安徽省蚌埠市2023届高三下学期第三次教学质量检查考试数学试题

蚌埠市２
０２３届高三年级第三次教学质量检查考试数 学
本试卷满分１５０分，考试时间１
２０分钟注意事项：
１ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

２ 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的．
１ 设集合Ａ＝－１，０，２，３，{}５，Ｂ＝ｘｙ＝（３－ｘ）（ｘ＋１槡{}）
，则Ａ∩Ｂ＝Ａ ｛０，２｝Ｂ ｛－１，０，２，３｝Ｃ ｛５｝Ｄ ｛－１，３，５｝２ 已知ｉ为虚数单位，复数ｚ满足ｚ（１－ｉ）２＝２，则ｚ２０２３
＝
Ａ －１
Ｂ １
Ｃ －ｉ
Ｄ ｉ
３ 已知ｔａｎα＋π()
４
＝３，则ｔａｎα＝
Ａ －２
Ｂ －
１
２Ｃ
１
２
Ｄ ２
４ 直线ｌ：ｘ＋ｍｙ＋１－ｍ＝０与圆Ｃ：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２
＝９的位置关系是
Ａ 相交Ｂ 相切
Ｃ 相离Ｄ 无法确定
５ 已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了１０％的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为
Ａ ５０％Ｂ ３２％Ｃ ３０％Ｄ ２７％
６ 若椭圆Ｃ：ｘ２ｍ＋ｙ２
２＝１的离心率为槡６
３
，则椭圆Ｃ的长轴长为
Ａ ６
Ｂ 槡２６
３
或槡槡槡２６Ｃ ２６Ｄ ２２或槡
２６
７ 函数ｆ（ｘ）＝ｅ
ｘ－１ｅｘ＋１
·ｃｏｓｘ
的图象大致为
８ 在△ＡＢＣ中，Ｄ为ＢＣ上一点，且ＢＤ→＝３ＤＣ→，∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＤ，∠ＢＡＤ＝２π
３
，则ｔａｎ∠Ａ
ＢＣ＝Ａ 槡
３９１３
Ｂ 槡
１３
３
Ｃ 槡３３
Ｄ 槡３５
二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的的四个选项中，有多项是符合题
目要求的．
全部选对的得５分，有选错的得０分，部分选对的得２分．９．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，等比数列｛ｂｎ｝的前ｎ项积为Ｔｎ
，则下列结论正确的是Ａ 数列
Ｓｎ
{}ｎ
是等差数列Ｂ 数列｛Ｓ２ｎ＋２－Ｓ２ｎ｝是等差数列Ｃ 数列Ｔ
２ｎ＋２Ｔ２{}
ｎ
是等比数列
Ｄ 数列｛１ｇＴｎ
｝是等差数列１０．已知Ｆ是抛物线ｙ２
＝４ｘ的焦点，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２
）是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是
Ａ 若ｘ１＋ｘ２＝
６，那么｜ＡＢ｜＝８Ｂ 若｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝３，则线段ＡＢ的中点到ｙ轴的距离为
１
２
Ｃ 若△ＦＡＢ是以Ｆ为直角顶点的等腰三角形，则｜ＡＢ槡｜＝４２±４Ｄ 若ＡＦ→＝２ＦＢ→，则直线ＡＢ的斜率为槡
±２２１１．已知ＡＢ为圆锥ＳＯ底面圆Ｏ的直径，点Ｃ是圆Ｏ上异于Ａ，Ｂ的一点，Ｅ为ＳＡ的中点，ＳＡ＝５，圆锥ＳＯ的侧面积为１５π，则下列说法正确的是
Ａ 圆Ｏ上存在点Ｆ使ＥＦ∥平面ＳＢＣＢ 圆Ｏ上存在点Ｆ使ＡＦ⊥平面ＳＢＣＣ 圆锥ＳＯ的外接球表面积为
６２５π３２
Ｄ 棱长为槡６的正四面体在圆锥ＳＯ内可以任意转动１２．已知ａ＞ｂ＞１，则下列结论正确的是
Ａ ｅａ－ｂ
＞
ａ
ｂ
Ｂ ｌｎａａ＞
ｌｎ（ｂ＋１）
ｂ＋１
Ｃ ｌｏｇａ（ａ＋１）＞ｌｏｇｂ
（ｂ＋１） Ｄ ａｂ＞ａ
ｂ
ｂ
ａ
三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２
０分．１３．已知ａ＝（１，２），ｂ＝（２，ｍ），ａ⊥（ａ－３ｂ），则ｍ＝
．
１４．已知（２ｘ－１）３－（ｘ＋２）４＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ａ４ｘ４
，则ａ０＋ａ２＋ａ４＝
．
１５．已知实数ａ＞０＞ｂ，且ａ－ｂ＝５，则
１ａ＋１＋１
２－ｂ
的最小值为．
１６．已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ），且当－１≤ｘ≤０时，
ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１－ｍ，则当０＜ｘ≤１时，
ｆ（ｘ）＝；若对 ｘ∈［０，１］都有ｆ－ｘ２
＋２ｔｘ＋()
１４≥槡２－２，则实
数ｔ的取值范围为
．四、解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．
１７．（本小题满分１
０分）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随
机抽取了男、女同学各１００名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生４０
女生３０
合计
（１）根据所给数据完成上表，依据α＝０．００１的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与
性别有关？（２）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了２名男生和１名女生示范点球射门．已知这
两名男生进球的概率均为
２３，这名女生进球的概率为１
２
，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求３人进球总次数Ｘ的分布列和数学期望．附：χ２
＝
ｎ（ａｄ－ｂｃ）２
（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）
α０．１０．０５０．０１０．００５０．００１ｘα
２．７０６
３．８４１
６．６３５
７．８７９
１０．８２８
１８．（本小题满分１
２分）已知函数ｆ（ｘ）槡＝３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ＋ｃｏｓ２ωｘ－１２（ω＞０）．（１）若ω＝１，求函数ｆ（ｘ）的最小正周期；
（２）若ｙ＝ｆ（ｘ）图象在０，π()４内有且仅有一条对称轴，求ｆπ
()
８
的取值范围．
１９．（本小题满分１
２分）已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａ２ｎ＋１＝ａ２ｎ＋１，ａ２ｎ＝２ａ２ｎ－１．（１）求数列｛ａｎ
｝的通项公式；（２）设Ｔｎ＝１ａ１＋１ａ２＋…＋１
ａｎ
，求证：Ｔ２ｎ＜３．２０．（本小题满分１
２分
）第２
０题图如图，在四面体ＡＢＣＤ中，Ｇ为△ＡＢＣ的重心，Ｅ，Ｆ分别在棱ＢＣ，ＣＤ上，平面ＡＢＤ∥平面ＥＦＧ （１）求
ＤＦ
ＣＦ
的值；（２）若ＡＢ⊥平面ＢＣＤ，ＤＣ⊥ＣＢ，且Ａ
Ｂ＝ＢＣ＝ＣＤ＝３，求平面Ｅ
ＦＧ与平面ＡＣＤ的夹角的大小 ２１．（本小题满分１
２分）已知Ａ，Ｂ是双曲线Ｅ：ｘ２
４
－ｙ２
＝１的左、右顶点，
Ｍ为双曲线上与Ａ，Ｂ不重合的点．（１）设直线ＭＡ，ＭＢ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，求证：ｋ１·ｋ２是定值；
（２）设直线ｌ：ｘ＝１与直线ＭＡ交于点Ｐ，ｌ与ｘ轴交于点Ｓ，点Ｑ满足ＱＳ→＝２ＳＰ→，直线Ｂ
Ｑ与双曲线Ｅ交于点Ｎ（与Ａ，Ｂ，Ｍ不重合）．判断直线ＭＮ是否过定点，若直线ＭＮ过定点，
求出该定点坐标；若直线ＭＮ不过定点，请说明理由．２２．（本小题满分１
２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ
－１，ｇ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋ａ），ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝１，求证：ｆ（ｘ）≥ｇ
（ｘ）；（２）若函数ｆ（ｘ）与函数ｇ（ｘ）存在两条公切线，求实数ａ的取值范围．
蚌埠市２
０２３届高三年级第三次教学质量检查考试数学参考答案及评分标准
一、二、选择题：
题　号１２３４５６７８９
１０
１１１２答　案Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ｄ
Ａ
Ｄ
ＡＢＣＢＣＤ
ＡＤ
ＡＤ
三、填空题
１３ －１６ １４ －５４ １５ １２ １６ －２１－ｘ
＋２（２分）；［１８，１３８
］（３分）
四、解答题
１７ （１）２×２列联表如下：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生６０４０
１００女生３０７０１００合计
９０
１１０
２００
（
２分）………………………………………………………………………………………零假设为Ｈ０
：该校学生喜欢足球与性别无关联．根据列联表中的数据，经计算得到
χ２＝２００×（６０×７０－４０×３０）２
１００×１００×９０×１１０
≈１８．１８２＞１０．８２８＝ｘ０．００１根据小概率值α＝０．００１的独立性检验，推断Ｈ０不成立，
即认为该校学生喜欢足球与性别有关．（
５分）…………………………………………………………………………（２）依题意Ｘ的所有可能取值为０
，１，２，３，Ｐ（Ｘ＝０）＝()
１３２×１２＝１
１８
，
Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１
２×２３×１３×１２＋１２×()
１３２＝５１８
，Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ１
２×２３×１３×１２＋()
２３２×１２＝４９
，Ｐ（Ｘ＝３）＝()
２３２×１２＝２
９
．
∴Ｘ的分布列如下：
Ｘ０１
２
３Ｐ
１１８５１８４９２９
（
８分）………………………………………………………………………………………∴Ｘ的数学期望Ｅ（Ｘ）＝０×１１８＋１×５１８
＋２×４９＋３×２９＝１
１６ （１０分）………………
１８ （１）因为ｆ（ｘ）槡＝３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ＋ｃｏｓ２
ωｘ－１２＝槡３２ｓｉｎ２ωｘ＋１２
ｃｏｓ２ωｘ＝ｓｉｎ２ωｘ＋π()
６，（３分）………………………………………………………………………………………所以函数ｆ
（ｘ）的最小正周期Ｔ＝２π
２ω＝π．（５分）………………………………………（２）由２ω
ｘ＋π６
∈π６，π２ω＋π(
)
６，因为函数ｆ（ｘ）图象在０，π
()４
内有且仅有一条对称轴，所以
π２＜π２ω＋π６≤３π２，即２
３＜ω≤８３，（
９分）…………………………………………所以
π３＜π４ω＋π６≤５π
６
，所以ｆ
π()８＝ｓｉｎπ４ω＋π
()６∈１２，[
]
１．１２分
……………………………………………１９ （１）由题意ａ２ｎ＋１＝ａ２ｎ＋１＝２ａ２ｎ－１＋
１，所以ａ２ｎ＋１＋１＝２（ａ２ｎ－１＋１），因为ａ１＋１＝２≠０，所以数列｛ａ２ｎ－１＋１｝是首项为２，公比为２的等比数列，（２分）…所以ａ２ｎ－１＋１＝２ｎ
，即ａ２ｎ－１＝２ｎ
－１，而ａ２ｎ＝２ａ２ｎ－１＝２ｎ＋１－２，（４分）
…………………………………………………………所以ａｎ＝２ｎ＋１２
－１，ｎ为奇数，２
ｎ
２＋
１－２，ｎ为偶数{
．
（
６分）……………………………………………………（２）方法一：
由（１）Ｔ２ｎ＝∑ｎ
ｉ＝１１ａ２ｉ－１＋１ａ２()
ｉ
＝３２∑ｎｉ＝１１２ｉ－１＝３２∑ｎｉ＝１２ｉ＋１
－１
（２ｉ－１）（２ｉ＋
１－１）（８分）………………＜３２∑ｎｉ＝１２ｉ＋１（２ｉ－１）（２ｉ＋１－１）＝３∑ｎ
ｉ＝１２ｉ（２ｉ－１）（２ｉ＋１
－１）
（１０分）…………………＝３∑
ｎ
ｉ
＝１１２ｉ－１－１
２ｉ＋１()－１＝３１－１２ｎ＋１
()
－１＜３．（１２分）………………………方法二：
∵２ｎ－１≥２ｎ－１（ｎ∈Ｎ ），８分……………………………………………………………∴Ｔ２ｎ＝∑ｎ
ｉ＝１１ａ２ｉ－１＋１ａ２()ｉ
＝３２∑ｎｉ＝１１２ｉ－１≤３２∑ｎｉ＝１１
２ｉ－１
＝３１－１２()
ｎ＜３．（１２分）………………２０ （１）解：延长ＣＧ交ＡＢ于点Ｈ，连接Ｃ
Ｈ，ＤＨ，因为Ｇ为△ＡＢＣ的重心，所以Ｈ为ＡＢ的中点，且
ＣＧＣＨ＝２
３
，（２分）……………………因为平面Ａ
ＢＤ∥平面ＥＦＧ，平面ＡＢＤ∩平面ＤＣＨ＝ＤＨ，平面ＥＦＧ∩平面ＤＣＨ＝ＦＧ，所以ＦＧ∥ＤＨ，（４分）……………………………………………………………………所以
ＣＦＣＤ＝ＣＧＣＨ＝２３，所以ＤＦＣＦ＝１
２
．（５分）…………………………………………………（２）解：因为ＡＢ⊥平面ＢＣＤ，ＢＣ，ＣＤ 平面ＢＣＤ，所以ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ⊥Ｃ
Ｄ，
因为ＣＤ⊥ＣＢ，ＣＤ⊥ＡＢ，ＢＣ∩ＡＢ＝Ｂ，ＢＣ，ＡＢ 平面ＡＢＣ，所以ＣＤ⊥平面Ａ
ＢＣ，（
７分）………………………………………………………………………………………第２
０题答案图如图，以ＢＡ为ｘ轴，ＢＣ为ｙ轴，过Ｂ与Ｃ
Ｄ平行的直线为ｚ轴，建立空间直角坐标系，方法一：
由（１）同理可得ＥＦ∥ＢＤ，则ＣＦＣＤ＝ＣＥＣＢ＝２
３
，所以Ａ
（３，０，０），Ｆ（０，３，２），Ｅ（０，１，０），Ｇ（１，１，０），Ｃ（０，３，０），Ｄ（０，３，３），
所以Ｇ
Ｆ→＝（－１，２，２），ＧＥ→＝（－１，０，０），ＣＤ→＝（０，０，３），ＣＡ→＝（３，－３，０）．（８分）……设平面ＥＦＧ的法向量为ｍ＝（ａ，ｂ，ｃ），则
ｍ·ＧＦ→
＝－ａ＋２ｂ＋２ｃ＝０，ｍ·ＧＥ→＝－ａ＝０{
，
令ｂ＝１，则ａ＝０，ｃ＝－１，则ｍ
＝（０，１，－１），设平面ＡＣＤ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则
ｎ·ＣＤ→＝３ｚ＝０，ｎ·ＣＡ→＝３ｘ－３ｙ＝０{
，
令ｘ＝１，则ｙ＝１，ｚ＝０，则ｎ＝（１，１，０），（１０分）…………………………………………设平面Ｅ
ＦＧ与平面ＡＣＤ的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝｜ｎ·ｍ｜｜ｎ｜·｜ｍ｜＝１
槡槡２×２＝１２，所以平面Ｅ
ＦＧ与平面ＡＣＤ的夹角的大小为π
３．（１２分）………………………………方法二：
易知Ａ
（３，０，０），Ｃ（０，３，０），Ｄ（０，３，３），所以Ｃ
Ｄ→＝（０，０，３），ＣＡ→＝（３，－３，０），ＢＤ→＝（０，３，３），ＢＡ→＝（３，０，０）．（８分）…………设平面ＡＢＤ的法向量为ｍ＝（ａ，ｂ，ｃ），则
ｍ·ＢＤ→
＝３ｂ＋３ｃ＝０，ｍ·ＢＡ→＝３ａ＝０{
，
令ｂ＝１，则ａ＝０，ｃ＝－１，则ｍ
＝（０，１，－１），因为平面ＡＢＤ∥平面ＥＦＧ．所以平面ＥＦＧ的法向量即ｍ＝（０，１，－１），（下同方法一）
２１ （１）设Ｍ（ｘＭ，ｙＭ），由题意Ａ（－２，０），Ｂ（２，０），且ｘＭ２
４
－ｙＭ２
＝１，所以ｋ１·ｋ２＝ｙＭｘＭ＋２·ｙＭｘＭ－２＝ｙＭ
２
ｘＭ２－４＝ｘＭ
２
４－１ｘＭ
２－４＝１４．（４分）…………………………（２）设Ｍ（ｘＭ，ｙＭ），Ｎ（ｘＮ，ｙＮ），Ｐ（１，ｔ），ＢＮ的斜率为ｋ３
，由ＱＳ→＝２ＳＰ→
知：Ｑ（１，－２ｔ），
所以ｋ１ｋ３＝ｋＡＰ
ｋＢＱ
＝
ｔ
１－（－２）－２ｔ１－２＝１６．由（１）知：ｋ１·ｋ２＝１４，所以ｋ２·ｋ３＝３
２．（６分）…………………………………………设Ｍ
Ｎ：ｘ＝ｍｙ＋ｎ（ｍ≠０，ｍ≠±２，ｎ≠２）……①双曲线Ｅ：ｘ２４
－ｙ２＝１……②联立①②得：
（ｍ２－４）ｙ２＋２ｍｎｙ＋ｎ２－４＝０，所以ｙＭ＋ｙＮ＝－２ｍｎｍ２－４，ｙＭｙＮ＝ｎ２
－４
ｍ２
－４，（９分）…………………………………………所以ｋ２·ｋ３
＝ｙＭｘＭ－２·ｙＮｘＮ－２＝ｙＭｙＮ
（ｍｙＭ＋ｎ－２）（ｍｙＮ＋
ｎ－２）＝３２，即（３ｍ２－２）ｙＭｙＮ＋３ｍ（ｎ－２）（ｙＭ＋ｙＮ）
＋３（ｎ－２）２＝０，整理得ｎ＝１０７
，故直线ＭＮ过定点１０７
，()
０．（１２分）………………………………………………………２２ （１）令Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ，则Ｆ′（ｘ）＝ｅｘ
－１＞０ ｘ
＞０，所以Ｆ（ｘ）在（－∞，０）上单调递减，在（０，＋∞）上单调递增，所以Ｆ（ｘ）≥Ｆ
（０）＝０，所以ｆ（ｘ）＝ｅｘ
－１≥ｘ，当且仅当ｘ＝０时，等号成立，（２分）……………………………所以ｆ（ｌｎ（ｘ＋１））＝ｘ≥ｌｎ（ｘ＋１），当且仅当ｘ＝０时，等号成立，即ｆ（ｘ）≥ｘ≥ｇ（ｘ），当且仅当ｘ＝０时，等号成立 （
４分）……………………………（２）设ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的公切线为ｌ，直线ｌ与ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）分别切于点Ａ（ｘ１
，ｅｘ１
－１）和点Ｂ（ｘ２，ｌｎ（ｘ２＋
ａ））易知ｆ
′（ｘ）＝ｅｘ
，ｇ′（ｘ）＝１ｘ＋ａ
，方法一：
由题意知，公切线ｌ：ｙ＝ｅｘ１（ｘ－ｘ１）＋ｅｘ１
－１，ｙ＝１ｘ２＋ａ（ｘ－ｘ２）＋ｌｎ（ｘ２＋ａ），所以ｅｘ１
＝１ｘ２＋ａ，（１－ｘ１）ｅｘ１
－１＝ｌｎ（ｘ２
＋ａ）－ｘ２ｘ２＋
ａ{
．即ｘ１＝－ｌｎ（ｘ２＋ａ），（１－ｘ１）ｅｘ１
＝ｌｎ（ｘ２＋ａ）＋ａｘ２＋ａ{
．所以１＋ｌｎ（ｘ２＋
ａ）ｘ２＋ａ＝ｌｎ（ｘ２＋ａ）＋ａｘ２＋
ａ，即（ｘ２＋ａ－１）ｌｎ（ｘ２＋ａ）＋ａ－１＝０．（
６分）………………………………………………………………………………………令Ｇ（ｕ）＝（ｕ－１）ｌｎｕ＋ａ－１，则Ｇ（ｕ）在（０，＋∞）
上存在两个零点 因为Ｇ
′（ｕ）＝ｌｎｕ＋ｕ－１ｕ，Ｇ″（ｕ）＝１ｕ＋１
ｕ
２＞０，所以Ｇ′（ｕ）在（０，＋∞）上单调递增，又因为Ｇ′（１）＝０，所以Ｇ（ｕ）在（０，１）上单调递减，在（１，＋∞）
上单调递增．１°若ａ＞１，则Ｇ（ｕ）≥Ｇ
（１）＝ａ－１＞０，
所以Ｇ（ｕ）在（０，＋∞）上没有零点．（７分）……………………………………………２°若ａ＝１，则Ｇ（ｕ）≥Ｇ（１）＝０，当且仅当ｕ＝１时，等号成立，
所以Ｇ（ｕ）在（０，＋∞）
上有且只有一个零点 （８分）…………………………………３°若ａ＜１，令ｕ０＝ｅ２ａ－３
，则０＜ｕ０＜１ｅ＜１２，且ｌｎｕ０＜０，所以Ｇ（ｕ０）＝（ｕ０－１）ｌｎｕ０＋ａ－１＞－１２ｌｎｕ０＋ａ－１＝－（２ａ－３）２＋ａ－１＝１
２
＞０，（
１０分）……………………………………………………………………………………Ｇ（１）＝ａ－１＜０，
Ｇ（ｅ１－ａ＋１）＝ｅ１－ａｌｎ（ｅ１－ａ＋１）＋ａ－１＞ｌｎ（ｅ１－ａ＋１）＋ａ－１＞ｌｎｅ１－ａ＋ａ－１＝０，
所以Ｇ（ｕ）在（０，＋∞）
上存在两个零点，综上所述，
ａ＜１．（１２分）…………………………………………………………………方法二：
由题意知ｋＡＢ＝ｆ′（ｘ１）＝ｇ′（ｘ２
），即ｅｘ１－１－ｌｎ（ｘ２＋ａ）ｘ１－ｘ２＝ｅｘ１
＝１ｘ２
＋ａ，整理得：１－ｘ１＋ｘ１
ｅｘ１
－ａ＝０，６分…………………………………………………………令Ｈ（ｘ）＝１－ｘ＋ｘ
ｅ
ｘ－ａ，ｘ∈Ｒ，依题意Ｈ（ｘ）在Ｒ上存在两个零点．
易知Ｈ′（ｘ）＝－１＋１－ｘｅｘ＝１－ｘ－ｅ
ｘ
ｅｘ
，令ｕ（ｘ）＝１－ｘ－ｅｘ，则ｕ′（ｘ）＝－１－ｅｘ
＜０，可知ｕ（ｘ）是减函数，且ｕ
（０）＝０，所以当ｘ＜０，ｕ（ｘ）＞０，Ｈ′（ｘ）＞０，Ｈ（ｘ）在区间（－∞，０）单调递增；当ｘ＞０，ｕ（ｘ）＜０，Ｈ′（ｘ）＜０，Ｈ（ｘ）在区间（０，＋∞）
单调递减．由题意知，Ｈ（０）＝１－ａ＞０，解得ａ＜１，８分……………………………………………令ｘ０＝１＋１ｅ
－ａ＞０，又易证ｅｘ
≥ｅｘ，当且仅当ｘ＝１时，等号成立．则Ｈ（ｘ０）＝１－ｘ０＋ｘ０ｅｘ０－ａ≤１－ｘ０＋ｘ０
ｅｘ０
－ａ＝１－ｘ０＋１ｅ－ａ＝１－１＋１ｅ－()
ａ＋１ｅ－ａ＝０，因为Ｈ（０）Ｈ（ｘ０
）≤０，Ｈ（ｘ）在区间（０，＋∞）单调递减，所以Ｈ（ｘ）在区间（０，＋∞）上存在唯一零点，
令ｘ′＝ａ－２＜－１，所以１
ｅ
ｘ′＞２，则Ｈ（ｘ′）＝１－ｘ′＋ｘ′
ｅｘ′－ａ＜１－ｘ′＋２ｘ′－ａ＝１＋ｘ′－ａ＝－１＜０，因为Ｈ（０）Ｈ（ｘ′）＜０，Ｈ（ｘ）在区间（－∞，０）单调递增，所以Ｈ（ｘ）在区间（－∞，
０）上存在唯一零点，综上所述，
ａ＜１．（１２分）…………………………………………………………………（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）。