决战2020年高考数学(理)集合与常用逻辑用语: 集合的概念及运算(解析版)

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集合与常用逻辑用语
集合的概念及运算
一、具体目标:
1.理解、掌握集合的表示方法,能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系.
2. 能够正确处理含有字母的讨论问题,掌握集合的交、并、补运算和性质.
3. 要求具备数形结合的思想意思,会借助Venn 图、数轴等工具解决集合运算的问题.
4. 命题是以集合为主,其中基本知识和基本技能是高考的热点.
5. 本节在高考中的分值为5分左右,属于中低档题型. 二、知识概述:
1.集合的含义与表示:(1)集合元素的特征:确定性、互异性、无序性; (2)元素与集合的关系及表示:属于(用符号∈),与不属于(用符号∉).
2.集合的表示方法:列举法、描述法、Venn 图法.
3.集合的分类:(1)有限集:元素的个数是有限个. (2)无限集:元素的个数是无限个. (3)空集:不含任何元素.
4.常用的数集及其符号:
非负整数集(自然数集)N . 正整数集:*N 或+N . 整数集:Z . 有理数集:Q. 实数集:R.
6. 集合间的基本关系:
子集:如果集合A 中的所有元素都是集合B 中的元素,则称集合A 为集合B 的子集. 符号语言:()A B B A ⊇⊆.
图形语言:
A
B
B (A )
【考点讲解】
真子集:如果集合B A ⊆,存在元素,B a ∈但,A a ∉则称集合A 是集合B 集合的真子集. 符号语言:A. B
图形语言:
集合相等:如果集合A 与集合B 中的元素相同,则称集合A 与集合B 相等. 符号语言:A =B
7. 集合的基本运算:
(1)并集:对于两个给定的集合A,B ,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合.
符号语言:{}
B x A x x B A ∈∈=或Y 图形语言:
(2)交集:对于两个给定的集合A,B ,由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合.
符号语言:{}
B x A x x B A ∈∈=且I 图形语言:
(3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 在全集U 中的补集.
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B (A )
符号语言:{}
A x U x x A C U ∉∈=且 图形语言:
1.【2018年全国Ⅱ卷】已知集合(){}
2
23A x y x
y x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为( ) A .9
B .8
C .5
D .4
【解析】本题考查的是一对有序整实数满足平方和不大于3的情况组成的集合,此题可以用验证法,也可以用平面上的整点到原点的距离的不大于9,从而求出满足题意的集合的元素有9个,分别为:()()()()(){}.1111000110±±±±,,,,,,,,, 【答案】A
【变式】(15广东文)若集合(){}N s r q p s r s q s p s r q p E ∈≤<≤≤<≤≤<≤=,,,,40,40,40|,,,,
(){}N w v u t w v u t w v u t F ∈≤<≤≤<≤=,,,,40,40|...,用()X card 表示集合X 中元素个数,则()()=+F card E card ( )A .200 B .150 C .100 D .50
【分析】本题考查的是符合条件的是集合、排列组合问题.对于集合E,s=4时,p,q,r 从0,1,2,3任取一数,都有4种取法,从而构成的元素(p,q,r,s)有43
种情况,再讨论s=3,2,1的情况,求法一样,把每种情况下的元素的个数相加即可得到集合E 的元素的个数,而对于集合F 需讨论两个数u,w ,最后把两个集合 的元素相加即可.
【解析】当s=4时,p,q,r 的取值的排列情况是64种;当s=3时,p,q,r 的取值的排列情况是27种; 当s=2时,p,q,r 的取值的排列情况是8种;当s=1时,p,q,r 的取值的排列情况是1种; 当u=4时,若w=4,t,u 的取值的排列情况有16种;若w=3,t,u 的取值的排列情况有12种;
若w=2,t,u 的取值的排列情况有8种;若w=1,t,u 的取值的排列情况有4种;
A
U
【真题分析】
当u=3时,若w=4,t,u 的取值的排列情况有12种;若w=3,t,u 的取值的排列情况有9种;
若w=2,t,u 的取值的排列情况有6种;若w=1,t,u 的取值的排列情况有3种;
当u=2时,若w=4,t,u 的取值的排列情况有8种;若w=3,t,u 的取值的排列情况有6种; 若w=2,t,u 的取值的排列情况有4种;若w=1,t,u 的取值的排列情况有2种; 当u=1时,若w=4,t,u 的取值的排列情况有4种;若w=3,t,u 的取值的排列情况有3种;
若w=2,t,u 的取值的排列情况有2种;若w=1,t,u 的取值的排列情况有1种;
()()=+F card E card 64+27+8+1+16+12+8+4+12+9+6+3+8+6+4+2+4+3+2+1=200
【答案】A .
2.【15重庆理】已知集合{
}3,2,1=A ,{}3,2=B ,则( )
A .
B A = B .φ=B A I
C .A
B D .B A
【解析】本题是考查两集合之间关系的问题,要从定义出发,用子集与真子集的定义来判断就可以了. 【答案】D
【变式】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有 人.
【解析】本题考查了子集与交集、并集的运算,集合间的基关系运算,交集的含义与表示.
由题意可知,参加数学、物理、化学三个小组所表示的三个集合的交集是空集,同时参加数学与物理两个小组的交集是6人,同时参加物理与化学两个小组的交集是4人,同时参加数学与化学小组的交集是参加数学,物理、化学小组人数的和减去同时参加数学和物理与同时参加物理和化学两交集,再减去总人数后所得的人数,也就是26+15+13-36-6-4=8.
运算式子:()()()()()()()C B card C A card B A card C card B card A card C B A card I I I Y Y ---++= ()C A card I ---++=4613152636,().8=C A card I 【答案】8
3.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2
|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<,则M N I =( )
A .}{43x x -<<
B .}42{x x -<<-
C .}{22x x -<<
D .}{23x x <<
【解析】由题意得
2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<,则
{|22}M N x x =-<<I .故选C .
【答案】C
【变式】已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z
,1244x B x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
,则A B =I ( ) A .{}12 x x -≤≤B .{}1,0,1,2-
C .{}2,1,0,1,2--
D .{}0,1,2
【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭Z
Z ,{}14224B x x x x ⎧⎫
=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭
,则{}1,0,1,2A B =-I ,故选B . 【答案】B
4.【2018年全国Ⅲ卷】已知集合{}|10A x x =-≥,{}012B =,
,,则=B A I ( ) A .{}0
B .{}1
C .{}12,
D .{}012,

【解析】本题考查的是集合的运算,求两集合的交集,两集合的元素表示形式不同,集合A 是描述法,同时要解一元一次不等式,得到集合的元素满足的条件是1≥x ,集合B 是列举法,求两集合的交集时一定要 注意,求出交集后符合条件的元素有两个. 【答案】C
【变式】(15北京文)若集合{}25|<<-=x x A ,{}33|<<-=x x B ,则=B A I ( )
A .{}23|<<-x x
B .{}25|<<-x x
C .{}33|<<-x x
D .{}35|<<-x x 【解析】本题考查的是集合间关系的运算,也就是求两集合的交集,可以用代数的方法,也就是不等式的方向相同大中取大,小中取小.本题还可以用数轴来求,这样更直观. 【答案】A
5.【2019天津理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ,则()A C B =I U ( ) A .{}2
B .{}2,3
C .{}1,2,3-
D .{}1,2,3,4
【解析】因为{1,2}A C =I ,所以(){1,2,3,4}A C B =I U .故选D . 【答案】D
【变式】(16山东理)设集合{}R x y y A x
∈==
,2|,{}01|2
<-=x
x B ,则=B A Y ( )
A .()1,1-
B .()1,0
C .()+∞-,1
D .()+∞,0
【解析】本题考查的是指数函数的值域,解二次不等式,求两个集合的并集.集合{}R x y y A ∈>=,0|,
集合{}11|<<-=
x x B ,()01,
-=B A Y . 【答案】C
【变式】(17天津理)设集合{
}6,2,1=A ,{}4,2=B ,{}51|≤≤-=x x C ,则()=C B A I Y ( ) A .{}2 B .{
}4,2,1 C .{}6,4,2,1 D .[]5,1- 【解析】本题考查的是三个集合间的并集与交集的求解,前两个集合的表示是列举法,后面的集合的表示是描述法,因此求解时一定要注意结果的表达方式. 【答案】B .
6.【2018年全国Ⅰ卷】已知集合{
}
2
20A x x x =-->,则A =R ð( )
A .{}12x x -<<
B .{}12x x -≤≤
C .}{}{|1|2x x x x <->U
D .}{}{
|1|2x x x x ≤-≥U 【解析】本题考查的是二次不等式的求解,集合的补集的求解两个考点,解二次不等式时要注意 解集的表示,求补集时一定要注意全集的范围.由{
}
2
20A x x x =-->得到
{}21>-<=x x x A 或,在实数范围内的补集为{}21≤≤-=x x A .
【答案】B
【变式】(17北京文)已知全集R U =,集合{}
22|>-<=x x x A 或,则=A C U ( )
A .()2,2-
B .()()+∞-∞-,22,Y
C .[]2,2-
D .(][)+∞-∞-,22,Y 【解析】本题考查的是求集合在实数范围内的补集,可利用数轴来解决. 【答案】C
7.【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则()U A B I ð=( ) A .{}1- B .{}0,1 C .{}1,2,3- D .{}1,0,1,3-
【解析】∵{1,3}U A =-ð,∴()
{1
}U A B =-I ð.故选A. 【答案】A
8.【15浙江理】已知集合{}
02|2≥-=x x x P ,{}21|≤<=x x Q ,则()=Q P C R I ( )
A .()1,0
B .(]2,0
C .()2,1
D .[]2,1
【解析】本题考查的是求集合在实数范围内的补集与另一集合的交集.
20022≥≤≥-x x x x 或,得由,()2,0=P C R ,()()2,1=Q P C R I .
【答案】C
【变式】(16浙江理)已知集合{}31|≤≤∈=x R x P ,{}
4|2
≥∈=x R x Q ,则()=Q C P R Y ( )
A .[]3,2
B .(]3,2-
C .[)2,1
D .(][)+∞-∞-,12,Y 【解析】本题考查的是求集合在实数范围内的补集与另一集合的并集. 【答案】B
9.【17山东理】设函数24y x =
-的定义域为A ,函数()ln 1y x =-的定义域为B ,则A B I =( )
A .()2,1
B .(]2,1
C .()1,2-
D .[)1,2-
【解析】本题考查的是求两集合的交集,但两集合都是与函数的定义域有关的问题,在这里还考查了两类函数的定义域的求解过程. 设函数24x y -=的定义域为A =[]22,-,函数()x y -=1ln 的定义域为B =()1,
∞-.再求两集合的交集即可. 【答案】D
10.【17海南理】已知集合{
}4,2,1=A ,{}
04|2
=+-=m x x x B ,若{}1=B A I ,则=B ( ) A .{
}3,1- B .{}0,1 C .{}3,1 D .{}5,1 【解析】本题考查的是利用集合的交集元素可知的情况下,求出待定参数后再求出集合元素的过程.
若{}
1=B A I ,可知1是集合B 中的一个元素。

将1代入方程042
=+-m x x ,可以求出m=3.
从而可得集合{}034|2=+-=x x x B ,再解方程0342=+-x x ,可得.
【答案】C
1.已知全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ,集合{}6,5,3,2=A ,集合{}7,6,4,3,1=B ,则集合=B C A U I ( )
A .{}5,2
B .{}6,3
C .{}6,5,2
D .{}8,6,5,3,2
【模拟考场】
【解析】本题考查的是在给定全集U 的基础上,求集合B 在全集U 中的补集与集合A 的交集,要求集合中
的元素要不重不漏.
【答案】A
2.设集合{}
034|2
<+-=x x x A ,{}032|>-=x x B ,则=B A I ( )
A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-
-23,3 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,3 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 D .⎪⎭
⎫ ⎝⎛3,23 【解析】本题考查的是解两个不等式及会求集合的交集.
其中0342
<+-x x 的解集为()31
,,032>-x 的解集为2
3
>x .可求两集合的交集. 【答案】D
3.设集合{
}6,2,1=A ,{}4,2=B ,{}4,3,2,1=C ,则()=C B A I Y ( ) A .{}2 B .{
}4,2,1 C .{}6,4,2,1 D .{}6,4,3,2,1 【解析】求三个集合的交并集,要注意不重不漏元素. 【答案】B
4.已知集合{}1|<=x x A ,{}
13|<=x
x B ,则( )
A .{}0|<=x x
B A I B .R B A =Y
C .{}1|>=x x B A Y
D .φ=B A I
【解析】本题考查的是两集合交或并集的正确结果的验证,要想选出正确的选项,前提要先将集合B 的指数不等式的解集求出来,因此先要解指数不等式.13<x
的解集为0<x .四个选项中符合要求的是A.
【答案】A
5.设集合{}22|≤≤-=x x A ,Z 为整数集,则Z A I 中元素的个数是( )
A .3
B .4
C .5
D .6
【解析】本题考查的是集合A 与常用整数集交集中元素的个数,很显然集合A 中的元素要在给定的区间内表示出符合条件的整数,然后再与整数集求交集.
集合{}22|≤≤-=x x A 符合条件的整数为-2,-1,0,1,2.因此Z A I 中元素的个数有5个. 【答案】C
6.已知集合(){}
1|,2
2
=+=y x y x A ,(){}x y y x B ==|,,则B A I 中的元素的个数为( )
A .3
B .2
C .1
D .0
【分析】本题考查的是两个集合交集元素的个数问题,题中给出的两个集合可以看作是两个方程,也可看作是圆与直线间的位置关系.所以解决的方法有两种,一种是两个方程联立判断方程组的解的情况,另一种可以画出两个图形,通过图形来判断直线与圆的位置关系.
【解析】法一:由⎩⎨⎧==+x y y x 122得到⎪⎪⎩

⎪⎨
⎧=
=2
222
y x 或者⎪⎪⎩⎪

⎨⎧-
=-=2
222
y x ,方程组有两个解,因此两集合的交集元素有两个.
法二:由图象可知两集合的交集元素有两个 【答案】B
7.已知全集U =R ,集合{}01234A =,,,,,{}
20B x x x =><或,则图中阴影部分表示的集合 为( )
A .{}0,1,2
B .{}1,2
C .{}3,4
D .{}0,3,4
【解析】∵全集U =R ,集合{}01
234A =,,,,,{}
20B x x x =><或, ∴{}02U B x x =≤≤ð,∴图中阴影部分表示的集合为{}012U A B =I ,,ð,故选A . 【答案】A
8.集合{}
26y y x x ∈=-+∈N N ,的真子集的个数是( ) A .9
B .8
C .7
D .6
【解析】0x =时,6y =;1x =时,5y =;2x =时,2y =;3x =时,3y =-;
∵函数26y x =-+在[)0+∞,上是减函数,
∴当3x ≥时,0y <;{}
{}262,5,6y y x x ∈=-+∈=N N ,,共3个元素, 根据公式可得其真子集的个数为3217-=个,故选C . 【答案】C
9. 【2017年江苏,理1】已知集合{1,2}A =,2{,3}B a a =+,若{1}A B =I ,则实数a 的值为 . 【解析】由题意1B ∈,显然233a +≥,所以1a =,此时234a +=,满足题意,故答案为1 【答案】1
10.已知集合205x A x
x ⎧-⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
,{}
2230,B x x x x =--≥∈R ,则A B =I _________. 【解析】∵集合{}20525x A x
x x x ⎧-⎫
=<=-<<⎨⎬+⎩⎭
,{}
{}2230,13B x x x x x x x =--≥∈=≤-≥R 或, ∴{}51A B x x =-<≤-I ,故答案为(]51--,. 【答案】(]51--,
11.已知集合{}2log |2≤=x x A ,()a B ,∞-=,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是()+∞,c ,其中
=c .
【分析】本题考查的是利用两集合之间的子集关系求待定参数的问题,题中易出现解对数不等式忽略对数函数的定义域问题,还有字母取边界值问题的错误,因此提醒考生要注意. 【解析】由集合{}2log |2≤=x x A 可得40≤<x ,因为B A ⊆,所以4≥a ,即4=c .
【答案】4
12.已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ,且下列三个关系:①2≠a ;②2=b ;③0≠c 有且只有一个正确,则
=++c b a 10100_________.
【分析】此题考查的是利用两集合相等的条件,分别列出a,b,c 所有的取值情况,再判断是否符合条件,再求出a,b,c 的值代入式中求值就可以了.
【解析】由{}{}2,1,0,,=c b a 得a,b,c 所有的取值情况: 当a =0时,b =1,c =2或b =2,c =1,此时不合题意; 当a =1时,b =0,c =2或b =2,c =0,此时不合题意;
当a =2时,b =1,c =0,此时不合题意;
当a=2时,b =0,c =1,此时合题意;
综上得a =2,b =0,c =1,代入=++c b a 10100201
【答案】201。

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