同济大学线性代数课件第四章

, m
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已知 : ( 1 , 1 , 1 ) , ( 0 , 2 , 5 ) , ( 2 , 4 , 7 ) 例2: 1 2 3
试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
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b1 b2 bm
a11 a 21 记 A a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
x1 x2 x x n
b1 b2 b b m
R( A) R( A, B )
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定理3: 向量组 B : 1 , 2 ,
, l 能由 A : 1 , 2 ,
, m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。 其中 A (1 , 2 , , m ), B ( 1 , 2 , , l )
§1 向量组及其线性组合
定义1：n 个数 a1 , a2 ,
, an 所组成的有序数组
称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。
这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。
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a1 a 2 (a1 , a2 an
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A : 1 , 2 ,
, m B : 1 , 2 ,
, l B 能由 A 线性表示
j k1 j1 k2 j2
kl jl j 1,2,
,l
( 1 , , l ) (k111 km1 m , , k1l1 kml m )
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若 A 1 , 2 ,
a1 j a2 j , n , 其中 j a mj
则方程组的向量表示为
x11 x2 2
xn n b
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定理1: 向量 b可由向量组 1 , 2 , , m 线性表示
所以，b a1 2a2
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a11 x1 a12 x 2 a x 21 1 a 22 x 2 a m 1 x 1 a m 2 x 2

a1n x n a 2n x n a mn x n

解方程组 x1a1 x2a2 x3a3 b 既解方程组
2 x1 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 3 x x 2 x 3 2 3 1
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得
x1 x2 x 3
1 1 c 1 2 1 0
20
解：设 x11 x2 2 x3 3 0 1 0 2 0 即 x1 1 x2 2 x3 4 0 1 5 7 0
1 0
系数行列式 1
称为 R3 中的一个平面。
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例. n 维向量的全体所组成的集合
R { ( x1 , x2 , , xn ) | x1 , x2 , , xn R }
n T
称为 n 维Euclid空间。 集合
{ ( x1 , x2 , , xn ) | a1 x1 a2 x2 an xn b }
, km , 表达式
km m
k11 k2 2
k1 , k2 ,
称为向量组 A的一个线性组合，
, km 称为线性组合的系数。
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定义2：设向量组 A : 1 , 2 ,
, m , 和向量 b
若存在一组实数 1 , 2 ,
m ,
m m
使得 b 11 2 2
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" " R( K ) 3 设 x1 1 x2 2 x3 3 0 ，x ( x1 , x2 , x3 )
则 (1 , 2 , 3 ) Kx ( 1 , 2 , 3 ) x x11 x2 2 x3 3 = 0
证： " " 1 , 2 , 3 线性无关。 设 Kx = 0 ，其中 x ( x1 , x2 , x3 )

则 x11 x2 2 x3 3 ( 1 , 2 , 3 ) x (1 , 2 , 3 ) Kx = 0 故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3
1
定理5-2：m个n维向量(m > n)构成的向量组一定线性相关. 特别地, n+1个n维向量线性相关. 定理5-3：向量组 A : 1 , 2 , , m 线性无关, 向量组
B : 1 , 2 ,
, m , b
线性相关,
则 b 能由向量组A线性表示，且表示式唯一.
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m×n 阵 A 的 列向量组: A (a1 , a2 ,, an )
1T T 2 A T m
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行向量组:
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§2 向量组的线性相关性
定义1：设向量组 A : 1 , 2 ,
, m , 及一组实数
k1 , k2 ,
例4：已知向量 1 , 2 , 3 线性无关，向量 1 , 2 , 3 可以由向量 1 , 2 , 3 线性表示，并且
( 1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 ) K
证明： 1 , 2 , 3 线性无关的充要条件是 R(K) = 3
, m 的秩也记作 R(1 , 2 ,
, m )
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注: （1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0 。 （2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。 （3）向量组的最大无关组一般不是唯一的。 （4）向量组 A能由A0线性表示。
则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合， 或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。
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例如：
2 1 1 0 a1 1 , a2 2 , a3 1 , b 3 1 1 2 3 则 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示.
又 1 , 2 , 3 线性无关，
故 Kx = 0 ，而 R(K) = 3，于是 x = 0 ，
即 1 , 2 , 3 线性无关
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例5：已知向量 1 , 2 , 3 线性无关， 证明：向量 1 1 2 , 2 2 3 , 3 1 3 线性无关。
§3 向量组的秩
定义1:
设 A为一个向量组，A的部分组 A0 : 1 , 2 , （i） A0 : 1 , 2 ,
, r 满足：
, r 线性无关,
（ii）A的任意向量都可由A0线性表示.
那么称部分组 A0 为向量组 A的一个最大线性无关组，
简称最大无关组, r 称为向量组 A的秩，记作RA 向量组 A : 1 , 2 ,
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定理4: n 维向量组 1 , 2 ,, m 线性相关
Ax 0 有非零解,其中A 1 , 2 ,, m R( A) m Ax 0 只有零解, 其中 A 1 , 2 ,
R( A) m
推论： n 维向量组 1 , 2 ,, m 线性无关
Ax b 有解，其中 A ( , , , ) 1 2 m R( A) R( A, b)组 A : 1 , 2 ,
, m 及 B : 1 , 2 ,
, l
若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。 若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价。
T
称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。
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例. 非齐次线性方程组 Ax b 的解集合
S { x | Ax b}
齐次线性方程组 Ax 0 的解集合
S { x | Ax 0}
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同一维数的列向量 (或行向量) 所组成的集合 称为向量组。
(4) 向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一
个向量可由其余向量线性表示。
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定理5-1：若向量组
A : 1 , 2 , , m 线性相关， 则向量组 B : 1 , 2 , , m , m1 也线性相关。
则向量组
推论： 若向量组 B :
, 2 , , m , m1 线性无关， A : 1 , 2 , , m 也线性无关。
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
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定义4：设向量组 A : 1 , 2 ,
使得 11 2 2
,m , , m , m m 0
若存在不全为零实数 1 , 2 , 则称向量组 A 线性相关. 否则称向量组A 线性无关.
an )T 称为列向量。
(a1 , a2 ,
, an )
称为行向量。
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例. 3 维向量的全体所组成的集合
R 3 { ( x , y , z )T | x , y , z R }
通常称为 3 维Euclid几何空间。 集合
{ ( x, y, z )T | ax by cz d }
k11 k1l (1 , , m ) k k ml m1
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定理2: 向量组 B : 1 , 2 , 线性表示
, l 能由 A : 1 , 2 ,
, m


AX B 有解，其中 A (1 , 2 , , m ) B ( 1 , 2 , , l )
2
2 4 0
1 5 7
齐次线性方程组有非零解，所以向量 1 , 2 , 3 线性相关 向量 1 , 2 对应分量不成比例，所以线性无关。
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例3: n维向量
e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1


讨论它们的线性相关性.
解: E e1 , e2 ,
, en
结论: 线性无关 问题: n=3时, e1 , e 2 , e 3 分别是什么？ 上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
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一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例; (3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
1 0 1 证： 因 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 1 1 0 0 1 1 1 0 1 R 1 1 0 3 故 1 , 2 , 3 线性无关。 0 1 1
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