简化解几运算的方法与技巧

简化解几运算的方法与技巧
五河一中数学组邢文举
2007年4月1日
简化解几运算的方法与技巧
五河一中邢文举
一、教学内容：简化解几运算的方法与技巧专题。

二、目的：通过本节课的教学，使学生从中体会到在数学解题中，除了常规
方法外，尽可能地利用简便方法求解，以提高解题速度和正确率。

三、重点：以解几为例了解简便运算的方法、技巧和运用。

四、难点：快速寻求简化运算的切入点，以化难为易，化繁为简。

五、教学方法：启发、比较、讲解
六、教学过程：
解几的求解特点是以代数求解几何，思路易找，但运算量大，影响解题速度，也易出错，特别是在高考中，分秒必争，所以在解题时应尽量减少运算量，准确解题，以提高速度和准确率，本节课就以解几为例，介绍几种简化运算的数学思想和方法，以便大家从中体会，希望能起到抛砖引玉的作用。

一、定义法
在解题时，抽象出曲线的定义或利用已知曲线对应的定义、性质可简化求解过程。

例1，已知双曲线x2
a2－
y2
b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1、F2，P为双曲线右支
点一点，且│PF1│＝3│PF2│，求离心率e的取值范围。

解：由双曲线定义与已知得：
│PF
1
│＝3│PF2││PF1│＝3a
│PF1│－│PF2│＝2a │PF2│＝a
∴│PF
1
│＋│PF2│＝4a≥│F1 F2│＝1< e ≤2
二、数形结合法
在解几中利用某些代数表达式具有的明显的几何意义，在确定的坐标系中，借助几何思想加以解决。

例2，已知x、y满足x2
16＋
y2
25≤1,求y－3x的最值。

解：令y－3x＝b，将y＝3x＋b代入x2
16＋y2
25＝1得：
169x2＋96bx＋16b2－400＝0
由△＝（96b）2－4×169×（16b2－400）＝0得：b＝±13
∴y－3x的最大值是13，最小值是－13
三、对称法
在解几中，利用对称性可以将一些复杂的问题简单化，迅速抓住问题的本质，简化解过程。

例3，已知长方形的四个顶点A（0、0）B（2、0）C（2、1）D（0、1），一质点从AB的中点P0射到BC上的点P1，依次反射到CD、AB和AB上的点P2、P3、P4，设P4（x4、0），若1< x4<2，求tanθ（θ＝∠P1 P0 x）的取值范围。

解：质点的反射过程中，
入射角等于反射角，利
用对称性知：
P0（1、0）关于BC的对称点为
P0′（3、0）、P4（x4、0）关于AD的对称点为P4′（－x4、0），所以△P2 P4′P0′是底角为θ高为1的等腰三角形。

∴│ P4′P0′│＝3＋x4＝2
tanθ，由1<x4<2得：
2
5<tanθ<
1
2
四、向量法
某些解几问题，借助向量的运算和性质，往往可使问题得以巧妙解决。

例4，椭圆x2
9＋
x2
4＝1的焦点为F1、F2，P为椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角
时，求点P的横坐标的取值范围。

解：设P（x、y）、F1（－ 5 、0）、F1（ 5 、0），则：PF1=（－ 5 －x，－y），PF2＝（ 5 －x，－y）
由PF1·PF2<0得：x2－5＋y2 < 0①
又x 29 +y 24 =1 ②
联立①②得x 2< 95 －35 5 <x<35 5 五、特殊值法
对于一般性的选择、填空题，可以用特殊值法得以迅速解决。

例5，过抛物线y 2＝ax （a>0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段
AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mn m+n ＝
A 、12a
B 、14a
C 、2a
D 、a 4
解：取x ＝a 4 ，则y ＝±a 2 ，∴m ＝n ＝a 2
∴mn m+n ＝a 4 故选 D
六、补集法
有些需要讨论的问题，讨论时分类较繁，也易出错，可用补集思想从对立面考虑，可达到化繁为简的目的。

例6，在椭圆x 2
2 +y 2＝a 2（a>0）与连结A （1、2）、B （3、4）的线段没有公共点，求a 的取值范围。

解：先求椭圆与线段AB 有公共点时a 的取值范围
y= x ＋1
由
x ∈[1、2＝32 x 2＋2x ＋1 x ∈[1、3]
x 22
+y 2＝a 2 可求得：9
2 ≤a 2≤822
3 2 2 ≤a ≤82 2
∴a ∈（0、3 2 2 ）∪（82 2 、＋∞）为所求 七、借元法
有些解几问题，可以借助中间元素，将复杂问题简单化。

例7，求以椭圆x 2 ＋y 2
=1内一点M （1、1）为中点的弦AB 所在的直线方程。

解：设A （x 1、y 1）、B （x 2、y 2）则x 1＋x 2＝2，y 1＋ y 2＝2
x 1216 ＋y 12
4 ＝1
由 K
AB ＝y 1—y 2x 1—x 2 = —14 ×x 1＋x 2y 1＋y 2 =—14 x 2216 ＋y 22
4 ＝1
∴AB: x ＋4y －5＝0
八、转化法
在数学求解过程中，常将复杂、抽象、不熟悉的问题转化成简单、具体直观、熟知的问题可简化解题过程。

例8，a ∈R 为何值时，两曲线C 1：(x －a)2 2 +y 2＝1，C 2：y 2＝12 x 有公共点？
解：设x －a 2 ＝cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0、2Л] 将x ＝ 2 cos θ＋a ，y ＝sinx 代入y 2＝12 x 得：
a ＝2sin 2θ－ 2 cos θ＝94 －2（cos θ+ 2 4 ）2 θ∈[0、2Л]
可求得：a ∈[－ 2 、94 ]
九、极限法
运用极限思想，通过考察问题的极端元素或一类问题的极限状态，可避开抽象、复杂运算，优化解题过程，降低难度，从而简化运算量。

例9，已知一椭圆长轴平行于y 轴，离心率e ＝2 5 ，过点（1、0），且与直线L ：2x －y ＋3＝0相切于点P （－23 ，53 ），求此椭圆的方程。

解：将点P （－23 ，53 ）看作离心率为25
的椭圆系：（x+23 ）2＋15 (y －53 )2＝K 中，当k →0时的极限情形（看作点椭圆），则与L 相切于点P 的椭圆系为：
（x+23 ）2＋15 （y －53 ）2＋λ（2x －y ＋3）＝0
又椭圆过点（1、0），代入得：λ＝－23
∴x 2＋15 y 2＝1为所求
十、解几问题平几法
某些解几问题可以避开解几中较复杂的运算，利用平几有关知识可以简单解决。

例10，如图：AB 是过抛物线y 2＝2Px （P>0）的焦点弦，M 是AB 的中点，L 是抛物线的准线，MN ⊥L ，N 为垂足，求证：
(1)AN ⊥BN; (2)FN ⊥AB
(3)若MN 与抛物线交于Q ，则Q 平分MN
(4) 1 │AF │ ＋1 │BF │
＝2P 解：(1)如图由定义和平几知：
│MN │＝12 （│AC │＋│BD │）
＝12 （│AF │＋│BF │）
＝12 │AB │
由平几知识知△ANB 为Rt △，∴AN ⊥BN
(2)由(1)知│MA│=│MB│，∴∠MAN ＝∠MNA
又AC ∥MN ∴∠MNA ＝∠CAN ∴∠MAN ＝CAM
又AN ＝AN ，AC ＝AF ，∴△ACN ≌△ANF
∴∠AFN ＝∠ACN ＝90° 即：FN ⊥AB
(3)、(4)留作同学们自己思考（略）
小结：本节课通过解几几个小题介绍了简化解几运算的思想、方法、技巧，希望通过本节课的抛砖引玉作用，使同学们得到一定的启发，以期提高运算速度和准确度，争取在今年的高考中，考出理想的成绩。

布置作业：讲义中对应的题目
反思：本节课是在掌握常规解题的基础上，为了提高运算速度和准确率，寻求简便的方法和技巧，但不可每题都去刻意寻求。