线性定常系统的综合
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同理，第三分块 ( A BK )2 B A2 B AB( KB) B( KAB) B( KBKB )
2 它的列可由 B AB A B 的列的线性组合得到；
其余各分块类同。 所以有： rankMc rankMck
2. 状态反馈有可能改变系统的能观性。 例如单输入－单输出系统，状态反馈能改变系统的 极点分布，但不会影响系统的零点分布，这样就有可 能使传递函数出现零、极点相消现象。使系统不再是 既能控又能观的，前面已说明状态反馈不改变系统的 能控性，所以只能是影响系统的能观性了。
无零、极点相消现象，系统仍然是既能控又能观的。
5.2 极点配置
如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极 点配置,即通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的 极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。 问题一，闭环极点可任意配置的条件； 问题二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。
能控性矩阵
0 1 M b Ak b 1 0
满秩，状态反馈系统能控； 不满秩，状态反馈系统不能观；
能观性矩阵： N
c 0 1 0 0 cA k
实际上，此时闭环系统的传递函数为：
s 1 0 1 s 1 0 s Gk ( s) 0 1 2 0 1 2 0 s 1 s 0 s 1 s
Qoh 的每一分块的行由 Qo 相应分块的行线性组 与1一样， Qoh 可以看作是 Qo 经初等变换的结果，而初等 合而成， 变换不改变矩阵的秩，因此能观性不变。
例 系统
0 1 0 x= x+ u 1 0 1 y 0 1 x
系统的传递函数为：
s 1 0 G ( s) c ( sI A) b = 0 1 1 1 s s 1 0 1 s 2 0 1 2 s 1 1 s 1 s 1
第五章
线性定常系统的综合
分析--已知系统结构和参数,以及确定好系统的外部输入( 系统激励)下,对系统运动进行定性分析（能控性、能观性、 稳定性）和定量运动规律分析（运动轨迹、性能品质指 标）。
综合－－已知系统的结构及参数，已知所期望的系统运 动形式(或某些特性)，确定需要施加于系统的控制作用 规律。
0 1 M b A b 能控性矩阵： h 1 2
满秩，输出反馈系统能控；
满秩，输出反馈系统能观；
能观性矩பைடு நூலகம்：
c 0 1 N 1 2 cA h
1
实际上，此时输出反馈系统的传递函数为：
1 0 s s 2 1 0 1 s Gh ( s) 0 1 0 1 1 s 2 2s 1 1 1 s 2 2s 1 1 s 2 s
bn1s n1 bn2 s n2 b1s b0 Go (s) C (sI A) B n s an1s n1 a1s a0
1
bn1s n1 bn2 s n2 b1s b0 GK (s) C[sI ( A BK )] B n s (an1 kn1 )s n1 (a1 k1 )s (a0 k0 )
5.1.3反馈控制对能控性与能观测性的影响
对于由状态反馈和输出反馈构成的闭环系统,其状态能控/能 观性是进行反馈律设计和闭环系统分析时所关注的问题。
下面分别讨论两种闭环系统的
状态能控性
状态能观性
1. 状态反馈不改变系统的能控性
原系统： ( A, B, C ) M B AB An1B 闭环系统：
5.2.1
采用状态反馈配置闭环系统极点
1.采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件 结论：一个线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置 它的全部极点的充要条件是系统完全能控。 证明： 充分性。以下充分性证明过程实际上给出了单输入单输 出系统设计反馈增益矩阵的规范算法。
若 o ( A, B, C) 完全能控，通过状态反馈必成立：
x ( A BHC ) x Bv y Cx
输出反馈闭环系统可简记为H(A+BHC,B,C),其传递函数 阵为: WH(s)=C(sI-A-BHC)-1B 由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知,输 出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。 因此,在进行系统分析时,输出反馈可看作状态反馈的一种 特例。 反之,则不然。 由此也可知,状态反馈可以达到比输出反馈更好的控 制品质,更佳的性能。
常用的非优化型性能指标提法： 以系统渐近稳定作为性能指标——镇定问题； 以一组期望的闭环系统极点位置或极点凸约束区域(空间)为性 能指标——极点配置问题。
系统的稳定性和各种性能的品质指标(如过渡过程的快速性、 超调量、周期性 ), 在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指 标的期望极点上,可以有效地改善系统的性能品质指标。
5.1.1 状态反馈
• 对线性定常连续系统(A,B,C,D),若取系统的状态变量来构成 反馈,则所得到的闭环控制系统称为状态反馈系统。 – 状态反馈闭环系统的系统结构可如图5-1所示
图5-1 状态反馈系统的结构图
状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别记为
K
( A BK , B, C ) ( A BK )n1 B
Mk B ( A BK ) B
比较上面二式，可以看到： 第一分块B相同；
第二分块 ( A BK ) B AB B （KB），其中（KB）为一常数矩阵， 因此( A BK ) B 的列可由 B AB 的列的线性组合得到；
(2)针对能控标准型 o ( A, B, C )引入状态反馈
u vK x
__
式中， ，可求得对 x的闭环系统 K kn 1 k0 k1 k2 的状态空间表达式仍为能控标准型，即
所期望的系统运动形式包括满意的瞬态响应，抗扰 动或参数变化能力，跟踪能力等。
综合问题的性能指标函数可分为优化型和非优化型性能指标： 优化型性能指标：极值型指标,综合的目的是使该性能指标函 数取极小(极大)；
非优化型性能指标：是一类由不等式及等式约束的性能指标 凸空间,一般只要求解的控制规律对应的性能指标到达该凸空 间即可。
x Ax Bu y Cx u Kx v
其中K为rn维的实矩阵,称为状态反馈矩阵;v为r维的输入向 量,亦称为伺服输入。 将状态反馈律代入开环系统方程,得如下状态反馈闭环控 制系统的状态空间模型:
x ( A BK ) x Bv y Cx
1
存在零、极点相消现象，消掉的极点是不能观的。 可见，状态反馈没有改变系统的能控性，但改变 了系统的能观性。
②输出反馈：h 2
0 1 0 0 0 1 0 x ( A bhc ) x bv = ( 2 0 1) v x+ v 1 0 1 1 1 2 1 y 0 1 x
__ o
( A, B , C )
，即 x = Tc1 x
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 , B Tc1 B A Tc ATc1 0 0 0 1 0 an1 1 a0 a1 a2 C CTc1 b0 b1 bn2 bn1
将一个MIMO系统通过反馈控制实现一个输入只控制一个输出的 系统——系统解耦问题。 状态获取问题——观测器问题。
5.1 状态反馈与输出反馈
• 5.1.1 状态反馈 • 5.1.2 输出反馈 • 5.1.3 反馈控制对能控性与能观测性的影响
• 控制理论最基本的任务寻找反馈控制律。 – 状态反馈和输出反馈,其意义分别为将观测到的状态和 输出取作反馈量以构成反馈律,实现对系统的闭环控制, 以达到期望的对系统的性能指标要求。 – 在经典控制理论中,一般只考虑由系统的输出变量来构 成反馈律,即输出反馈。 – 在现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用状 态变量来构成反馈律,即状态反馈。
fo () det I A an1 a1 a0
1
bn1s n1 bn2 s n2 b1s b0 Go (s) C (sI A) B n s an1s n1 a1s a0
可通过如下变换（设 Tc1 为能控标准型变换矩阵） 将 o ( A, B, C)化为能控标准I型
状态反馈闭环系统可简记为K(A+BK,B,C),其传递函数阵 为: WK(s)=C(sI-A-BK)-1B
5.1.2 输出反馈
• 对线性定常连续系统(A,B,C,D),若取系统的输出变量来构成 反馈,则所得到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。 – 输出反馈控制系统的结构图如图5-2所示。
detI (A bK ) f * ( )
f*()为期望的特征多项式：
n * n 1 * * f * ( ) ( * a1 a0 i ) a n 1 i 1 n
(1)若被控系统 o ( A, B, C) 状态完全能控，且设其特征多项式 和传递函数分别为 n n1
1
3. 输出反馈不改变系统的能控性。
对于输出反馈有： x ( A BHC ) x Bv
只要把（HC）看成是等效的状态反馈矩阵K，那么 由于状态反馈不会改变系统的能控性，所以显然输出 反馈也不改变系统的能控性。
4. 输出反馈不改变系统的能观性。
原系统 ( A, B, C ) C CA N n 1 CA 输出反馈系统 h ( A BHC , B, C ) C C ( A BHC ) Nh n 1 C ( A BHC )
1 1
传递函数无零、极点相消，系统既能控，又能观。
k = 1 0 ①引入状态反馈：
0 1 0 0 0 1 0 x ( A bk ) x b ( 1 0 ) x x 1 0 1 1 0 0 1 y 0 1 x
– 状态变量可完全描述系统内部动态特性。 – 由状态变量所得到的关于系统动静态的信息比输出变量提 供的信息更丰富、更全面, • 因此，若用状态来构成反馈控制律, 反馈律有更大的可 选择的范围,而闭环系统能达到更佳的性能。 – 输出反馈可视为状态反馈的一个特例。 • 因此,采用状态反馈应能达到更高的性能指标。
图5-2多输入多输出系统的输出反馈至参考输入结构
输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为
x A x Bu y Cx u Hy v
其中H为rm维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。 将输出反馈律代入开环系统方程, 则可得如下输出反馈 闭环控制系统的状态空间模型:
2 它的列可由 B AB A B 的列的线性组合得到；
其余各分块类同。 所以有： rankMc rankMck
2. 状态反馈有可能改变系统的能观性。 例如单输入－单输出系统，状态反馈能改变系统的 极点分布，但不会影响系统的零点分布，这样就有可 能使传递函数出现零、极点相消现象。使系统不再是 既能控又能观的，前面已说明状态反馈不改变系统的 能控性，所以只能是影响系统的能观性了。
无零、极点相消现象，系统仍然是既能控又能观的。
5.2 极点配置
如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极 点配置,即通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的 极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。 问题一，闭环极点可任意配置的条件； 问题二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。
能控性矩阵
0 1 M b Ak b 1 0
满秩，状态反馈系统能控； 不满秩，状态反馈系统不能观；
能观性矩阵： N
c 0 1 0 0 cA k
实际上，此时闭环系统的传递函数为：
s 1 0 1 s 1 0 s Gk ( s) 0 1 2 0 1 2 0 s 1 s 0 s 1 s
Qoh 的每一分块的行由 Qo 相应分块的行线性组 与1一样， Qoh 可以看作是 Qo 经初等变换的结果，而初等 合而成， 变换不改变矩阵的秩，因此能观性不变。
例 系统
0 1 0 x= x+ u 1 0 1 y 0 1 x
系统的传递函数为：
s 1 0 G ( s) c ( sI A) b = 0 1 1 1 s s 1 0 1 s 2 0 1 2 s 1 1 s 1 s 1
第五章
线性定常系统的综合
分析--已知系统结构和参数,以及确定好系统的外部输入( 系统激励)下,对系统运动进行定性分析（能控性、能观性、 稳定性）和定量运动规律分析（运动轨迹、性能品质指 标）。
综合－－已知系统的结构及参数，已知所期望的系统运 动形式(或某些特性)，确定需要施加于系统的控制作用 规律。
0 1 M b A b 能控性矩阵： h 1 2
满秩，输出反馈系统能控；
满秩，输出反馈系统能观；
能观性矩பைடு நூலகம்：
c 0 1 N 1 2 cA h
1
实际上，此时输出反馈系统的传递函数为：
1 0 s s 2 1 0 1 s Gh ( s) 0 1 0 1 1 s 2 2s 1 1 1 s 2 2s 1 1 s 2 s
bn1s n1 bn2 s n2 b1s b0 Go (s) C (sI A) B n s an1s n1 a1s a0
1
bn1s n1 bn2 s n2 b1s b0 GK (s) C[sI ( A BK )] B n s (an1 kn1 )s n1 (a1 k1 )s (a0 k0 )
5.1.3反馈控制对能控性与能观测性的影响
对于由状态反馈和输出反馈构成的闭环系统,其状态能控/能 观性是进行反馈律设计和闭环系统分析时所关注的问题。
下面分别讨论两种闭环系统的
状态能控性
状态能观性
1. 状态反馈不改变系统的能控性
原系统： ( A, B, C ) M B AB An1B 闭环系统：
5.2.1
采用状态反馈配置闭环系统极点
1.采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件 结论：一个线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置 它的全部极点的充要条件是系统完全能控。 证明： 充分性。以下充分性证明过程实际上给出了单输入单输 出系统设计反馈增益矩阵的规范算法。
若 o ( A, B, C) 完全能控，通过状态反馈必成立：
x ( A BHC ) x Bv y Cx
输出反馈闭环系统可简记为H(A+BHC,B,C),其传递函数 阵为: WH(s)=C(sI-A-BHC)-1B 由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知,输 出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。 因此,在进行系统分析时,输出反馈可看作状态反馈的一种 特例。 反之,则不然。 由此也可知,状态反馈可以达到比输出反馈更好的控 制品质,更佳的性能。
常用的非优化型性能指标提法： 以系统渐近稳定作为性能指标——镇定问题； 以一组期望的闭环系统极点位置或极点凸约束区域(空间)为性 能指标——极点配置问题。
系统的稳定性和各种性能的品质指标(如过渡过程的快速性、 超调量、周期性 ), 在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指 标的期望极点上,可以有效地改善系统的性能品质指标。
5.1.1 状态反馈
• 对线性定常连续系统(A,B,C,D),若取系统的状态变量来构成 反馈,则所得到的闭环控制系统称为状态反馈系统。 – 状态反馈闭环系统的系统结构可如图5-1所示
图5-1 状态反馈系统的结构图
状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别记为
K
( A BK , B, C ) ( A BK )n1 B
Mk B ( A BK ) B
比较上面二式，可以看到： 第一分块B相同；
第二分块 ( A BK ) B AB B （KB），其中（KB）为一常数矩阵， 因此( A BK ) B 的列可由 B AB 的列的线性组合得到；
(2)针对能控标准型 o ( A, B, C )引入状态反馈
u vK x
__
式中， ，可求得对 x的闭环系统 K kn 1 k0 k1 k2 的状态空间表达式仍为能控标准型，即
所期望的系统运动形式包括满意的瞬态响应，抗扰 动或参数变化能力，跟踪能力等。
综合问题的性能指标函数可分为优化型和非优化型性能指标： 优化型性能指标：极值型指标,综合的目的是使该性能指标函 数取极小(极大)；
非优化型性能指标：是一类由不等式及等式约束的性能指标 凸空间,一般只要求解的控制规律对应的性能指标到达该凸空 间即可。
x Ax Bu y Cx u Kx v
其中K为rn维的实矩阵,称为状态反馈矩阵;v为r维的输入向 量,亦称为伺服输入。 将状态反馈律代入开环系统方程,得如下状态反馈闭环控 制系统的状态空间模型:
x ( A BK ) x Bv y Cx
1
存在零、极点相消现象，消掉的极点是不能观的。 可见，状态反馈没有改变系统的能控性，但改变 了系统的能观性。
②输出反馈：h 2
0 1 0 0 0 1 0 x ( A bhc ) x bv = ( 2 0 1) v x+ v 1 0 1 1 1 2 1 y 0 1 x
__ o
( A, B , C )
，即 x = Tc1 x
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 , B Tc1 B A Tc ATc1 0 0 0 1 0 an1 1 a0 a1 a2 C CTc1 b0 b1 bn2 bn1
将一个MIMO系统通过反馈控制实现一个输入只控制一个输出的 系统——系统解耦问题。 状态获取问题——观测器问题。
5.1 状态反馈与输出反馈
• 5.1.1 状态反馈 • 5.1.2 输出反馈 • 5.1.3 反馈控制对能控性与能观测性的影响
• 控制理论最基本的任务寻找反馈控制律。 – 状态反馈和输出反馈,其意义分别为将观测到的状态和 输出取作反馈量以构成反馈律,实现对系统的闭环控制, 以达到期望的对系统的性能指标要求。 – 在经典控制理论中,一般只考虑由系统的输出变量来构 成反馈律,即输出反馈。 – 在现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用状 态变量来构成反馈律,即状态反馈。
fo () det I A an1 a1 a0
1
bn1s n1 bn2 s n2 b1s b0 Go (s) C (sI A) B n s an1s n1 a1s a0
可通过如下变换（设 Tc1 为能控标准型变换矩阵） 将 o ( A, B, C)化为能控标准I型
状态反馈闭环系统可简记为K(A+BK,B,C),其传递函数阵 为: WK(s)=C(sI-A-BK)-1B
5.1.2 输出反馈
• 对线性定常连续系统(A,B,C,D),若取系统的输出变量来构成 反馈,则所得到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。 – 输出反馈控制系统的结构图如图5-2所示。
detI (A bK ) f * ( )
f*()为期望的特征多项式：
n * n 1 * * f * ( ) ( * a1 a0 i ) a n 1 i 1 n
(1)若被控系统 o ( A, B, C) 状态完全能控，且设其特征多项式 和传递函数分别为 n n1
1
3. 输出反馈不改变系统的能控性。
对于输出反馈有： x ( A BHC ) x Bv
只要把（HC）看成是等效的状态反馈矩阵K，那么 由于状态反馈不会改变系统的能控性，所以显然输出 反馈也不改变系统的能控性。
4. 输出反馈不改变系统的能观性。
原系统 ( A, B, C ) C CA N n 1 CA 输出反馈系统 h ( A BHC , B, C ) C C ( A BHC ) Nh n 1 C ( A BHC )
1 1
传递函数无零、极点相消，系统既能控，又能观。
k = 1 0 ①引入状态反馈：
0 1 0 0 0 1 0 x ( A bk ) x b ( 1 0 ) x x 1 0 1 1 0 0 1 y 0 1 x
– 状态变量可完全描述系统内部动态特性。 – 由状态变量所得到的关于系统动静态的信息比输出变量提 供的信息更丰富、更全面, • 因此，若用状态来构成反馈控制律, 反馈律有更大的可 选择的范围,而闭环系统能达到更佳的性能。 – 输出反馈可视为状态反馈的一个特例。 • 因此,采用状态反馈应能达到更高的性能指标。
图5-2多输入多输出系统的输出反馈至参考输入结构
输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为
x A x Bu y Cx u Hy v
其中H为rm维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。 将输出反馈律代入开环系统方程, 则可得如下输出反馈 闭环控制系统的状态空间模型: