2022届海南省三亚市高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析

2022届海南省三亚市高二第二学期数学期末学业质量监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,
a b a b a b +=+=+=则1010a b +=（）
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
【答案】C
【解析】
试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即1010123a b += 考点：归纳推理
2．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线20x y -=上，则3sin()2cos(5)2sin()sin()2
πθπθπθπθ++-=---（ ）
A ．3
B ．3-
C ．0
D ．13 【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线斜率与倾斜角的关系求出tanθ的值，原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanθ的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：由已知可得，tanθ＝2， 则原式231cos cos cos sin tan θθθθθ
---===--1． 故选A ．
【点睛】
此题考查了诱导公式的作用，三角函数的化简求值，以及直线斜率与倾斜角的关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
3．如图，在正方形OABC 内任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ）
A．1
4
B．
1
3
C．2
5
D．
3
7
【答案】B
【解析】
【分析】
由定积分的运算得：S阴
1
=⎰（1x
-）dx＝（x
2
3
2
3
x
-）1
1
|
3
=，由几何概型中的面积型得：P（A）
1
1
3
13
S
S
===
阴
正方形
，得解．
【详解】
由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），
由定积分的定义可得：S阴
1
=⎰（1x
-）dx＝（x
3
2
2
3
x
-）1
1
|
3
=，
设“点M恰好取自阴影部分内”为事件A，
由几何概型中的面积型可得：
P（A）
1
1
3
13
S
S
===
阴
正方形
，
故选B．
【点睛】
本题考查了定积分的运算及几何概型中的面积型，考查基本初等函数的导数，属基础题
4．如图，在菱形ABCD中，60
BAD
∠︒
＝，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现将ABD
△绕对角线BD旋转，令二面角A－BD－C的平面角为α，则在旋转过程中有（）
A ．EFK ∠≤α
B ．EFK ∠≥α
C ．EDK ∠≤α
D ．EDK ∠≥α
【答案】B
【解析】
【分析】 首先根据旋转前后的几何体，表示E FK ∠'和α，转化为在两个有公共底边的等腰三角形比较顶角的问题，还需考虑180α=和0α=两种特殊情况.
【详解】
如图，
DEF ∆绕BD 旋转形成以圆O 为底面的两个圆锥，(O 为圆心，OE 为半径，O 为DF 的中点)，E FK EFE π∠=-∠''，E OE απ=-∠'，
当180α≠且0α≠时，OEE ∆'与等腰FEE ∆'中，EE '为公共边，FE FE OE OE =>=''， EFE EOE ∴∠<∠'',
E FK α∴∠'>.
当180α=时，E FK α∠'=,
当0α=时，E FK α∠'>,
综上，E FK α∠'≥。

C.D 选项比较EDK ∠与α的大小关系，如图即比较E DK '∠与α的大小关系，根据特殊值验证： 又当0α=时，E DK α∠'>,
当180α=时，E DK α∠'< ，
,C D ∴都不正确.
故选B.
【点睛】
本题考查了二面角的相关知识，考查空间想象能力，难度较大，本题的难点是在动态的旋转过程中，如何转化EFK ∠和α，从而达到比较的目的，或考查180α=和0α=两种特殊情况，可快速排除选项. 5．下列5个命题中：①平行于同一直线的两条不同的直线平行；②平行于同一平面的两条不同的直线平行；③若直线l 与平面α没有公共点，则//l α；④用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行；⑤若//l α，则过l 的任意平面与α的交线都平行于l .其中真命题的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行公理判定①的真假；根据线线位置关系，判定②的真假；根据线面平行的概念，判定③的真假；根据面面平行的性质，判断④的真假；根据线面平行的性质，判断⑤的真假.
【详解】
对于①，根据平行公理，平行于同一直线的两条不同的直线平行，①正确；
对于②，平行于同一平面的两条不同的直线，可能平行、异面或相交；②错误；
对于③，根据线面平行的概念，若直线l 与平面α没有公共点，所以//l α，③正确；
对于④，根据面面平行的性质，用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行，④正确； 对于⑤，根据线面平行的性质，若//l α，则过l 的任意平面与α的交线都平行于l ，⑤正确. 故选：C
【点睛】
本题主要考查线面关系、面面关系相关命题的判定，熟记平面的性质，平行公理，线面位置关系，面面位置关系即可，属于常考题型.
6．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y > B ．1
1
()()22x y < C ．1122x y < D ．sin sin x y >
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值排除ACD 选项，由指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的单调性证明不等式，即可得出正确答案. 【详解】 当11,2
x y ==时，1112x y =<=，则A 错误；
12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，x y >，则11()()22x y <，则B 正确； 当4,1x y ==时，112221x y =>=，则C 错误；
当3,22
x y ππ==时，sin 1sin 1x y =-<=，则D 错误； 故选：B
【点睛】
本题主要考查了由条件判断不等式是否成立，属于中档题.
7．如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】 由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形,高为3,由此可求得几何体的表面积.
【详解】
由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3，故该几何体的表面积为
【点睛】
本题主要考查三视图的还原，几何体的表面积的计算，难度一般，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力.
8．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则
12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355
i + 【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．
【详解】
由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得
12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】
本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
9．232(2)()x n x x --的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中3x 项的系数为（ ）
A ．2
B ．8
C ．5-
D ．-17 【答案】D
【解析】
【分析】
令1x =得各项系数和，可求得n ，再由二项式定理求得3x 的系数，注意多项式乘法法则的应用．
【详解】
令1x =，可得3(2)(12)3n --=，5n =， 在232
(25)()x x x
--的展开式中3x 的系数为：232(2)(5)117C ⨯⨯-+-⨯=-． 故选D ．
【点睛】
本题考查二项式定理，在二项展开式中，通过对变量适当的赋值可以求出一些特定的系数，如令1x =可得展开式中所有项的系数和，再令1x =-可得展开式中偶数次项系数和与奇数次项系数和的差，两者结合可得奇数项系数和以及偶数项系数和．
10．在平面直角坐标系中，角α
的终边与单位圆交于点1,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，则tan2α=（ ）
A
．B
．3-C
D
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据三角函数的定义求出tan α=，再求tan2α即可.
【详解】
2tan 12
α==
tan 2α==故选：D
【点睛】
本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查三角函数的定义，属于简单题.
11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()21f x x =+ ，则()7f = （ ）
A ．2
B ．2-
C ．1
D ．1-
【答案】B
【解析】
【分析】
由()()4f x f x +=-，可得()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，据此可得()()71f f =-，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．
【详解】
根据题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=-，则有()()()84f x f x f x +=-+=，
则函数()f x 是周期为8的周期函数，则()()71f f =-，
又由函数为奇函数，则()()()211112f f -=-=-+=，
则()12f -=-，即()72f =-；
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．抛物线24y x =的焦点为F ，点(5,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为
A ．6
B ．8
C ．11
D ．13
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
求△MAF 周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M 在准线上的射影为D ，
根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，
因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.
根据平面几何知识，可得当D ，M ，A 三点共线时|MA|+|MD|最小，
因此最小值为x A ﹣（﹣1）=5+1=6，
∵|AF|=22(51)(30)-+-=5，
∴△MAF 周长的最小值为11，
故答案为：C ．
二、填空题：本题共4小题
13．若不等式|x －a|<1的解集为{x|1<x<3}，则实数a 的值为________．
【答案】2.
【解析】
分析：由题意可得，1和3是方程|x －a|＝1的根，代入即可.
详解：由题意可得，1和3是方程|x －a|＝1的根，则有
解得a ＝2. 故答案为：2.
点睛：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的应用.
14．已知a 是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且 2a ≤，则实数m 的取值范围是________. 【答案】334⎛⎤- ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的判别式和虚数根的模列出不等式组，求得其范围.
【详解】
由已知得()()222141430m m m ∆=--+=--<，解得34
m >-；
又因为 2a ≤，所以22214342m m ⎛⎫-+⎛⎫+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得33m -≤≤； 所以实数m 的取值范围是3 3.4m -
<≤ 故得解.
【点睛】
本题考查一元二次方程的判别式和复数的模，属于基础题.
15．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .
【答案】1．8
【解析】
【分析】
根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.
【详解】
由题意得， 2146423122EFGH S cm =⨯-⨯⨯⨯=，
四棱锥O−EFG 的高3cm ， ∴31123123
O EFGH V cm -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144V cm =⨯⨯=，
所以该模型体积为22114412132V V V cm =-=-=，
其质量为0.9132118.8g ⨯=．
【点睛】
本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解． 16．数列{}n a 满足下列条件：11a =，且对于任意正整数n ，恒有2n n a a n =+，则512a =______.
【答案】512
【解析】
【分析】
直接由2n n a a n =+，可得88785122562561281282562=128222a a a a a =+=+++=++=，这样推下去
，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。

【详解】
2n n a a n =+
5122568
2568
12878
12812819
256
2=128222122212112
512
a a a a a a ∴=+=+++=++=
=++++
+-=+-= 故选C 。

【点睛】
利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在直角坐标系xOy 中，()()2,0,2,0A B -，不在x 轴上的动点C 满足,AC BC CD AB ⊥⊥于点,D P 为CD 的中点。

(1)求点P 的轨迹E 的方程；
(2)设曲线E 与y 轴正半轴的交点为H ，斜率为12
的直线交E 于,M N 两点，记直线,MH BN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k +是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

【答案】（1）()2
2124
x y x +=≠±；（2）定值0 【解析】
【分析】
（1）解法一：设点P 的坐标为()(),0x y y ≠，可得出点()2,C x y ，由AC BC ⊥，转化为1AC BC k k ⋅=-，利用斜率公式计算并化简得出曲线E 的方程，并标出x 的范围；
解法二：设点()(),0P x y y ≠，得出()2,C x y ，由AC BC ⊥知点C 在圆22
4x y +=上，再将点()2,C x y 的坐标代入圆的方程并化简，可得出曲线E 的方程，并标出x 的范围；
（2）先求出点H 的坐标，并设直线MN 的方程为()112
y x m m =+≠±，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与曲线E 的方程联立，列出韦达定理， 利用斜率公式并代入韦达定理计算出
120k k +=来证明结论成立。

【详解】
（1）解法一：设点()(),0P x y y ≠，因为CD x ⊥轴，P 为CD 的中点，则(),2C x y ，
AC BC ⊥，所以，1AC BC k k ⋅=-，即22122y y x x ⋅=--+，化简得2214
x y +=， 所以，E 的方程为()2
2124
x y x +=≠±； 解法二：依题意可知点C 的轨迹方程为()22
42x y x +=≠±， 设点()(),0P x y y ≠，因为CD x ⊥轴，P 为CD 的中点，所以，(),2C x y ，
所以()2224x y +=，即2
214
x y +=， 所以，E 的方程为()2
2124
x y x +=≠±； （2）依题意可知()0,1H ，设直线MN 的方程为()112
y x m m =+≠±， ()11,M x y 、()22,N x y ， 由221214
y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222220x mx m ++-=， 所以2840m ∆=->，122x x m +=-，21222x x m =-， 所以()()()
12121212121212122y x x y y y k k x x x x --+-+=+=-- ()()()()()
12121212121211121222222x m x x x m x x m x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++ ⎪ ⎪+-+-+⎝⎭⎝⎭==-- ()()()212221222
02m m m m x x -+-⋅--+==-，
所以，12k k +为定值。

【点睛】
本题考查动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合问题，考查将韦达定理法在直线与圆锥曲线综合问题中的应用，这类问题的求解方法就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理求解，运算量大是基本特点，化简是关键，考查计算能力，属于难题。

18．已知321()ln (,)3
f x x ax b x a b R =-+∈． （I ）求(1)f '； （II ）当1,02a b ==，求()f x 在1[,2]2
上的最值． 【答案】 (1) (1)12f a b ='-+.
（2）max 2()3f x =，min 1()6f x =-. 【解析】
分析：（1）对函数求导，指接代入x=1即可；（2）将参数值代入，对函数求导，研究函数的单调性得到最值.
详解： (1) ()22b f x x ax x
=-+' ∴ ()112f a b =-+'
（2）解：当1,02a b ==时()321132
f x x x =-，()2f x x x '=- 令()0f x '=即20x x -= 解得：0x =或1是()f x 得极值点
因为0x =不在所求范围内，故舍去 11212f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
()213f = ()116f =- ∴ ()max 23f x =，()min 16
f x =- 点睛：这个题目考查的是函数单调性的研究和函数值域.研究函数单调性的方法有：定义法，求导法，复合函数单调性的判断方法，即同增异减，其中前两种方法也可以用于证明单调性，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.
19．已知函数()|2|||f x x a x a =+--．
（1）若()12f >，求a 的取值范围；
（2）x y R ∀∈、，()()6f x f y >- ，求a 的取值范围．
【答案】 (1) ()2,4,3a ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭
．(2) ()1,1a ∈-． 【解析】
【分析】
（1）f （1）＝|2a+1|﹣|a ﹣1|211312122a a a a a a ⎧⎪+⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪---⎪⎩
＞＜，根据f （1）＞2分别解不等式即可' （2）根据绝对值三角不等式求出f （x ）的值域，然后由条件可得f （x ）min ＞f （y ）max ﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，解出a 的范围．
【详解】
（1）∵f （x ）＝|x+2a|﹣|x ﹣a|，
∴f （1）＝|2a+1|﹣|a ﹣1|211312122a a a a a a ⎧⎪+⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪---⎪⎩
＞＜， ∵f （1）＞2，∴221a a +⎧⎨⎩＞＞，或32112a a ⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩＞，或2212a a --⎧⎪⎨-⎪⎩
＞＜， ∴a ＞1，或2
3
＜a≤1，或a ＜﹣4， ∴a 的取值范围为()243⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
，
，； （2）∵||x+2a|﹣|x ﹣a||≤|（x+2a ）﹣（x ﹣a ）|＝3|a|，
∴f （x ）∈[﹣3|a|，3|a|]，
∵∀x 、y ∈R ，f （x ）＞f （y ）﹣6，
∴只需f （x ）min ＞f （y ）max ﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，
∴6|a|＜6，∴﹣1＜a ＜1，
∴a 的取值范围为[﹣1，1]．
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值三角不等式求函数的范围，考查了分类讨论和转化思想，属中档题．
20．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，
方案一：每满200元减50元；
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、l 个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？
【答案】（1）1831024P =
（2）方案二更为划算 【解析】
【分析】
（1）设事件A 为“顾客获得半价”，可以求出()P A ，然后求出两位顾客都没有获得半价优惠的概率，然后利用对立事件的概率公式，求出两位顾客至少一人获得半价的概率；
（2）先计算出方案一，顾客付款金额，再求出方案二付款金额X 元的可能取值，求出EX ，最后进行比较得出结论.
【详解】
（1）设事件A 为“顾客获得半价”，则3213()44432
P A =⋅⋅=， 所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：2291831321024
P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． （2）若选择方案一，则付款金额为32050270-=． 若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为160,224,256,320．
3(160)32
P X ==
， 32332111213(224)44444444432
P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 323123121113(256)444444444432
P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=， 1233(320)44432
P X ==⋅⋅=， ∴31313316022425632024032323232EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 所以方案二更为划算．
【点睛】
本题考查了对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、期望.考查了应用数学知识解决现实生活中实际问题的能力.
21．已知正实数列a 1，a 2，…满足对于每个正整数k ，均有121
k k k ka a a k +≥
+-，证明： （Ⅰ）a 1+a 2≥2；
（Ⅱ）对于每个正整数n≥2，均有a 1+a 2+…+a n ≥n ．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用已知条件可得121a a ≥，然后结合基本不等式可证；
（Ⅱ）利用数学归纳法进行证明.
【详解】
证明：（Ⅰ）当k ＝2时，有12211a a a ⋅≥
，即，121a a ≥， ∵121a a ≥，数列为正实数列，
由基本不等式221212(
)2a a a a +≤⋅≤，∴212()4a a +≥， ∴a 2+a 2≥2．
（Ⅱ）用数学归纳法：
由（Ⅰ）得n ＝2时，a 2+a 2≥2，不等式成立；
假设当n ＝k （k≥2）时，a 2+a 2+…+a k ≥k 成立；
则当n ＝k+2时，a 2+a 2+…+a k +a k+2≥k 21
k k ka a k ++-， 要证k 21k k ka a k +≥+-k+2，即证21
k k ka a k ≥+-2， 即为ka k ≥a k 2+k ﹣2，即为（a k ﹣2）（k ﹣2）≥0，
∵k≥2，∴k ﹣2≥2，当a k ﹣2≥0时，a 2+a 2+…+a k +a k+2≥k+2，
∴对于每个正整数n≥2，均有a 2+a 2+…+a n ≥n ．
当0＜a k ＜2时，
∵对于每个正整数k ，均有121
k k k ka a a k +≥+-， ∴2111k k k k k
a k k k a a a a ++--≤=+，则11k k k k k a a a +-≥-， 12232111211n n n n n n n a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫-+++≥+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ a 2+a 2+…+a n +a n+21n n a +=+a n+2111
11n n n n a a a +++-=++＞n ﹣2+2＝n+2． 综上，对于每个正整数n≥2，均有a 2+a 2+…+a n ≥n ．
【点睛】
本题主要考查数学归纳法在数列问题中的应用，明确数学归纳法的使用步骤是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
22．（1）已知()232z z z i i ++=-，求复数z ；
（2）已知复数z 满足2z z
-为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 【答案】（1
）1-±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+.
【解析】
【分析】
（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；
（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z -为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z .
【详解】
（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a b ai i ++=-，
根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩
，解得1a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩
1z =-±； （2）设复数(),z a bi a b R =+∈， 则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭
， 由题意可得2220a a a b -
=+，2220b b a b +≠+. ()11z i a b i -=+-=
1=，
所以有()()
()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+.
【点睛】
本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.。