弹塑性力学10-结构的塑性极限分析与安定性ppt课件
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We= P = Pl
Wi = Mp + 2Mp = 3Mp
由We= Wi 得
Pl+ = 3Mp/l 上限解与下限解相同，该
结果即为完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 3Mp/l
➢ 注意——在确定静力容许的内力场时，若 能考虑到形成破坏机构所需的塑性铰数，
则得到的解答可以接近或等于完全解。若
确定的弯矩绝对值等于Mp的截面数小于形 成破坏机构的塑性铰数，此时应检查其余
10－3 梁的极限分析
【例1】如图所示简支梁，梁截 面的塑性极限弯矩为Mp。由 于在静定梁中无多余约束， 其内力由静力平衡条件唯一 确定，即建立起内力（弯矩） 与外载荷的关系式。而且， 在静定梁中仅需要一个截面 达到全塑性状态（即形成一 个塑性铰）该梁就可成为破 坏机构。取弯矩图中仅有的
一个最大值，并令其等于Mp 就可得到极限载荷的完全解。
第10章 结构的塑性极限分析 与安定性
.
第10章 结构的塑性极限分析与安定性
1. 梁的弹塑性弯曲 2. 塑性极限分析的定理与方法 3. 梁的极限分析 4. 刚架的极限分析 5. 轴对称圆板的极限分析 6. 结构的安定性
➢ 弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能力 的最大值。按塑性极限承载能力进行结构设计， 不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且还可以 得到反映结构真实安全裕度的参数。
➢ 刚架极限分析的方法有静力法、机动法以 及机构叠加法。
➢静力法
（1）先求各截面的控制弯矩，即建立弯矩与 外载的关系；
（2）令控制弯矩中有（ n + 1）处达到塑性 极限弯矩，由此建立起静力容许的内力场， 并求其对应的载荷（即下限解）；
（3）如果内力场为静力容许，且形成破坏机 构，则此下限解即为完全解。
➢ 小结——在该梁上仅承受垂直载荷的作用， 可以不考虑沿梁轴方向的位移约束，此时 固支条件与简支条件相同，即可将该梁视 为二次超静定的。设梁的超静定次数为n， 形成塑性铰的数目为r，在一般情况下，当r = n + 1时，梁可成为破坏机构。通常在梁的 固支端以及集中载荷作用处截面（弯矩为 驻值的截面）形成塑性铰。
的弯矩为驻值的截面，它们的数值不应超
过Mp，否则，其内力场不是静力容许的， 对应的载荷也不是下限解。
➢ 如令 MA= -3Pl/8 = -Mp
则 MC = 5Mp/6 < Mp
A
B
C
静 力 容 许 ， Pl- =
8Mp/(3l)。
➢ 如令 MC = 5Pl/16 = Mp
则 MC = -6Mp/5 < -Mp
➢下限定理
➢ 下限定理表述为：任何一个静力容许的内 力场所对应的载荷是极限载荷的下限，或 者说，静力容许载荷系数是极限载荷系数 的下限，即
s l 其中， s为静力容许载荷系数；l为塑性极
限载荷系数。
➢ 下限定理条件——放松破坏机构条件，即 结构的内力（广义应力）场满足平衡条件， 并不违背极限条件，这样的内力场称为静 力容许的内力场。
（c）
（a）弹性极限荷载；（b）弹塑性荷载；（c）塑性极限荷载
M e3 2b2h s, M s b2h s 1 1 3 h h e 2 , M p b2h s
➢塑性铰
简支梁塑性铰 （a）理想弹塑性材料；（b）刚塑性材料
➢塑性铰
➢ 当截面全部进入塑性时，其弯矩Mp称为截 面的塑性极限弯矩。
➢ 为了确定结构的塑性极限载荷，可以采用弹塑性 分析的方法，即随着载荷的不断增加，结构由弹 性状态进入弹塑性状态，最后达到塑性极限状态。
➢ 在这种分析方法中，需要了解整个加载过程，而 且由于材料的物理关系是非线性的，只有对于比 较简单的问题求解是方便的。
➢ 如果不考虑结构的变形过程，而直接分析它的塑 性极限状态，则使问题的分析大为简化，所得塑 性极限载荷与按弹塑性分析方法所得结果是完全 一样的，这就是塑性极限分析的方法。
结构在塑性极限的临界状态下应满 足的条件
（1）平衡条件，即满足平衡方程及静力边界条件。
（2）极限条件，即结构达到塑性极限状态时的内力 场不违背极限条件。
（3）破坏机构条件，即在塑性极限状态下，结构丧 失承载力时形成破坏机构的形式，它表征了结构 破坏时的运动趋势（规律）。
➢ 满足以上三个条件的解称为极限分析的完全解。 塑性极限分析定理则给出了放松一个方面条件时 所得解答的性质，并由此导出了极限分析的方法。
➢机动法求解步骤
（1）选择一个破坏机构，该机构不仅是几何 上允许的，而且应使外力所做总功为正， 由此建立机动容许的位移（速度）场。
（2）由外功（率）与内功（率）相等的条件
求得破坏载荷Pl+（或 k）。
（3）在若干个破坏载荷中取最小值Pl+min。检 查在该载荷作用下的内力场是否为静力所 容许，即是否违背极限条件。若内力场是 静力容许的，则Pl+min为极限载荷的完全解， 即Pl+min= Pl；否则，Pl+min为Pl的一个近似 解，且为其上限。
➢极限条件
➢ 极限条件又称广义屈服条件，它是梁截面 全部进入塑性时其内力组合达到临界值的 条件。由应力分量表示的屈服条件以及在 极限状态下对截面上应力分布的假设可以 得到极限条件
M = Mp ➢ 对于静定梁，当跨中截面M = Mp，即出现
一个塑性铰，则该梁形成破坏机构，丧失 继续承载的能力。若为超静定梁，则需要 形成足够多的塑性铰才能使梁成为破坏机 构。
静 力 不 容 许 ， Pl* =
16Mp/(5l) 不是下限解。
例4～例6自己看，主要注意原则、思路和方法。
10－4 刚架的极限分析
➢ 在外载荷的作用下，刚架的内力有弯矩、 轴力以及剪力。在门式刚架中，轴向力比 较小，可以不考虑它对截面进入极限状态 的影响；在极限状态下，剪应力分量为零。 因此，刚架的极限条件与梁分析时的极限 条件完全相同。
（1）建立静力容许的应力场，即取满足平衡条件且 不违背屈服（极限）条件的应力（内力）场。例 如在梁的极限分析时，应先确定弯矩图，并取某 些弯矩的驻值为Mp，整个内力场中有Mx Mp。
（2）由静力容许的应力（内力）场确定所对应的载
荷，且为极限载荷的下限Pl-（或s）。
（3）在若干个极限载荷的下限解中取其最大值 Pl-max。检查在该载荷作用下结构能否成为破坏机 构，即是否存在一个对应的机动容许的位移场。 若能成为机构，则Pl-max为极限载荷的完全解，即 Pl-max= Pl；否则， Pl-max为Pl的一个近似解，且为 其下限。
机动法——在A、B、C 处令其形成塑性铰 （图c），其位移场使 外力作正功，是机动 容许的。外力功与内 力功分别为
We= P
Wi = Mp + 2Mp + Mp 由We= Wi 以及 = 2/l得
Pl+ = 8Mp/l 由于上限解与下限解相
同，该结果即为极限 载荷的完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 8Mp/l
➢ 对结构进行塑性极限分析可以得到以下三 个方面的结果，即：
（1）结构的塑性极限载荷；
（2）达到塑性极限状态时的应力（或内力） 分布；
（3）结构达到塑性极限状态的瞬间所形成的 破损机构。
➢ 在变值载荷作用下，对结构的坏型式与 承载能力进行分析，则是结构塑性安定性 的研究内容。在一般情况下，结构实现安 定性的载荷值要比塑性极限载荷低得多； 在有些情况下，安定载荷接近或等于塑性 极限载荷。
➢梁截面的塑性极限弯矩与塑性铰
➢ 材料为理想弹塑性，只有正应力x= (x, z)，其余 应力分量均为零。正应力与弯矩M之间的关系为
M2b bzdz 0
➢ 应变与梁轴挠曲曲率K之间的关系为
x = -Kz
➢ 曲率K与挠度w之间的关系为
K
d 2w dx 2
➢ 梁截面上的屈服条件为
= s
（a）
（b）
叠加机构——两种或以上基本机构叠加起来的 机构
图示刚架中有哪些基本机构？有哪些叠加机构？
➢机构叠加法——基本原理
➢ 叠加机构的外功等于各基本机构的外功之 和，而叠加过程中塑性铰的消失使叠加机 构的内功小于各基本机构的内功之和，由 此可以得到较小的破坏载荷。利用机构的 叠加可以获得上限解的最小可能值，对于 较复杂的刚架，Pl+min对应的破坏机构可能 由几个基本机构叠加而成。
➢机构叠加法——计算步骤
（1）由刚架的超静定次数n及可能塑性铰的个数r0 确定基本机构数目，即m = r0 - n，并确定基本机 构的型式。
（2）写出各基本机构的虚功方程式，并求出各基本 机构的破坏载荷Pl+。
【例3】左端固支、右端简 支的梁，截面的塑性极 限弯矩为Mp。
静 力 法 —— 首 先 确 定 其 弯 矩图，为此可由两个静 定梁的弯矩图叠加而成。
令 MA = -M1 = -Mp
MC = (Pl - M1)/2 = Mp 则该内力场是静力容许的，
得
Pl- = 3Mp/l
➢ 机动法——取破坏机构 如图（c）所示，塑性铰 数r = n + 1 = 2，位于截 面A、C处，该机构使外 力作功为正，是机动容 许的。外力功与内力功 分别为
➢上限定理
➢ 上限定理表述为：任何一个机动容许的位移（速 度）场所对应的载荷（破坏载荷）是极限载荷的 上限，或者说，机动容许载荷系数是极限载荷系 数的上限，即
k l 其中， k为静力容许载荷系数；l为塑性极限载
荷系数。
➢ 上限定理条件——放松极限条件，选择破坏机构， 并使载荷在其位移速度场上所作总功为正，则该 位移速度场称为机动容许的位移（速度）场，相 应的载荷称为破坏载荷。位移速度场对应的内力 场也是静力容许的。
（3）最后由Pl+min检查所对应的内力场，若满 足M Mp，则Pl+min为其完全解，否则只为 其近似解。
➢基本机构与叠加机构
➢ 基本机构：
梁机构——刚架中受弯杆件 层机构——在水平载荷作用下，柱的顶端与底
部出现塑性铰，使同一层或若干层一起发生侧 向运动而形成的破坏机构
节点机构——节点由三杆或三杆以上组成时， 在相交端各自出现塑性铰时，使节点发生刚性 转动的节点转动机构
➢ 在假设若干个截面达到塑性极限弯矩后， 必须对其余控制弯矩进行检验，只有它们 的数值小于Mp时，该内力场才是静力容许 的，否则，求得的解答将是一个上限解。
➢机动法
（1）首先建立机动容许的位移场，选择破坏 机构不仅是几何可能的，而且使外力所作 总功为正；
（2）然后由外功与内功相等的条件求得各破 坏机构所对应的载荷Pl+；
➢ 由于跨中截面的上下两个塑性区互相沟通， 将使跨中左右两边的截面产生相对转动， 正如普通结构铰的作用一样，跨中出现了 塑性铰。
➢ 塑性铰与结构铰的比较：
相同点——允许梁产生转动；
不同点——①塑性铰的存在是由于该截面上存 在弯矩M = Mp；②塑性铰为单向铰，即梁截面 的转动方向与塑性极限弯矩的方向一致，否则 将使塑性铰消失。
➢ 由上、下限定理可知
k l s
➢ 当上式取等式时，由静力容许的应力场求
得 s与由机动容许位移速度场求得 k相等，
该载荷系数同时满足三个方面的条件，即
为极限载荷系数的完全解l。
➢利用上、下限定理，可以求得极限载荷 （系数）的上、下限解或完全解，相应的 方法称为机动法与静力法。
➢静力法求解步骤
10－1 梁的弹塑性弯曲
➢ 基本假设： （1）在梁横截面上，只考虑正应力，忽略挤
压应力；由于塑性区的剪应力分量为零， 在梁的屈服条件中仅包含正应力。 （2）在弯曲变形时，梁的横截面始终保持为 平面，且与变形后的梁轴相垂直。 （3）在梁达到塑性极限状态的瞬间之前，其 挠度与横截面尺寸相比为一个小量，即梁 在发生无约束塑性变形之前，关于小挠度 的假设依然成立。
M ma xP/l2Mp 完全解Pl = 2Mp/l
【例2】两端固定梁，截 面的塑性极限弯矩为 Mp。
静 力 法 —— 首 先 确 定 其 弯矩图，为此可由相 应的两个静定梁（图a） 的弯矩叠加而成。取 静力容许内力场
MA = MB = -M1 = -Mp
MC= Pl/4 - M1 = Mp
得 Pl- = 8Mp/l
➢弯矩与曲率的关系
Ks Kp
31
Ms Mp
1/2
10－2 塑性极限分析的定理与方法
➢ 结构塑性极限分析中的几个假设： （1）材料的应力－应变模型是理想刚塑性的，
即不考虑材料的弹性变形及强化效应。 （2）在达到塑性极限状态的瞬间之前，结构
的变形足够小，且不会失去稳定性。 （3）所有外载荷都按同一比例增加。
Wi = Mp + 2Mp = 3Mp
由We= Wi 得
Pl+ = 3Mp/l 上限解与下限解相同，该
结果即为完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 3Mp/l
➢ 注意——在确定静力容许的内力场时，若 能考虑到形成破坏机构所需的塑性铰数，
则得到的解答可以接近或等于完全解。若
确定的弯矩绝对值等于Mp的截面数小于形 成破坏机构的塑性铰数，此时应检查其余
10－3 梁的极限分析
【例1】如图所示简支梁，梁截 面的塑性极限弯矩为Mp。由 于在静定梁中无多余约束， 其内力由静力平衡条件唯一 确定，即建立起内力（弯矩） 与外载荷的关系式。而且， 在静定梁中仅需要一个截面 达到全塑性状态（即形成一 个塑性铰）该梁就可成为破 坏机构。取弯矩图中仅有的
一个最大值，并令其等于Mp 就可得到极限载荷的完全解。
第10章 结构的塑性极限分析 与安定性
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第10章 结构的塑性极限分析与安定性
1. 梁的弹塑性弯曲 2. 塑性极限分析的定理与方法 3. 梁的极限分析 4. 刚架的极限分析 5. 轴对称圆板的极限分析 6. 结构的安定性
➢ 弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能力 的最大值。按塑性极限承载能力进行结构设计， 不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且还可以 得到反映结构真实安全裕度的参数。
➢ 刚架极限分析的方法有静力法、机动法以 及机构叠加法。
➢静力法
（1）先求各截面的控制弯矩，即建立弯矩与 外载的关系；
（2）令控制弯矩中有（ n + 1）处达到塑性 极限弯矩，由此建立起静力容许的内力场， 并求其对应的载荷（即下限解）；
（3）如果内力场为静力容许，且形成破坏机 构，则此下限解即为完全解。
➢ 小结——在该梁上仅承受垂直载荷的作用， 可以不考虑沿梁轴方向的位移约束，此时 固支条件与简支条件相同，即可将该梁视 为二次超静定的。设梁的超静定次数为n， 形成塑性铰的数目为r，在一般情况下，当r = n + 1时，梁可成为破坏机构。通常在梁的 固支端以及集中载荷作用处截面（弯矩为 驻值的截面）形成塑性铰。
的弯矩为驻值的截面，它们的数值不应超
过Mp，否则，其内力场不是静力容许的， 对应的载荷也不是下限解。
➢ 如令 MA= -3Pl/8 = -Mp
则 MC = 5Mp/6 < Mp
A
B
C
静 力 容 许 ， Pl- =
8Mp/(3l)。
➢ 如令 MC = 5Pl/16 = Mp
则 MC = -6Mp/5 < -Mp
➢下限定理
➢ 下限定理表述为：任何一个静力容许的内 力场所对应的载荷是极限载荷的下限，或 者说，静力容许载荷系数是极限载荷系数 的下限，即
s l 其中， s为静力容许载荷系数；l为塑性极
限载荷系数。
➢ 下限定理条件——放松破坏机构条件，即 结构的内力（广义应力）场满足平衡条件， 并不违背极限条件，这样的内力场称为静 力容许的内力场。
（c）
（a）弹性极限荷载；（b）弹塑性荷载；（c）塑性极限荷载
M e3 2b2h s, M s b2h s 1 1 3 h h e 2 , M p b2h s
➢塑性铰
简支梁塑性铰 （a）理想弹塑性材料；（b）刚塑性材料
➢塑性铰
➢ 当截面全部进入塑性时，其弯矩Mp称为截 面的塑性极限弯矩。
➢ 为了确定结构的塑性极限载荷，可以采用弹塑性 分析的方法，即随着载荷的不断增加，结构由弹 性状态进入弹塑性状态，最后达到塑性极限状态。
➢ 在这种分析方法中，需要了解整个加载过程，而 且由于材料的物理关系是非线性的，只有对于比 较简单的问题求解是方便的。
➢ 如果不考虑结构的变形过程，而直接分析它的塑 性极限状态，则使问题的分析大为简化，所得塑 性极限载荷与按弹塑性分析方法所得结果是完全 一样的，这就是塑性极限分析的方法。
结构在塑性极限的临界状态下应满 足的条件
（1）平衡条件，即满足平衡方程及静力边界条件。
（2）极限条件，即结构达到塑性极限状态时的内力 场不违背极限条件。
（3）破坏机构条件，即在塑性极限状态下，结构丧 失承载力时形成破坏机构的形式，它表征了结构 破坏时的运动趋势（规律）。
➢ 满足以上三个条件的解称为极限分析的完全解。 塑性极限分析定理则给出了放松一个方面条件时 所得解答的性质，并由此导出了极限分析的方法。
➢机动法求解步骤
（1）选择一个破坏机构，该机构不仅是几何 上允许的，而且应使外力所做总功为正， 由此建立机动容许的位移（速度）场。
（2）由外功（率）与内功（率）相等的条件
求得破坏载荷Pl+（或 k）。
（3）在若干个破坏载荷中取最小值Pl+min。检 查在该载荷作用下的内力场是否为静力所 容许，即是否违背极限条件。若内力场是 静力容许的，则Pl+min为极限载荷的完全解， 即Pl+min= Pl；否则，Pl+min为Pl的一个近似 解，且为其上限。
➢极限条件
➢ 极限条件又称广义屈服条件，它是梁截面 全部进入塑性时其内力组合达到临界值的 条件。由应力分量表示的屈服条件以及在 极限状态下对截面上应力分布的假设可以 得到极限条件
M = Mp ➢ 对于静定梁，当跨中截面M = Mp，即出现
一个塑性铰，则该梁形成破坏机构，丧失 继续承载的能力。若为超静定梁，则需要 形成足够多的塑性铰才能使梁成为破坏机 构。
静 力 不 容 许 ， Pl* =
16Mp/(5l) 不是下限解。
例4～例6自己看，主要注意原则、思路和方法。
10－4 刚架的极限分析
➢ 在外载荷的作用下，刚架的内力有弯矩、 轴力以及剪力。在门式刚架中，轴向力比 较小，可以不考虑它对截面进入极限状态 的影响；在极限状态下，剪应力分量为零。 因此，刚架的极限条件与梁分析时的极限 条件完全相同。
（1）建立静力容许的应力场，即取满足平衡条件且 不违背屈服（极限）条件的应力（内力）场。例 如在梁的极限分析时，应先确定弯矩图，并取某 些弯矩的驻值为Mp，整个内力场中有Mx Mp。
（2）由静力容许的应力（内力）场确定所对应的载
荷，且为极限载荷的下限Pl-（或s）。
（3）在若干个极限载荷的下限解中取其最大值 Pl-max。检查在该载荷作用下结构能否成为破坏机 构，即是否存在一个对应的机动容许的位移场。 若能成为机构，则Pl-max为极限载荷的完全解，即 Pl-max= Pl；否则， Pl-max为Pl的一个近似解，且为 其下限。
机动法——在A、B、C 处令其形成塑性铰 （图c），其位移场使 外力作正功，是机动 容许的。外力功与内 力功分别为
We= P
Wi = Mp + 2Mp + Mp 由We= Wi 以及 = 2/l得
Pl+ = 8Mp/l 由于上限解与下限解相
同，该结果即为极限 载荷的完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 8Mp/l
➢ 对结构进行塑性极限分析可以得到以下三 个方面的结果，即：
（1）结构的塑性极限载荷；
（2）达到塑性极限状态时的应力（或内力） 分布；
（3）结构达到塑性极限状态的瞬间所形成的 破损机构。
➢ 在变值载荷作用下，对结构的坏型式与 承载能力进行分析，则是结构塑性安定性 的研究内容。在一般情况下，结构实现安 定性的载荷值要比塑性极限载荷低得多； 在有些情况下，安定载荷接近或等于塑性 极限载荷。
➢梁截面的塑性极限弯矩与塑性铰
➢ 材料为理想弹塑性，只有正应力x= (x, z)，其余 应力分量均为零。正应力与弯矩M之间的关系为
M2b bzdz 0
➢ 应变与梁轴挠曲曲率K之间的关系为
x = -Kz
➢ 曲率K与挠度w之间的关系为
K
d 2w dx 2
➢ 梁截面上的屈服条件为
= s
（a）
（b）
叠加机构——两种或以上基本机构叠加起来的 机构
图示刚架中有哪些基本机构？有哪些叠加机构？
➢机构叠加法——基本原理
➢ 叠加机构的外功等于各基本机构的外功之 和，而叠加过程中塑性铰的消失使叠加机 构的内功小于各基本机构的内功之和，由 此可以得到较小的破坏载荷。利用机构的 叠加可以获得上限解的最小可能值，对于 较复杂的刚架，Pl+min对应的破坏机构可能 由几个基本机构叠加而成。
➢机构叠加法——计算步骤
（1）由刚架的超静定次数n及可能塑性铰的个数r0 确定基本机构数目，即m = r0 - n，并确定基本机 构的型式。
（2）写出各基本机构的虚功方程式，并求出各基本 机构的破坏载荷Pl+。
【例3】左端固支、右端简 支的梁，截面的塑性极 限弯矩为Mp。
静 力 法 —— 首 先 确 定 其 弯 矩图，为此可由两个静 定梁的弯矩图叠加而成。
令 MA = -M1 = -Mp
MC = (Pl - M1)/2 = Mp 则该内力场是静力容许的，
得
Pl- = 3Mp/l
➢ 机动法——取破坏机构 如图（c）所示，塑性铰 数r = n + 1 = 2，位于截 面A、C处，该机构使外 力作功为正，是机动容 许的。外力功与内力功 分别为
➢上限定理
➢ 上限定理表述为：任何一个机动容许的位移（速 度）场所对应的载荷（破坏载荷）是极限载荷的 上限，或者说，机动容许载荷系数是极限载荷系 数的上限，即
k l 其中， k为静力容许载荷系数；l为塑性极限载
荷系数。
➢ 上限定理条件——放松极限条件，选择破坏机构， 并使载荷在其位移速度场上所作总功为正，则该 位移速度场称为机动容许的位移（速度）场，相 应的载荷称为破坏载荷。位移速度场对应的内力 场也是静力容许的。
（3）最后由Pl+min检查所对应的内力场，若满 足M Mp，则Pl+min为其完全解，否则只为 其近似解。
➢基本机构与叠加机构
➢ 基本机构：
梁机构——刚架中受弯杆件 层机构——在水平载荷作用下，柱的顶端与底
部出现塑性铰，使同一层或若干层一起发生侧 向运动而形成的破坏机构
节点机构——节点由三杆或三杆以上组成时， 在相交端各自出现塑性铰时，使节点发生刚性 转动的节点转动机构
➢ 在假设若干个截面达到塑性极限弯矩后， 必须对其余控制弯矩进行检验，只有它们 的数值小于Mp时，该内力场才是静力容许 的，否则，求得的解答将是一个上限解。
➢机动法
（1）首先建立机动容许的位移场，选择破坏 机构不仅是几何可能的，而且使外力所作 总功为正；
（2）然后由外功与内功相等的条件求得各破 坏机构所对应的载荷Pl+；
➢ 由于跨中截面的上下两个塑性区互相沟通， 将使跨中左右两边的截面产生相对转动， 正如普通结构铰的作用一样，跨中出现了 塑性铰。
➢ 塑性铰与结构铰的比较：
相同点——允许梁产生转动；
不同点——①塑性铰的存在是由于该截面上存 在弯矩M = Mp；②塑性铰为单向铰，即梁截面 的转动方向与塑性极限弯矩的方向一致，否则 将使塑性铰消失。
➢ 由上、下限定理可知
k l s
➢ 当上式取等式时，由静力容许的应力场求
得 s与由机动容许位移速度场求得 k相等，
该载荷系数同时满足三个方面的条件，即
为极限载荷系数的完全解l。
➢利用上、下限定理，可以求得极限载荷 （系数）的上、下限解或完全解，相应的 方法称为机动法与静力法。
➢静力法求解步骤
10－1 梁的弹塑性弯曲
➢ 基本假设： （1）在梁横截面上，只考虑正应力，忽略挤
压应力；由于塑性区的剪应力分量为零， 在梁的屈服条件中仅包含正应力。 （2）在弯曲变形时，梁的横截面始终保持为 平面，且与变形后的梁轴相垂直。 （3）在梁达到塑性极限状态的瞬间之前，其 挠度与横截面尺寸相比为一个小量，即梁 在发生无约束塑性变形之前，关于小挠度 的假设依然成立。
M ma xP/l2Mp 完全解Pl = 2Mp/l
【例2】两端固定梁，截 面的塑性极限弯矩为 Mp。
静 力 法 —— 首 先 确 定 其 弯矩图，为此可由相 应的两个静定梁（图a） 的弯矩叠加而成。取 静力容许内力场
MA = MB = -M1 = -Mp
MC= Pl/4 - M1 = Mp
得 Pl- = 8Mp/l
➢弯矩与曲率的关系
Ks Kp
31
Ms Mp
1/2
10－2 塑性极限分析的定理与方法
➢ 结构塑性极限分析中的几个假设： （1）材料的应力－应变模型是理想刚塑性的，
即不考虑材料的弹性变形及强化效应。 （2）在达到塑性极限状态的瞬间之前，结构
的变形足够小，且不会失去稳定性。 （3）所有外载荷都按同一比例增加。