϕ的属于特征值2
()λϕα=的特征向量时, (1)中等号成立.
六 (12分)
设A 是n 阶对称正定阵, 求证:存在唯一的正定阵B , 使得2A B =.。