例谈高一数学中的分类讨论
例谈如何解数学中的分类讨论题
例谈如何解数学中的分类讨论题摘要数学教育家波利亚说过：“掌握数学意味着解题”。
解题教学作为教师数学教学的重要组成部分和手段，是培养学生通过解题来掌握巩固知识，提高能力的主要途径，不仅如此，解题教学俨然是一门艺术。
低级的解题教学就题论题，解完即止，我们不禁追问：解题的思路方法够简洁吗？方法的产生够自然吗？更换本题的背景条件，目前的思路还适用吗？能否放之四海而皆知？作为教师，我们在自身解题能力的保证下，在对学生现有解题能力的准确评判下，如何指导学生用常规、自然、普通的知识，简短、明了地呈现解题过程。
关键词数学公式分类讨论题知识在初中数学中，分类讨论是贯穿于各种题型的一种重要的思想方法。
由于学生对于分类的原因和标准模糊不清，有的在解题中往往以偏概全、漏解，有的甚至无从下手。
以下就对某节课上处理分类讨论问题的片段做一分析。
一、由数学概念引起的分类讨论当涉及某些特定的数学概念时，必须分多种情况解答。
例1.若分析：学生根据正负3的绝对值都是3，不难得出x-2的值为3或-3两种情况。
二、由数学公式引起的分类讨论有些公式有不同的形式或者有不同的适用范围，学生在应用时往往会忽视其中一点造成解答不全。
例2．若x2+(m-1)x+4是一个关于x的完全平方式，则m=___________分析：完全平方公式是初中数学中两个重要的公式，事实上，学生对于一次项前是加号的完全平方式更为熟悉。
原因在于在七年级学习负数中，将数的正负以及正负符号之间划上了等号。
三、由字母取值的任意性引起的分类讨论式子中字母取值的不同决定了不同的性质或者图形位置，尤其体现在函数解析式中含有的字母对于函数图像以及性质的决定作用。
例3.在同一坐标系中，正比例函数y=-3x与反比例函数y=■的图象的交点的个数是_______分析：只需要学生对k决定反比例函数所在象限这一基本知识点掌握，通过画出两个函数的草图，本题就可迎刃而解。
四、几何中图形位置的不确定引起的分类讨论某些几何图形，在题设条件下有几种图形，这时候需要对每一种图形都进行讨论解答。
219457521_分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用陈燕飞(昆山陆家高级中学ꎬ江苏苏州２１５０００)摘㊀要:分类讨论是数学学科的重要思想之一ꎬ每年高考题都会涉及到分类讨论思想的考查ꎬ是高中数学教学的重点.为提高学生的分类讨论思想能力ꎬ促进其解题能力及数学学习成绩的提升ꎬ教学实践中应采用理论讲解和习题巩固相结合的教学方法ꎬ指导学生在不同题型中的应用分类讨论思想.关键词:分类讨论思想ꎻ高中数学ꎻ解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１８－００１１－０３收稿日期:２０２３－０３－２５作者简介:陈燕飞(１９７７.９－)ꎬ男ꎬ江苏省如皋人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀分类讨论思想在高中数学解题中有着广泛的应用ꎬ不同习题分类讨论的切入点及讨论标准存在差异ꎬ因此ꎬ教学实践中应为学生做好解题示范ꎬ注意预留 空白 ꎬ要求学生认真揣摩分类讨论的标准与过程ꎬ做好方法的归纳㊁整理ꎬ以便理解与掌握分类讨论法.１解答三角函数习题三角函数题中产生分类讨论的情况主要有周期㊁相位㊁图象的不确定等ꎬ解题时应从这些不确定的对象入手ꎬ运用已知条件尽可能的将不确定对象的范围进一步精确ꎬ通过分类讨论尝试推导出矛盾ꎬ从而解决问题.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬωɪＮ∗ꎬ０<φ<π)图象上Ａ的坐标为(π２４ꎬ０)ꎬ一条对称轴为直线ｘ＝π６.当ｆ(ｘ)在区间(π６ꎬπ３)上单调ꎬ则φ的值为(㊀㊀).Ａ.π６㊀㊀㊀Ｂ.π４㊀㊀㊀Ｃ.π３㊀㊀㊀Ｄ.２π３解析㊀由ｆ(ｘ)在区间(π６ꎬπ３)上单调ꎬ可得π３－π６＝π６ɤＴ２ꎬ即ꎬ１２ˑ２πωȡπ６ꎬ解得０<ωɤ６.因点Ａ在函数ｆ(ｘ)图象上ꎬ且直线ｘ＝π６为函数ｆ(ｘ)图象的一条对称轴ꎬ则π６－π２４＝π８.当π８＝Ｔ４ꎬ此时Ｔ＝２πω＝π２ꎬ解得ω＝４满足题意ꎻ当π８＝３Ｔ４ꎬ此时Ｔ＝２πω＝π６ꎬ解得ω＝１２不满足题意ꎻ综上可得ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ(４ｘ＋φ)ꎬ因直线ｘ＝π６为其一条对称轴ꎬ则４ˑπ６＋φ＝ｋπꎬｋɪＺꎬφ＝ｋπ－２π３ꎬｋɪＺꎬ又由０<φ<πꎬ则φ＝π３ꎬ选择Ｃ.１１点评㊀根据函数ｆ(ｘ)在给定区间的单调性ꎬ确定其周期范围ꎬ再运用周期公式得出ω的范围.结合图象中的已知点㊁对称轴进行分类讨论ꎬ看计算出的ω是否在解得的范围内ꎬ得出最终结果.２解答解三角形习题解三角形常用的知识点有正弦㊁余弦定理ꎬ但在运算的过程中可能会出现多种情况ꎬ此时需进行分类讨论.分类讨论的依据有三角形的内角的分类ꎬ边的分类等.分类讨论中ꎬ若某种情况能推出矛盾ꎬ则应舍去该种情况ꎻ如不能推出矛盾ꎬ则该种情况成立.例２㊀在钝角әＡＢＣ中ＡꎬＢꎬＣ对应边ａꎬｂꎬｃꎬ其中ａ>ｂꎬａ＝６ꎬ且满足３ｓｉｎＢ－３ｓｉｎＣ＝ｃｏｓＡꎬｃｏｓ２Ａ＝－７９ꎬ则әＡＢＣ的面积为(㊀㊀).Ａ.４㊀㊀㊀Ｂ.８㊀㊀㊀Ｃ.４２㊀㊀㊀Ｄ.８２解析㊀由ａ＝６ꎬ３ｃｏｓＢ－３ｃｏｓＣ＝ｃｏｓＡ以及正弦定理得到:３ｂ－３ｃ＝ａ＝６ꎬ则ｂ－ｃ＝２①ꎻ又由ｃｏｓ２Ａ＝２ｃｏｓ２Ａ－１ꎬｃｏｓ２Ａ＝－７９ꎬ得到ｃｏｓＡ＝ʃ１３.当ｃｏｓＡ＝１３时ꎬ由余弦定理得到:ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡꎬ即ꎬ３６＝ｂ２＋ｃ２－２３ｂｃ＝(ｂ－ｃ)２＋４３ｂｃ＝４＋４３ｂｃꎬ即ꎬｂｃ＝２４②ꎻ由①②得到ｂ＝６ꎬｃ＝４ꎬ不符合题意ꎬ舍去ꎻ当ｃｏｓＡ＝－１３时ꎬｃｏｓＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝２２３ꎬ由余弦定理得到:４＋８３ｂｃ＝３６ꎬ此时ｂｃ＝１２ꎬ由①得到ꎬｂ＝１＋１３ꎬｃ＝－１＋１３ꎬ满足ａ>ｂꎬ则ＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｃｏｓＡ＝１２ˑ１２ˑ２２３＝４２ꎬ选择Ｃ项.点评㊀根据题干中给出的等式ꎬ运用正弦定理进行转化得出ｃｏｓＡ的值有两个ꎻ分别对两个值讨论ꎬ发现ｃｏｓＡ＝１３不符合题意ꎬ而ｃｏｓＡ＝－１３符合题意ꎬ在ｃｏｓＡ＝－１３的条件下计算出әＡＢＣ的面积即可.３解答导数习题导数是高中数学中最易考查分类讨论思想的知识[１].分类讨论常出现对函数求导后ꎬ因参数值的不确定性ꎬ导致函数在不同区间的单调性不同.对参数分类讨论过程中ꎬ判断得出的参数值或范围是否符合题意.例３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘｅｘ＋１ꎬｇ(ｘ)＝ａ(ｅｘ－１)ꎬ当ｘ>０时ꎬ有ｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)ꎬ则实数ａ能取到的最大整数为(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀㊀㊀Ｂ.２㊀㊀㊀㊀Ｃ.３㊀㊀㊀㊀Ｄ.４解析㊀令ｈ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝ｘｅｘ＋１－ａ(ｅｘ－１)＝(ｘ－ａ)ｅｘ＋ａ＋１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝(ｘ－ａ＋１)ｅｘ.当ａɤ１时ꎬｈᶄ(ｘ)>０在(０ꎬ＋ɕ)上恒成立ꎬ此时ꎬｈ(ｘ)单调递增ꎬ要想满足题意只需ｈ(０)ȡ０ꎬ此时ｈ(０)＝１满足题意.当ａ>１时ꎬ令ｈᶄ(ｘ)＝０ꎬ解得ｘ＝ａ－１ꎬ则当０<ｘ<ａ－１时ｈᶄ(ｘ)<０ꎬｈ(ｘ)单调递减ꎻ当ｘ>ａ－１时ꎬｈᶄ(ｘ)>０ꎬｈ(ｘ)单调递增ꎻｈ(ｘ)ｍｉｎ＝ｈ(ａ－１)＝－ｅａ－１＋１＋ａꎬ要想满足题意只需－ｅａ－１＋１＋ａȡ０ꎬ即１＋ａȡｅａ－１.当ａ＝２时.３>ｅ成立ꎻ当ａ＝３时４>ｅ２不成立.综上分析ꎬ实数ａ能取到的最大整数为２ꎬ故选择Ｂ项.点评㊀求参数ａ能取到的最大整数ꎬ需将问题转化为恒成立问题ꎬ而恒成立对应求函数的最值ꎬ因此ꎬ分类讨论主要围绕求函数的最值展开ꎬ期间需灵活应用导数知识.４解答数列习题数列习题中分类讨论常出现的情况有公差和公比的不确定性㊁通项公式的不确定性等ꎬ尤其对于部 ２１分数列需将偶数项与奇数项的通项公式分开考虑ꎬ运算时应搞清楚奇㊁偶项的内在联系ꎬ保证推理的严谨性与正确性.例４㊀已知数列{ａｎ}中ａ１ɪＺꎬａｎ＋１＋ａｎ＝２ｎ＋３ꎬ前ｎ项的和为Ｓｎꎬ若Ｓ１３＝ａｍꎬ则正整数ｍ＝(㊀㊀).Ａ.９９㊀㊀㊀Ｂ.１０３㊀㊀㊀Ｃ.１０７㊀㊀㊀Ｄ.１９８解析㊀由ａｎ＋１＋ａｎ＝２ｎ＋３得到ａｎ＋１－(ｎ＋１)－１＝－(ａｎ－ｎ－１)ꎬ则数列{ａｎ－ｎ－１}为公比１的等比数列ꎬ则ａｎ－ｎ－１＝(－１)ｎ－１(ａ１－２)ꎬ由数列{ａｎ}前ｎ项的和为Ｓｎ得到:Ｓ１３＝ａ１＋(ａ２＋ａ３)＋ ＋(ａ１２＋ａ１３)＝ａ１＋２(２＋４＋ ＋１２)＋３ˑ６＝ａ１＋１０２.当ｎ为奇数时ａ１－２＋ｎ＋１＝ａ１＋１０２ꎬ解得ｍ＝１０３ꎻ当ｎ为偶数时ꎬ－(ａ１－２)＋ｎ＋１＝ａ１＋１０２ꎬｍ＝２ａ１＋９９由ａ１ɪＺꎬ则ｍ＝２ａ１＋９９只能为奇数ꎬ此时无解.综上分析ｍ＝１０３ꎬ选择Ｂ项.点评㊀数列的的通项公式中含有(－１)ｎ－１ꎬ导致数列的偶数项与奇数项的值不同ꎬ因此ꎬ需将其分开进行考虑ꎬ推理㊁计算出符合题意的结果.５解答圆锥曲线习题圆锥曲线是高中数学一个重难点ꎬ圆锥曲线习题中产生分类讨论的情况多种多样ꎬ尤以直线与圆锥曲线的关系不确定时为讨论的切入点ꎬ讨论过程中为减少运算量ꎬ提高运算效率ꎬ应认真观察图形ꎬ注重几何性质的应用.例５㊀已知Ｆ１ꎬＦ２为双曲线Ｃ:ｘ２－ｙ２ｂ２＝１(ｂ>０)的左㊁右焦点ꎬ过点Ｆ２的直线和双曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ当әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ则ｂ的所有取值的积为(㊀㊀).Ａ.２㊀㊀㊀Ｂ.３㊀㊀㊀Ｃ.２２㊀㊀㊀Ｄ.２３解析㊀(１)当过点Ｆ２的直线和双曲线相交的情境如图１时ꎬ设｜ＡＦ２｜＝ｍ(ｍ>ｃ－１)ꎬ则由双曲线定义可得｜ＡＦ１｜＝｜ＡＦ２｜＋２ａ＝ｍ＋２ꎬ由әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ可得｜ＡＦ１｜＝｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝ｍ＋２ꎬ可得｜ＢＦ２｜＝２ꎬ由双曲线的性质可得｜ＢＦ１｜－｜ＢＦ２｜＝｜ＡＢ｜－｜ＢＦ２｜＝ｍ＝２ꎬ则｜ＡＦ２｜＝｜ＢＦ２｜ꎬ则ＡＢʅＦ１Ｆ２ꎬ则２ｃ＝４ｃｏｓ３０ʎ＝２３ꎬ则ｃ＝３ꎬｂ＝２ꎻ图１㊀例５题解析(１)㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀例５题解析(２) (２)当过点Ｆ２的直线和双曲线相交的情境如图２时ꎬ设｜ＢＦ２｜＝ｎ(ｎ>ｃ－１)ꎬ则｜ＢＦ１｜＝｜ＢＦ２｜＋２ａ＝ｎ＋２ꎬ由әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ可得｜ＡＦ１｜＝｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝ｎ＋２ꎬ｜ＡＦ２｜＝２ｎ＋２ꎬ又由｜ＡＦ２｜－｜ＡＦ１｜＝２ｎ＋２－(ｎ＋２)＝２ꎬ解得ｎ＝２ꎬ则｜ＡＦ１｜＝４ꎬ｜ＡＦ２｜＝６ꎬ则әＡＦ１Ｆ２中由余弦定理可得｜Ｆ１Ｆ２｜２＝｜ＡＦ１｜２＋｜ＡＦ２｜２－２｜ＡＦ１｜ＡＦ２｜｜ｃｏｓ６０ʎ＝２７ꎬ则ｃ＝７ꎬ此时ꎬｂ＝６.结合以上两种情境可得ｂ的所有取值的积为２ˑ６＝２３ꎬ选择Ｄ项.点评㊀对于情况一ꎬ等边әＡＢＦ１位置较为特殊ꎬ可借助双曲线和等边三角形性质构建线段之间的关系求解.对于情况二ꎬ则需应用余弦定理进行运算.综上所述ꎬ应用分类讨论思想解答数学题时ꎬ应明确为何要进行分类讨论ꎬ分类讨论的依据是什么ꎬ怎样对分类讨论的结果进行合理取舍ꎬ等[２].解题教学中ꎬ为使学生掌握技巧㊁把握思路ꎬ既要展示经典例题ꎬ又要加强专题训练ꎬ启发学生的同时ꎬ帮助其积累丰富经验ꎬ增强应用能力.参考文献:[１]俞洁.高中数学问题中的分类讨论思想例谈[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０３):３５－３６.[２]顾宣峰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２１(Ｓ１):２０.[责任编辑:李㊀璟]３１。
数学分类讨论教案模板高中
数学分类讨论教案模板高中教学目标：1. 理解数学分类讨论的概念和意义。
2. 掌握数学分类讨论的基本方法和步骤。
3. 能够运用数学分类讨论解决实际问题。
教学重点：1. 熟练掌握数学分类讨论的基本概念。
2. 掌握数学分类讨论所涉及的具体知识点。
3. 能够独立运用数学分类讨论解决问题。
教学步骤：一、导入（5分钟）教师简要介绍数学分类讨论的概念和意义，引导学生思考为什么要进行分类讨论以及分类讨论在数学中的应用。
二、理论学习（15分钟）1. 介绍数学分类讨论的基本方法和步骤。
2. 梳理数学分类讨论的基本概念，如集合、子集、交集、并集等。
3. 示例分析，帮助学生理解数学分类讨论的具体应用。
三、实例演练（20分钟）1. 给学生提供一些实际问题，要求他们利用数学分类讨论进行解答。
2. 学生在实例演练中，可以结合所学知识，从不同角度进行分类讨论，找到问题的解决方法。
四、练习训练（15分钟）1. 学生自主完成练习题目，巩固数学分类讨论的方法和步骤。
2. 教师根据学生的表现进行指导和讲解。
五、课堂总结（5分钟）1. 回顾本节课的学习内容，强调数学分类讨论的重要性和实际应用。
2. 鼓励学生在日常生活和学习中，运用数学分类讨论解决问题。
六、作业布置布置作业，要求学生复习本节课学习内容，并尝试运用数学分类讨论解决一个实际问题。
教学反思：通过本节课的教学，学生对数学分类讨论的概念和方法有了更深入的理解，能够熟练运用数学分类讨论解决问题。
同时，也发现学生在实际操作中存在一定的困难，需要进一步指导和讲解。
下一节课将结合学生反馈，进一步加强练习训练，提高学生的分类讨论能力。
例谈“分类讨论思想”在解题中的运用
Ａ Ｃ ＝ ０ ， 故 ２＋ ３ ｋ ＝ ０ ， 解得 ｋ ＝一 ÷；
个 ‰， 使得
） 即 上 － Ａ － － ｄ ， 也就是赢 ． — Ａ Ｃ ：
ｏ， 而 ： 一Ａ — Ｂ：（一１ ｋ一 ３ ） ， 故 一１＋ （ ｋ一３ ）
０ ， 而 ｅ＝（一１ ， ｋ一 ３ ） ， 故 一 ２＋ ３ （ ｋ一 ３ ）＝０ ， 解得 ｋ
一
一
右侧 ， 那么， （ ） 在（ 一 ｌ ， １ ） 内单调递减． （ ２ ） 这是一个存在性问题． 怎么理解 “ 至少存在 个 ‰” 呢？其实质是能找到一个这样 的 ． 不妨 用最特殊 的值去试一试．
・
的单调性 ， 所 以顺理成章地要对 ａ ＞ １ 和０ ＜ ａ＜ １ 两
种情 况 进行讨 论． 解： （ １ ） 由１ 一ａ ＞ ０， 得ａ ＜１ ．
ｎ － １ ） ， 用。 ： ３ 一 ２ 。 一 代入 ， 可解出 。 ＝ 了 １ 所
．
以 ｛ ｎ 一 ） 是 公 比 为 一 ２ ， 首 项 为 口 。 一 的 等 比 数 列 ． 。 一 ＝ （ １ — ２ ａ ０ － ） （ 一 ２ ） ￣ － １ （ ∈ Ｎ ） ， 即
一
ｌ ÷ 一 丢 ６ ｌ 一 ＞ ÷ 一 号
３
＞
ｌ
’
故 不 论 ｌ ｃ ｌ ≥ 丢 还 是Ｉ ｃ ｝ ＜ １ ， 总 存 在Ｘ ０ ： ０ 或
Ｘｏ ： 一
｝ 使 得 Ｘ ０ ） Ｊ ≥ 成 立 ．
评注： 本题除取 ＝一 ÷外， 还可取哪些值呢？
《 数学之友》
２ ０ １ ３年第 ８期
例谈“ 分类讨 论思想＂ 在解题中的运用
解 题 探 索
集合运算中的分类讨论
m 1 2m 1 m 2
2 m 1 即m 3解得：2 m 3
2m 1 5
m 3Biblioteka 综合(1)(2)知：m 3
强调遇到下列条件时记得考虑 B 的情况 AB A AB B B A
AB
希望你学会了。
谢谢！
集合运算中的一道分类讨论问题
寿光中学 高一数学组王晓云
例：已知集合 A x | x2 3x 10 0, B x | m 1 x 2m 1,
若A B A，求实数m的取值范围.
分析问题：
条件 A x | x2 3x 10 0}
2
x2 3x 10 (x 5)( x 2) 0
5
x
结合二次函数图象
2 x 5 A {x | 2 x 5}
条件 A B A 可转化为：B A
无限数集运算往往借助数轴来进行，接下来你在数轴上画出
两个集合的过程中，会发现集合A 是确定的，集合B 中含参
数，两个端点的大小不确定，需要分类讨论.
下面动画演示一下
m 1 2m1
x
x
-2
m 1 2m 1
5
所以我们要对m 1与2m -1的大小进行讨论:
当m 1 2m -1时，B ，符合条件 当m 1 2m -1时，B ，还需要满足B A
m 1 2m -1 - 2 m 1
2m -1 5
完整解答过程：
解： A B A B A.
又 A {x | x2 3x 10 0} {x | 2 x 5},
与圆有关的分类讨论思想例谈
龙源期刊网
与圆有关的分类讨论思想例谈
作者：王鹏程
来源：《语数外学习·中旬》2013年第01期
分类讨论，就是当对问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类对象分别进行研究得出每一类的结论，最后综合结果得到整个问题的解答。
在中考中，有关圆的涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类题不仅考查了学生的数学基本知识与基本方法，而且考查了学生思维的深刻性。
本文结合近年来中考中出现的一些试题谈一谈分类讨论思想在有关圆的问题中的应用。
一、根据点的位置分类讨论
例1 在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是（）.
A.当a＜5时，点B在⊙A内
B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C.当a＜1时，点B在⊙A外
D.当a＞5时，点B在⊙A外
解析：弦AB所对的圆周角的顶点可以在AB所对的优弧上，也可以在AB所对的劣弧上，故本题应分优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角两种情况进行讨论。
分类讨论思想在高中数学教学中的应用
分类讨论思想在高中数学教学中的应用分类讨论思想是高中数学教学中最常用的思想方法之一，它可以用来解决各种问题。
本文将分别从高一、高二、高三三个学段的数学教学中，探讨分类讨论思想的应用。
高一数学教学中的分类讨论思想主要应用于集合与函数、初等函数等章节。
1. 集合与函数在集合与函数的教学中，分类讨论思想可以用来解决关于集合、映射等各种问题。
例如：题目：“ 若 A , B , C 均为非空集合，问是否命题“(A ∩ B ) - (A ∩ C ) = B - ( C \ A )” 一定成立？”解法：对于集合的相交运算和差集运算，我们可以利用分类讨论思想来解决问题。
这个题目可以从 A, B, C 的交集、并集关系入手，将其分为情况讨论。
最后通过对不同情况进行代数运算，证明是否命题成立。
2. 初等函数题目：确定函数 y=f(x)=|sinx| 的图像及其特征？解法：对于绝对值函数，我们可以采用分类讨论的思想，将其分为两个区间，再分别讨论在这两个区间内正弦函数的取值情况。
最后通过将两个区间内的图像进行拼接，可以得到该函数的图像及其特征。
1. 解析几何题目：“已知圆 O1 、O2,R,O3 互不相交（O1,O2,O3均在同一平面上），OA 为以 O1 为圆心，R 为半径的圆与以 O2 为圆心，R 为半径的圆的交点，OB 为以 O2 为圆心，R为半径的圆与以 O3 为圆心，R 为半径的圆的交点，连 AB , BC ，请问能否证明三角形ABC 相似？”解法：在解决这个问题时，可以采用分类讨论的思想，分别讨论 OA 与 OB 的位置关系，以及三角形 ABC 的相似条件。
通过分类讨论，可以证明三角形 ABC 相似。
2. 概率统计题目：“有三枚硬币 A，B，C，已知 A 的正反面概率相等，B 的正反面概率为 1:2，C 的正反面概率为 1:3，现从中任取一枚，先抛掷这枚硬币一次，出现正面时不再抛掷，出现反面时再抛掷一次，问是正面的概率有多大？”解法：在解决这个问题时，可以采用分类讨论的思想，分别讨论选取硬币的可能性以及各硬币抛掷正反面的可能性。
例谈导数中的分类讨论问题
我们研究和解决数学问题的主要依据是题设的 条件与结论，分类讨论的关键是确定准确而又合理 的分类标准，既合情又合理地进行推理判断．而进行 分类讨论时，首先要明确分类讨论的依据，即知道为 什么要分类讨论；其次要明确分类讨论的成因，即知 道是什么引起的分类讨论；最后要明确分类讨论的 方法，即知道如何分类讨论更为恰当．合情的推理与 判断是重中之重，因为它直接决定了解决问题的简 捷性和准确性．所以我们要根据数学研究对象在不 同条件下的异同特征，将其精准地分类划分，再分别 加以解决，最后综合得出整个问题的结论．
故 ｍ＝ｆ（２）＝４（ａ－２）；
当 ７３＜ａ＜３时，ａ－１＜４（ａ－２），
故 ｍ＝ｆ（１）＝ａ－１．
综上所述，所求函数的最小值为
１－ａ， 当 ａ≤１时，
０，
当 １＜ａ≤２时，
ｍ＝４（ａ－２），
当 ａ＜ａ≤ ７ ３时，
ａ－１，
当 ａ＞７ ３时．Biblioteka ２ 探索解题对策，等价转换命题
数学活动的实质就是思维的转化过程，转化是 解题的灵魂，解题的全过程实质上就是一个不断转 化的过程．由于思维角度、方式方法的不同，转化种 类和形式是多种多样的．在转化过程中保持转化的 等价性是至关重要的，等价转化思想是数学解题中 最本质的一类思想．数学问题千变万化，要想既快又 准地解题，必须要善于观察、善于联想、善于进行问 题转化．我 们 所 遇 见 的 许 多 数 学 题 是 生 疏 的、复 杂 的．在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知 识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题 来解．善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和 解题 方 案，恰 当 的 转 化，往 往 使 问 题 得 到 更 好 的 解决．
高中数学解题分类讨论教案
高中数学解题分类讨论教案
一、教学目标：
1.了解解题分类讨论的基本概念；
2.掌握解题分类讨论的基本方法；
3.提高学生在数学解题过程中的思维能力和解题技巧。
二、教学内容：
1.解题分类讨论的概念；
2.解题分类讨论的方法；
3.练习题目讨论。
三、教学重点：
1.掌握解题分类讨论的基本方法；
2.能够运用解题分类讨论的方法解决实际问题。
四、教学难点：
1.理解解题分类讨论的概念；
2.能够灵活运用解题分类讨论的方法解决复杂的数学问题。
五、教学过程：
1.导入：通过一个生活中的实际问题引入解题分类讨论的概念。
2.讲解：介绍解题分类讨论的基本概念和方法，引导学生理解解题分类讨论的重要性和应用价值。
3.练习：组织学生进行一些练习，让他们在实践中掌握解题分类讨论的方法。
4.讨论：学生分组讨论解决一些数学问题，老师给予指导和点评。
5.总结：总结本节课的学习内容，强调解题分类讨论在数学解题过程中的重要作用。
六、课堂小结：
通过本节课的学习，我们了解了解题分类讨论的概念和方法，掌握了解题分类讨论的基本技巧。
希望同学们能够在今后的学习和实践中，灵活运用解题分类讨论的方法，提高解题能力和思维水平。
例谈方程中的分类讨论
ｘ＝２２ 但 ｂ ｃ ａ不能构成三角形 ． ｌ ＝ ， ＋＝， ｘ
２ ０ 年 １ ２月 ０８ －
维普资讯
ａ＋ ａ － ３ Ｏ， ２ ｋ ＝
，
．
．
。一
３
（一 ） － （一 ） １ｏ ３ １． ￣
①当 ｋ 时 ，＝ ３这时 ： ； ≠１ ｎ一 ， ２ ②当ｋｌ ， ＝ 时 两方程均为 帆一＝ ， ： ３０
・
①若 底边 长 ａ４则 ｂｃ方程有两个相等 ＝ ， ＝，
的实数根 ， ・ ． ． ． ＝
二
’ ．
方程 的根是整数 ， ｋ为整数 ， 且
＾ｋ － ， ＝ ｌ此时 ｘ Ｏ １ ＋ ２ 或 ． ＝
综合① 、 ②可知 ， ｋ的值是 ０ １一 ． 、、１
此时 ， 方程化为 ２ ＋ ＝ ， ＿ ４ ０
Ⅱ＋ ２
一 一 —
（ ） ２ 一５ 叶６２ ４ ＿
— 一
ａ —元 二次方 程无 实数根 ， Ａ Ｉ ４ ２ ） 由 ＝ 一 （一 ｍ）０ 解得 ｍ ． ＜， ＜ ／
叶
故原式 的值是 ２ 或 ．
四、 方程根的绝对值 问题的分类讨论
ｂ 一元二次方程有实数根 。 由于分式方 ） 但 程无 实数解 ， 故它 的解 为 ｘ Ｏ 或 ｘ １ 它们 ＝ ， ＝． 把
解 ：设两个方程的公共根 为 ａ ，
语数外学习 （ 九年级 ）
程 ｋ （ 一 ）＋ 一 ＝ ｘ １ｘ ｋ １ ０只有整数根 ， ｋ为整 ＋ 且 数． 试确定 ｋ的值 ．
分析 ： 这里并 没有 指明是二 次方程 ． 故 要 对 二次 项 系数 是否 为 ０进行 讨论 ．当 ｋ ０ ：
分析 ： （ ） ； １略
例谈求解集合问题的常用方法
丐丐丐丐丐丐丐丐丐丐丐丐丐丐丐丐丐丐思路探寻进入高中后，我们最先接触到的数学知识是集合，因而集合问题一般属于基础题目.集合问题主要分成两大类，一类是直接考查与集合相关的知识点，另一类是集合与其他知识点相结合的综合题目.笔者总结了求解集合问题的三种常用方法，以供大家参考.一、定义法利用定义法求解集合问题，主要是根据集合的定义来求解相关问题.我们把一些元素组成的总体叫做集合，而集合中的元素都是互不相同的、唯一的、没有顺序的.在解答集合问题时，我们首先要分析集合中的元素所代表的意义，再对元素的三个性质进行讨论，这样才能确定一个集合.例1.设P 、Q 是两个集合，定义集合P -Q ={|x x ∈P ，}且x ∉Q ，如果P ={}|x log 2x <1，Q ={}|x ||x -2<1，那么P -Q 等于().A.{}|x 0<x <1 B.{}|x 0<x ≤1C.{}|x 1≤x ≤2 D.{}|x 2≤x <3解：先将P 、Q 化简，得P ={}|x 0<x <2，Q ={}|x 1<x <3，由定义P -Q ={}|x 0<x ≤1，故答案为B .该题属于集合的新定义问题，集合P -Q 、P 、Q 分别是三个集合，且集合中的元素都是x 的解集.很多同学在解题时没有分析集合P -Q 中的元素，把P -Q 看作集合P 与集合Q 之差，导致解题出错.因此，在解答有关集合的新定义问题时，要严格按照集合的定义进行求解，这样才能得到正确的答案.二、运用分类讨论思想很多集合问题要分多种不同的情况进行讨论，此时就需要灵活运用分类讨论思想来解题.首先可根据问题中所给的条件进行分析，对所有可能出现的情况进行分类，然后逐一对每种情况进行分析和解答，再进行整合、总结，就能得到问题的答案.例2.已知集合A ={}1,3,5，B ={}1,2,x 2-1，若A ⋃B ={}1,2,3,5,求x 的值以及A ⋂B .解：由A ⋃B ={}1,2,3,5可知，x 2-1的取值有2种情况：①x 2-1=3，此时x =±2，B ={}1,2,3，故A ⋂B ={}1,3；②x 2-1=5，此时x =±6，B ={}1,2,5，故A ⋂B ={}1,5.通过分析可知，B ={}1,2,x 2-1中x 2-1的取值有2种情况：等于3或者5，需要运用分类讨论思想将其分成两类分别进行讨论，求得两种情况下x 的取值，再将其综合便可解题.三、图象法图象法是解答几何问题的常用方法.运用图象法解答几何问题的关键在于把问题中的条件转化为图形，利用直观的图象来解答集合问题.常见的有把集合关系用韦恩图表示出来，把不同的集合在同一数轴上画出来.例3.已知U 为全集，集合M 、N 是U 的子集，若M ⋂N =N ，则下列选项中正确的是().A.C U M ⊇C U NB.M ⊆C U NC.C U M ⊆C U ND.M ⊇C U N解：由题意作出如图所示的韦恩图.由M ⋂N =N 可得N ⊆M ,而M ⊆U ,由图可知C U M ⊆C U N ，故选项C 正确.运用图象法解题，能使集合之间的关系以更加直观的方式呈现出来，这样有利于分析问题，还能提升解题的效率.通过上述分析，同学们能更加深刻地了解解答集合问题的三种方法：定义法、运用分类讨论思想、图象法.在解题时，同学们要注意合理选择解题方法，定义法适用于解答与集合定义有关的问题；运用分类讨论思想适用于求解有多种不同情况的问题；图象法适用于解答方便作图的问题.（作者单位：湖南省江华县第一中学）49Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
例谈课本习题中的数学思想
中 ， Ｃ＝底 面周长 的一半 ＝ Ｂ
ｌ ｃ ’．ＡＣ ＝ Ｏｍ ． ． ＝
可
＝
一１． ７ ０ ７
（ ｍ） 勾股定理 ） ｃ （ ． 答 ： 短路程 约为 １． ７ｍ 最 ０７ｃ ． 即原处还有 尺的竹子．
Ｈ Ｇ
变式 １ 做 一 个 长 ， ， 宽
变 式 ２ （ ７ １ Ｐ５ 题 １改
３ 方 程思 想
ｃｍ
图１
分析
蚂蚁实 际上是在 圆柱 的半个 侧面 内爬行 ， 如
果将这半 个侧 面展 开 （ 如下 图 ） 得 到矩 形 Ａ Ｃ 根据 ， Ｂ Ｄ，
“ 两点之 间 ， 段最短 ” 所 求 的最短路 程就 是侧 面展开 线 ，
图矩形对 角线 Ａ Ｃ之长． 解 如图 ２ 在 Ｒ ＡＡ Ｃ ， ｔ Ｂ
图５
本题 主要算 出木箱 （ 长方体 ） 对角线 Ａ Ｇ的长
ＡＡ Ｅ折 叠 ， 点 Ｄ恰 好 落 在 边 Ｂ Ｄ 使 Ｃ上 一 点 Ｆ处 ， 且
ＡＡ Ｆ的面积是 ３ ｅ 求此时 Ｅ Ｂ ０ｒ ． ａ Ｆ的长．
度， 在直角三角形 Ａ Ｇ中容易算 出 Ｃ
Ａ Ｇ＝ 、 ＝ ＝ ｅ５￣ ＇ｏ ｏ， ～
我们 称 之 为 “ 图” 利 用 这 个 弦 ，
“ 图” 你 能 验 证 ： ＋ｂ 弦 ， 口 ２＝ｃ ２ 吗？把你 的验证过 程写下 来 ， 并 与同伴进行交 流． 、 分析
出其两 条直 角边 口 ｂ则 ｓ 删 即可求 出， ，， 但这 样求 口 ｂ ，
图６ 非常繁杂 ， 至在 现 阶段 不 可 能 ， 甚 如果 注 意 到 Ｓ ＝
又 Ｓ 方 ｃ， 正 形
根据勾股定 理 ， ｂ ＝ 口 ＋ ｃ，
例谈分类讨论思想在解题中的运用
，
５
例如 ： 绝对值 的定义是 ： ＝ （ 一０ ； ＝ ｎ ） ＝ ｏ
ｌａ ＜ ） － （ ｏ 。 ．
所以在解含有绝对值 的不等式 ｌ ｚ ＋ 『 ｇ （ ｌ ｏ ｌ ｌ％ ３ ｏ
解 ：１设 点 Ｍ 的坐标 为（ ， ）依题意可得 ： （） －． ， ｚｙ
￣ ＋ ＋ Ｉ 一２ 一 ４ ／ Ｉ ｚ ｌ ． 根据绝对值的概念 ， 轨迹方程取决于 ｘ ＞２ 还是 ｚ ≤
２ 所 以 以 ２为 标 准 进 行 分 类 讨 论 可 得 轨 迹 方 程 为 ： ，
ｆ（一１（ １ Ｌ ２ ； ４ｚ ）一 ≤ ｚ ＜ ）
。 。
当 ｑ≠ １ 时
二垡 ：
１－ ｑ 州 －
．
一
一
，
一
（ ）求点 Ｍ 的轨迹方 程 ； １
（ ）过原 点 ０作倾 斜角 为 ａ的直 线 与点 Ｍ 的轨迹 ２
曲线交 于 Ｐ、 Ｑ两点 ， 求弦长 Ｉ Ｑｌ 的最 大值及 对应 的倾 Ｐ
于是 当 ０ ％１时 ， 矿一０ Ｉｌ Ｔｏ １ ． ％ｑ ， ．ｍ 一 ．ｉ
的思 想 ， 即根据 问题 的条件 和所 涉及 的概念 ； 运用 的定
些探讨．
变化 ， 弦长 ｊ Ｏｌ 的表达 式不 同 ， Ｐ 故
必须 分点 Ｐ， Ｑ都 在 曲线 Ｙ 一４ ｚ （
／
／／ ｏ ／
Ｐ
＋１上 以及 一点在 曲线 Ｙ 一４ ｘ ） 。 （ ＋
１上 而 另 一 点 在 曲线 Ｙ 一 一 １ （ ） 。 ２ｚ
一
～
３ １
Ｅ ｍａｌｚｊ ｅ ｌ＠ １３ ｃｒ － ｉ ｘｘｋｋ ６ ． ｏ ： ｎ Ｊ
例谈分类讨论的常见依据
慝 １ Ｌ ”， ｆ （ ｇ ， ｌ≠ ＋ ） ． １‘ ’
＝１ ；
当 ｇ ， ３ａ ＝１ ， ＝± ， ＝１ 即 ｔＩ ｌ 时 得
Ｌ＝
３ ＝０ 所 以 ０ ≠０ 即 ） ） ， ） ， 不是奇 函数． 又 ２一 ）
函数． （ ） ２一（ ） － （ Ⅱ） ＝ ２一 ） ｆ ２＋（ ） ２一 ） ＝ ４一 － （ ） ｆ ７一（ ） － （ ３＋ ）－ ７＋（ ） ｆ ３＋ ）
如排列 、 组合 、 概率 中较常 见 ， 不明显 ， 但 有些应 用问题也需 分类讨论 ． 侧 ３ 一种赌博游 戏 ： 一个布袋 内装 有 ６ 红球 个 与 ６ 自球 ， 个 除颜色不同外 ， １ 个球 完全一 样 ， 这 ２ 每 次从袋 中摸 出 ６个球 ， 赢 规 则 为 ： 全 红 赢得 输 ６个 １０元 ； １ ０ ５红 白赢 得 ５ 元 ； ２白赢得 ２ ； 红 ０ ４红 ０元 ３ ３白输掉 １０元 ； ４白赢 得 ２ ； 红 ５白赢得 ０ ２红 ０元 １
（） ± 时 ＝ｍｌｌ１ ｉ ＝詈 ， ； 当 ｏ ， ｎ ， ＝ 卜 １ ＋ ’ ∞ ｉ ∞
（） 一 詈 ０ ， ｉ当 詈＜＜ 且 ≠ 时 ｉ
［００２０ ］ ２０ ， ５ 上仅有 ２个根， ［ ００ ０ 内仅有 ０ 在 一２０ ， ］ ４０个根 ， ［一２０ ，一２０ ］ 没 有 根， 在 ０ 在 ０５ ００ 上 故
空并 全” 的完全分类． 下面举例来 说 明分类 讨论 常见
的依据．
１ 由概念 内涵引起 的分 类
例 知 项 １ 比 ３ 一 号 ２已首为， 为恤 （号＜ 公 ＜
且 ≠０的等 比数 列 的前 ， 和 为 Ｓ ， ） ｔ 项 设 ＝ 求 ｌ ． ｉ ａ ｒ
， ＿．∞
例谈含绝对值不等式的分类讨论法
例谈含绝对值不等式的分类讨论法
1 含绝对值不等式的定义
含绝对值不等式是数学中一类描述实数之间关系的不等式，一般
用符号|a|≤b、|a|<b、|a|≥b或者|a|>b来表示。
其中|a|代表a的
绝对值，而它们本身又是另外一类“非负” 或“非正” 的不等式。
2 类型分类
含绝对值不等式可以按照实数a和b是否有限大小均分为四种：
1）若a、b都为有限范围内的实数，则有|a|≤M、|a|<M、|a|≥M
或者|a|>M,其中M为常数。
2）若a为有限范围内的实数，而b为正无穷大，则有|a|≤∞、
|a|<∞、|a|≥∞或者|a|>∞。
3）若a为正无穷大，而b为有限范围内的实数，则有∞≤|a|、
∞<|a|、∞≥|a|或者∞>|a|。
4）若a、b都为正无穷大，则有∞≤|a|、∞<|a|、∞≥|a|或者∞>|a|。
3 总结：
总之，含绝对值不等式是数学中一类描述实数之间关系的不等式，有着无限多的变体，它们可以按照参与运算的变量a和b是否是有限
范围内的实数或正无穷大来分为四类。
高一函数分类讨论知识点
高一函数分类讨论知识点函数是数学中的一个重要概念，在高一数学课程中，我们学习了函数的基本概念和性质。
在进一步学习函数的分类讨论之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是一种数学关系，它将一个集合的每个元素（称为自变量）映射到另一个集合的唯一元素（称为函数值）。
一个函数可以用公式、图像或者表格等形式来表示。
在函数的定义中，我们通常使用字母表示函数，并以函数名、自变量、函数值和定义域等来描述它的特征。
在高一数学课程中，我们主要学习了以下几种常见的函数分类讨论知识点：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数。
一次函数是形如y = kx + b的函数，其中k和b是常数。
一次函数的图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是常数且a不等于0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定，a的绝对值越大，抛物线越狭窄。
指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是一个正常数且不等于1。
指数函数的图像为一条逐渐上升或下降的曲线，底数a决定了曲线的形状，底数大于1时曲线逐渐上升，底数在0到1之间时曲线逐渐下降。
对数函数是与指数函数相反的函数，形如y = loga(x)，其中a是一个正常数且不等于1。
对数函数的图像为一条逐渐上升或下降的曲线，底数a决定了曲线的形状，底数大于1时曲线逐渐上升，底数在0到1之间时曲线逐渐下降。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们与三角比例之间存在着特定的关系。
三角函数的图像是周期性的波动曲线，其中周期和振幅由函数的系数确定。
除了上述几种函数分类讨论知识点外，我们还可以将函数根据定义域和值域的不同进行分类。
比如，有界函数是定义域和值域都有界限的函数；无界函数是定义域或值域至少一个为无界的函数；奇函数是满足f(-x) = -f(x)的函数；偶函数是满足f(-x) = f(x)的函数。
高一同步秋季数学讲义：不等式的转化与分类讨论(提高)【讲师版】
高一同步 数学“不等式的转化与分类讨论（提高）”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长在各类不等式问题中，第一眼似乎无从下手，所以我们要找到分类的方法并统一解决，这就涉及不等式的转化和分类讨论。
在各个考试中的不等式题或多或少会涉及这个知识点，一般是中等的难度，是我们必须要熟练掌握的内容。
一． 含有参数的不等式含有参数的不等式叫含参数的不等式.解含参数的不等式要分类讨论.二．分式不等式与高次不等式1．分式不等式：分母里含有未知数的不等式叫分式不等式: 即形如0)()(>x g x f 或0)()(<x g x f （其中)(),(x g x f 为整式且0)(≠x g ）的不等式，称为分式不等式。
解分式不等式可根据不等式的性质，将其转化为一元一次不等式组、一元二次不等式组或一元高次不等式组，然后再求得不等式的解集。
而要求不等式组的解集，可以先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求这些解集的交集，这个交集就是不等式组的解集。
在求得分式不等式时，需要注意的是使不等式中的分式有意义。
2．高次不等式：一般采用列表法或数轴标根法解简单的高次不等式。
对于简单的高次不等式，可先通过移项，将不等式的一边化为零，再将另一边的多项式分解成若干个一次因式或二次因式乘积的形式，并且使多项式中未知数的最高次项系数为正数，然后根据实数运算的符号法则，用列表或数轴标根法，求出不等式的解集。
一般由于列表法比较烦，所以多数采用数轴标根法进行求解．三．含绝对值的不等式在绝对值符号里含有未知数的不等式叫绝对值不等式。
解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：（1）根据绝对值的意义作分类讨论；（2）两边平方，将绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式后再进行求解。
（3）根据公式。
四．无理不等式：被开方式里含有未知数的不等式叫无理不等式?解无理不等式应根据不等式的性质先转化为有理不等式组，然后再进行求解。
在转化过程中必须注意：（1）含有未知数的根式都有意义； （2）必须讨论不等式两边的符号；（3）不等式两边均为非负数时，才能同时进行同次乘方，消去根号。
高中数学分类教案推荐
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教学目标：
1. 掌握数学分类的基本概念和原理；
2. 熟练运用数学分类方法解决实际问题；
3. 培养学生的逻辑思维和分析能力。
教学重点：
1. 数学分类的定义和性质；
2. 数学分类方法的应用。
教学难点：
1. 深入理解数学分类的原理；
2. 灵活运用数学分类方法解决问题。
教学过程：
一、引入：通过展示一些具体的例子，引导学生认识数学分类的重要性和应用价值。
二、概念讲解：介绍数学分类的定义和基本性质，让学生了解数学分类的基本概念。
三、方法讲解：讲解不同的数学分类方法，如交集、并集、补集等，让学生了解各种分类
方法的原理和应用。
四、示例演练：通过一些实际问题的演练，让学生熟练掌握数学分类方法的应用技巧。
五、实际应用：引导学生应用数学分类方法解决一些实际问题，培养他们的逻辑思维和分
析能力。
六、总结归纳：对本节课的内容进行总结和归纳，强化学生对数学分类概念和方法的理解。
教学资源：教科书、实物示例、多媒体课件等。
教学评价：通过课堂练习和作业评价学生对数学分类理论和方法的掌握情况。
课后拓展：引导学生自主学习更多数学分类的相关知识，并尝试应用到实际问题中。
教学反思：根据学生实际情况和反馈，及时调整教学方法和内容，以提高教学效果。
高一数学说题实录优秀范文
高一数学教研—说题尊敬的各位领导，各位老师，大家好！非常感谢葫芦岛市教研中心，给我们提供这个平台，和大家交流。
今天我们把高一数学组的教研过程展示给大家，希望各位同仁能够参与进来，留下宝贵的意见。
必修1教材内容我们已经学习完了，必修2立体几何第一节的教学本周也已经完成了，下面我们即将出一套周测卷。
海盼盼老师已经把我们各个小组的题目进行整合并下发给各位老师。
今天我们对各组所选题目进行说题，大家共同探讨题目的取舍和题目讲解过程中需要注意的问题。
下面我们从试题的来源，课标对知识点的要求，考察的目的，试题的解题思路，涉及到的思想方法，试题的拓展延伸，学情等方面进行说题。
现在由第一小组开始进行说题：第一小组：主发言人（王颖楠老师）：我们小组所选题目主要围绕“集合与函数定义域、值域及表示方法”。
课标中对本部分的要求是理解集合的概念，掌握集合之间的关系与基本运算。
集合作为一种数学语言，在高考中载体比较丰富。
主要与不等式，函数的定义域、值域结合。
单独的集合知识并不难。
针对集合部分的特点，我们组选择了（1）、（2）两个小题。
（1）题主要结合必修1中指对函数内容，主要考察简单指对不等式解法,及集合的基本运算。
第(2)小题要求学生能够由并集运算的出集合间的包含关系，并依据该关系对含参不等式的两端取值进行讨论。
教授过程中提醒学生注意，集合B可能为空集。
当集合B非空时，想使含参不等式成立，不等式两端取值应满足相应条件。
针对定义域值域表示方法，课标中要求会求简单函数的定义域、值域，会根据不同的需要选择恰当的函数表示方法。
（3）、（4）题把二次函数，对数函数与二次根式结合，分别考察了二次函数与具体函数和抽象函数的定义域求法。
（5）、（6）、（7）题主要考察函数的最值与恒成立问题，（5）题可以由a值大小讨论单调性，从而分别得出最值，也可以直接分析函数解析式，发现无论a取何值函数必单调，所以最值必在区间两端点取得。
所以直接加和即可。
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例谈高一数学中的分类讨论
学习目标：
分类讨论是数学学习中不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，集合中的分类讨论，二次函数中的分类讨论，直线中的分类讨论，下面我们来一一探讨：
一、集合中的分类讨论
集合中的空集是一个不可忽视的特例，由集合是否为空集会引起分类讨论 例1、设集合{}{}|237,|121A x x B x m x m =-≤=+≤≤-，若A
B A =，则实数m 的取值范围是_________
解析：A 集合为[]2,5-，由A B A =可知B A ⊆；
当B =∅时，可得1212m m m +>-⇒<，
当B ≠∅时，结合数轴可得：121212
32153m m m m m m m +≤-≥⎧⎧⎪⎪+≥-⇒≥-⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩
即23m ≤≤， 综上可得：m 的取值范围是(],3-∞
二、二次函数中的分类讨论
二次函数在闭区间上的取值，要考虑对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论，注意数形结合.
例2、已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .
当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.
当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，即a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍去)．
当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.
综上可知，a ＝－1或a ＝2.
三、直线中的分类讨论
直线中的分类讨论主要是两个方面，一是斜率是否存在，二是截距是否为零. 类型一：斜率引起的分类讨论
例3、过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．
解析：（1）当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；
（2）当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1
＝5，解
得k＝3 4.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
例4、已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为______________．
解析：①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；
②当m≠2时，直线l的方程为y－1
3－1
＝
x－2
m－2
，即2x－(m－2)y＋m－6＝0.
因为m＝2时，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，
所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.
类型二：截距引起的分类讨论
例5、过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．
解析：①若直线过原点，则k＝－4
3，所以y＝－
4
3x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点．设x
a＋
y
a＝1，即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的
方程为x＋y＋1＝0.
例6、求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
解：当直线不过原点时，设所求直线方程为
x
2a＋
y
a＝1，将(－5,2)代入所设
方程，解得a＝－1
2，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方
程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－2
5，所以直线方程为y＝－
2
5x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.。