高中数学 3.2.2 均匀随机数的产生习题课 新人教A版必修3(1)

【学案导学设计】2014-2015学年高中数学 3.2.2 均匀随机数的产
生习题课 新人教A 版必修3
【明目标、知重点】
1．进一步了解频率与概率的区别，了解概率的意义． 2．加深对互斥事件、对立事件的意义及其运算公式的了解． 3．理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法求概率． 【忆要点、固基础】
1．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 ( )
A ．0.5
B ．0.3
C ．0.6
D ．0.9
答案 A
解析 依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是
( ) A.16
B.1
3
C.1
2
D.23
答案 B
解析 由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为
22
66＝13
. 3．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________． 答案 34
解析 从长度为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成三角形的有(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)三种，故所求概率为P ＝34
.
4．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )
＝12，P (B )＝1
6，则出现奇数点或2点的概率为________． 答案 23
解析 因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝2
3.
5．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，
则摸出1个黑球、1个白球事件的概率是________． 答案 1
2
解析 摸出2个球，基本事件的总数是6.其中“1个黑球，1个白球”所含事件的个数是3，故所求事件的概率是P ＝36＝1
2.
【探题型、提能力】
题型一 随机事件的频率与概率
例1 某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门
对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
解 (1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
反思与感悟 随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率m
n
总是接近于常数P (A )，称P (A )为事件A 的概率．
跟踪训练1 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题.
(2)该油菜子发芽的概率约是多少？
解(1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.
(2)该油菜子发芽的概率约为0.879.
题型二互斥事件的概率
例2 某射击运动员射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16.
计算这名运动员射击一次：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数不超过7环的概率．
解记“射中10环”为事件A，“射中9环”为事件B，“射中8环”为事件C，“射中7环”为事件D.
则事件A、B、C、D两两互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16.
(1)∵射中10环或9环为事件A＋B，
∴由概率加法公式得
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52.
(2)∵至少射中7环的事件为A＋B＋C＋D，
∴P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.
(3)记“射中环数不超过7环”为事件E，
则事件E的对立事件为A＋B＋C.
∵P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.24＋0.28＋0.19＝0.71，
∴P(E)＝1－P(A＋B＋C)＝1－0.71＝0.29.
反思与感悟求互斥事件的概率的方法有以下两种：
(1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事
件的求和公式计算．
(2)间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向
思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目用间接求法更简洁．
跟踪训练2 下表为某班英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的学生共5人．设x、y 表示英语成绩和数学成绩.
(1)x ＝4x ≥3的基础上y ＝3同时成立的概率是多少？ (2)x ＝2的概率是多少？a ＋b 的值是多少？ 解 (1)P (x ＝4)＝1＋0＋7＋5＋150＝7
25
；
P (x ＝4，y ＝3)＝7
50
，
P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)
＝
2＋1＋0＋9＋350＋725＋1＋3＋1＋0＋150＝7
10
.
当x ≥3时，有7
10×50＝35(人)，
∴在x ≥3的基础上，y ＝3有8人． ∴在x ≥3的基础上P (y ＝3)＝8
35.
(2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3) ＝1－110－710＝15
.
又∵P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝1
5，
∴a ＋b ＝3. 题型三 古典概型的概率
例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．
从中选出的2名教师性别相同的结果为(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为4
9
.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，
E )，(D ，
F )，(E ，F )，共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝2
5
.
反思与感悟 解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解．
跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．
(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数； (2)从中一次任取出2只，求2只都是正品的概率．
解 (1)将灯泡中2只正品记为a 1，a 2,1只次品记为b 1，则第一次取1只，第二次取1只，基本事件总数为9个，(a 1，a 2)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)
①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，共4个基本事件；
②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，
a 1)，(
b 1，a 2)，共4个基本事件．
(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即a 1a 2，a 1b 1，a 2b 1，“2只都是正
品”的基本事件数是1，所以其概率为P ＝1
3.
题型四 古典概型概率的综合应用
例4 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，
测得身高情况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝35
70＝0.5.故由f
估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率p ＝0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥. 从上述6人中任选2人的树状图为
故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率p 2＝915＝3
5.
跟踪训练4 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x 依次为1,2,3,4,5.现从一
批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
x 1 2 3 4 5
(1)若所抽取的205的恰有2件，求a ，b ，c 的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
解 (1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35. 因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝3
20＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c ＝2
20＝0.1.从而a ＝0.35－b －c ＝0.1，
所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.
(2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}，即基本事件的总数为10.
设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个．故所求的概率P (A )＝4
10
＝0.4. 反思与感悟 一些古典概型问题经常涉及统计的简单知识，在与分层抽样、样本平均数、方差等知识交汇处命制．解答该类问题的关键是用列举法计算随机事件所包含的基本事件数． 【呈重点、现规律】
1．概率的一般加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )．
公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A ＋B 的概率，当AB ＝∅时，A 、B 互斥，此时
P (AB )＝0，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；(2)要计算P (A ＋B )，需要求P (A )、P (B )，更
重要的是把握事件AB ，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一． 2．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A 中的基本事件，利用公式P (A )＝
A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数
求出事件A 的概率．这是一个形象、直观的好方
法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．
3．事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.
因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．。