山西省忻州市原平新原乡中学2020年高三数学理模拟试题含解析

山西省忻州市原平新原乡中学2020年高三数学理模拟
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
log2sin+ log2cos的值为
A. - 4
B. 4
C. 2
D. -2
参考答案：
答案：D
2. 已知等差数列{a n}满足a3+a13﹣a8=2，则{a n}的前15项和S15=（）
A．60 B．30 C．15 D．10
参考答案：
B
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列通项公式求出a1+7d=a8=2由此能求出{a n}的前15项和S15．
【解答】解：∵等差数列{a n}满足a3+a13﹣a8=2，
∴a1+2d+a1+12d﹣（a1+7d）=2，
即a1+7d=a8=2
∴{a n}的前15项和S15===15a8=30
故选：B
3. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣6，则f（f（2））=（）
A．﹣B．C．﹣2 D．2
参考答案：
D
【考点】3T：函数的值．
【分析】当x＜0时，f（x）=﹣+6，先求出f（2）=22﹣6=﹣2，从而f（f（2））=f （﹣2），由此能求出结果．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＞0时，f（x）=2x﹣6，
∴当x＜0时，f（x）=﹣+6，
∴f（2）=22﹣6=﹣2，
f（f（2））=f（﹣2）=﹣+6=2．
故选：D．
4. 已知正方体，过顶点作平面，使得直线和与平面所成的角都为，这样的平面可以有（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个参考答案：
B
5. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定
是()
A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
参考答案：
D
6. 已知=
A．B．C．D．
参考答案：
D
由得，所以所以，选D.
7. 的外接圆的圆心为，，，则等于
A．B． C．D．
参考答案：
C．
8. 已知函数是定义在内的单调函数，且对
，给出下面四个命题：
①不等式恒成立
②函数存在唯一零点，且
③方程有两个根
④方程（其中为自然对数的底数）有唯一解，且.其中正确的命题个数为（）
A.个
B.个
C.个
D.个
参考答案：
B
试题分析：令,则,注意到的任意性可得
.由于当时,,因此①是正确的；由于
,即函数是单调递增函数,且
,因此函数在上存在唯一的零点,故②是正确的；设,则,即函数是单调递增函数,且只有一个零点,故答案③是错误的；令,因
,故是单调递增函数,且
,因此④是错误的.故应选B.
考点：函数的定义及对应法则及函数的图象和性质的综合运用.
【易错点晴】本题是一道以函数满足的条件为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合性应用问题.解答本题的关键是如何理解这一条件进行等价转化化归与利用.求解时依据题设条件先构造函数
,则,然后逐一对所提供的四个答案进行分析推证,从而使得问题最终获解.
9. 下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填
入（）
A．q= B．q= C．q=
D．q=
参考答案：
D
10. 已知向量、满足，，，则
A. B. 3 C. D.
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点P在圆x2+y2=1上运动，则P到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为．
参考答案：
2
略
12. 在中，内角的对边分别为，若，，，则
的面积__________．
参考答案：
13. 关于函数,有下列命题：
①其图象关于轴对称；
②当时,是增函数；当时,是减函数；
③的最小值是；
④在区间上是增函数；
⑤无最大值,也无最小值．
其中所有正确结论的序号
是．
参考答案：
解：（1），………………………2分
……………………………………4分
……………………………………………………………5分（2）为：………………………………………………………………6分而为：，…………………………………………8分
又是的必要不充分条件，即………………………………………9分
所以或或
即实数的取值范围为。

………………………………10分14. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球
个数的数学期望是_____ __.(用数字作答)
参考答案：
1.2
略
15. 函数的最小正周期为，其中，则 .
参考答案：
6
;
16. 某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为．
参考答案：
a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐共有8种情况，其中三人在同一个食堂用餐共有2种情况，故概率为2÷8＝．
17. 已知函数是上的减函数，那么的取值范围为__________________
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）
已知函数定义在上，对任意的，，且.（I）求，并证明：；
（II）若单调，且.设向量，，对任意，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
【知识点】平面向量数量积的运算；抽象函数及其应用；三角函数中的恒等变换应用．菁C7 F3
【答案解析】（I）见解析；（II）。

解析：（I）令得，又∵，， 2分由得=，
∵，
∴.
5分
（II）∵，且是单调函数，∴是增函数. 6分
而，∴由，得，
又∵因为是增函数，∴恒成立，.
即
.
8分
令，得 (﹡).
∵，∴，即.
令， 10分
①当，即时，只需，(﹡)成立，
∴，解得
； 11分
②当，即时，只需，(﹡)成立，
∴，解得，∴. 12分
③当，即时，只需，(﹡)成立，
∴，∴，
综上，
.
13分
【思路点拨】（Ⅰ）令得，又∵，，由
得=，即可证明；
（II）由于，，且是单调函数，即可得出是增函数．利用数量积运算可得，利用可得恒成立，．通过换元、分类讨论再利用二次函数的单调性即可得出．
19. 在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.
参考答案：
(1)由，得，化成直角坐标方程，得
，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离
，当
，即时，，故点到直线的距离的最大值为.
(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，，恒成立，即（其中）恒成立，，又，解得，故取值范围为.
20. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的b最小的整数值．
参考答案：
（1）见解析（2）
【分析】
（1）用导数讨论单调性，注意函数的定义域；（2）写出的具体形式，然后分离参数，进而讨论函数最值的范围，得出整数参量的取值范围.
【详解】解：(1)由题意，函数的定义域为，
当时，，单调增区间为：
当时，令，
由，得，，
的单调递增区间为，的单调递减区间为：
(2)由，
因为对任意的恒成立
当时对任意的恒成立，
，
只需对任意的恒成立即可。

构造函数
，
且单调递增，
，
一定存在唯一的，使得
即，.
单调递增区间，单调递减区间．
的最小的整数值为
【点睛】本题考查用导数讨论函数单调性和函数的最值问题，其中用构造函数，属于函数导数不等式的综合题，难度较大。

21. （本小题满分12分）设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上
点、分别满足下列两个条件：①且；
②且.
（1）求及的坐标；
（2）若四边形的面积是，求数列{}（）的前n项和.
参考答案：
解：（1）
．…………………………………4分（2）
，
…………………………………………………12分
略
22. 已知抛物线y2=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x交于点C．
（1）求证：|MA|，|MC|、|MB|成等比数列；
（2）设，，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；等比关系的确定．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）设直线l的方程为：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比数列，从而解决问题．
（2）由，得，，
，从而利用x1，x2，及k来表示α，β，最后结合（1）中根系数的关系即得故α+β为定值．
【解答】解：（1）设直线l的方程为：y=kx+2（k≠0），
联立方程可得得：k2x2+（4k﹣4）x+4=0①
设A（x1，y1），B（x2，y2），，
则，
②，
而，
∴|MC|2=|MA|?|MB|≠0，
即|MA|，|MC|、|MB|成等比数列
（2）由，得，，
即得：，，
则
由（1）中②代入得α+β=﹣1，
故α+β为定值且定值为﹣1
【点评】本小题主要考查等比关系的确定、向量坐标的应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．。