2022年经济数学基础形成性考核参考答案

经济数学基础形成性考核册
作业（一）
一、填空题
1. 0
2. 1
3.:2321+=x y
4. x 2
5. 2
π- 二、单项选择题 .DBBBB 三、解答题 1．计算极限
（1） 解：原式=)1)(1()2)(1(lim
1-+--→x x x x x =12lim 1+-→x x x =21
1121-=+-
（2） 解：原式=)4)(2()3)(2(lim
2----→x x x x x =2
1
423243lim 2=--=--→x x x
（3
）解
：
原式
=)
11()
11)(11(lim
+-+---→x x x x x =)
11(11lim 0
+---→x x x x =1
11lim 0
+--→x x =2
1-
（4）解：原式=3
1003001423531lim
2
2
=+++-=+++-
∞→x x x x x
（5）解：原式=53115355sin lim 33sin lim
5
35355sin 33sin lim
000=⨯=⨯=⨯→→→x
x x x
x x x x x x x （6）解：原式=414)
2sin(2
lim )2(lim )2sin()2)(2(lim
222
=⨯=--⨯+=--+→→→x x x x x x x x x 2．解：（1）由于)(x f 在0=x 处有极限存在，则有
)(lim )(lim 0
0x f x f x x +-
→→=
又 b b x
x x f x x =+=-
-
→→)1
sin (lim )(lim 00 1sin lim
)(lim 00==++
→→x
x
x f x x
即 1=b
因此当a 为实数、1=b 时，)(x f 在0=x 处极限存在. （2）由于)(x f 在0=x 处持续，则有 )0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+
-
→→
又 a f =)0(，结合（1）可知1==b a 因此当1==b a 时，)(x f 在0=x 处持续. 3．计算下列函数旳导数或微分： （1）解：2
ln 1
2ln 22x x y x ++=' （2）解：2)())(()()(d cx d cx b ax d cx b ax y +'++-+'+='=2
)()()(d cx c
b ax d cx a ++-+
=
2
)
(d cx bc
ad +- （3）解：23
12
1
2
1)53(2
3)53()53(21])53[(------='---='-='x x x x y
（4）解：x x x
xe e x xe x y --='-'='-
21
2
12
1)()(
（5）解：)(cos sin )()(sin sin )('+'='+'='bx bx e bx ax e bx e bx e y ax ax ax ax =bx be bx ae ax ax cos sin +
dx bx be bx ae dx y dy ax ax )cos sin (+='=
（6）解：21
2112
312312323
)1()()(x x
e x
x e x e y x
x x +-=+'='+'='-
dx x x
e dx y y x
)23
(d 21
21+-='=
（7）解：2
2
2
e 22sin )(e )(sin )e ()(cos 2x x x x x
x x x x x y ---+-
='--'-='-'='
（8）解：)(cos )(sin )(sin )(sin ])[(sin 1'+'='+'='-nx nx x x n nx x y n n
nx n x x n n cos cos )(sin 1+=- （9）解：)))1((1(11)1(112
12
2
2
2
'++++=
'++++=
'x x
x x x x
x y
=222212
1
22111111)2)1(211(11
x
x x x x x x x x x +=+++⨯++=⨯++++- （
10
）
解
：
)2()()()2
(6
12
11
sin '-'+'+'='-x x y x
06
121)1(sin 2ln 2
6
5
23
1sin -+-'=--x x x x
65
23
21sin 6121)1)(1(cos 2ln 2
-
-+--=x x x
x x
6523
2
1
sin 6121)1
(cos 2ln 2--+-=
x x x x x
4.下列各方程中y 是x 旳隐函数，试求y '或y d （1）解：方程两边同步对x 求导得：
)1()3()()()(22'='+'-'+'x xy y x 0322=+'--'+y x y y y x x y x y y ---=
'232 dx x
y x y dx y y ---=
'=23
2d （2）解：方程两边同步对x 求导得： 4)()()cos(='⨯+'+⨯+xy e y x y x xy
4)()1()cos(='+⨯+'+⨯+y x y e y y x xy
xy xy ye y x xe y x y -+-=++')cos(4))(cos(
xy
xy
xe
y x ye y x y ++-+-=')cos()cos(4 5．求下列函数旳二阶导数： （1）解：2
2
212)1(11x
x x x y +='++=
'
2
22
2222)
1(22)1()20(2)1(2)12(x x x x x x x x y +-=++-+='+='' （2）解：21
23
21
21
2121)()()1(-
----='-'='-='x x x x x
x y
23
25232521234143)21(21)23(21)2121(-
-----+=-⨯--⨯-='--=''x x x x x x y
)4143()1(23
25
"
--+=x x y ∣x=1=14
3
=
经济数学基础形成性考核册
作业（二）
一、填空题
1． 22ln 2+x。

2．c x +sin 。

3.c e F x
+--)(。

4．2
1ln 2
e +
5． 2
11x
+-
二、单项选择题DCCDB 三、解答题
1．求下列不定积分
（1）解：x x x d e
3⎰==⎰x x d )e 3(c x x +e
3ln e 3=c x x +-1ln3e 3 . （2） 解：.
⎰⎰
⎰
+++=++=++=+-
c x x x dx x x x
dx x
x x x x
x 25
232
321
2
12
2
5
2
342)221d )1(
（3）解：c x x dx x dx x x x x x x +-=-=+-+=+-⎰⎰⎰22
)2()2()2)(2(d 242
2=
（4）解：x x d 211⎰
-=)2d(1211212)d (21121x x
x x ---=---⎰⎰ x u 21-==u u d 121⎰-=c u +-ln 21
u x =-=21c x +--21ln 2
1
（5）解：c x x d x x x x ++=++=+⎰⎰23
2222
)2(3
1
)2(221d 2
（6）解：c x x d x sim x x
x sim +-==⎰⎰
cos 22d .
（7） 解：设,2
1sin ,x v x u ='=
1'=u x v 2
1
cos 2-=，
于是 x x x d 21sin ⎰=+-x x 21cos 2x x d 21
cos 2⎰
=c x x x ++-2
1
sin 421cos 2
（8）解：⎰⎰+-+=+dx x x
x x dx x 1
)1ln()1ln(
=⎰+--+dx x x x )1
1
1()1ln(
=c x x x x +++-+)1ln()1ln( .2．计算下列定积分：
（1）解：x x d 12
1⎰--=x x x x )d 1()d (12
11
1⎰⎰-+--=x x x x x x d 1d d d 12
12
11
11
1⎰⎰⎰⎰-+---
=2
12
121
121
12121x x x x -+---2
512302=-+-=.
（2）解：dx e x x
e
x x
⎰⎰-=211
2
1
21d =2
121
1e e e
x -=-
（3）解法一：对x ln 1+进行积分，
)ln d(1ln 11d x 1ln 11
d ln 1133
3
e 1
e 1
e 1
x x
x x x x
x ++=+=+⎰⎰
⎰
=2)14(2ln 1231
=-=+e x
措施二：换元换限，令x u ln 1+=，当1=x 时1=u ，当3e x =时4=u ，于是
u u
x x x x x x
x d 1)ln d(1ln 11d x 1ln 11
d ln 1141
e 1e 1
e 1
33
3
⎰⎰⎰
⎰
=++=+=+
=2)14(224
1
=-=u
（
4
）
解
：
x x x d 2cos 2
⎰
π
=-2
02sin 21πx x x x d 2sin 212
0⎰π
21)11(412cos 41020
-=--=+=π
x
（5）解：⎰⎰=e
e
x xd xdx x 11
22ln ln =⎰-e e
dx x x x 1122ln 2=e
x e 1
224
2-
=)1(4
12+e
（6）解：⎰⎰⎰⎰--+--=+=+4
04
04
04
04d )1(x x x xde dx xe dx x xe
=4)1(5(444
0---+=+-e e xe x x
经济数学基础形成性考核册
作业（三）
（一）填空题
1. 3 .
2. 72-.
3.可交换B A ,.
4. A B I 1
)(--.5. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-310
00210
00
1. （二）单项选择题CACAC 三、解答题 1．计算
（1）解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01103512=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-5321
（2）解： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00113020=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0000
（3）解：[]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21034521=[]0
2．解：⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--723016542132341421231221321
=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--72301654274001277197=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---14230111215
5
3．解：AB =00
01042
065
0014426
65
10164
2
1165
=-=-=--
4．解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-⨯+-⨯+740410421
41074042101112421)
1()2(λλλ），（③②①③①②A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−-⨯+λλ490041042
1)
4(②③
因此当4
9=λ时，秩)(A r 最小为2。

5．解：−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----=-⨯+-⨯+-⨯+)4()
2()
5()(32
114123523458502
47132
1140247134
58512352①④①③①②③①A ， −−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------⨯+-⨯)3()
3(36152703615270125900247
1361527012590361527002471②④③②③②），（
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---0000
00000012590024
71 因此秩)(A r =2 6．求下列矩阵旳逆矩阵：
（1）解：[]⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-⨯+⨯+1013400137900012
31100111010103001231)
1(3①③①②I A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
----
-
−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡-----
-−−−→−-⨯+⨯+-⨯194
3191
00091
31971003
10
3
1011013400913197
100012
31)
4(3)
9
1
(②③②①② ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡
−−−→−⨯⨯+⨯+943100732010311001194
3
191007320
103110
019
7
3
③③②③① 因此⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-9437323111A 。

（2）解：[]⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+100021010501101311100021010501001310)(I A I
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→212100111210101311101310111210101311
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2121005350109610001212100111210110501
因此⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-2125359610)(1
A I 。

7．解：1-=BA X
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⨯-⨯+131001211310012
110530121)1()3(②①②I A
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--−−−→−-⨯+13102501)
2(②①
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∴-13251A ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-1101132532211
BA X 四、证明题
1．证明：∵ A B AB 11=，A B AB 22=
∴ A B B A B A B AB AB B B A )()(21212121+=+=+=+ A B B A B B AB B B AB B B A )()(2121212121==== 即 21B B +，21B B 也与A 可互换。

2．证明：∵ T T T T T T T A A A A A A A A +=+=+=+)()( T T T T T T AA A A AA ==)()()(
A A A A A A T T T T T T ==)()()(
∴ T A A +，A A AA T T ,是对称矩阵。

3．证明：充足性
∵ A A T =，B B T =，AB AB T =)( ∴ BA A B AB AB T T T ===)(
必要性
∵ A A T =，B B T =，BA AB = ∴ AB B A BA AB T T T T ===)()( 即AB 为对称矩阵。

4．证明：∵ A A T =，T B B =-1
∴ AB B B A B B A B B A B AB B T T T T T 11111111)()()()(--------==== 即 AB B 1-是对称矩阵。

经济数学基础形成性考核册
作业（四）
一、填空题（每空2分，共16分）
1 .()(] 4,22,1. 2. x=1， y=0， 小 。

.3 .
2
p
4 .-1
5 1≠t .
二、单项选择题(每题3分，共18分)BCADC
三、解答题(每题6分，共42分) 1．求解下列可分离变量旳微分方程： (1)解：
y x e e dx
dy
⋅= dx e e
dy x
y =⇒
c
e e x y +=-⇒-
)ln(x e c y --=⇒
（2）解：将原方程变形为：dx xe dy y x =23
两边同步积分得：⎰⎰+-===c e xe xde dx xe y x x x x 3c e xe y x x +-=∴3 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）解：x
x p 2)(-= 3)(x x Q = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=∴⎰-c dx e x Q e y dx x p dx
x p )()()( ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=---⎰c dx e x e dx x dx x 2
32
[]
c dx x x
e x
+-⋅=⎰13
ln 2
=242
1cx x +
（2）解：x
x p 1
)(-= x xsim x Q 22)(= ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰
=∴⎰
-c dx e x Q e y dx
x p dx
x p )()()(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=--⎰c dx xe
sim x e dx x
dx x 1
122 []
⎰+=-c dx xe xsim x x ln 22⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⋅=⎰c dx x x xsim x 1
22=cx x x +-2cos
3 .求解下列微分方程旳初值问题：
(1)解：
y x e e dx dy 2= dx e dy e x y 2= c e e x y +=221 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=c e y x 221ln 又()00=y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∴c e 0
2
1
ln 0 2
1=
∴c ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∴212
1ln 2x e y
（2）解：原式变形为：x
e x y y x
=+'
x
x p 1
)(=∴ x e x Q x =)( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=∴⎰-c dx e x Q e y dx x p dx
x p )()()(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰--c dx e x e e dx x x
dx x 11
[
]⎰+=
c dx e x x
1=(
)
c e x
x +1
4 .求解下列线性方程组旳一般解：
（1）解：⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=351223111201
A ()()
()()−−−→
−-⨯++)
2(1312⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11101110120
1 ()()
−−→
−+23⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--000011101201 一般解为 4312x x x +-=
432x x x -= 43x x 为自由未知量
（2） 解
：
()()()()()()⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-⨯+-373503735024
12151147111112241215114712412111112)
2(121321A
()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-
−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡-−−−→−⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−-⨯+-⨯+00
00535753105456
510100
0005357531024
121000003735024121)2(21)5
1
(223一般解为 5
4
5651431+
--=x x x
5
3
5753432+-=x x x 43,x x 为自由未
知量
5．解： ()()()()()()⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−−→
−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--------=-⨯+-⨯+-⨯+1418262039131039131024
5
1
110957
3322311312
24
5
11)7(14)3(13)
2(12λλA
∴
当8=λ时，方程组有唯一解。

一般解为 158431-+-=x x x
3913432-+-=x x x 43,x x 为自由未知量
6．解： ()()()()
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=--1140112011
1131221111111312b a b a A
()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-=--−−→−⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---−−−−→−+-⨯+⨯33002121102323013300212110111121)2(2321
2b a b a 1） 当3-≠a 时，方程组有唯一解
()()()()()()()()⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−−→−+-⨯+-⨯+000008000039131015
801
8000000000391310245114321)2(34)1(23λλ
2） 当3,3=-=b a 时，方程组有无穷多解 3） 当3,3≠-=b a 时，方程组无解
7．求解下列经济应用问题(每题6分，共24分)
（1）解：（1） ()q q q C 625.01002++= （万元） ()1851061025.0100102=⨯+⨯+=C （万元） ()()5.1810
185
101010===C C （万元）
()6'6225.010=+⨯=q q C =5+6=11 （万元）
（2） ()()625.0100++==
q q q q C q C ()025.0100
2'
=+-
=q
q C 200=∴q 时，平均成本最小。

（2） .解： ()201.0420q q q C ++= q p 01.014-= ()201.014q q pq q R -==
()()()()2201.042001.014q q q q q c q R q L ++--=-= 2002.0102--=q q
()004.010'=-=q q L q=250 （唯一）
∴ 当q=250件时 ，利润最大。

最大 利润是()1230
250=L 元
（3）解： 360=c ()402'+=x x C
646
42)40()402()4()6(⎰+=+=-=∆x x dx x C C C =100（万元）
⎰++=++=x
x x dx x x C 0
2364036)402()(,
()x
x x x C x C 36
40)(+
+==
,
()036
12
'
=-
=x x C , 当6=x （百台）时可使平均成本到达最低.
（4） 解：① ∵()2'=x C ()x x R 02.012'-=
002.010202.012)()()(=-=--='-'='x x x c x R x L ,
得，x=500件
∴当产量为500件时，利润最大.
② 25)01.010()(5505002550
500-=-='=∆⎰x x dx x L L （元）
即在最大利润旳基础上，再生产多50件，利润将减少25元.。