广东省广州市白云区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题(解析版)

2023 学年第二学期学生学业质量诊断调研
八年级数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分．考试时间为120分钟．注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用2B铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断作答即可．
【详解】解：A
B
=
C
，最简二次根式，故符合要求；
D
=，不是最简二次根式，故不符合要求；
是
故选：C ．
2. 若代数式
x 的取值范围是（ ） A. 32x ≠ B. 23x ≠ C. 23x > D. 32
x > 【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，根据二次根式的意义得出230x −>，从而可得答案；
有意义， ∴230x −>， 解得：32
x >
． 故选D ．
3. 在ABC 中， 若345BC AC AB ===，，， 则（ ）
A. 90A ∠=°
B. 90B ∠=︒
C. 90C ∠=°
D. ABC 是锐角三角形 【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
利用勾股定理的逆定理求解作答即可．
【详解】解：∵22234255+==，
∴222BC AC AB +=，
∴ABC 是直角三角形，且90C ∠=°，
故选：C ．
4. 足球赛中，某国家足球队首发上场的11名队员身高如下表： 身高（cm ） 176 178 180 182 186 188 192
人数 1 2 3 2 1 1 1 则这 11 名队员身高的众数是（ ）
A. 180
B. 182
C. 192
D. 178
【答案】A
【解析】 【分析】本题主要考查的是众数的定义，掌握众数的定义是解题的关键．依据众数的定义求解即可．一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数．
【详解】解：∵180出现的次数最多，
∴众数是180．
故选A ．
5. 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则在下列条件中，应增加条件（ ）
A. AB CD =
B. AD BC =
C. AC BD =
D. 180B A ∠+∠=°
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，根据平行四边形的判定方法进行判断即可．
【详解】根据题意，作图如下；
A 、平行四边形的判定：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
B 、 AD B
C ∥，A
D BC =，四边形ABCD 为平行四边形；
C 、无法判定四边形ABC
D 为平行四边形，故选项错误；
D 、180B A ∠+∠=° AD BC ∴∥，与题干重复，无法判定四边形ABCD 为平行四边形，选项错误； 故选：B
6. 若4x =是方程0kx b +=的解， 则直线y kx b =
+的图象与x 轴交点的坐标为 （ ） A. (4,0)
B. (0,4)
C. (0,4)−
D. (4,0)−
【答案】A
【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程0ax b +=的解就是一次函数y ax b =+与x 轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转
化为0ax b +=（a ，b 为常数，0a ≠）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为
0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y ax b =
+确定它与x 轴交点的横坐标即可得答案．
【详解】解： 一元一次方程0kx b +=的解是4x =，
∴当4x =时，0y kx b =+=，
故直线y kx b =
+的图像与x 轴的交点坐标是(4,0)． 故选：A ．
7. 已知点()13,A y ，()25,B y 在直线y kx b =
+上， 若 12y y < ，则（ ） A. 0b >
B. 0b <
C. 0k >
D. 0k <
【答案】C
【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的增减性，熟记一次函数的性质是解本题的关键，根据35 ，12y y <，可得答案；
【详解】解：∵点()13,A y ，()25,B y 在直线y kx b =
+上， 12y y < ， ∴y 随x 的增大而增大，
∴0k >，
∵函数的增减性与b 无关，
∴C 符合题意；
故选C
8. 如图， 数轴上的点A 表示的数是1−， 点B 表示的数是2， CB AB ⊥于点B ， 且2BC =，以点 A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点 D ，则点 D 表示的数是 （ ）
A. 2.8
B.
C. 1
D. 1+
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、数轴上的点表示实数，掌握勾股定理是关键．先求出()213AB =
−−=，
再由勾股定理可求得AC 再由AD AC ==，即可得点D 表示的数．
【详解】解：∵点A 表示的数是1−，点B 表示的数是2，
∴()213AB =−−=，
∵CB AB ⊥，2BC =，
∴AC
∴AD AC ==
∵点A 表示的数是1−，
∴点D 表示的数是：1−+
故选：C ．
9. 一次函数(0)y kx b b =
+≠不经过第三象限，则y bx k =+的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考差了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键；
根据一次函数(0)y kx b b =
+≠在坐标平面内的位置关系先确定k ，b 的取值范围，再根据k ，b 的取值范围确定一次函数y bx k =
+在坐标平面内的位置关系，从而求解 【详解】 一次函数(0)y kx b b =
+≠不经过第三象限， ∴该函数经过第一、二、四象限，
∴0k <，0b >，
∴y bx k =+经过第一、三、四象限，
故选：A ．
10. 如图，正方形ABCD 中，AB=3，点E 在边CD 上，且CD=3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ，下列结论：①点G 是BC 中点；②FG=FC ；③FGC 9S 10
∆=．
其中正确的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
【答案】B
【解析】 【详解】分析：∵正方形ABCD 中，AB=3，CD=3DE ，∴DE=13
×3=1，CE=3﹣1=2． ∵△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD=AF ，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°．∴AB=AF=AD ．
在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AG=AG ，B=AF ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）．∴BG=FG ，
设BG=FG=x ，则EG=EF+FG=1+x ，CG=3﹣x ，
在Rt △CEG 中，EG 2=CG 2+CE 2，即()()2221x 3x 2+=−+，解得，3x 2=．∴33CG 322=−=． ∴BG=CG=32
，即点G 是BC 中点，故①正确． ∵AB 3tan AGB 23BG
2
∠===，∴∠AGB≠60°．∴∠CGF≠180°﹣60°×2≠60°． 又∵BG=CG=FG ，∴△CGF 不是等边三角形．∴FG≠FC ，故②错误． △CGE 的面积=12CG•CE=12×32×2=32
， ∵EF ：FG=1：32=2：3，∴FGC 339S 23210∆=×=+，故③正确． 综上所述，正确的结论有①③．故选B ．
第二部分 非选择题 （共
90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3 分，满分18分．）
11.
=
______．
【答案】
【解析】
，再合并同类二次根式即可．
−==
故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握“二次根式的加减运算的运算法则”是解本题的关键． 12. 直线31y x 向下平移3个单位， 得到直线__________．
【答案】32y x =
− 【解析】
【分析】本题主要考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，直线31y x 向下平移3个单位后得到直线解析式是：313y x =+−，即32y x =−．
故答案为：32y x =
−． 13. “正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成__________，该逆命题是__________命题（填写“真”或“假”）．
【答案】 ①. 四条边相等的四边形是正方形 ②. 假
【解析】
【分析】本题主要考查了判断命题真假，写出一个命题的逆命题，正方形的判定，正确写出原命题的逆命题是解题的关键．先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：命题“正方形的四条边都相等”，它的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，该逆命题是假命题，
故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假．
14. 甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷5次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是20.55s =甲，20.56s =乙，20.52s =丙，20.48s =丁
，则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是________． 【答案】丁
【解析】
【分析】利用方差的意义可得答案．
【详解】解：20.55s = 甲，20.56s =乙，20.52s =丙，20.48s =丁，
2222s s s s ∴<<<乙丁丙甲，
∴这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是丁，
故答案为：丁．
【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15. 如图四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，P 为AB 边上的一动点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，则对角线PQ 的长的最小值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意在平行四边形PCQD 中，设对角线PQ 与DC 相交于点O ，可得O 是DC 的中点，过点Q 作QH ⊥BC ，交BC 的延长线于H ，易证得Rt △ADP ≌Rt △HCQ ，即可求得BH=4，则可得当PQ ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为4．
【详解】解：在平行四边形PCQD 中，设对角线PQ 与DC 相交于点O ，则O 是DC 的中点，
过点Q 作QH ⊥BC ，交BC 的延长线于H ，
∵AD ∥BC ，
∴∠ADC=∠DCH ，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH ，
∵PD ∥CQ ，
∴∠PDC=∠DCQ ，
∴∠ADP=∠QCH ，
又∵PD=CQ ，
在Rt △ADP 与Rt △HCQ 中，
ADP QCH A QHC
PD CQ ∠∠
∠∠＝＝＝ ∴Rt △ADP ≌Rt △HCQ （AAS ），
∴AD=HC ，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查梯形的中位线的性质，注意掌握梯形的中位线等于两底和的一半且平行于两底． 16. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，5cm AB =，3cm AC =，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当ABP 为等腰三角形时，t 的取值为______．
【答案】5或8或
258
【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识．当ABP 为等腰三角形时，分三种情况：①当AB BP =时；②当AB AP =时；③当BP AP =时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值．
【详解】解：在Rt ABC △中，222225316BC AB AC =−=−=，
4(cm)BC ∴=；
①当AB BP =时，如图1，5t =；
②当AB AP =时，如图2，28cm BP BC ==，8t =；
③当BP AP =时，如图3，cm AP BP t ==，(4)cm CP
t =−，3cm AC =， 在Rt ACP 中，222AP AC CP =+，
所以2223(4)t t =+−， 解得：258
t =， 综上所述：当ABP 为等腰三角形时，5t =或8t =或258t =
．
故答案为：5或8或258
． 三、解答题（共有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17. 计算：
【答案】【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再合并即可；
【详解】解：−+
=−
=；
18. 已知： a b +求： （1）ab ；
（2）22a b −．
【答案】（1）1
（2）−【解析】
【分析】本题考查代数式求值，二次根式混合运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）直接把a 、b 值代入ab 计算即可；
（2）把22a b −化成()()a b a b +−，再把a 、b 值代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵a b
∴22321ab ==−=−=；
【小问2详解】
解：∵a b
∴()()22
a b a b a b −=+−
=+−+
(
=−
=−.
19. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，AE CF =．求证：BE DF ∥．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，得AD BC =，从而可证DE BF =，于是得证四边形EBFD 是平行四边形，所以BE DF ∥．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD 中，AD BC ∥且AD BC =，
又∵AE CF =
∴AD AE BC CF −=−
∴DE BF =
∴四边形EBFD 是平行四边形
∴BE DF ∥．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定；掌握相关性质和判定定理是解题的关键．
20. 已知直线l 与直线y ＝2x ﹣3平行，且经过点（2，7），求直线l 的解析式并在坐标系中画出直线l 的图象．
【答案】y ＝2x+3，图见解析
【解析】
【分析】所求直线与直线y ＝2x ﹣3平行，可得k ＝2，再将点（2，7）代入即可求解．利用“两点确定一条
直线”作出函数图象．
【详解】设所求直线方程为：y ＝kx+b ，
∵y ＝kx+b 与直线y ＝2x ﹣3平行，
∴k ＝2，
又y ＝kx+b 经过点（2，7），所以有7＝2×2+b ，
解得b ＝3，
∴所求直线为：y ＝2x+3．
由于该直线经过点（0，3）、（32
−，0），则其函数图象如图所示：
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，难度较小，解题关键是根据两直线平行得出两直线的k 值相等．
21.
如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，1BC =，30BAC ∠=°， 2CD =， AD =
（1）AC 的长度；
（2）四边形ABCD 的面积．
【答案】（1）2
（22+ 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理求解是本题的突破点，也是难
点．同时勾股定理逆定理也是本题的考查点之一．
（1）利用含30度角的直角三角形的性质可得答案；
（2）利用勾股定理逆定理判断出ACD 为直角三角形．根据ABC ACD ABCD
S S S =+四边形 进行计算即可． 【小问1详解】
解：∵90B ∠=︒， 1BC =，30BAC ∠=°，
∴22AC BC ==；
【小问2详解】
解：∵2CD =， AD =，
∴228AC CD +=，28AD =，
∴222AC CD AD +=，
∴ACD 是直角三角形，
∴=90ACD ∠°．
∵2AC =，1BC =，
∴AB =，
∴ABC ACD ABCD S S S =+=四边形 1112222×××2+． 22. 为助力爱心公益事业，“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
（1）补全条形统计图；
（2）本次抽查的学生人数是 ；本次捐款金额的中位数为 ．
【答案】（1）画图见解析
（2）50；15元
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、中位数等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）先根据A 的条形统计图和扇形统计图信息即可得抽查的总人数，再求出C 的学生人数，由此补全条形统计图即可得；
（2）根据（1）可得总人数，根据中位数定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得；
【小问1详解】
解：本次抽查的学生人数是816%50÷=（人）
， C 的学生人数为508146418−−−−=
（人）， 由此补全条形统计图如下：
；
【小问2详解】
解：本次抽查的学生人数是816%50÷=（人）
， 因为这组数据按从小到大进行排序后，处在第25和第26个数都是15， 所以中位数是1515152
+=（元）， 23. 如图，在ABC 中，AB AC =，DAC ∠是ABC 的一个外角，AM 平分DAC ∠． 的
（1）尺规作图：作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接AE ，CF ；
（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断四边形AECF 的形状并加以证明．
【答案】（1）画图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，先作出线段AC 的垂直平分线，再与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，最后连接AE ，CF ，即可作答．
（2）由AB AC =得A ABC CB =∠∠，由AM 平分DAC ∠得DAM CAM ∠=
∠，则利用三角形外角性质可得CAM ACB ∠=∠，再根据线段垂直平分线的性质得OA OC =，AOF COE ∠=∠，于是可证明
AOF COE ≌，所以OF OE =，然后根据菱形的判定方法易得四边形AECF 的形状为菱形．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：四边形AECF 为菱形，理由如下：
AB AC = ，
ABC ACB ∴∠=∠，
AM 平分DAC ∠，
DAM CAM ∴∠=∠，
而DAC ABC ACB ∠=∠+∠，
CAM ACB ∴∠=∠，
EF ∴垂直平分AC ，
OA OC ∴=，AOF COE ∠=∠，
在AOF 和COE 中
FAO ECO OA OC
AOF COE ∠=∠ = ∠=∠
， AOF COE ∴ ≌，
OF OE ∴=
， AO CO =，
∴四边形AECF 是平行四边形，
又AC EF ⊥，
∴平行四边形AECF 是菱形．
【点睛】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直平分线的性质和菱形的判定方法．
24. 如图， 直线 OC ：1 y x =，直线BC ： 26y x =
−+，
（1）点C 的坐标是 ； 当 时， 120y y >>
（2）点 D 在直线OC 上， 若 12
DOB COB S S = ，求点 D 的坐标； （3）作直线a x ⊥轴， 并分别交直线OC ， BC 于点E ， F ， 若EF 的长度不超过3，求x 的取值范围．
【答案】（1）()3,3；36x <<
（2）点D 的坐标为(1.5,1.5)或( 1.5, 1.5)−−；
（3）1.5 4.5x ≤≤
【解析】
【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两条直线的交点坐标，坐标与图形性质，线段中点坐标公式，利用了数形结合的思想，弄清题意是解本题的关键．
（1）联立两直线解析式求出x 与y 的值，即为C 坐标，根据C 坐标，利用函数图象找出12y y >时x 的范围即可；
（2）由12
DOB COB S S = ，结合中点坐标公式求解即可； （3）设(),E x x ，则(),6F x x −+，可得626EF x x x =−+−=−+，则263x −+≤，再利用绝对值含义与不等式组的解法可得答案；
【小问1详解】
解：联立两个方程可得：6y x y x = =−+
， 解得：33x y = =
， ∴(3,3)C ；
当60x −+=时，6x =，
∴()6,0B ,
∴当120y y >>时；36x <<；
【小问2详解】
解：如图，点 D 在直线OC 上， 12
DOB COB S S = ，
∴D 为CO 的中点，或12
OD CO ′=， 当D 为CO 的中点，()3,3C ，
∴()1.5,1.5D ， 当12
OD CO ′=，即O 为DD ′的中点，
的
∴()1.5, 1.5D ′−−，
∴点D 的坐标为(1.5,1.5)或( 1.5, 1.5)−−；
【小问3详解】
解：如图，
∵直线a x ⊥轴， 并分别交直线OC ， BC 于点E ， F ，
∴设(),E x x ，则(),6F x x −+， ∴626EF x x x =−+−=−+， ∴263x −+≤，
∴3263x −≤−+≤，
解得：1.5 4.5x ≤≤；
25. 如图，菱形ABCD 中，AB ＝6cm ，∠ADC ＝60°，点E 从点D 出发，以1cm/s 速度沿射线DA 运动，同时点F 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 运动，连接CE 、CF 和EF ，设运动时间为t （s ）． （1）当t ＝3s 时，连接AC 与EF 交于点G ，如图①所示，则EF ＝ cm ；
（2）当E 、F 分别在线段AD 和AB 上时，如图②所示，
①求证：△CEF 是等边三角形；
②连接BD 交CE 于点G ，若BG ＝BC ，求EF 的长和此时的t 值．
（3）当E 、F 分别运动到DA 和AB 的延长线上时，如图③所示，若EF ＝
cm ，直接写出此时t 的值．
的
t=+
【答案】（1）（2）①见解析；②EF＝（−）cm，t＝6（3）3
【解析】
【分析】（1）由条件可知△ADC，△ABC都是等边三角形，证明CE＝CF，AE＝AF，可得出AC垂直平分线段EF，由30°直角三角形的性质即可解决问题；
（2）①只要证明△DCE≌△ACF，得出CE＝CF，∠DCE＝∠ACF，可得出∠ECF＝60°，则结论得证；
②连接AC，交BD 于点O，过点E作EN⊥CD，垂足为N，由BD＝2BO求出BD长，证明DE＝DG，可
求出DE长，则t的值可求出，在Rt△DEN中，由EN＝DE•sin60°，可求出EN＝9﹣Rt△ECN 中可得∠ECN＝45°，求出CE的长，则CE＝EF可求出；
（3）作CH⊥AB于H．先求出BH＝3，CH＝Rt△CFH中，由勾股定理HF可求出，则BF和AF可求出．
【详解】（1）解：如图①中，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，
∴DA＝DC＝AB＝BC，
∴△ADC，△ABC都是等边三角形，
当t＝3时，AE＝DE＝3cm，AF＝BF＝3cm，
∵CA＝CD＝CB，
∴CE⊥AD，CF⊥AB，
∵∠CAB＝∠CAD，
∴CF＝CE，
∵AE ＝AF ，
∴AC 垂直平分线段EF ，
∴∠AGF ＝90°，
∵∠FAG ＝60°，
∴∠AFG ＝30°，
∴AG ＝12AF ＝32
cm ，
∴GF ，
∴EF=cm ；
故答案为：．
（2）①证明：由（1）知△ADC ，△ABC 都是等边三角形，
∴∠D ＝∠ACD ＝∠CAF ＝60°，DC ＝AC ，
∵DE ＝AF ，
∴△DCE ≌△ACF （SAS ），
∴CE ＝CF ，∠DCE ＝∠ACF ，
∴∠ECF ＝∠ACD ＝60°，
∴△ECF 是等边三角形．
②如图②中，连接AC ，交BD 于点O ，过点E 作EN ⊥CD ，垂足为N ，
∵1302CBO ABC ∠=∠=°
，BC ＝6cm ，
∴BO ＝BC •sin60°＝6=cm ，
∴2BD BO ==cm ，
∴()
6DG BD BG =−=cm ，
∵BG ＝BC ，
∴∠BGC ＝∠BCG ＝75°，
∵∠BGC ＝∠DGE ，
∴∠BCG ＝∠DGE ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DEG ＝∠BCG ，
∴∠DEG ＝∠DGE ，
∴DG ＝DE
＝()6−cm ，
∵∠BCD ＝120°，
∴∠DCE ＝∠BCD ﹣∠BCG ＝120°﹣75°＝45°，
∴EN ＝DE •sin60°
＝(
)( 69=−cm ，
∴(
(9CE EN =−=−cm ，
∴EF ＝CE ＝（
−）cm ，t ＝（
6）s ．
（3）解：如图③，作CH ⊥AB 于H ，
由（2）可知：△EFC 是等边三角形，
∴CF ＝EF ＝
cm ，
Rt △BCH 中，∵BC ＝6，∠CBH ＝60°，
∴BH ＝3，CH
＝cm ，
在Rt △CFH 中，HF
cm ，
∴()
3BF =cm ，AF ＝（
3+）cm ， ∵运动速度为1cm/s ，
在
t=+s．
∴(3
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题．。