(全国通用版)新2020-2020版高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用学案新人教A版选修2-2【

s＝
b
?a|
v( t )|d
t
＝
－ ?bav( t )d t ；
②注意路程与位移的区别．
(2) 求变力做功的方法步骤
①首先要明确变力的函数式 F( x) ，确定物体在力的方向上的位移； ②利用变力做功的公式 W＝ ?baF( x)d x 计算；
③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
－2x＋
5)d
x
＝ ( x3－ x2＋ 5x)|
＝ 10
5
825(J)
．
1 3．由曲线 y＝x与直线 x＝ 1， x＝2， y＝ 1 所围成的封闭图形的面积为 ________．
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积
题点 不需分割的图形的面积求解
答案 1－ ln 2
解析
因为函数
1 y＝ x在[1,2]
F( x) 相同的方
向由 x＝ 5 m 运动到 x＝10 m ，则 F( x) 做的功为 ( )
A．925 J
B． 850 J
C．825 J
D． 800 J
考点 利用定积分求变力做功问题
题点 定积分在弹力做功中的应用
答案 C
解析 依题意 F( x) 做的功是
W＝ ?150F(
x)d
x＝
?10
5
(3
x2
＝
x2 2
10＋
x2－ x3 3
2 1
1 ＝ 2－ 0＋
8 4－3 －
1 1－ 3
7 ＝ 6.
类型二 定积分在物理中的应用 例 3 一点在直线上从时刻 t ＝ 0 s 开始以速度 v＝t 2－ 4t ＋ 3( v 的单位： m/s) 运动，求：
(1) 该点在 t ＝4 s 时的位置； (2) 该点前 4 s 走过的路程．
考点 利用定积分求路程问题
题点 利用定积分求路程问题
解 (1) 在 t ＝4 s 时， 该点的位移为 ?40( t 2 －4t ＋ 3)d t ＝
1 t
3－ 2t
2＋ 3t
3
40＝
4 ，即在
t ＝4 s
时，
3
4 该点与出发点的距离为 3 m. (2) 因为 v( t ) ＝ t 2－ 4t ＋ 3＝ ( t － 1)( t － 3) ，所以在区间 [0,1] 及 [3,4] 上，v( t ) ≥0，在区间 [1,3]
答案 A
解析 设拉伸弹簧所用的力为 FN ，弹簧伸长的长度为 x m，则 F＝ kx.
2 000 由题意知 20＝0.03 k，得 k＝ 3 ，
2 000 所以 F＝ 3 x. 由变力做功公式，
得
W＝
0.13
?0
2
000
xdx＝
3
1 000 x2 0.13 169
3
0 ＝ (J) ， 30
169 故把弹簧从平衡位置拉长 13 cm 时所做的功为 30 J.
上的积分为
S2＝
?21
1 d x
x＝
ln
x| 21＝ ln 2 ，
所以围成的封闭图形的面积 S1 等于四边形 ABCD的面积减去 S2 的面积，即 S1＝1－ ln 2.
4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在
1 分钟内行驶的路程为 ________ m.
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积分上、下限． 跟踪训练 2 求由曲线 y＝ x2，直线 y＝ 2x 和 y＝ x 所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积
题点 需分割的图形的面积求解
y ＝ x 2， 解由
y＝x
y＝ x2， 和
y＝ 2x，
解出 O， A， B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝ ?10(2 x－ x)d x＋ ?21 (2 x－ x2)d x
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§1.7 定积分的简单应用
学习目标 1. 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积
.2. 能利用定积分解决物理中
的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的
价值．
知识点一 定积分在几何中的应用
思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答案 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计
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反思与感悟 (1) 求变速直线运动的物体的路程 ( 位移 ) 方法
①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度
v( t ) 在时间区间内是否为正值，若
v( t )>0 ，则运动物体的路程为
s＝ ?bav( t )d t ；若 v( t )<0 ，则运动物体的路程为
2．在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．
( ×)
3．在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．
( ×)
√)
类型一 利用定积分求面积
命题角度 1 求不分割型图形的面积 例 1 由曲线 y2＝ x， y＝x2 所围图形的面积 S＝________.
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积
题点 不需分割的图形的面积求解
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最新人教版小学试题 分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．
做变速直线运动的物体所经过的路程 上的定积分，即 s＝ ?bav( t )d t .
s，等于其速度函数 v＝v( t )( v( t ) ≥0) 在时间区间 [ a， b]
知识点三 变力做功问题
思考 恒力 F沿与 F 相同的方向移动了 s，力 F 做的功为 W＝ Fs，那么变力做功问题怎样解决？
答案 与求曲边梯形的面积一样， 物体在变力 F( x) 作用下运动， 沿与 F 相同的方向从 x＝ a 到 x ＝ b( a<b) ，可以利用定积分得到 W＝ ?baF( x)d x.
60 10
＝ 150＋ 750＝900 m. 5．求由抛物线 y＝ x2－ 1，直线 x＝ 2， y＝0 所围成的图形的面积．
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积
题点 需分割的图形的面积求解
解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积． 由 x2 －1＝ 0，得抛物线与 x 轴的交点坐标是 ( － 1,0) 和 (1,0) ，
跟踪训练 3 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若
20 N 的力
能使弹簧伸长 3 cm，则把弹簧从平衡位置拉长 13 cm( 在弹性限度内 ) 时所做的功 W为 ( )
169 A. J
30
B． 5 J
159 C. J
30
D． 6 J
考点 利用定积分求变力做功问题
题点 定积分在弹力做功中的应用
算定积分即可．
梳理 (1) 当 x∈［a， b] 时，若 f ( x)>0 ，由直线 x＝ a， x＝ b( a≠b) ， y＝0 和曲线 y＝ f ( x) 所围 成的曲边梯形的面积 S＝ ?baf ( x)d x.
(2) 当 x∈［a， b] 时，若 f ( x)<0 ，由直线 x＝a， x＝ b( a≠ b) ， y＝ 0 和曲 线 y＝ f ( x) 所围成的曲边梯形的面积 S＝－ ?baf ( x)d x.
y＝ 2x， 解方程组 y＝ x2，
x＝ 0， 得
y＝ 0，
x＝ 2，＝
2
?02
xd
x
－
?20x
2
d
x
＝ x2
2 0
－
1 3x
3
20＝ 4－
8 3－ 0
4 ＝ 3.
2．一物体在力 F( x) ＝ 3x2－ 2x＋ 5( 力的单位： N，位移单位： m)的作用下沿与力
答案 不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．
梳理 (1) 当 v( t ) ≥０时，求某一时间段内的路程和位移均用
t2
v(t) dt 求解．
t1
(2) 当 v( t )<0 时，求某一时间段内的位移用
t2
v(t ) dt 求解，这一时段的路程是位移的相反数，
t1
t2
即路程为－ v(t ) dt . t1
1 答案
3
解析
y2＝ x， 由 y＝ x2，
得交点的横坐标为 x＝ 0 及 x＝ 1.
因此，所求图形的面积为
S＝S － S 曲边梯形 OABC
曲边梯形 OABD
＝ ?10 xdx－ ?10 x2dx
＝
3
2 3
x
2
1 0
－
1 3
x3
1 0
＝
2 3－
1 3
＝
1 3
.
反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1) 根据题意画出图形． (2) 找出范围，确定积分上、下限． (3) 确定被积函数． (4) 将面积用定积分表示． (5) 用微积分基本定理计算定积分，求出结果． 跟踪训练 1 求由抛物线 y＝ x2－4 与直线 y＝－ x＋2 所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解
3
x2
＋
1 6
x2
10＋
2
x
－
1 3x
2
3 1
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21
1
1 13
＝ 3＋ 6＋ 6－3×9－ 2＋3＝ 6 .
反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交
点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选
x 运算较烦琐，则积分变量可选 y，同时要更换
1．由曲线 y＝x2 与直线 y＝ 2x 所围成的平面图形的面积为 (
)
4
8
A.
B.
3
3
16
2
C. 3
D. 3
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积
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题点 不需分割的图形的面积求解 答案 A 解析 如图，画出曲线 y＝ x2 和直线 y＝ 2x 的图象， 则所求面积 S为图中阴影部分的面积．
梳理 如果物体在变力 F( x) 的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F( x) 相同的方向从 x＝ a 移
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最新人教版小学试题 动到 x＝ b( a<b) ，那么变力 F( x) 所做的功为 ?baF( x)d x.
1．曲线 y＝ x3 与直线 x＋y＝ 2， y＝0 围成的图形面积为 ?10x3dx＋ ?21(2 － x)d x.(
＝
2x－
1 2
x2
－ 2
－3
13x3－4x
2 －3
25
25 125
＝ 2－ － 3 ＝ 6 .
命题角度 2 分割型图形面积的求解
1 例 2 求由曲线 y＝ x， y＝ 2－ x， y＝－ 3x 所围成的图形的面积． 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 解 画出图形，如图所示．
(3) 当 x∈［a，b] 时，若 f ( x)> g( x)>0 ，由直线 x＝ a，x＝ b ( a≠ b) 和曲线 y＝f ( x) ，y＝g( x) 所围成的平面图形的面积 S＝ ?ba[ f ( x) － g( x)]d x.( 如图 )
知识点二 变速直线运动的路程
思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？
上， v( t ) ≤0，所以走过的路程 s＝ ?10( t 2－ 4t ＋ 3)d t ＋ | ?31 t 2－ 4t ＋ 3 dt | ＋?43( t 2－ 4t ＋ 3)d t ＝ ?10( t 2
－ 4t ＋ 3)d t －?31( t 2－ 4t ＋ 3)d t ＋ ?43( t 2－4t ＋ 3)d t ＝ 4(m) ，即前 4 s 走过的路程为 4 m.
考点 利用定积分求路程问题 题点 利用定积分求路程问题 答案 900 解析 由速度—时间曲线得
3t ，0≤ t ≤10，
v( t ) ＝ 3
－
t 5
＋
36，
10<t
≤
60，
所以汽车在 1 分钟内行驶的路程为
?1003t
dt
＋
?60
10
3 －5t ＋ 36
dt
＝
3 2
t
2
＋ 10
0
－
3 10t
2＋
36t
因此所求图形的面积为
S＝?1－1| x2－ 1|d x＋ ?21( x2－ 1)d x
＝
?1
－1
(1
－
x 2)d
x ＋ ?21(
x 2－ 1)d
x
＝
x3 x－
3
＋ 1
－1
x3 －x
3
2 1
＝
1 1－
－
1 －1＋
＋
1×２3－ 2
－
1 －1
3
33
3
8
＝
. 3
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1) 确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标； (2) 确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差． 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积
y＝ x， 解方程组
x＋ y＝ 2，
y＝ x， 1
y＝－ 3x，
x＋ y＝ 2， 1
y＝－ 3x，
得交点坐标分别为 (1,1) ， (0,0) ， (3 ，－ 1) ，
所以 S＝ ?10
1 x－ － 3x
dx＋ ?31
1 2－x － －3x
dx
1
＝ ?0
1 x＋ 3x
d
x＋
3
?1
2 2－3x
dx
＝
2 3
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y＝x2－ 4， 解由
y＝－ x＋ 2，
x＝－ 3， 得
y＝5
x＝ 2， 或
y＝ 0，
所以直线 y＝－ x＋ 2 与抛物线 y＝ x2－ 4 的交点坐标为 ( － 3,5) 和 (2,0) ，
设所求图形面积为 S，
根据图形可得， S＝ ?2－3( － x＋ 2)d x－ ?2－3( x2－ 4)d x