数学模拟试题答案

参考答案1．B 2．D∵a 、b 为正实数，191a b+=，∴199()1010b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+⎪+⎭=⎝+，当且仅当9b aa b=，即4,12a b ==时等号成立， ∴min 6()1a b =+，要使c a b ≤+恒成立， ∵c 为正实数， ∴016c <≤ . 故选：D. 3．A 【解析】由题意，根据诱导公式得311cos()sin sin 233πααα-=-=⇒=-，又因为sin 0α<，所以02πα-<<，所以cos α=所以1sin 22sin cos 2()339ααα==⨯-⨯=-，故选A ． 4．B 【解析】【分析】令π4αβ-=，求出1sin 2β=，则21sin 2cos212sin 2αββ==-=.【详解】令π4αβ-=，则π4αβ=-，π222αβ=-， π1sin 23sin()4αα+=-可化为1cos23sin ββ+=，即222sin 3sin ββ-=，22sin 3sin 20ββ+-=，(sin 2)(2sin 1)0ββ+-=，所以1sin 2β=，则21sin 2cos212sin 2αββ==-=，故选B ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】由已知条件，先求出ω，进而得出()f x 的解析式，最后根据三角函数对称中心的特点，代数验证12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得出答案. 【详解】因为()f x 的图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以最小正周期T π=，则2T ππω==，解得2ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.而sin 2012126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()y f x =的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选:A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，涉及到最小正周期公式和对称中心、对称轴的特点. 6．B 【解析】A 项，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 项错误；B 项．πππ2sin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点对称π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 项正确；C 项．π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移π2个单位后得到π2sin 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，不关于原点对称，故C 项错误；D 项，ππ,122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当πππ2,322x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，即π5π,1212x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，当ππ2π2,323x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即5ππ,122x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，故D 错误；综上，故选B . 点睛：本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，()sin y A ωx φ=+ 的图象变换规律，属于基础题；最小正周期为2πω，正弦函数的图象过对称中心，正弦函数sin y u =的增区间满足22,22k u k k Z ππππ-+≤≤+∈等.7．A 【解析】 试题分析：()f x 是奇函数，()()()()()(),0,11x x x x f x f x f x f x k a a k a a --∴-=-∴-+=∴--+--()()20,20,2x x k a a k k -=-+=∴-=∴=．又()f x 在A 上是减函数，．排除．的图像是由图像左移两个单位得到，故选．考点：函数的图象及其性质． 8．C 【解析】 【分析】设BC a =，则AC =，利用余弦定理可求得22211cos 162a B a =+-，再利用三角形的面积公式可求得sin ABCSa B =，继而可求2221(12)816ABC S a =--+，从而可得△ABC 面积的最大值．【详解】解：依题意，设BC a =，则AC =，又2AB =，由余弦定理得：222)2cos a AB a AB B =+-， 即24cos 40a a B +-=∴241cos ,44a aB a a -==-∴22211cos ,162a B a =+-∴222231sin 1cos ,216a B B a=-=--∵11sin 2sin sin 22ABCSAB BC B a B a B ==⨯= ∴222222222311sin ()(12)821616ABCa Sa B a a a ==--=--+当212a =时，即a = 2、∴2max 8S =∴max S =故选 C ． 【点睛】本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得2221(12)816ABC S a =--+是关键，也是难点，属于难题． 9．CD 【解析】 【分析】由弧度与角度不能混用,排除,A B ,把94π化成角度数,变成2360315⨯-,说明C 正确,把94π变成744ππ-,说明D 正确. 【详解】弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A ，B 错误;因为99454054π=⨯=2360315=⨯-,所以C 正确; 因为916774444ππππ-==-=,所以D 正确. 故选,C D . 【点睛】本题考查了终边相同的角的表示,属于基础题,注意:在同一个表达式中,弧度与角度不能混用. 10．BD 【解析】 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于111222n n n n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD 【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 11．ABC 【解析】 【分析】对于A ，特称命题要为真命题，只要有1个满足即可； 对于B ，作差比较大小即可；对于C ，命题的否定是改量词，否结论；对于D ，方程无实根的充要条件为240a ∆=-<，即22a -<<，由此可判命题的真假. 【详解】A ，取10x =，得出x R ∃∈，使得2ln x x ->，故A 正确；B ，因为()2222223(1)(1)10x y x y x y +---=-+-+≥，所以x ∀，y R ∈，都有22223x y x y +≥--，故B 正确；C ，命题“0x ∀>，20x x +>”的否定是“0x ∃>，20x x +≤，故C 正确；D ，实系数一元二次方程210x ax ++=无实根的充要条件是240a ∆=-<，即22a -<<，所以“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=无实根”的必要不充分条件，故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】此题考查了特称命题的真假判断、命题的否定、充分条件必要条件的判断等知识，综合性强，但难度不大，属于基础题. 12．ACD 【解析】 【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于cos α的一元二次方程，解方程求得cos α，根据特殊角三角函数值和α的范围可求得结果. 【详解】由题意得：cos cos2αα=- 22cos cos 10αα∴+-=，解得：cos 1α=-或1202απ<< απ∴=或3π或53π 故选：ACD 【点睛】本题考查根据三角函数值求角的问题，涉及到复数实部和虚部的概念、二倍角公式的应用等知识；关键是能够通过实部和虚部互为相反数构造出关于cos α的方程. 13．11616 【解析】 【分析】由13AD DC =得14AD AC =，再,,B P D 三点共线得41m n +=，进而利用基本不等式分别求得mn ，41m n+的最大值和最小值. 【详解】 如图所示，由13AD DC =得14AD AC =， 所以4AP mAB nAD =+，所以41m n +=()0,0m n >>，所以21141(4)()44216m n mn m n +=⋅≤=，等号成立当且仅当11,28m n ==，所以mn 的最大值为116. 因为414116()(4)816n m m n m n m n m n +=++=++≥，等号成立当且仅当11,28m n ==， 所以41m n+的最小值为16. 故答案为：116；16. 【点睛】本题以向量为问题背景，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要会用“1”的代换，构造可以利用基本不等式求最值的式子，同时注意验证等号能否成立. 14．11 【解析】 【分析】当1q =时，求得36S =与38S =矛盾，得到1q ≠，再利用23228a S a a q q=++=，得到231a q =-，化简51234533S a a a a a a a ++++=，并借助231a q =-，即可求得53S a 的值.【详解】设等比数列的公比为q ，当1q =时，323326S a ==⨯=与38S =矛盾，所以1q ≠，22a =，∴23123222228a S a a a a a q q q q=++=++=++=， 即2310q q -+=，解得231q q =-，51234533S a a a a a a a ++++= 23222222q q q q q++++=23421+q q q q q +++=()()()221313131q q q q q q++-+-+-= 221231q q q -+=11=故答案为：11. 【点睛】本题考查的是有关等比数列的问题，求解本题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程，属于中档题. 15．(]{}0,24【解析】 【分析】将三角函数式变形,结合正弦定理即可求得角B.根据满足条件的ABC ∆有且仅有一个即可求得a 的取值范围. 【详解】因为2sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,化简可得2sin cos 6b aA B π=⎛⎫- ⎪⎝⎭根据正弦定理可知,sin sin b aB A= 所以2sin cos 6bbBB π=⎛⎫- ⎪⎝⎭ 由余弦的差角公式,展开可得12sin sin 22B B B =+即3sin 2B B =,即tan B = 因为0B π<< 所以6B π=若满足条件的ABC ∆有且仅有一个 则sin a B b =或0a b <≤代入可得24sin sin 6b a B π===或02a <≤ 所以实数a 的取值范围为(]{}0,24故答案为: (]{}0,24【点睛】本题考查了三角函数式恒等变形,正弦定理及判断三角形个数,三角形仅有一个的成立条件,属于中档题. 16．1−ln24【解析】试题分析：由f ′(x)=1−lnxx 2，得f ′(2)=1−ln24.考点：考查导数的运算17．（1）132．（2）–4． 【解析】 【分析】（1）利用对数运算法则化简求解即可．（2）通过对数方程求出x ，y 的关系，化简所求表达式求解即可． 【详解】（1）log )(01254(9.8)3lg lg log ++-+-=32+lg100+1+2=132（2）∵x ＞0，y ＞0，x ﹣2y ＞0∴102yx＜＜ ∵lgx+lgy=2lg （x ﹣2y ）， ∴xy=（x ﹣2y ）2， ∴254()10y yx x-+=， ∴()114y yx x==或舍去-=﹣4 【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．18．（1）2a =，1b =-；（2）最大值为2e 1+，最小值为3ln 2+. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a ，b 的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f （x ）在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值． 【详解】（1）因为()x 1f x alnx x +=+，()22a 1x af x x x x-=-+='， 则()f 11a '=-，()f 12a =，函数()f x 在点()()1,f 1处的切线方程为：()()y 2a 1a x 1-=--，由题意得1,315a b a -=⎧⎨-=⎩，即a 2=，b 1=-.（2）由（1）得()x 1f x 2lnx x+=+，函数()f x 的定义域为()0,∞+， ∵()2221x 2f x x x x-=-+='，∴()f x 00x 2<⇒<<'，()f x 0x 2>'⇒>， ∴()x 1f x 2lnx x+=+在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增． 故()f x 在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]2,e 上单调递增，∴()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()f 23ln2=+．又1f 2e 1e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2f e 3e =+，且()1f f e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭． ∴()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1f 2e 1e⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.综上，()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2e 1+，最小值为3ln2+【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,准确计算是关键，是中档题.19．（Ⅰ）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）(2⎤+⎦ 【解析】 【分析】（Ⅰ）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，利用正弦定理求得ABC ∆的周长a b c ++的解析式，再利用三角恒等变换化简为24sin()6B π++，利用正弦函数的定义域和值域，求得它的范围．【详解】解：（Ⅰ）()2222cos 22cos cos 2cos sin 2sin 1cos 2333f x x x x x x πππ⎛⎫=-+=+++ ⎪⎝⎭11cos 221cos 22cos 212222x x x x x =-+++=++sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 3sin 21,262x π⎛⎫⎡⎤∴++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()f x 的值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）由()3sin 2162f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由0A π<<， 得132666A πππ<+<，得5266A ππ+=，得3A π=.故())sin sin 2sin sinsin a a b c a B C B C A ++=++=++32sin sin 2sin cos322B B B B π⎛⎫⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭124cos 24sin 26B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由3A π=，得62B ππ<<，得2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，得224sin 66B π⎛⎫+<++≤ ⎪⎝⎭，得26a b c +<++≤.锐角ABC ∆的周长的取值范围为(2⎤+⎦. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．20．(1) [10,90]．(2) y ＝152x 2－500x ＋25 000(10≤x ≤90)（3）1003【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立不等式求解；(2)借助题设条件建立等式即可；(3)运用二次函数的知识求解. 试题解析：（1）的取值范围是；（2）；（3），所以当时，，故核电站建在距A 城km 处，能使供电总费用y 最少.考点：二次函数的图象和性质及有关知识的综合运用．21．（1）2-；（2）1(13)(2)9nn n S -+-=. 【解析】 【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论. 【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，1,2q q ≠∴=-；（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++-，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+-，②①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++---1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--， 1(13)(2)9n n n S -+-∴=.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.22．（1）增区间是()1,a --+∞，减区间是(),1a -∞--.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求导函数()'f x ，分别令()0,()0f x f x ''><，解出不等式，即可得到函数()f x 的单调区间；（2）由2()(),0g x f x a x =--= 得方程 ()0x ax e x --=，显然 0x = 为此方程的一个实数解.当0x ≠时, 方程可化简为0x a e x --=，设函数(),x a h x e x -=-利用导数得到()h x 的最小值, 因为min ()()1h x h a a ==-，再对a 讨论，得到函数()g x 的零点个数.【详解】解：（1）因为()()xf x ex a =+，所以()()1x f x e x a '=++.由()0f x '>，得1x a >--；由()0f x '<，得1x a <--. 所以由()f x 的增区间是()1a --+∞,，减区间是(),1a -∞--.（2）因为()()()22x a x ag x f x a x xe x x e x --=--=-=-.由()0g x =，得0x =或0x a e x --=. 设()x ah x ex -=-，又()00a h e -=≠，即0x =不是()h x 的零点，故只需再讨论函数()h x 零点的个数. 因为()1x ah x e-'=-，所以当(),x a ∈-∞时，()()0,h x h x '<单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增. 所以当x a =时，()h x 取得最小值()1h a a =-. ①当()0h a >，即1a <时，无零点；②当()0h a =，即1a =时， ()()0,h x h x >有唯一零点； ③当()0h a <，即1a >时，因为()00ah e-=>，所以()h x 在()a -∞，上有且只有一个零点. 令2x a =，则()22ah a e a =-.设()()()()22120aaa h a e a a a e ϕϕ'==->=->，则，所以()a ϕ在()1+∞，上单调递增， 所以，()1,a ∀∈+∞，都有()()120a e ϕϕ≥=->.所以()()2ah a a e a ϕ==-2>0.所以()h x 在(),a +∞上有且只有一个零点. 所以当1a >时，()h x 有两个零点综上所述，当1a <时，()g x 有一个零点； 当1a =时，()g x 有两个零点； 当1a >时，()g x 有三个零点. 【点睛】本题考查了利用函数确定函数的单调区间，利用导数判断函数零点的个数，考查了逻辑思维能力，运算能力，分类讨论的思想，属于中档题.。