北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习优生提升测试卷B(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习优生提升测试卷B （附答案详解）
1．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD=6，DB=3，则AE AC 的值为（ ）
A ．23
B ．32
C ．34
D ．2
2．若
23
a b =，则下列等式不一定正确的是（ ） A ．23a b = B ．2323a b ++= C ．13a b b -= D ．32a b = 3．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（ ） A ．1：2 B ．1：4 C ．1：8 D ．1：16
4．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）
A ．2，5，10，25
B ．4，7，4，7
C ．1?，13，13
，3 D ．1?，6，3，2 5．如图，已知点A ，B 分别是反比例函数y=
k x （x ＜0），y=1x （x ＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO=12
，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．4
D ．﹣4
6．△ABC 与△DEF 是相似三角形，且△ABC 与△DEF 的相似比是1：2，已知△ABC 的面积是3，则△DEF 的面积是（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
7．如图// //,,AB CD EF AF BE 相交于点G ，下列比例式错误的是（ ）
A．AC BD
CF DE
=B．
AG BG
GF GE
=C．
GC CD
GF EF
=D．
AB AC
EF CF
=
8．在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的两个动点，∠EAF＝45°，下列几个结论中：①EF＝BE＋DF；②MN2＝BM2＋DN2；③F A平分∠DFE；④连接MF，则△AMF 为等腰直角三角形；⑤∠AMN＝∠AFE．其中一定成立的结论有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．如图所示，△ABC∽△DEF 其相似比为K , 则一次函数y kx2k
=-的图像与两坐标轴围成的三角形面积是（）
A．0.5B．4C．2D．1
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，连接AE交BD于点F，则下列结论错误的是（）
A．AF BF
AE BD
=B．
AF BF
FE FD
=C．
DE DF
AB BD
=D．
DE EF
DC AF
=
11．如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝_____．
12．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，
b ，
c 于点D ，E ，F ，若12AB BC = ，则DE DF
=_____．
13．已知C 是线段AB 的黄金分割点，若2AB =，则BC =_________。

14．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B 处向前走了8米到达点C 处时，发现自己在地面上的影子CE 长是2米，则路灯的高AB 为_____米．
15．如图（1），已知,MB ND MBA NDC =∠=∠,请补充一个条件：_______使
ABM CDN ≌；如图（2）
，已知ABC ∽DBE ，6,8AB DB ==，则:=ABC DBE S S _____________________．
16．ABC 和'''A B C 是位似图形，且面积之比为4:1，则ABC 和'''A B C 的对应边AB 和''A B 的比为________．
17．如图，以为位似中心，将五边形
放大得到五边形，已知，，若，则________．
18．如图，△ABC 与△A 1B 1C 1为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1︰2，已知△ABC 的周长为3，那么△A 1B 1C 1的周长是________．
19．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是BC 上一点，E 是BA 延长线上一点，且点E 在线段DC 的垂直平分线上，连接CE ，若:3:1BD DC =，3AE =，则CD =_______．
20．如图，OAB ∆与OCD ∆是以O 点为位似中心的位似图形，相似比为1:2，
90,OCD CO CD ∠=︒=，若()10B ,，则点C 的坐标为_________．
21．（本小题满分9分）如图，已知直线l 1∥l 2，线段AB 在直线l 1上，BC 垂直于l 1交l 2于点C ，且AB=BC ，P 是线段BC 上异于两端点的一点，过点P 的直线分别交l 2、 l 1于点D 、E （点A 、E 位于点B 的两侧），满足BP=BE ，连结AP 、CE ．
（1）求证：△ABP ≌△CBE ；
（2）连结AD 、BD ，BD 与AP 相交于点F ，如图， ①当
时，求证：AP ⊥BD ； ②（n ＞1）时，设△PAD 的面积为S 1，△PCE 的面积为S 2，求的值．
22．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．
（1）求证：∠AFD＝∠AEC；
（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．
23．如图，抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)交直线y=kx+n(k＞0)于A(1，1)，B两点，交y轴于
点C，直线AB交y轴于点D．已知该抛物线的对称轴为直线x=5
2
．
(1)求a，b的值；
(2)记直线AB与抛物线的对称轴的交点为E，连接CE，CB．若△CEB的面积为21
2
，
求k，n的值．
24．如图，在△ABC中，BC＝30，高AD＝18，作矩形PQRS，使得P，S分别落在AB，AC 边上，Q，R落在BC边上．
(1)求证：△APS∽△ABC；
(2)如果矩形PQRS是正方形，求它的边长；
(3)如果AP∶PB＝1∶2，求矩形PQRS的面积．
25．如图,已知A(-4,0)、B(0,2)、C(6,0),直线AB与直线CD相交于点D,D点的横纵坐标相同；
(1)求点D的坐标；
(2)点P从O出发,以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴匀速运动,过点P作x轴的垂线分别与直线AB、CD交于E、F两点,设点P的运动时间为t秒,线段EF的长为y(y>0),求y 与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下,直线CD上是否存在点Q,使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出符合条件的Q点坐标,若不存在,请说明理由．
26．如图，直线AB表达式为y＝﹣2x+2，交x轴于点A，交y轴于点B．若y轴负半轴
上有一点C，且CO＝1
2 AO．
（1）求点C的坐标和直线AC的表达式；
（2）在直线AC上是否存在点D，使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABO相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，郑明同学站在A处，测得他在路灯OC下影子AP的长与他的身高相等，都为1.5m，他向路灯方向走1m到B处时发现影子刚好落在A点．
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定光源O的位置；
（2）求路灯OC的高．
28．（提出问题）如图1，小东将一张AD为12，宽AB为4的长方形纸片按如下方式进行折叠：在纸片的一边BC上分别取点P、Q，使得BP=CQ，连结AP、DQ，将△ABP、
△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM，△DQN，连结MN．小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变．
（规律探索）
（1）请在图1中过点M，N分别画ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F．
求证：①ME=NF；②MN∥BC．
（解决问题）
（2）如图1，若BP=3，求线段MN的长；
（3）如图2，当点P与点Q重合时，求MN的长．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
先求出AB ，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】
∵63AD DB ==，，
∴9AB AD DB =+=，
∵DE BC ， ∴6293
AE AD AC AB ===； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 2．C
【解析】
【分析】
利用比例基本性质，进行化简，即可判断A 、D ，比例基本性质：两内项之积等于两外项之积；将分式进行化简即可判断B 、C 的正确性.
【详解】 A.2 3a b =，利用比例基本性质，可得：23
a b =, 故A 成立； B. 2323a b ++= 化简： 123a b +=+1 ，进一步化简，得23
a b =,由A 可知，成立； C. 13a b b -=，化简： 113a b -=，则43a b =，题目中23
a b =，故C 不成立； D.由23a b =利用比例基本性质，可得32.a b = 【点睛】
本题考查了比例基本性质，以及化简的得方式方法，正确掌握化简，是解答本题的关键. 3．A
【解析】
分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比可得．
解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为
14 =1：2． 故选B ．
点睛：相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
4．C
【解析】
【分析】
根据比例线段的定义，计算每组中的最小数与最大数的积与另外两个数的积，若它们的积相等，则四条线段成比例，否则不成比例．
【详解】
A. 由于2×25=5×10，所以2，5，10，25成比例；
B. 由于4×7=4×7，所以4，7，4，7成比例；
C. 由于1×13≠13×3,所以1，13，13
，3不成比例； D. 由于1623=
所以1632成比例. 故选:C.
【点睛】
考查比例线段，解题的关键是理解成比例线段的概念.
5．D
【解析】
【分析】
首先过点A 作AC ⊥x 轴于C ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，易得△OBD ∽△AOC ，又由点A ，B 分别在反比例函数y=k x （x ＜0），y=1x （x ＞0）的图象上，即可得S △OBD =12 ，S △AOC =12|k|，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求出k 的值
【详解】
解：过点A 作AC ⊥x 轴于C ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠OBD=∠AOC ，
∴△OBD ∽△AOC ，
又∵∠AOB=90°，tan ∠BAO=
12 ， ∴OB AO =12
， ∴BOD OAC S S =14 ，即11214
2
k ， 解得k=±
4， 又∵k ＜0，
∴k=-4，
故选：D ．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法。

6．D
【解析】
【分析】
利用相似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．
【详解】
∵△ABC ～△DEF ，相似比为1：2，
∴△ABC 的面积与△DEF 的面积比为：1：4，
∵△ABC 的面积是3，
∴△DEF 的面积为12，
故选D ．
【点睛】
考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
7．D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理，对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】
解：∵// //AB CD EF ， ∴AC BD CF DE =，AG BG GF GE
=，故A 、B 正确； ∴△CDG ∽△FEG ， ∴
GC CD GF EF
=，故C 正确； 不能得到AB AC EF CF =，故D 错误； 故选：D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.
8．D
【解析】
【分析】
通过图形的旋转，得到ADH ，证明△△AFE AFH ≅，可得①正确；将ABM 绕点A 逆时针旋转90︒得到ADG ，连接NG ，证得△△ANG ANM ≅，可得②正确；根据△△AFE AFH ≅可得③正确；由∠BDC=∠MAN=45°，可得点A ，M ，F ，D 四点共圆，进而可得到④正确；通过证明三角形相似可得⑤正确；
【详解】
∵四边形ABCD 正方形，
∴AB=AD ，90BAD ABC ADC ∠=∠=∠=︒，
∴将ABE △绕点A 逆时针旋转90︒得到ADH ，如图所示，
则AH=AE ，4=1∠∠，
∴3=1+2=45∠∠∠︒，
∴2+4=3=45∠∠∠︒，
∵AF=AF ，
∴△△AFE AFH ≅，
∴EF=FH=DF+DH=DF+BE ，故①正确；
如图所示，
将ABM 绕点A 逆时针旋转90︒得到ADG ，连接NG ，易证△△ANG ANM ≅，GDN △是直角三角形，
∴MN=GN ，
∴222222MN NG DN DG DN BM ==+=+,故②正确；
由①可得，△△AFE AFH ≅，
∴AFH AFE ∠=∠，
∴F A 平分∠DFE ，故③正确；
∵BD 是正方形ABCD 的对角线，
∴∠BDC=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BDC=∠MAN ，
∴点A ，M ，F ，D 四点共圆，
∵∠ADF=90°，
∴∠AMF=90°，
∴则△AMF 为等腰直角三角形，故④正确；
由∠MAN ＝∠FDN=45°，ANM DNF ∠=∠，可得到△△AMN
DNF ，
∴AMN DFN ∠=∠,
又∵DFN AFE ∠=∠，
∴∠AMN ＝∠AFE ，故⑤正确；
故答案选D ．
【点睛】 本题主要考查了正方形的性质应用，旋转的性质，三角形全等和三角形相似的判定和性质，添加和是的辅助线，构造全等三角形，相似三角形和四边形的外接圆，是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
由△ABC ∽△DEF ，其相似比为k ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得k 的值，然后可求得一次函数y=kx-2k 的图象与两坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，-2k ），继而求得答案．
【详解】
解：∵△ABC ∽△DEF ，其相似比为k ，
12()2
b c a a b c k a c a b b c a b c ++∴=====+++++ ∵一次函数y=kx-2k 的图象与两坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，-2k ），
∴一次函数y=kx-2k 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：
122212k k ⨯⨯==. 故选：D ．
10．C
【解析】
【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB ∥CD ，AB=CD ，易证得△ABF ∽△EDF ，然后由平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，求得答案．
【详解】
解：四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB=CD ，
∴ AF FE ＝BF FD
，故B 正确； ∴
AF AF EF +＝BF BF FD +，即AF AE ＝BF BD ，故A 正确； ∵AB ∥CD ， ∴DE DF AB BF
=，故C 错误； ∵AB ∥CD ，
∴DE EF AB AF
=，
∵AB=CD，
∴DE EF
DC AF
=，故D正确，
故选C．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．
11．9cm
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴BC BD AB BC
=，
∴15
2515
BD
=，
解得：BD＝9cm，
故答案为：9cm．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12．1 3
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可得到结论. 【详解】
解：∵12AB BC =，∴11213
AB BC AB ==++ ∵a∥b∥c， ∴
AB AC =13
=DE DF ， 故答案为13. 【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分 成比例定理.
13或【解析】
试题解析：∵线段AB=2，点C 是AB 黄金分割点，
（1）当AC ＜BC 时，1
（2）当AC>BC 时，∴1
∴
点睛：黄金分割的公式：较短的线段=原线段的352，倍，较长的线段=倍．
14．9
【解析】
【分析】
根据CD ∥AB ，得出△ECD ∽△EBA ，进而得出比例式求出即可．
【详解】
解：由题意知，CE ＝2米，CD ＝1.8米，BC ＝8米，CD //AB ，
则BE ＝BC +CE ＝10米，
∵CD //AB ，
∴△ECD ∽△EBA
∴CD AB ＝CE BE ，即1.8AB ＝210
， 解得AB ＝9（米），
即路灯的高AB 为9米；
故答案为：9．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD ∽△EBA 是解决问题的关键．
15．AB CD =（答案不唯一） 9:16
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理及相似三角形的性质即可解答．
【详解】
添加AB=CD ，根据SAS 可知ABM ≌CDN △，
添加∠M=∠N ，根据ASA 可知ABM ≌CDN △，
添加∠MAB=∠NCD ，根据AAS 可知ABM ≌CDN △；
∵ABC ∽DBE ， ∴22
69816ABC DBE S AB S DB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：AB=CD （答案不唯一）；9：16．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及相似三角形的性质，明确判定定理、性质定理是解题的关键． 16．2:1
【解析】
【分析】
先根据位似图形的性质得△ABC ∽△A′B′C′，然后根据相似三角形的性质求解.
【详解】
解：∵△ABC 和△A′B′C′是位似图形，∴△ABC ∽△A′B′C′，∴24(
)''1AB A B ＝ ，∴2''
AB A B ＝.故答案是2:1.
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
17．3cm²
【解析】
【分析】
由五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE ∽五边形A′B′C′D′E′，又由OA=10cm ，OA′=30cm ，即可求得其相似比，根据相似多边形的面积的比等于其相似比的平方，即可求得答案．
【详解】
∵五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm ，OA′=30cm ，
∴五边形ABCDE ∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA ：OA′=10：30=1：3，
∴五边形ABCDE 的米面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比为：（OA ：OA′）2=1：9， ∵S 五边形A′B′C′D′E′=27cm 2，
∴S 五边形ABCDE =3cm 2．
故答案为3cm 2．
【点睛】
此题考查了多边形位似的知识．注意位似是相似的特殊形式，相似多边形的面积的比等于其相似比的平方．
18．6
【解析】位似图形的周长比等于位似比，位似比是1︰2，因此，△A 1B 1C 1的周长是△ABC 的周长的2倍，即3×2＝6．
19
【解析】
【分析】
过点A 作AG ⊥BC 于点G ，作EF ⊥BC 于点F ，由等腰直角三角形的性质，设AG=BG=CG=a ，
则，BC=2a ，由:3:1BD DC =，则2a CD =
，由EF 垂直平分CD ，则4a CF ，则34BF a ，由AG ∥EF ，得BA BG AE GF
，即可求出a 的值，然后得到CD 的长度． 【详解】
解：过点A作AG⊥BC于点G，作EF⊥BC于点F，如图：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴设AG=BG=CG=a，
∴2a，BC=2a，
∵:3:1
BD DC=，
∴
1
42
a DC BC
==，
∵点E在线段DC 的垂直平分线上，∴EF垂直平分CD，
∴
1
24
a CF DC，
∴
3
44
a
GF a a；
∵AG⊥BC，EF⊥BC，∴AG∥EF，
∴BA BG
AE GF
，即
2
3
3
4
a a
a
，
解得：22
a=0
a=（舍去），
∴
22
2
22
a
DC===；
2．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质，以及垂直平分线的性质，解题的
关键是熟练掌握所学的性质，运用比例的性质构造方程进行解题，从而求出CD的长度．20．（1，-1）
【解析】
【分析】
连接BC，由三角形OAB与三角形OCD为位似图形且相似比为1：2，根据B的坐标确定出D坐标，进而得到B为OD中点，利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，确定出BC与OB的长，再利用三线合一性质得到CB垂直于OD，即可确定出C坐标．
【详解】
连接BC，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，且B(1，0)，
∴OB=1，OD=2，即B为OD中点，
∵OC=CD，
∴CB⊥OD，
在Rt△OCD中，CB为斜边上的中线，
∴CB=OB=BD=1，
则C坐标为(1，-1)，
故答案为：(1，-1)．
【点睛】
本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
21．（1）详见解析；（2）①详见解析；②．
【解析】
试题分析：（1）利用“SAS”可判定△ABP≌△CBE；（2）①因为△ABP≌△CBE，所以
∠PAB=∠ECB，则∠PAB+∠AEH=∠ECB+∠AEH=90°，所以AP⊥CE．因为=2，即P是BC的中点，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形易得四边形BECD是平行四边形，
则BD∥CE，所以AP⊥BD．②设△PBE的面积为S，分别用S表示出△PAD和△PCE的面积，代入求出即可．
试题解析：（1）易知，所以△ABP≌△CBE；
（2）延长AP交CE于点H，
因为△ABP≌△CBE，所以∠PAB=∠ECB，
则∠PAB+∠AEH=∠ECB+∠AEH=90°，所以AP⊥CE．
因为=2，即P是BC的中点，
则BD∥CE，所以AP⊥BD．
②因为，即BC=n·BP，所以CP=（n-1）·BP，因为CD∥BE，易得△CPD∽△BPE，所以，设△PBE的面积为S，△PCE的面积为S2满足．S2=
（n-1）·S，又S△PAB=S△BCE= n·S，所以S△PAE=（n+1）·S，又因为，所以S1=（n-1）·S△PAE，即S1=（n+1）（n-1）·S，
所以．
考点：平行四边形的性质和判定；相似三角形的性质和判定；全等三角形的性质和判定．22．（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；
（2）先证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，
∴AB AC AE AF
=，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴△BAE∽△CAF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，
∴∠AEC＝∠AFD；
（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，∴CE＝CF，
∵DC∥EG，
∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，∴△BDC∽△GCE，
∴BD GC GC DC CE CF
==，
∴CD•CG＝FC•BD．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．23．(1)a的值为1，b的值为–5；(2)k的值为2，n的值为–1．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线y＝ax2＋bx＋5（a≠0）过A（1，1），对称轴为直线x＝5
2
，列出关于a、b
的方程组，解方程组即可求出a，b的值；
（2）设点B（m，m2−5m＋5），过A作AG⊥y轴于G，过B作BF⊥x轴于F，延长GA交
BF于H．由DG∥BF，得出DG
AG
=
BH
AH
，求出DG＝m−4，那么CD＝m．根据S△CEB＝
S △CDB −S
△CDE ，列出方程
12m 2–12m ×52=212
，求出m ．再把A 、B 两点的坐标代入y ＝kx ＋n ，即可求出k ，n 的值．
【详解】 解：(1)由题意，得51522
a b b a ++=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得15a b =⎧⎨=-⎩， 故所求a 的值为1，b 的值为–5；
(2)由(1)可得y =x 2–5x +5．可得C (0，5)．
如图，设点B (m ，m 2–5m +5)，
过A 作AG ⊥y 轴于G ，过B 作BF ⊥x 轴于F ，延长GA 交BF 于H ．
∵DG ∥BF ，∴DG AG =BH AH
， 即1DG =25511
m m m -+--， ∴DG =m –4，∴CD =m ．
∵S △CEB =S △CDB –S △CDE ，
∴12m 2–12m ×52=212
， 解得m 1=2(舍去)，m 2=6．
把A (1，1)，B (6，11)代入y =kx +n ，
得
1
611
k n
k n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
2
1
k
n
=
⎧
⎨
=-
⎩
．
故所求k的值为2，n的值为–1．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等知识．列出关于a、b的方程组是解（1）的关键；准确作出辅助线求出B点坐标是解（2）的关键．
24．（1）详见解析；（2）正方形PQRS的边长为；（3）S矩形PQRS＝120.
【解析】
【分析】
（1）由四边形PQRS是矩形，可得PS∥QR，即可得：△APS∽△ABC；
（2）由矩形PQRS是正方形，可设PS=x，然后利用相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得方程解此方程即可求得答案；
（3）由相似三角形对应边成比例，即可求得PQ与PS的长，继而可求得矩形PQRS的面积．【详解】
(1) 证明：∵四边形PQRS是矩形，
∴PS∥QR，即PS∥BC，
∴△APS∽△ABC.
(2)解：∵四边形PQRS是正方形，
∴PS＝PQ＝SR，PS∥QR.
∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC，
∴AM⊥PS，即AM是△APS的高．
∵△APS∽△ABC，
∴
设PS＝x.
∵BC＝30，AD＝18，
∴AM=18－x，
解得
∴正方形PQRS的边长为.
(3)解：∵四边形PQRS是矩形，∴PQ⊥QR.
∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴PQ∥AD，
∴△PBQ∽△ABD ，
∴.
∵
∴
∴
∵△APS∽△ABC，
∴
∴
∴S矩形PQRS
【点睛】
考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
25．（1）D（4，4）；（2）y
5
10(04)
2
5
10(4)
2
t t
t t
⎧
-+<
⎪⎪
=⎨
⎪->
⎪⎩
，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4；（3）
存在，其坐标为（14
3
，
8
3
）或（14，-16），见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据条件可求得直线AB的解析式，可设D为（a，a），代入可求得D点坐标；
（2）分0≤t＜4、4＜t≤6和t＞6三种情况分别讨论，利用平行线分线段成比例用t表示出PE、PF，可得到y与t的函数关系式；
（3）分0＜t＜4和t＞4，两种情况，过Q作x轴的垂线，证明三角形全等，用t表示出Q
点的坐标，代入直线CD ，可求得t 的值，可得出Q 点的坐标．
【详解】
解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，
将A （-4，0）、B （0，2）两点代入， 解得，k ＝12
，b=2， ∴直线AB 解析式为y ＝
12x+2， ∵D 点横纵坐标相同，设D （a ，a ），
∴a ＝12
a+2， ∴D （4，4）；
（2）设直线CD 解析式为y=mx+n ，
把C 、D 两点坐标代入，解得m=-2，n=12，
∴直线CD 的解析式为y=-2x+12，
∴AB ⊥CD ，
当 0≤t ＜4时，如图1，
设直线CD 于y 轴交于点G ，则OG=12，OA=4，OC=6，OB=2，OP=t ，
∴PC=6-t ，AP=4+t ，
∵PF ∥OG ，
,PE AP PF PC OB AO OG OC
∴==,
46,24126
PE t PF t +-∴==, 2,1222
t PE PF t ∴=+=-, 1212210225y PF PE t t t ⎛⎫∴=-=-+-+=-+ ⎪⎝⎭
, 当4＜t≤6时，如图2，
同理可求得PE=2+2
t ，PF=12-2t ， 此时y=PE-PF=12 t+2−(−2t+12)＝52
t−10， 当t ＞6时，如图3，
同理可求得PE=2+2
t ，PF=2t-12， 此时y=PE+PF=52
t-10；
综上可知
y 510(04)2510(4)2
t t t t ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，t 的取值范围为：0≤t ＜4或t ＞4；
（3）存在．
当0＜t ＜4时，过点Q 作QM ⊥x 轴于点M ，如图4，
∵∠BPQ=90°，
∴∠BPO+∠QPM=∠OBP+∠BPO=90°，
∴∠OPB=∠QPM ，
在△BOP 和△PMQ 中，
BOP PMQ OBP QPM BP PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BOP ≌△PMQ （AAS ），
∴BO=PM=2，OP=QM=t ，
∴Q （2+t ，t ），
又Q 在直线CD 上，
∴t=-2（t+2）+12，
∴t=83
， ∴Q （143
，83）； 当t ＞4时，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，如图5，
同理可证明△BOP≌△PNQ，∴BO=PN=2，OP=QN=t，
∴Q（t-2，-t），
又∵Q在直线CD上，
∴-t=-2（t-2）+12，
∴t=16，
∴Q（14，-16），
综上可知，存在符合条件的Q点，其坐标为（14
3
，
8
3
）或（14，-16）．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式和平行线分线段成比例、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合应用．求得点的坐标是利用待定系数法的关键，在（2）中利用t表示出相应线段，化动为静是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题难度较大，知识点较多，注意分类讨论思想的应用．
26．（1）C（0，﹣1
2
），直线AC的解析式为y＝
1
2
x﹣
1
2
；（2）存在，点D的坐标为（0，
﹣1
2
）或（2，
1
2
）或（﹣3，﹣2）或（5，2）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出A，B的坐标，再求出点C的坐标即可解决问题．
（2）首先证明∠BAC=90°，推出△BAC∽△BOA.如图，分四种情况求解：当点D1与C
重合时，以点A、B、D为顶点的三角形与△ABO相似，此时D1（0，-1
2
）；根据对称性可
知当AD 1=AD 3时，△ABD 3与△AOB 相似，
此时D 3（2，1
2）；当△BAD 2∽△AOB 时，AB AO
＝2AD OB
，求出AD 2的长，设D 2（m ，12m-12），列出方程求出m 即可解决问题． 【详解】
解：（1）对于直线y ＝﹣2x +2，令x ＝0，得到y ＝2，令y ＝0，得到x ＝1，
∴A （1，0），B （0，2），
∴OA ＝1，OB ＝2，
∵OC ＝
12OA ＝12
， ∴C （0，﹣12）， 设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，
则有120b k b ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴直线AC 的解析式为y ＝
12x ﹣12
． （2）如图，
由（1）可知，A （1，0），B （0，2），C （0，﹣12
）， ∴AB 2212+5AC 22112⎛⎫+ ⎪⎝⎭
5，BC ＝52， ∴BC 2＝AB 2+AC 2，
∴∠BAC ＝90°，
∵∠ABO ＝∠ABC ，∠AOB ＝∠BAC ＝90°，
∴△BAC ∽△BOA ，
∴当点D1与C重合时，以点A、B、D为顶点的三角形与△ABO相似，此时D1（0，﹣1
2）；
根据对称性可知当AD1＝AD3时，△ABD3与△AOB相似，此时D3（2，1
2）．
当△BAD2∽△AOB时，AB
AO
＝2
AD
OB
，∴
5
＝2
2
AD
，∴AD2＝25，
设D2（m，1
2
m﹣
1
2
），则有（m﹣1）2+（
1
2
m﹣
1
2
）2＝20，解得m＝﹣3或5，
∴D2（﹣3，﹣2），D4（5，2），
综上所述，满足条件的点D的坐标为（0，﹣1
2
）或（2，
1
2
）或（﹣3，﹣2）或（5，2）．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法等，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
27．(1)见解析；(2)路灯OC的高为4.5米．
【解析】
【分析】
（1）确定光源O的位置，可以利用光线可逆画出；
（2）设OC＝x，由AE∥OC得AE PA
OC CP
=，即PC＝x，则AC＝x﹣1.5，由BF∥OC得
BF AB
OC AC
=，由此可得OC＝4.5. 【详解】
(1)光源O的位置如图所示；
(2)设OC＝x．
∵AE∥OC，
∴AE PA OC CP
=，
∴1.5 1.5
x PC
=，
∴PC＝x，
∴AC＝x﹣1.5，∵BF∥OC，
∴BF AB OC AC
=，
∴1.51
1.5 x x
=
-
，
∴x＝4.5，
答：路灯OC的高为4.5米．
【点睛】
本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了平行线分线段成比例的性质．28．（1）①证明详见解析；②证明详见解析；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）①先按照要求做图，证明线段相等，通常证明所在的三角形全等，所以证明ME=NF，要证明△MEP≌△NPQ，先证明△ABP≌△DCQ，则∠APB=∠DQG，然后证明△MEP≌△NPQ（AAS）即可证得结论；②只要证出MN∥EF即可，由ME∥NF，ME=NF 得出四边形EFMN是平行四边形，平行四边形的对边平行得出结论；（2）做辅助线，延长EM、FN交AD于点G、H．证明△EMP∽△MAG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及矩形的性质即可求解；（3）设PM、PN分别交AD于点E、F，利用勾股定理求出EF长，然后证明△PEF∽△PMN，根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
试题解析：（1）①先按照要求做图，如图1：证明线段相等，通常证明所在的三角形全等，要证明ME=NF，先证明△MEP≌△NPQ，已知条件不够，所以得证明△ABP≌△DCQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD．又∵BP=CQ（已知），∴△ABP≌△DCQ （SAS），∴∠APB=∠DQG．∴∠MPE=180°﹣2∠APB=180°﹣
2∠DQC=∠NQF．∴△MEP≌△NPQ（AAS），∴ME=NF；②∵ME与NF都垂直于BC，∴ME∥NF，∵△MEP≌△NPQ，∴ME=NF，∴四边形EFMN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴MN∥BC；
（2）延长EM、FN交AD于点G、H．∵AB=4，BP=3，∴AM=4，PM=3．∵AD∥BC，
∴EM⊥AD．∵∠AMP=∠MEP=∠MGA，
∴∠EMP=∠MAG．∴△EMP∽△MAG．∴，设AG=4a，则EM=×AG=3a,∵四边形ABEG是矩形，∴BE=4a,∵BP=3,∴EP=4a-3,又∵EP=MG=（4-ME）=(4-3a)=3-a，∴3-a=4a-3，解得：a=，∴AG=,同理DH=．∴MN=GH=12-×2=；（3）设PM、PN 分别交AD于点E、F．∵AD∥BC和折叠角相等，∴∠EPA=∠APB=∠PAE，∴EA=EP．设EA=EP=x，则EM=6-x,AM=AB=4，在Rt△AME中，42+（6﹣x）2=x2，解得：
x=．∴EA=EP=DF=,∴EF=12﹣2×=．∵EF∥MN(已证），
∴△PEF∽△PMN．∴，即，解得：MN=．
考点：1．图形的折叠；2．全等三角形的判定与性质；3．相似三角形的判定与性质；4．解直角三角形．。