平定县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

平定县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．98
2． 记集合{}
2
2
(,)1A x y x y =+?和集合{}(,)1,0,0B x y x y x
y =+３?表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，
若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ） A ．
12p B ．1p C ．2
p
D ．13p
【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力． 3． 已知命题p ：2≤2，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．￢p B ．￢p ∨q C ．p ∧q D ．p ∨q
4． 在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6． 已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣y 的最小值为（ ）
A ．﹣2
B ．5
C ．6
D ．7
7． 设偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（，1）
B ．（﹣∞，）∪（1，+∞）
C ．（﹣，）
D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） 8． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 9． 在平面直角坐标系中，向量
＝(1，2)，
＝(2，m)，若O ，A ，B 三点能构成三角形，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知条件p ：x 2+x ﹣2＞0，条件q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1
D ．a ≤﹣3
11．已知集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则集合A ∪B=（ ）
A ．{5，8}
B ．{4，5，6，7，8}
C ．{3，4，5，6，7，8}
D ．{4，5，6，7，8}
12．已知函数f （x ）=31+|x|﹣，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．（﹣，）
D ．
二、填空题
13．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ．
14．如图所示是y=f （x ）的导函数的图象，有下列四个命题： ①f （x ）在（﹣3，1）上是增函数； ②x=﹣1是f （x ）的极小值点；
③f （x ）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数； ④x=2是f （x ）的极小值点．
其中真命题为 （填写所有真命题的序号）．
15．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．
16．已知f （x ）
=，x ≥0，若f 1（x ）=f （x ），f n+1（x ）=f （f n （x ）），n ∈N +，则f 2015（x ）的表达式为 ．
17．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
18．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，则= ．
三、解答题
19．已知集合A={x|
＞1，x ∈R}，B={x|x 2
﹣2x ﹣m ＜0}．
（Ⅰ）当m=3时，求；A∩（∁R B）；
（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．
20．已知函数f（x）=在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）
（1）求m和t的值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
21．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷体育迷合计
男
女
总计
（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．
附：K2=
P （K 2≥k 0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024
6.635
7.879 10.83
22．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，边7
2
c =
，且
tan tan tan 3A B A B +=-ABC ∆的面积为2
ABC S ∆=
，求a b +的值．
23．设函数f （x ）=lnx ﹣ax+
﹣1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f （x ）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=时，求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g （x ）=x 2
﹣2bx ﹣
，若对于∀x 1∈[1，2]，∃x 2∈[0，1]，使f （x 1）≥g （x 2）
成立，求实数b 的取值范围．
24．已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）．
（1）若函数y=f（x）的零点为﹣1和1，求实数b，c的值；
（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b的取值范围．
平定县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
又f（x）在R上是奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，
故选A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．
2．【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心，1为半径的圆及其内部，Ω2表示OAB
D及其内部，
由几何概型得点M落在区域Ω2内的概率为
1
1
2
P==
p2p
，故选A.
3．【答案】D
【解析】解：命题p：2≤2是真命题，
方程x2+2x+2=0无实根，
故命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0是假命题，
故命题￢p，￢p∨q，p∧q是假命题，
命题p∨q是真命题，
故选：D
4．【答案】C
【解析】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，
过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，显然当弦为CD时就是△BCD的边长，
要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，
记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，
由几何概型概率公式得P（A）=，
即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．
故选C．
【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是找到事件A对应的集合，利用几何概型公式解答．5．【答案】B
【解析】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，
∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，
∴|PF|=2+1=3．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．
6．【答案】A
【解析】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，
由得A（3，5），
当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，
即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．
故选A．
7．【答案】A
【解析】解：因为f（x）为偶函数，
所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）
又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，
即（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，
所以x的取值范围是（，1），
故选：A．
8．【答案】B
【解析】【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。

故答案为：B
9．【答案】B
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若O，A，B三点能构成三角形，则O，A，B三点不共线。

若O，A，B三点共线，有：-m=4，m=-4．
故要使O，A，B三点不共线，则。

故答案为：B
10．【答案】A
【解析】解：∵条件p：x2+x﹣2＞0，
∴条件q：x＜﹣2或x＞1
∵q是p的充分不必要条件
∴a≥1
故选A．
11．【答案】C
【解析】解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
∴A∪B={3，4，5，6，7，8}．
故选C
12．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=31+|x|﹣为偶函数，
当x≥0时，f（x）=31+x﹣
∵此时y=31+x为增函数，y=为减函数，
∴当x≥0时，f（x）为增函数，
则当x≤0时，f（x）为减函数，
∵f（x）＞f（2x﹣1），
∴|x|＞|2x﹣1|，
∴x2＞（2x﹣1）2，
解得：x∈，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．二、填空题
13．【答案】34 5
【解析】
考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.
14．【答案】①
【解析】解：由图象得：f（x）在（1，3）上递减，在（﹣3，1），（3，+∞）递增，
∴①f（x）在（﹣3，1）上是增函数，正确，
x=3是f（x）的极小值点，②④不正确；
③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数，不正确，
故答案为：①．
15．【答案】．
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y=k（x﹣1），
由，消去x得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，
消去y
得k2=3，解之得k=±．
2
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
16．【答案】．
【解析】解：由题意f1（x）=f（x）=．
f2（x）=f（f1（x））=，
f3（x）=f（f2（x））==，
…
f n+1（x）=f（f n（x））=，
故f2015（x）=
故答案为：．
17．【答案】BC
【解析】
【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离
d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集
合，
A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；
C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；
D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，
故本命题不正确．
故答案为：BC．
18．【答案】．
【解析】解：∵函数f（x）=sinx﹣cosx=sin（x﹣），
则=sin（﹣）=﹣=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）当m=3时，由x2﹣2x﹣3＜0⇒﹣1＜x＜3，
由＞1⇒﹣1＜x＜5，
∴A∩B={x|﹣1＜x＜3}；
（2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，
∵A=（﹣1，5），
∴4是方程x2﹣2x﹣m=0的一个根，
∴m=8，
此时B=（﹣2，4），满足A∩B=（﹣1，4）．
∴m=8．
20．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=，
由题意可得，f（）=，f′（）=，
即=，且=，
由m∈N，则m=1，t=8；
（2）设h（x）=ax+﹣，x≥．
h（）=﹣≥0，即a≥，
h′（x）=a﹣，当a≥时，若x＞，h′（x）＞0，①
若≤x≤，设g（x）=a﹣，
g′（x）=﹣＜0，g（x）在[，]上递减，且g（）≥0，
则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②
由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=≥0，
则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立；
当a＜时，h（）＜0，不合题意．
综上可得a≥．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：
非体育迷体育迷合计
男30 15 45
女 45 10 55 总计
75 25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K 2
的观测值为：k=
=
≈3.030．
∵3.030＜3.841， ∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）}，其中a i （i=1，2，3）表示男性，b j （j=1，2）表示女性．
设A 表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A 包括7个基本事件：（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）．
∴P （A ）=
．
【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】112
． 【解析】
试
题解析：由tan tan tan 3A B A B +=-
可得
tan tan 1tan tan A B
A B
+=-tan()A B +=
∴tan()C π-=tan C -=tan C =∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
又ABC ∆的面积为ABC S ∆=
1sin 2ab C =，即12ab =6ab =.
又由余弦定理可得222
2cos c a b ab C =+-，∴2227()2cos 23
a b ab π=+-，
∴22227()()32
a b ab a b ab =+-=+-，∴2
121()4a b +=，∵0a b +>，∴11
2
a b +=.1 考点：解三角形问题．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题． 23．【答案】
【解析】解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞），（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=lnx ﹣x ﹣1，∴f （1）=﹣2，，
∴f ′（1）=0，∴f （x ）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分）
（Ⅱ）
=
（6分）
令f ′（x ）＜0，可得0＜x ＜1，或x ＞2；令f'（x ）＞0，可得1＜x ＜2
故当
时，函数f （x ）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）.
（Ⅲ）当
时，由（Ⅱ）可知函数f （x ）在（1，2）上为增函数，
∴函数f （x ）在[1，2]上的最小值为f （1）=
（9分）
若对于∀x 1∈[1，2]，∃x 2∈[0，1]使f （x 1）≥g （x 2）成立，等价于g （x ）在[0，1]上的最小值不大于f （x ）在（0，
e]上的最小值（*） （10分）
又
，x ∈[0，1]
①当b ＜0时，g （x ）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾
②当0≤b ≤1时，，由
及0≤b ≤1得，
③当b ＞1时，g （x ）在[0，1]上为减函数，，
此时b ＞1（11分）
综上，b 的取值范围是
（12分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵﹣1，1是函数y=f（x）的零点，∴，解得b=0，c=﹣1．
（2）∵f（1）=1+2b+c=0，所以c=﹣1﹣2b．
令g（x）=f（x）+x+b=x2+（2b+1）x+b+c=x2+（2b+1）x﹣b﹣1，
∵关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，
∴，即．解得＜b＜，
即实数b的取值范围为（，）．
【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系，零点的存在性定理，属于中档题．。