质点角动量学习.pptx

冲量矩
t2 Mdt t1
质点角动量定理的积分形式：
对同一参考点，质点（转动物体）所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内 质点（转动物体）角动量的增量。
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冲量矩
t2 Mdt t1
冲量矩：反映在一段时间内力矩的时间积累作用.
说明
质点角动量定理
M
r F
dL
dt
力矩和角动量须是对于惯性系中同一固 定点而言的 .
（条件)
或
dt
dL 0 （结论）
即：
dt L
r
mv
恒矢量
(constant vector)
若质点所受合力对某参考点的力矩总保持为零， 则质点对该点的角动量保持不变。
质点对参考点的角动量守恒定律
• 角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量 守恒定律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿 第二定律不能适用的微观粒子的运动，它也适用。
又
为角动量,
为力矩.
则:
M dL
dt
质点角动量定理微分形式
——对某一点的合力矩
——对同一点的角动量
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2、角动量定理 angular momentum theorem
M
r F
dL
dt
质点角动量定理微分形式
在惯性系中，质点对某参考点的角动量对时 间的变化率等于作用于质点的合力对同一参考 点的力矩。
cosd
0
0
L mR 3 2 (2g sin )1 2
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L mR 2
( 2g sin )1 2
R
三、质点角动量守恒定律
law of conservation of angular momentum
由角动量定理可知，
o(fMparticrle
F
dL)
若： 则：
M 0 dL 0
v
l
4
l 4
v 3l
v 3
4
总角动量为：
v m 3l
4
O 3m
方向：沿转轴方向
L 3l mv l 3mv 3l mv l 3m v lmv
44
4 43
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二. 质点对固定点的角动量定理 angular momentum theorem
L r p dp F ,
dt
1、 推导过程： 由牛顿第二定律
过质点作一与 z 轴垂直的平面.
F 将力 和分解为平行于z 轴方向和在所作平面内的两
个分量:
z F2 F
F F1 F2
r 将位矢 分解为平行于和垂直于z 轴的两个分量:
F1
r2
m
r
r r1 r2
O
r1
O′
M r F (r1 r2 ) (F1 F2 )
r1 F1 r1 F2 r2 F1 r2 F2
角动量的几何含义：
L mvrsin
1 r r sin
2m lim 2
t 0
t
2m lim S t0 t
M
P
N
O
r 位矢 在单位时间内扫过的面积，称为它的
掠面速度，即
lim S dS
t0 t dt
角动量的大小与掠面速度成正比
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例： 质点以角速度
r 相对圆心的角动量
作半径为 的圆运动，
v0
r r0
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解：小球相对圆心所受力矩
零
M r F 0 （有心力)
所以，小球相对圆心的角动量守恒
L
r mv
C
r0mv0 rmv
v
r0 r
v0
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•例题: 人造卫星绕地球沿椭圆轨道运 动，地球中心为椭圆的一个焦点，已
知地球平均半径 R = 6378 km，近 地距离 L1= 439 km , A1 点速度 v1
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四、质点对轴的角动量定理和守恒定律
M
r
F
dL
dt
以参考点o为原点, 建立坐标系oxyz，则质点 A对o点的角动量在 z 轴的投影为：
Mz
dLz dt
质点对z 轴的角动量对时间的变化率等于质 点所受到的合力对同一轴线的力矩。
质点对轴的角动量定理
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讨论
质点A对轴上一点o点的力矩在 z 轴的投影:
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解: 绕行半周时间
t R
v
绕行半周动量增量为:
mvk mvk 2mvk
由动量定理:
mg R
v
j
IT
2mvk
IT
2mvk
mg R
v
j
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例： 用细绳系一小球在光滑的水平面上作圆周运动,
圆半径 r0 , 速率 v0 . 今缓慢地拉下绳的另一端, 使圆半径逐步减小. 求圆半径缩至 r 时, 小球的 速率 v 是多大?
角动量与参考点O的 选择有关；
xo
y
L
v
r
角动量与参考系的选择有关.
※ 说明力矩和角动量时，须指明对哪一个点而言.
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又称动量矩(moment of momentum) SI 单位: kgm2/s or Js
例：质点作直线运动
O d
O
对O点：
对O点：
大小： 方向：
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中运动，其角动量守恒．
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Notes:
1. 匀速直线运动质点相对任意固定点的角动量守恒 F= 0
2. 匀速圆周运动质点相对圆心的角动量守恒.
3. 行星围绕太阳的椭圆运动中,相对于太阳的角动量 保持不变. 因为受到的是有心力.
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※ 角动量守恒定律
例：行星受力方向与
L
v
方向：由右手螺旋定则确定，
right hand screw rule
大小：
L r p sin mvr sin
z
r
xo
L
v
，矢径
v
m y
r
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2、质点对固定点的角动量 angular momentum
L r p r mv
zv
rm
把位置矢量和动量 矢量结合起来;
第2页r/共0 40页r sin 称力臂
1、力矩定义（对O点） torque
M0 r F
力的作用效果，不仅与力的大小 magnitude 有关， 还与力的方向 direction 和力的作用点 acting point 有关。力 矩是全面考虑这三要素的一个重要的概念。
力矩与参考系的选择有关；
合力矩等于各分力矩的矢量和:
v2 6.3 km / s
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[思考]
②能否用牛Ⅱ律求解？ A2
L2
R
答： ②可以.
因为卫星在运行时只受地球对它的万有引力，该力提供了向心力：
L1 A1
G Mm
(R L)2
m v2
（
为曲率半径）
※一般情况下，卫星所在处的曲率半径并不是其到地心的距离；若已知卫星 绕地运动的椭圆轨道方程，可根据高等数学的知识求解卫星所在处的曲率半径 .
§5.1 质点的角动量
一、 质点角动量(angular momentum) 的定义
1、力对固定点的力矩 torque :
M0 r F
M F
r
力 对O点的力矩
o r0
SI单位：N m
方向：由右手螺旋法则;
即：右手四指从 r 方向绕向F
则拇指指的就是 M 的方向
大小： M0 M0 F r sin r0F ——力臂乘以力
=8.10 km , 远地距离 l2 =2384 km , 求A2 点的速度v2 = ?
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• 解：卫星在运行时只受地球对它的引力， 方向始终指向地心o, 力的大小只依赖于 两点距离（这种力称为有心力），对于O
点，力矩为零，
M0 r F 0
故卫星对地心的角动量守恒。
卫星在近地点A1 的角动量： 卫星在远地点A2 的角动量:
L1 mv1(R l1 ) (r1 v1)
L2 mv 2(R l2 ) (r2 v2 )
因角动量守恒，所以：
mv1(R l1 ) mv 2 (R l2 )
于是：
v2
v1
R l1 R l2
8.10 6378 439 6378 2384
6.30 (km /
s)
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例:
l
L+
.T
m Ro
mg
.
1) 对固定点O，质点m所受合外力矩: M R (mg T ) 以逆时针为正
Mo mgR TRsin
mgR TRcos 0
则对O 点角动量守恒(大小、方向均不变)
L R mv L Rmv mvlsin
2) 对固定点O’，质点m 所受合外力矩:
Mo' mglsin 0
解 小球受重力和支持力作用, 支持力 的力矩为零,重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt 第16页/共40页
mgRcos dL
dt
dL mgRcosdt
考虑到
d dt, L mRv mR 2
得 LdL m2 gR3 cosd
由题设条件积分上式
L LdL m2gR3
F dp dt
dL ? dt
dp F 用位置矢量叉乘两边 dt
由于:
d ( A B) A dB dA B
dt
dt dt
于是: d (r p) dr p r dp
dt
dt
dt
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d (r p) dr p r dp
dr v,
dt dt
v p 0
dt
dt
于是:
对O’点角动量 Lo' l mv
大小 Lo’=mvl 方向随时间变化 不守恒
*合外力矩、角动量均对同一点而言
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例: 如图, 圆锥摆.
m 对于 o 点的角动量是否守恒? m 对于 o’ 点的角动量是否守恒?
(是)
O’
(否)
y
x
m 动量是否守恒?
(否)
mA
B
oR
v
质点绕行半周时间内的绳的张力冲量是多少? (A点--B点)
L
o
p
m r
大小： 方向：
L mr2 I 与角速度 的方向相同。
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例：长为 l 的轻杆，其两端分别固定有质量为m和3m的物体，
取与杆垂直的固定轴O，重物m与O轴的距离为 3 l，绕轴
转动的线速度为 v。求它们对转轴的总角动量。4
解：两球的角速度相等
v
3l
4
故3m质点线速度为：
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讨论
M r F (r1 r2 ) (F1 F2 )
z
r1 F1 r1 F2 r2 F1 r2 F2
F2 F
M z r1F1 sin
为自 z 轴端观察由
r 矢径在一条直线上
r m
（有心力），故对心 的角动量守恒.
L
r mv
mvrsin
r m
t
1 r r sin
r sin 2m 2
t
2m S t
=常数
开普勒第二定律：行星对恒星的矢径的掠面速度不变 .
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例：如图, 圆锥摆. 摆球 m 对O和O’点的角动量是否守恒？
O’
L+
已知地球半径R=6378km,
L2 A2
R
L1
L1=439km,L2=2384km. A1 若卫星在A1处的速度
V1=8.1km/s，则卫星在A2
处的速度V2=
.
解：卫星对地球中心的角动量守恒
A1处, mV1(R+L1)
A2处, mV2(R+L2)
于是 V2= V1(R+L1)/(R+L2)= 6.3 km/s
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注：
M 有0两种情况:
即： M 0
或 F通过0参考点O .F
FF过O0点, (r
//
F
)
----->
L 常矢量
有心力
如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种 力叫做有心力，该固定点称为力心，
Notes:
(1) 角动量定理和角动量守恒定律也只是在惯性系中成立；
(2) 质点在有心力场
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力的时间累积效应
冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、角动量定理.
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例: 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可 在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速 度.
质点对参考点的角动量定理
在直角坐标系中的分量形式：
Mx
dLx dt
My
dLy dt
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Mz
dLz dt
3、另一种表述：
将M
变d形L为
dt
Mdt dL
Mdt 式中
称为外力矩的冲量矩 impulse torque
(角冲量 angular impulse）
t2 t1
Mdt
L2
Hale Waihona Puke L1第29页/共40页
[思考]
L2
①能否用机械能守恒求解？ A2
R
L1
A1
答：
① 可以用机械能守恒求解.
因为卫星在运行时只受地球对它的引力，是有心力，属于保守内力，系统 （卫星和地球）的机械能守恒：
在地球表面
1 2
mv12
G
Mm R L1
1 2
mv22
G
Mm R L2
G
Mm R2
mg
(g 9.8 m / s2)
M r Fi r F1 r Fn
i
即 ： M M1 M2 Mn
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2、质点对固定点的角动量 angular momentum
定义：任取一点o, 建立坐标系oxyz，设质点A的质量为m，速度为
为 ，则质点A对o点的角动量(或动量矩)为：
v
r
L r p r mv