小学工程问题归纳及经典练习题

解工程问题的方法
工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。

这三者之间的关系是:
工作效率×工作时间=工作量
工作量÷工作时间=工作效率
工作量÷工作效率=工作时间
根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量,就可求出第三种量。

由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类.在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。

解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。

在分数工程问题中，工作量是未知数量。

解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。

一、工作总量是具体数量的工程问题
例1 建筑工地需要1200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要10天。

两队合运需要多少天?（适于四年级程度)
解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间.先根据“工作量÷工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。

再根据两队工作效率的和及总工作量,利用公式“工作量÷工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。

甲车队每天运的吨数:（甲车队工作效率）
1200÷15=80（吨）
乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）
1200÷10=120(吨）
两个车队一天共运的吨数:
80+120=200（吨）
两个车队合运需用的天数：
1200÷200=6(天）
综合算式：
1200÷（1200÷15+1200÷10）
=1200÷（80+120）
=1200÷200
=6（天）
答略。

＊例2 生产350个零件，李师傅14小时可以完成.如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成。

如果小王单独做这批零件，需多少小时？（适于四年级程度)
解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的.
李师傅1小时可完成：
350÷14=25（个）
由“如果李师傅和他的徒弟小王合作,则10小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：
350÷10=35（个）
小王单独工作一小时可完成：
35—25=10（个）
小王单独做这批零件需要:
350÷10=35（小时)
综合算式：
350÷(350÷10—350÷14）
=350÷(35—25
=350÷10
=35(小时）
答略。

*例3 把生产2191打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。

甲组每小时生产毛巾128打,乙组每小时生产毛巾160打。

乙组生产2小时后，甲组也开始生产。

两组同时完工时超产1打。

乙组生产了多长时间？（适于四年级程度）
解：两组共同生产的总任务是：
2191-160×2+1=1872（打）
两组共同生产的时间是:
1872÷(160+128)=6.5（小时)
乙组生产的时间是:
6。

5+2=8。

5（小时）
综合算式：
(2191—160×2+1)÷（160+128)+2
=1872÷288+2
=6。

5+2
=8。

5（小时）
答略。

练习题：
1、筑路队疾患修筑一条长2400米的公路，甲队单独做需要20天完成，乙队单独需要30天完成。

如果两队同时开工共同修筑，只需几天就可以完成?
2、甲、乙两个工程队合修一条长42千米的水泥路,甲队每天修0.5千米，比乙队的2倍多0.1千米.
（1）乙队每天修多少千米？
（2）两队合修多少天可以修完？
3、红星服装厂计划生产2800套夏季学生服，已经生产了5天，每天生产80套，剩下的20天完成，平均每天要生产多少套？
4、王师傅加工一种零件,由原来的每个用12分钟降低到每个8分钟，原来每天加工300个，现在每天加工多少个？
5、用两台机器生产108个齿轮。

第一台4.5小时能生产18个，第二台1。

6小时能生产8个。

两台机器一同生产一段时间以后，还剩45个。

两台机器一同生产了多少小时？
综合算式：
答略.
二、工作总量不是具体数量的工程问题
工程问题方法总结
一：基本数量关系：
工效×时间=工作总量
二：基本特点：
设工作总量为“1”,工效=1/时间
三:基本方法:
算术方法、比例方法、方程方法。

四:基本思想：
分做合想、合做分想.
五：类型与方法:
一：分做合想:1.合想，2.假设法,3。

巧抓变化（比例),4.假设法。

二：等量代换:方程组的解法→代入法，加减法。

三：按劳分配思路:每人每天工效→每人工作量→按比例分配
四：休息请假：
方法：1.分想：划分工作量.2。

假设法：假设不休息。

五：休息与周期：
1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。

2.。

天数：①近似天数，②准确天数.
3.列表确定工作天数。

六：交替与周期：估算周期，注意顺序！
七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水,3。

注满或溢出.
八:工效变化。

九：比例：1.分比与连比，2。

归一思想，3.正反比例的运用,4。

假设法
思想(周期）。

十：牛吃草问题：1。

新生草量,2。

原有草量,3。

解决问题。

工程问题 当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也就是知道了所需的时间比。

因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些。

两个人的问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体. （一）两个人的问题 例1．1 一件工作，由A 做20天完成，B 做15天完成。

（1)两队合做5天可以完成工程的几分之几？（2）两队合做6天，还剩下工程的几分之几？（3）两队合做几天完成?
解：（1）12
75)151201(=⨯+ （2）10
36)151201(1=⨯+- （3）)(7
48760)151201(1天==+÷ 答：（1)两队合做5天可以完成工程的12
7。

（2）两队合做6天，还剩下工程的103。

(3）两队合做87
4天完成。

【解析】
此题是工作效率问题.A 用20天完成，总工程是“1 "，所以甲队的工作效
率是201201=÷，乙对的工作效率是15
1151=÷。

问题(1）要求完成的工程量，用工作效率×工作时间;
问题（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量“1”减去已做工程量;
问题（3）要求完成时间，用总工程量“ 1”÷总工效。

例1.2、一工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲、乙做了3天,余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作?
解：（1）6
13)6191(1=⨯+- （2))(16
161天=÷ 答:乙需要做1天可以完成全部工作。

【解析】
要解决此题,就要清楚此工程的过程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是甲和乙一起做，之后转由乙单独完成,求的是乙单独完成剩下的工作时间。

总工程是“1 ”，就可以知道：甲的工作效率是9
191=÷，乙对的工作效率是6
161=÷。

求乙单独完成剩下的工作时间，还需要知道乙的工作总量，乙的工作总量=1—甲乙一起3天做的工作量。

甲和乙3天的工作总量:工作效率×工作时间＝工作总量
3)6
191(⨯+, 剩下：
6
13)6191(1=⨯+- 乙完成剩下的工作时间:利用工作总量÷工作效率＝工作时间 )(16
161天=÷
练习一
1、 一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做16天完成.甲、乙两队合做,多少天可以完成？（适于六年级程度）
解：把这项工程的工作总量看作1。

甲队单独做24天完成,做1天完成
答略.
2、一项工程，由甲工程队修建需要20天,由乙工程队修建需要30
解:把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20天,知甲工
3、一项工程，甲、乙合做5天可以完成，甲单独做15天可以完成。

乙单独做多少天可以完成?（适于六年级程度）
解：把这项工程的工作量看作1。

甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合
需要多长的时间.
=7。

5(天）
答:乙单独做7.5天可以完成.
例2.1 :一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。

现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作?
解一:把这件工作看作1,甲每天可完成这件工作的九分之一,做3天完成的1/3.
乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-1/3)÷1/6=4(天）
答：乙需要做4天可完成全部工作.
解二:9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
(18— 2 × 3）÷ 3= 4（天）.
解三：甲与乙的工作效率之比是
6∶ 9= 2∶ 3。

甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4(天）.
练习二
1、一项工程，甲独做需15天，乙独做需12天,现在甲乙合作若干天后，乙再接着做3天，就完成了全部工程，问甲乙合作了多少天?
2、一项工程，甲队单独做需20天完成，如果甲乙合作12天可以完成，如果乙队单独做,多少天可以完成？
●例3.1：一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
解:共做了6天后，
原来，甲做24天，乙做24天，
现在，甲做0天，乙做40=（24+16)天。

这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做，所需时间是50天
如果甲独做，所需时间是75天
答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
练习三
1、甲乙两人合作生产一批零件,6天可以完成任务，甲先做5天，因有事外出，这时只完成任务的错误!,如果接下来由乙完成，还需要多少天?
2、一批零件,先由20人生产了10天完成任务的错误!，余下的工程要提前10天完成，还要增加多少人？
3、甲乙二人合作一批零件需20天,甲比乙多做了这批零件的1/9,甲单独做需多少天完成？
4、一项工程,甲乙两队需10天完成，甲乙两队合作了几天,因乙队有事调离，由甲队又干了8天,又知甲队独做需20天完成，问甲、乙两队合干了多少天?
例4。

1：一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成。

现在两队合作，其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
解一:甲队单独做8天，乙队单独做2天,共完成工作量
余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是
2+8+ 1= 11（天).
答:从开始到完工共用了11天.
解二:设全部工作量为30份。

甲每天完成3份，乙每天完成1份。

在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作
(30— 3 × 8- 1× 2）÷(3+1)= 1（天）.
解三：甲队做1天相当于乙队做3天.
在甲队单独做8天后,还余下（甲队) 10—8= 2(天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队)6—2=4(天）工作量。

4=3+1,
其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天。

解四：
方法：分休合想(题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息。

)甲队每天工作量为1/10,乙为1/30，因为甲休息了2天,而乙休息了8天,因为8>2，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。

那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量为1-6/10=4/10,而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作：（4/10)÷（1/10+1/30)=3天.所以从开始到完工共需：8+3=11（天)
●例4.2：一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天。

问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是(1÷20）×16+（1÷30)×16=4/3
由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3
乙队休息期间未做的工作量是
1/3-1/20×3=11/60
乙队休息的天数是11/60÷（1/30）=11/2
答:乙队休息了5天半.
解二：设全部工作量为60份。

甲每天完成3份，乙每天完成2份。

两队休息期间未做的工作量是
（3+2）×16- 60= 20（份）。

因此乙休息天数是
(20— 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.
解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.
甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天。

如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5。

5（天）.
练习四
1、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。

现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）。

问开始到完工共用了多少天时间？
2、加工一批零件，甲单独做20天完成,乙单独做30天完成，现在两人合作完成，中间甲休息了2.5天，乙休息了若干天（两人没有同事休息一天),这样共用14天完工，问乙休息了多少天？
3、一件工作，甲单独做需要12天完成,乙单独做需要10天完成，现在甲乙合作8天完成任务，已知这段时间甲休息了2天看,那么乙休息了多少天？
4、一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要8天完成，现在两人合作，中途休息了2天，乙没有休息，完成这件工程共用了多少天?
例题5一项工程，甲、乙两队合作15天完成,若甲队做5天，乙队做3天,只能完成工程的错误!，乙队单独完成全部工程需要几天？
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是错误!，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解,然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天,乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量错误!－错误!×3＝错误!，从而求出甲队的工作效率。

所以1÷【错误!－（错误!－错误!×3）÷（5－3）】＝20（天）
答：乙队单独完成全部工程需要20天.
练习五
1、师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。

师傅先做了3天，因事外出，
由徒弟接着做1天，共完成任务的错误!.如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成?
2、某项工程,甲、乙合做1天完成全部工程的错误!。

如果这项工程由甲队独做
2天，再由乙队独做3天,能完成全部工程的错误!。

甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
3、甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。

先由甲队独做8天，再由乙队独
做12天，还剩这项工程的错误!。

甲、乙两队独做各需几天完成？
例题6
一项工程,甲队独做12天可以完成。

甲队先做了3天，再由乙队做2天,则能完成这项工程的错误!。

现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做.做完后发现两段所用时间相等。

求两段一共用了几天？
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是:（错误!－错误!×3）÷2＝错误!；
再由条件“做完后发现两段所用时间相等"的题意，可组合成由两
个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。

（1）乙队每天完成这项工程的
（错误!－错误!×3)÷2＝错误!
（2）两段时间一共是
1÷(错误!×2+错误!）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。

练习六
1、一项工程，甲队独做15天完成。

若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项
工程的错误!.现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。

做完后发现，两段时间相等。

这两段时间一共是几天？
2、一项工程，甲、乙合做8天完成.如果先让甲独做6天,再由乙独做，完成任务
时发现乙比甲多了3天。

乙独做这项工程要几天完成？
3、某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。

这件工作
先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。

终于完成了这一工作.问总共用了多少天？
（二）、多人的工程问题
例1.一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、
丙两人合作要60天完成，问甲一人独做需要多少天完成?
解:30
12)601451361(=÷++ 90)45
1301(1=-÷(天） 60)60
1301(1=-÷(天) 180)36
1301(1=-÷（天） 答：独做完成，甲需90天，乙需60天，丙需180天。

【解析】
此题有别与以上3题，是要对工作效率更深刻的理解，寻找数学量之间的关
系。

1、有一项工程,甲队独做需8天，乙队独做需10天，丙队独做需20天，现在由
丙队先独做9天后,再由甲乙合作，问再需多少天可以完成？
2、一项工程，甲乙两人合作8天完成，乙丙两人合作9天完成，甲丙两人合作
18天完成，如果丙一人来做，完成这项工程需要多少天？
3、一项工程,甲乙两人合作8天完成，乙丙两人合作6天完成，丙丁两人合作12
天完成，那么甲丁两人合作多少天可以完成?
4、一项工程,甲乙两人合作6天完成，乙丙两人合作9天完成,甲丙两人合作
15天完成，现在甲乙丙三人合作需多少天?
5、生产一批零件，甲乙两人合作12小时完成，乙丙两人合作15小时完成，甲
丙两人合作20小时完成，现在甲乙丙三人合作需多少小时？
6、某工程如果由甲乙丙合作18天完成，有乙丙丁队合作15天完成，由甲乙丁队合作12天完成，有甲丙丁队合作20天完成,由甲队单独做需要多少天完成？
例题2.
一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。

如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时,可以完成这项工作的错误!；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时,也可以完成这项工作的错误!.如果由甲、丙合做，需几小时完成?
【思路导航】将条件“甲工作6小时后,乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的错误!”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成
这项工作的错误!"，则求出甲的工作效率.同理,运用“组合法”再求
出丙的工作效率.
甲每小时完成这项工程的几分之几
（错误!－错误!×2）÷（6－2）＝错误!
丙每小时完成这项工程的几分之几
(错误!－错误!×3)÷（6－3)＝错误!
甲、丙合做需完成的时间为:
1÷（错误!+错误!）＝7错误!（小时）
答:甲、丙合做完成需要7错误!小时。

练习二
1、一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。

如果甲做4小时后，乙、
丙合做2小时，可以完成这项工作的错误!;如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时,可以完成这项工作的错误!。

这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成?
2、一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。

现在先
由甲、乙、丙合做3天后,余下的乙再做6天则可以完成。

乙独做这项工程要几天就可以完成？
3、一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。

现在甲、
乙、丙三队合做4天后,余下的工程由乙队独做5错误!天完成.乙队单独做这项工程需多少天可以完成？
4、一件工作,甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。

现在由甲、丙
合做2小时后，余下的由乙6小时完成.乙独做这件工作需几小时才能完成?
例题3：
一条公路,甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。

先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。

如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成?
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成"组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独
修了7天才全部完成。

”就可以求出丙队的工作效率。

丙队每天修这条公路的
【1－(错误!+错误!）】×（4+7）＝错误!
三队合修完成时间为
1÷(错误!+错误!+错误!）＝10(天）
答：10天可以完成。

练习三
1、一件工作，甲单独做12小时完成.现在甲、乙合做4小时后,乙又用6小时
才完成.这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
2、一条水渠，甲队独挖120天完成,乙队独挖40天完成.现在两队合挖8天,剩
下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。

这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成?
3、一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。

如果甲、
丙合做3天后,由乙单独做，还要9天才能完成.如果全部工作由3人合做,需几天可以完成？
4、一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，
两队又合做了12天。

这时甲队调走,乙队又继续做了15天才完成。

甲队独做这项工程需要多少天?
综合练习
1、一项工程，甲、乙两人合做，10天完成；乙、丙两人合做，15天完成；甲、丙两人合做，18天完成。

甲、乙、丙独做，各需多少天完成？
2、一项工作，甲单独做8小时完成。

现在甲、乙合做3小时后,乙又用5小时才完成.这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成。

3、一项工程,甲、乙合做8天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。

现在先由甲、乙、丙合做2天后,余下的乙再做4天则可以完成.乙独做这项工程要几天就可以完成?
4、一项工作，甲、乙、丙三人合做4小时可以完成。

甲工作3小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的;如果甲、乙合做1小时后,丙做4小时,也可以完成这项工作的.如果由甲、丙合做,需几小时完成？。