激光物理汇总

1. 不考虑原子在态上的衰减时，二能级系统态的运动方程为
()()()()
()()()()
a b i a t a t E b t V t i b t b t E a t V t =+⎧⎪⎨
=+⎪⎩ 式中()()exp[]a a t A t i t ω=-；()()exp[]b b t B t i t ω=-；/a a E ω=，/b b E ω=；
0()cos V t DE t ω=-。

假设光场与二能级原子共振（共20分） （1） 推导旋波近似条件下的()A t 和()B t 所满
足的方程
（2） 假设初始条件为(0)1A =和(0)0B =，试
利用迭代法求解旋波近似条件下()A t 和
()B t 的一级近似解(1)()A t 和(1)()B t 以及
三级近似解(3)()A t 和(3)()B t
解：（1）将()A t 和()B t 的表达式代入两能级运动方程，约化得到
00()exp[()]()exp[]
()exp[()]()exp[]
b a b a i A BV t i t BV t i t i B AV t i t AV t i t ωωωωωω⎧=--=-⎪⎨
=--=⎪⎩ （1.1） 式中0b a ωωω=-。

由共振条件0ωω=，上式可简化为
00000000
(cos )exp[](1exp[2])2
(cos )exp[](1exp[2])
2
DE i A B DE t i t B i t DE i B A DE t i t A i t ωωωωωω⎧=--=-+-⎪⎪⎨
⎪=-=-+⎪⎩ （1.2） 旋波近似即忽略上式中的快变量，0exp[2]i t ω-和0exp[2]i t ω，即得到旋波近似条件下的()A t 和()B t 所满足的方程
002
2
DE i A B gB DE i B A gA
⎧
=-=⎪⎪⎨
⎪=-=⎪⎩ 其中02DE g =- （1.3）
（2）假定级数解形式如下
b
0()0/
b a ωεε=-
(0)(1)(2)(3)
(0)(1)(2)(3)A A A A A B B B B B ⎧=++++⎪⎨=++++
⎪
⎩ （1.4）
由题可得，(0)(0)1;0A B ==。

将微扰形式解代入式（1.3），可得
(1)(0)(1)(0)g A B i g B A i ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（1.5）(2)(1)(2)(1)
g A B i
g B A i ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（1.6）(3)(2)
(3)(2)g A B i g B A i ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1.7） 由方程（1.5）—（1.7）可得
(1)(1)0
A g
B t i ⎧=⎪
⎨=⎪⎩；2(2)2(2)
120g A t i B ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨
⎝⎭⎪=⎩；(3)3(3)3013!A g B t i ⎧=⎪⎨⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎩
一级近似解为：
1A g B t i =⎧⎪⎨=⎪⎩
（1.8） 三级近似解为：
2
23
311213!g A t
i g g B t t i i ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
（1.9）
2. 设原子系统哈密顿量为：0122112222H εεω=+≡（其中10ε=），能级图如图所示。

电磁场()()001
cos 2
i t i t E E t E e e ωωω-==
+，原子偶极矩μ为实数，Rabi 频率为0/E μΩ=。

推导旋波近似条件下的Bloch 方程，并阐述各方程物理意义。

解：系统的哈密顿量为
()()
021*******cos i
H H H t ωω=+=-Ω
+
密度矩阵方程服从刘维方程
2
1
ωω
∆=-
()
ij ik
kj ik kj k
k
i
i j H
H i
i H k
k j i k k H j ρρρρρρ==--⎡⎤=-
-⎣⎦
∑∑
两能级密度矩阵方程为
()212121212211()i
t i V ρωρρρ=-+-
()122112122211()i
t i V ρωρρρ=-- 2221122112()i
t V V ρρρ=--⎡⎤⎣⎦
1121121221()i
t V V ρρρ=-⎡⎤⎣⎦
其中2112V E V μ=-=。

唯相加入衰减之后，密度矩阵方程为
()21221212211()()()()i
t i t E t t ρωρμρρ=-Γ+--⎡⎤⎣⎦ ()12221122211()()()()i
t i t E t t ρωρμρρ=-Γ-+
-⎡⎤⎣⎦
22122221221()()()()i
t t E t t ρρρμρρ⎡⎤=Γ-+
-⎡⎤⎣⎦⎣⎦
011111111221()()()()i
t t E t t ρρρμρρ⎡⎤=Γ---⎡
⎤⎣⎦⎣⎦ 令21211212()()()()i t i t t t e t t e ωωρρρρ-==，上式可写为
[]()21212221122211002i t i i i E e E t ωρρωωρρρ-∂⎡⎤+=-Γ-+-⋅+⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ []()22121221212211002i t
i i i E E e t ωρμρωωρρρ∂⎡⎤+-=-Γ+--⋅+⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ 0
2222122220120120210212
i t i t i E E e E e E t ωωρρρμρμρμρμρ-∂⎡⎤⎡⎤=Γ-++--⎣⎦⎣⎦∂
2211111110120120210212
i t i t i E E e E e E t ωωρρρμρμρμρμρ-∂⎡⎤⎡⎤=Γ--+--⎣⎦⎣⎦∂ 旋波近似，忽略快速震荡项，则可简化为：（21ωω∆=-）
()12212022112i i E t ρμ
ρρρ∂=-Γ-∆+-⎡⎤⎣⎦∂ ()21221022112i i E t ρμρρρ∂=-Γ+∆--⎡⎤⎣⎦∂ 0
22122
220120212i E E t ρρρμρμρ∂⎡⎤=Γ-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ 0
11111
11012
0212i E E t ρρρμρμρ∂⎡⎤=Γ---⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ 令下列一组矢量211221122211
()()()
()()()()()()u t t t v t i t i t w t t t ρρρρρρ=+⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩，同时111T Γ=，22
1T Γ=，可得到
2
1
u v u T =-∆⋅-
⋅ 2
1
v v u w T =-
⋅+∆⋅+Ω⋅ 1
eq
w w w v T -=-
-Ω⋅
其中,u v 对于介质极化强度的实部和虚部，分别表示单原子的色散，吸收。

w 表示反转粒子数大小。

3. 推导Lamb 方程，并阐述各方程所表示的物理意义。

解：先考虑腔长为L 无源腔方程：
2200
22000z z L E E
z t E E με==⎫∂∂-=⎪∂∂⎬⎪==⎭
的解。

用分离变效法可得其解。

由于谐振腔的存在，只有沿z 轴且同时满足驻波条件的光波才能在腔内形成稳定模式。

λn 是第n 个纵模模式为
n L n 2=λ，
L n k n n ππ2==λ， 腔内电场应是所有模式场的叠加：
{sin (k n z )}是区间(0，L )(即激光腔)内的正交函数集，它满足
对于腔长一定的激光器来说，本征函数集{sin(k n z )}可作为已知量对待，因而求解电场E (z ，t )主要是求解场随时间变化部分A n (t )。

A n (t )满足一定的运动方程。

将式(1-1)代入单向含极化介质的Maxwell 方程
可得
在方程两边同乘以{sin(k n z )}并对区间(0，L )积分，最后利用正交关系式，并将m 改为n ，同时定义 ：(P n (t )为P n (z ，t )的空间傅立叶分量)
可得：
(1-1)
假设方程解为
(1-2)
式中，E n (t )和φn (t )为时间t 的慢变函数。

由于宏观电极化强度P 是由电场E 诱导产生的，在响应上会有滞后，不会是瞬时的。

考虑到这一滞后效应，P n (t )应写成如下的形式
(1-3)
/n n c L ωπ=(,)cos()sin()sin()n n n n n n n
n
E z t E t k z A k z ωφ=+=∑∑nm L
m n dz z k z k L δ=⎰
0)sin()sin(2∑∑∑-=∂∂++n
n n n n n n n n n
t d t A d z k t P
dt t dA z k z k t A k 220022002)()sin()()sin()sin()(εμμσμ02(,)()sin();()sin()L
n n n n n
P P z t P t k z P t P k z dz L ===∑⎰(,)cos()n n n n A z t E t ωφ=+222
000022
()()()()0n n n n n d A t dA t P t k A t d t dt t
μεμσμ∂+++=∂()cos '()sin '()n n n n n n n P t C t t S t t ωφωφ=+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
2
202200022t P
t E t E z E ∂∂=∂∂-∂∂-∂∂μεμσμ
式中第一项分量与A n (t )同位相，第二项与A n (t )差π/2相位，C n (t )仍与S n (t )也是时间的慢变化函数。

因此有
(1-4)
将唯象参量σ。

用谐振腔第n 个模的品质因数Q n 来代替，令
(1-5)
将式(1-2)、(1-3)、(1-4)代入式(1-1)中，忽略 等小量．并比较方程两端正弦项和余弦项的系数，可得
在上面两方程中，忽略较小项 ，同时，ω’n ≈ωn ，所以有
于是上面两方程变为
(1.6) (1-7) 式(1-6)和式(1-7)就是激光振荡半经典理论中描述激光场的基本方程，称为激光电磁场方程，也称兰姆方程。

其中第一个方程表示极化强度的同相位分量(即C n (t ))在使场的频率(有源腔频率)偏离非激活腔场的频率(无源腔振荡频率)中所起的作用，从而描述了频率牵引和排斥。

第二个方程描写阻尼和激活介质对模的振幅的影响：如果极化强度的正交分量为零(即S n (t )＝0)，则就像非激活介质损耗腔那样，振幅按指数规律衰减。

所以含有极化强度的正交分量S n (t )代表激活介质所起的增益，它克服腔的损耗，使振荡得以发生。

4. 激光半经典理论框架下使用了哪些近似？并分别加以论述
答：主要使用了下述近似，1）两能级近似；2）原子间没有相互作用；3）电偶极近似；4）旋波近似；5）缓变振幅近似；6）绝热近似。

各个近似论述如下：
1）两能级近似。

实际原子，分子等拥有许多的能级，在激光器理论中，只有与激光直接相关的上下能级才与光发生只要作用。

泵浦作于与衰减作用，只要是提供初始条件，用光与两能级原子作用作为基本模型，即简捷又能反映问题的本质。

2）原子间没有相互作用。

由于激活原子的密度比较低，忽略原子之间的直
22
20'1(')'n n n n n n n n n
E E C Q ωωωφωε⎡⎤-++=⎣⎦2
'1
(')2'n
n n n n n n n
n
E E S Q ωωφωωε-
++=
222
()
'()n n n P t P t t
ω∂≈∂0
'n n Q ωεσ
=n
n n n E E ϕϕ,,'',n
n
n
n n n E Q Q ωωφ2
2'(')2'(')
n n n n n n n n n ωωωωφωωφω≈⇒-+≈--+00'(')2''22n n n
n n n n n n n n
n
E C E E S Q ωωφωεωωε⎧+-=-⎪⎪
⎨
⎪+=-⎪⎩
接作用，如偶极偶极相互作用，是较合理的近似。

原子之间的碰撞作用归于原子的弛豫或衰减。

当各个原子同时与同意光场耦合，原子间通过光场发生间接相互作用，一定条件下可发生原子的集体效应，但这并非原子间的直接作用。

3）电偶极近似。

光与原子作用的电偶极近似，其实质是原子的大小远小于光波的波长，在原子的大小范围内，光场可近似为常数。

考虑到原子坐标原子的光场0(,)E x t 与矢量势0(,)A x t ，在计算光场与原子作用时，可提到积分号外，例如
3()()ab a a ab V U r eE rU r d r eE r =-=-⎰。

在研究光的吸收、自发辐射和受激辐射
等问题时，电偶极近似是很好的近似，但处理多光子过程时可能出现问题，需用失势直接计算相互作用。

4）旋波近似。

在处理与二能级原子作用是，只考虑近共振项0ωω-，而忽略远离共振的项0ωω+，这里0,ωω分别表示光频率与原子的共振频率。

旋波相当于只考虑光场与原子的矢量在相平面同向旋转的情况。

5）缓变振幅近似。

假定光场与极化强度等可以分解为快变与慢变部分，其慢变量在一个光学周期内的变化可以忽略不计。

通常用于约化Maxwell 方程。

6）绝热近似。

假定光场的弛豫时间较长，而原子的变量，如偶极矩，的弛豫时间短。

这样，光场的慢变部分变化时，原子可以很快地及时地跟随光场的变化；反之，在原子的弛豫时间内，光场的慢变振幅可看成与时间无关的常数。

5. 什么是光脉冲面积定理？并加以简要分析。

同时阐述光脉冲面积定理与光脉冲能量有何区别？
答：光脉冲面积定理，它可描述入射光场强相对于时间的积分（光脉冲面积）在空间的演化情况。

借助该定理，可以方便的讨论脉冲在吸收和放大介质中出现的某些现象，而无需知道布洛赫方程的详细解。

光脉冲面积定义
()(,)(,')'(,')'lim t A z z t E z t dt z t dt μ
θ∞
∞
-∞
-∞
→∞
==
=Ω⎰
⎰
对于脉冲持续时间小于能级寿命和退相干时间时，光脉冲面积所遵守的运动方程
()sin ()2
dA z A z dz α
=- 其中2
021(0)
c N g n
μπωμα=
，(0)g 为圆频率多普勒线型函数。

该式即为面积定理。

分析如下：1)对于原子初始处于下能级，并在弱信号条件下，，光脉冲在介质中传播光强满足规律为
()sin ()22
dA z A z A dz αα
=-≈-，这就是正常吸收的比尔定理，α即为介质的吸收系数。

2)强脉冲而言，对于共振吸收介质，脉冲面积为2π的
整数倍时，脉冲在介质传输中为稳定脉冲；对于吸收介质，脉冲面积为π的奇数
倍时，脉冲在介质中传输为稳定脉冲。

3)数值计算表明，对于共振吸收介质，强
脉冲将分裂为m 个分离的稳定的面积为2π的脉冲。

6. 如图所示有一三能级工作物质，其能级a 和b 分别为激光跃迁所对应的上下能级，能级g 为基态。

,a b λλ为向能级a 和b 的激励速率，,a b γγ为衰减速
率。

2
2()sin ()n n R E t k Z ∝。

写出能级a 和b 的速率方
程，求出稳态时的aa bb ρρ-表达式并进行讨论。

解：根据能级图，能级a 和b 的速率方程为
()aa a a aa aa bb R ρλγρρρ=---
()bb b a aa aa bb b bb R ρλγρρργρ=++--
稳态解，即速率方程左边等于0，可得等式
0()a a aa aa bb R λγρρρ=---
(1-1)
0()b a aa aa bb b bb R λγρρργρ=++--
(1-2)
由(1-1)和(1-2)可得
()
()a b a b aa a b a b
bb b
R R λγλλργγλλργ++=
++=
(1-3)
稳态条件下的布局差表达式为
()()()()a b a a b a b a a b
aa bb a b a b
R R λγλλλλγγγλρργγγγ-+---==
++ 使得粒子布局数翻转的条件为
()
01a b
aa bb b a a a b λγρργγγλλ->⇒
>⇒>+
即发生粒子数反转至少需要满足的条件是b a γγ>，即上能级寿命a 必须大于下能级b 寿命。

同时，当R(对应于腔内场强)增加时，布局差aa bb ρρ-减小，其意味着饱和效应发生。

因为R 为Z 的函数，那么可得aa bb ρρ-也为Z 的函数，呈现空
g
aa
间不均匀的分布，在一定条件下，将发生空间烧孔效应。

7. 什么是相干态？它和经典的单色辐射场有何关系？相干态有什么重要性质？ 答：相干态满足如下的本征值方程a ααα=，其中α表示相干态，α为其对应的本征值。

通常情况下，α为复数。

相干态的Fork 态表示为
：
2
/2
n e
n αα∞
-==。

相干态是量子力学所能允许的最接近经典情况的状态，即准经典态。

相干态的性质：1)相干态之间相互不正交，
即
2
2*11exp 2
2αβαβαβ⎛⎫
=--
+ ⎪⎝⎭
；2)相干态具有最小的测不准量的状态，即()1212,,1X a a X i a a X X ++=+=-∆⋅∆=；3)相干态中的光子数服从Poission 分
布2
!
n
n n n e p n n α-==。

4)相干态的过完备性21
1d αααπ=⎰。

8. 1) 证明如果算符满足对易关系式，[A,[A,B]][B,[A,B]]0==，则Baker-Hausdorff 公式成立：
1
1
[,][,]
2
2
e
e e e
e e e
A B A B A B
A B
B A -+==
2)证明：2
††/2
e
e e
e
a a
a a λλλλλ**---=
证明：1)令()=e e A B f λλλ，显然有(0)=1;(1)=e e A B f f 。

不难得到
=e e e ()e A B
A B f A B λλλλλλ
∂∂=+∂∂ 利用式子
()
e e [,][,[,]][,]
e
e (),
[,]B B B
B
A A
B A B B A A B A A A
C C A B λλλλλλλλ-=-++=-⇒=+=，
因而
=e e ()()A B f A B C f A B C λλλλλ
∂
++=++∂ /()f f A B C λλ∂=++∂
对λ积分，考虑到对易关系
21
ln ()ln (0)()2
f f A B C λλλ-=++
所以
21
()(0)exp[()]2
f f A B C λλλ=++
右乘212
C e
λ-，得
2
1
()2e e e C
A B A B e
λλλλ-+=
B 与A 位置互换，则有
2
1
()2e e e C
B A A B e
λλλλ+=
2)令†,A a B a λλ*==-，可得
2
†[,][,]A B a a λλλ*=-=
[,[,]][,[,]]0A A B B A B ==
其满足Baker-Hausdorff 公式成立条件，利用改公式得
2
††/2
e e e e a a a a λ
λλλλ**
---=
9. 证明†
†
†
†
††;i a at i a at i t i a at i a at i t e ae ae e a e a e Ω-Ω-ΩΩ-ΩΩ==。

证明：定义关于λ的函数††
()i a at i a at f e ae λλλΩ-Ω=，其一阶导数为
†††
†
†
†
††
††[,][,]()
i a at i a at
i a at i a at i a at i a at i a at i a at f e ae e i a at a e i te a a a e i te ae i tf λλλλλλλλλλ
λΩ-ΩΩ-ΩΩ-ΩΩ-Ω∂∂=∂∂=Ω=Ω=-Ω=-Ω
0()i t f f e λ-Ω⇒=
当0λ=与0t =时，有0(0)f a f ==，即有
()i t f ae λ-Ω=
令0λ=，可得：
††
i a at i a at i t e ae ae Ω-Ω-Ω=
第二个等式可由第一式结论得到：
(
)
()
†††††
††
†i a at
i a at
i a at
i a at
i t
i t
e
a e
e
ae
ae
a e Ω-ΩΩ-Ω-ΩΩ===
即证！
10.计算电场算符†()E a a ε=+，在态n n
c n ψ=∑上的期望值E 。

解：电场的期望值为
(††,†,†,,1111()()()m n m n
m n m n
m n m n m n
m n
n n n n n
n
n n n n n
E a a m c c a a n c c m a a n c c m a n c c m a n c c c c c c c c εεεεεεεε*
*****+-**+-=ψ+ψ
=⨯+=+=+==∑∑∑∑∑∑∑
11.证明
e e [,][,[,]][,[,[,]]]A A B B A B A A B A A A B -=+++
+
证明：令()=e e A A f B λλλ-，显然(0)=;(1)=e e A A f B f B -，对λ求导
e [,]e A A f
A B λλλ
-∂=∂ 22
e [,[,]]e A A
f A A B λλλ
-∂=∂ 33
e [,[,[,]]]e A A f
A A A
B λλλ
-∂=∂
利用Taylor 展开，
10
1(1)(0)!n n n f f f n λλ∞
==⎛⎫
∂=+ ⎪∂⎝⎭∑
[,][,[,]][,[,[,]]]B A B A A B A A A B =+++
+
即证！
12.假设量子化的谐振子处于相干态，试推导谐振子坐标和动量所满足的测不准关系。

解：谐振子坐标与动量算符(,)x p 同产生湮灭算符()†,a a 的关系为
)†,x a a =
+)†
p a
a =-
于是有
()()†
x a a α
ααα*
=+=
+ ()()2
2?
2
22122x a a m m αα
αααω
ω
**=+=
+++
x ∆=
()()†
m m p a a i ωωααα*
=-=- ()()2
2
?2
22122
m m p
a a ωωαααααα**=--=-+--
p ∆=
=
所以，处于相干态的量子谐振子坐标与动量测不准关系为
2
x p ∆∆=。