人教版八年级数学上册《三角形的高、中线与角平分线》PPT
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三角形的高、中线与角平分线
01 23 4 5
问题：你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗? 分析：即过点p做已知直线l的垂线。
p
l O
01 23 4 5
问题：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?
分析：即过点A点做已知对边BC的垂线。
A
01 23 4 5
01 23 4 5
B
C
O
三角形的高的概念
2
（2）∠BAD= ∠CAD = 1 ∠BAC ；
2
A
（3）∠AFB= ∠AFC =90°；
C
EDF
B
4.在下图中，如果AE=ED=DC，则BE、BD分别是 △ABD 、△BCE 的 中线，图中有没有面积相等的三角形？
1. △ABD和△BCE; 2. △ABE和△BED和△BDC;
5.如图,AE是△ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求下列角的大小.
∴BD=CD
∴BD=
1 2
BCCD=
1 2
BC
∴BC=2BD BC=2CD
A
B
C
D
三角形的重心
概念：三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
A
F
E O
B
D
C
扩展
思考：△ABD和△ADC的面积相等吗？
A
∵D是BC的中点
∴BD=DC
而△ABD的面积= 1 BD×AE 2
1 △ADC的面积= 2 DC×AE
C
（角平分线的定义）
扩展
问题1：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？ 1、三角形的角平分线是一条线段 ； 2、角的平分线是一条射线。
问题2：任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平 分线,你发现了什么? 三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部。
高、中线与角平分线的比较
概念：过三角形的一个顶点做它对边的垂线，顶点和垂足 所连接的
线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。
三角形高的理解
A
∵AO是△ABC的高
∴AO⊥BC，
∠AOC=∠AOB=90°(高的定义)
B角三角形三边的高?
A
F OE
思考： 1.这三条高之间有怎样的位置关系？
在三角形内相交于一点。 2.剪一个锐角三角形，你能通过其他方
∠CAE=_____度 ∠AEB=_____度
C E B
A
故△ABD的面积= △ADC的面积
BED C
三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两 个面积相等的三角形。
三角形角平分线
概念：在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶
点和交点的连线，叫做三角形角平分线。
A
三角形角平分线的理解
︶
B D
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD
=∠CAD
=
１ ∠BAC ２
BD= CD ,AE= 1 AC 。 2
2.如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= ∠2 ,
∠3= 1 ∠ABC , ∠ACB=2 ∠4 。
2
A
A
F
E
F 12 E
B
D
C
图1
B
3 D
4
C
图2
3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空：
（1）BE= CE = 1 BC ；
名称 高 中线
角平分线
基本图形
A
BD
C
画法
用边的垂线三角板 画顶点到对段
性质
三条高线相交于三角 形内部、外部或边上 一点
A
B
D
用直尺画两点之间 三条中线相交于三角
的线段
形内一点，且把三角
形分成面积相等的两
C
部分
A
利用量角器画角的 三条角平分线相交于 平分线的一部分 三角形内一点
B
D
C
1.如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2 AF ，
高在三角形内部的 数量
高之间是否相交
高所在的直线是否 相交
三条高所在直线的 交点的位置
锐角三角形
3 相交 相交 三角形内部
直角三角形
1
相交 相交 直角顶点
钝角三角形
1
不相交 相交
三角形外部
三角形的中线
概念：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
三角形中线的理解
∵AD是△ABC的中线
B
C
法做出三角形的高吗？
D
对折
扩展
A
●
B
问题1：画直角三角形三边的高?
思考：
D
你能说出直角三角形三条边的高分别是
哪条线段吗？
C
扩展
A E
O●
D
C B
F
问题1：画钝角三角形三边的高?
思考： 钝角三角形有什么特点？
三条高不相交，三条高所在的延长线 相交。而且有两条高在三角形外。
总结（三角形的三条高的特性）
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问题：你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗? 分析：即过点p做已知直线l的垂线。
p
l O
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问题：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?
分析：即过点A点做已知对边BC的垂线。
A
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B
C
O
三角形的高的概念
2
（2）∠BAD= ∠CAD = 1 ∠BAC ；
2
A
（3）∠AFB= ∠AFC =90°；
C
EDF
B
4.在下图中，如果AE=ED=DC，则BE、BD分别是 △ABD 、△BCE 的 中线，图中有没有面积相等的三角形？
1. △ABD和△BCE; 2. △ABE和△BED和△BDC;
5.如图,AE是△ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求下列角的大小.
∴BD=CD
∴BD=
1 2
BCCD=
1 2
BC
∴BC=2BD BC=2CD
A
B
C
D
三角形的重心
概念：三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
A
F
E O
B
D
C
扩展
思考：△ABD和△ADC的面积相等吗？
A
∵D是BC的中点
∴BD=DC
而△ABD的面积= 1 BD×AE 2
1 △ADC的面积= 2 DC×AE
C
（角平分线的定义）
扩展
问题1：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？ 1、三角形的角平分线是一条线段 ； 2、角的平分线是一条射线。
问题2：任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平 分线,你发现了什么? 三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部。
高、中线与角平分线的比较
概念：过三角形的一个顶点做它对边的垂线，顶点和垂足 所连接的
线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。
三角形高的理解
A
∵AO是△ABC的高
∴AO⊥BC，
∠AOC=∠AOB=90°(高的定义)
B角三角形三边的高?
A
F OE
思考： 1.这三条高之间有怎样的位置关系？
在三角形内相交于一点。 2.剪一个锐角三角形，你能通过其他方
∠CAE=_____度 ∠AEB=_____度
C E B
A
故△ABD的面积= △ADC的面积
BED C
三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两 个面积相等的三角形。
三角形角平分线
概念：在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶
点和交点的连线，叫做三角形角平分线。
A
三角形角平分线的理解
︶
B D
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD
=∠CAD
=
１ ∠BAC ２
BD= CD ,AE= 1 AC 。 2
2.如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= ∠2 ,
∠3= 1 ∠ABC , ∠ACB=2 ∠4 。
2
A
A
F
E
F 12 E
B
D
C
图1
B
3 D
4
C
图2
3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空：
（1）BE= CE = 1 BC ；
名称 高 中线
角平分线
基本图形
A
BD
C
画法
用边的垂线三角板 画顶点到对段
性质
三条高线相交于三角 形内部、外部或边上 一点
A
B
D
用直尺画两点之间 三条中线相交于三角
的线段
形内一点，且把三角
形分成面积相等的两
C
部分
A
利用量角器画角的 三条角平分线相交于 平分线的一部分 三角形内一点
B
D
C
1.如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2 AF ，
高在三角形内部的 数量
高之间是否相交
高所在的直线是否 相交
三条高所在直线的 交点的位置
锐角三角形
3 相交 相交 三角形内部
直角三角形
1
相交 相交 直角顶点
钝角三角形
1
不相交 相交
三角形外部
三角形的中线
概念：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
三角形中线的理解
∵AD是△ABC的中线
B
C
法做出三角形的高吗？
D
对折
扩展
A
●
B
问题1：画直角三角形三边的高?
思考：
D
你能说出直角三角形三条边的高分别是
哪条线段吗？
C
扩展
A E
O●
D
C B
F
问题1：画钝角三角形三边的高?
思考： 钝角三角形有什么特点？
三条高不相交，三条高所在的延长线 相交。而且有两条高在三角形外。
总结（三角形的三条高的特性）