2020高考数学理科大一轮复习课时作业：第八章 平面解析几何课时作业49

课时作业49 直线的交点与距离公式
一、选择题
1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( C ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0
解析：因为直线x －2y －2＝0的斜率为1
2，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.
2．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( B )
A.85
B.32 C ．4
D ．8
解析：因为直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋1
2＝0，所以直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪
⎪⎪12＋732＋4
2
＝
32.
3．当0<k <1
2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( B )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：由⎩⎨
⎧
kx －y ＝k －1，
ky －x ＝2k ，
且0<k <1
2，得两直线的交点坐标为
⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1.因为0<k <12，所以
k
k －1<0，2k －1k －1>0，故两直线的交点在第二象限．
4．已知b >0，直线x －b 2y －1＝0与直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( B )
A ．1
B ．2
C ．2 2
D ．2 3
解析：因为直线x －b 2y －1＝0与直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0互相垂
直，所以(b 2＋1)－b 2
a ＝0，即a ＝
b 2＋1b 2，所以ab ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫b 2＋1b 2b ＝b 2＋1b ＝
b ＋1
b ≥2(当且仅当b ＝1时取等号)，即ab 的最小值等于2.
5．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( C )
A ．(1,2)
B ．(2,1)
C ．(1,2)或(2，－1)
D ．(2,1)或(－1,2)
解析：设P (x,5－3x )，
则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2，
即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2， 故P (1,2)或(2，－1)．
6．(2019·西安一中检测)若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( B )
A ．(0,4)
B ．(0,2)
C ．(－2,4)
D ．(4，－2)
解析：由题知直线l 1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l 2所过定点为(0,2)，故选B.
7．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( B )
A ．2 3 B.10 C.14
D ．215
解析：由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线
系方程．解方程组⎩⎨
⎧
x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，
可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，
即d 的最大值为10.
二、填空题
8．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1，1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为(0,3)．
解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2的斜率k ＝2，又直线l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0,3)．
9．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是12x ＋8y －15＝0.
解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －3
2＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪c ＋32，
解得c ＝－15
4，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.
10．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为6x －y －6＝0.
解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′.
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
b －4a －(－3)·
1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，
解得a ＝1，b ＝0.
又反射光线经过点N (2,6)，
∴NM ′的斜率为6－0
2－1
＝6，
∴反射光线所在直线的方程是y ＝6x －6. 三、解答题
11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．
(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)由已知可得l 2的斜率存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1. ∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在， ∴b ＝0.
又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝4
3(矛盾)， ∴此种情况不存在，∴k 2≠0， 即k 1，k 2都存在． ∵k 2＝1－a ，k 1＝a
b ，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a
b (1－a )＝－1. ① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0. ②
由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2， 即a
b ＝1－a . ③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4
b ＝b . ④
联立③④，解得⎩⎨
⎧
a ＝2，
b ＝－2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝23，
b ＝2.
∴a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3，b ＝2.
12．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)． (1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.
解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，
∴⎩⎨
⎧
2x －y －6＝0，x －y －4＝0，
解得⎩⎨
⎧
x ＝2，y ＝－2，
故直线经过的定点为M (2，－2)．
(2)证明：过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，
|PQ |＝|PM |，
此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝4
2， ∴|PQ |<42，故所证成立．
13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( C )
A ．(－2,4)
B ．(－2，－4)
C ．(2,4)
D ．(2，－4)
解析：设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则
⎩⎪⎨⎪⎧
y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，
解得⎩⎨
⎧
x ＝4，
y ＝－2，
∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－1
4－3(x －3)，
即3x ＋y －10＝0.
同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2
－1－(－4)
(x ＋4)，
即x －3y ＋10＝0.
联立⎩⎨
⎧
3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，
解得⎩⎨
⎧
x ＝2，y ＝4，
则C (2,4)．故选C.
14．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是5.
解析：易知A (0,0)，B (1,3)且两直线互相垂直，即△APB 为直角三角形，
∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |2
2 ＝|AB |22＝10
2＝5.
当且仅当|P A |＝|PB |时，等号成立．
尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，且|Ax 1＋By 1＋C |>|Ax 2
＋By 2＋C |，则( C )
A ．直线l 与直线P 1P 2不相交
B ．直线l 与线段P 2P 1的延长线相交
C ．直线l 与线段P 1P 2的延长线相交
D ．直线l 与线段P 1P 2相交
解析：由题可知，(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0表示两点在直线的同侧．
因为|Ax 1＋By 1＋C |>|Ax 2＋By 2＋C |， 所以|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2>|Ax 2＋By 2＋C |A 2＋B 2
，
所以P 1到直线的距离大于P 2到直线的距离， 所以直线l 与线段P 1P 2的延长线相交，故选C.
16．已知x ，y 为实数，则代数式1＋(y －2)2＋9＋(3－x )2＋x 2＋y 2的最小值是41.
解析：如图所示，由代数式的结构可构造点P (0，y )，A (1,2)，Q (x,0)，B (3,3)，
则
1＋(y －2)2＋
9＋(3－x )2＋
x 2＋y 2
＝|P A|＋|BQ|＋|PQ|.
分别作点A关于y轴的对称点A′(－1,2)，
点B关于x轴的对称点B′(3，－3)，
则1＋(y－2)2＋9＋(3－x)2＋x2＋y2
≥|A′B′|＝41，
当且仅当P，Q为A′B′与坐标轴的交点时，等号成立，故最小值为41.
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