牡丹江高二上册期末数学试卷(文科)(有答案)-(新课标人教版)

黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知点（3，2）在椭圆+=1上，则（）
A．点（﹣3，﹣2）不在椭圆上
B．点（3，﹣2）不在椭圆上
C．点（﹣3，2）在椭圆上
D．无法判断点（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）、（﹣3，2）是否在椭圆上
2．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为（）
A．9 B．13 C．15 D．18
3．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（5分）已知焦点在轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离
心率为，则椭圆的方程是（）
A．B．C．D．
5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为8，
则此双曲线的方程为（）
A．B．C．D．
6．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）
A．一条直线B．两条射线
C．一条线段D．抛物线的一部分
7．（5分）把二进制的数11111（2）化成十进制的数为（）
A．31 B．15 C．16 D．11
8．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
9．（5分）抛物线2=4y的准线方程是（）
A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．=﹣1 D．=﹣2
10．（5分）已知双曲线C的中心为原点，点是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为（）
A．2﹣y2=1 B．C．D．
11．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为（）
A． B．C．D．
12．（5分）设抛物线y2=2的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在极坐标系中，点P的坐标为，则点P的直角坐标为．14．（5分）已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积
为．
15．（5分）过抛物线y2=6的焦点且与轴垂直的直线交抛物线M，N，则|MN|=．16．（5分）l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B 是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．把C1的参数方程式化为普通方程，C2的极坐标方程式化为直角坐标方程．
18．（12分）求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．19．（12分）已知直线l：，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求圆C在直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．
20．（12分）在抛物线上找一点P，使P到直线y=4﹣5的距离最短．
21．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
22．（12分）椭圆的离心率为，右顶点为．
（Ⅰ）求椭圆方程．
（Ⅱ）该椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与椭圆交于点A、B，且△F2AB面积为
，求直线l的方程．
黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知点（3，2）在椭圆+=1上，则（）
A．点（﹣3，﹣2）不在椭圆上
B．点（3，﹣2）不在椭圆上
C．点（﹣3，2）在椭圆上
D．无法判断点（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）、（﹣3，2）是否在椭圆上
【解答】解：因为点（3，2）在椭圆+=1上，由椭圆的对称性可得
点（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，﹣2）均在椭圆+=1上
故选C
2．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为（）
A．9 B．13 C．15 D．18
【解答】解：根据题意，椭圆，
其中a==5，b==3，
则c==4，
P是C上任意一点，
则△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF 2|+|F1F2|=2a+2c=10+8=18；
故选：D．
3．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，=1；
第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，=2；
第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，=3；
第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，
故输出值为3，
故选：B
4．（5分）已知焦点在轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离
心率为，则椭圆的方程是（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，即2a=6，则a=3，
又由椭圆的离心率为，即e==，则c=1，
则有b2=a2﹣c2=8，
又由椭圆的焦点在轴上，
则其标准方程为：+=1，
故选：B．
5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为8，则此双曲线的方程为（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，则双曲线的焦点在轴上，
若其一条渐近线方程为，则有=，即b=a，
又由双曲线的焦距为8，即2c=8，
则有c2=a2+b2=4a2=16，
解可得：a2=4，b2=12，
则双曲线的标准方程为﹣=1；
故选：C．
6．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）
A．一条直线B．两条射线
C．一条线段D．抛物线的一部分
【解答】解：根据已知条件：，
在=2t（﹣1≤t≤1）时，函数y=2．
所以，该函数的图象是平行于轴的一条线段．
故选：C
7．（5分）把二进制的数11111（2）化成十进制的数为（）
A．31 B．15 C．16 D．11
【解答】解：11111
（2）
=20+21+22+23+24
=1+2+4+8+16=31．
故选：A．
8．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵抛物线y2=12的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），
∴双曲线的c=3，a2=9﹣4=5，
∴e=．
故选：B．
9．（5分）抛物线2=4y的准线方程是（）
A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．=﹣1 D．=﹣2
【解答】解：由2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，
则抛物线2=4y的准线方程是y=﹣1，
故选A．
10．（5分）已知双曲线C的中心为原点，点是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为（）
A．2﹣y2=1 B．C．D．
【解答】解：根据题意，点是双曲线C的一个焦点，则双曲线的焦点在轴上，且
c=，
设其方程为﹣=1，则有a2+b2=2，
则双曲线的渐近线方程为y=±，即ay±b=0，
点F到渐近线的距离为1，则有=1，解可得b=1；
则a=1，
则双曲线的方程为2﹣y2=1；
故选：A．
11．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为（）
A． B．C．D．
【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为+=1，
其中a==3，b=，则c=，
则有|F1F2|=2，
若a=3，则|PF1|+|PF2|=2a=6，
又由|PF1|=4，则|PF2|=6﹣|PF1|=2，
则cos∠F1PF2==﹣；
故选：A．
12．（5分）设抛物线y2=2的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．
【解答】解：如图过B作准线l：=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，
∵=，
又∵△B1BC∽△A1AC、
∴=，
由拋物线定义==．
由|BF|=|BB1|=2知B=，y B=﹣，
∴AB：y﹣0=（﹣）．
把=代入上式，求得y A=2，A=2，
∴|AF|=|AA1|=．
故===．
故选A．
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在极坐标系中，点P的坐标为，则点P的直角坐标为．【解答】解：∵在极坐标系中，点P的坐标为，
∴=1，
y=2sin=，
∴点P的直角坐标为（1，）．
故答案为：（1，）．
14．（5分）已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为30．
【解答】解：根据题意，椭圆中，a==5，b==3，
如图椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，
则A（﹣5，0），B（0，﹣3），C（5，0），D（0，3），
则|AO|=5，|DO|=3，
=4××5×3=30；
四边形ABCD的面积S=4S
△AOD
故答案为：30．
15．（5分）过抛物线y2=6的焦点且与轴垂直的直线交抛物线M，N，则|MN|=6．
【解答】解：根据题意，抛物线y2=6的焦点为（，0）
直线MN过抛物线y2=6的焦点且与轴垂直，设M的坐标（，b），则N的坐标为（，﹣b），M在抛物线上，则有b2=6×，
解可得b=±3，
|MN|=2|b|=6；
故答案为：6．
16．（5分）l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B 是双曲线C的两个顶点，点在l存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线离心率的最大值为
．
【解答】解：设双曲线的焦点F（c，0），直线l：=c，
可设点P（c，n），A（﹣a，0），B（a，0），
由两直线的夹角公式可得tan∠APB=||=≤，
∴≤，
化简可得3c2≤4a2，即c≤a，
即有e≤．
当且仅当n=±，即P（c，±），离心率取得最大值．
故答案为．
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．把C1的参数方程式化为普通方程，C2的极坐标方程式化为直角坐标方程．
【解答】解：曲线C1的参数方程为（θ为参数），
消去参数θ，得C1的普通方程是：
（﹣1）2+（y﹣1）2=1；
曲线C2的极坐标方程为ρ=1，
化为直角坐标方程是=1，
即2+y2=1．
18．（12分）求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．
【解答】解：根据题意，椭圆的焦距为2=2，
要求椭圆的焦距也为2，即2c=2，则c=，
又由要求椭圆的离心率e=，则a=5，
则其中b==20，
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为．
19．（12分）已知直线l：，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求圆C在直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．
【解答】解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．即ρ2=2ρsinθ，化为：2+y2=2y，配方为：2+（y﹣1）2=1．
（Ⅱ）⊙C的圆心C（0，1），r=1．
圆C与直线l相切，∴=1，解得a=﹣3或1．
20．（12分）在抛物线上找一点P，使P到直线y=4﹣5的距离最短．
【解答】解法一：设与y=4﹣5平行的直线y=4+b与y=42相切，
则y=4+b代入y=42，得42﹣4﹣b=0．①
△=16+16b=0时b=﹣1，代入①得=，
∴所求点为（，1）．
解法二：设该点坐标为A（0，y0），那么有y0=402．
设点A到直线y=4﹣5的距离为d，则
d==|﹣402+40﹣5|=|402﹣40+5|=|4（0﹣）2+1|．
当且仅当0=时，d有最小值，
将0=代入y=42解得y0=1．
故P点坐标为（，1）．
点P到直线y=4﹣5的距离最短．
21．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交
于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4．
（2）直线l的参数方程为（t为参数），
代入曲线C方程y2=4．可得（1+t）2=4（1+t），
整理得，
∵t1•t2=﹣15＜0，∴点P在AB之间，
∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|==4．
22．（12分）椭圆的离心率为，右顶点为．
（Ⅰ）求椭圆方程．
（Ⅱ）该椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与椭圆交于点A、B，且△F2AB面积为
，求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：a=，离心率e==，∴c=1，b2=a2﹣c2=1，
所以椭圆C的方程为．…5分
（Ⅱ）焦点F1（﹣1，0），因为直线l的斜率不为0，所以可设直线方程为=y﹣1，
将其代入2+2y2﹣2=0，并化简得：2y2﹣2y+1+2y2=2，
整理得：（2+2）y2﹣2y﹣1=0，
设A（1，y1），B（2，y2），由韦达定理得：
，．
∴|y1﹣y2|==，
∵×|F1F2|•|y1﹣y2|=，代入解出2=1．∴直线的方程为﹣y+1=0或+y+1=0．。