立方根
立方根的概念
立方根的概念立方根是数学中一个重要的概念，在代数学和数值计算中都有广泛的应用。
它是指一个数的立方等于给定数的运算。
本文将介绍立方根的概念、性质以及一些常见的计算方法。
一、立方根的定义对于一个实数a，如果存在一个实数x，满足x³ = a，那么x被称为a的立方根。
可以表示为x = ∛a。
其中，立方根符号∛可以理解为"立方根"或者"开三次方"。
二、立方根的性质1. 立方根的唯一性：每个正实数都有唯一的正立方根。
负实数的立方根在复数范围内存在多个。
2. 立方根的运算性质：a) 任意实数的立方根是实数或者复数。
b) 立方根运算具有可交换性，即∛(a * b) = ∛a * ∛b。
c) 立方根运算具有可分配性，即∛(a + b) ≠ ∛a + ∛b。
d) 立方根运算具有结合性，即∛(∛a) = ∛(a^(1/3)) = a^(1/9)。
即连续开两次立方根等于开九次方。
3. 立方根的特殊情况：a) 如果一个实数的立方根等于自身，即x³ = x，那么这个实数被称为立方根的不动点。
b) 如果一个实数的立方根等于负数，即x³ = -a，那么这个实数被称为立方根的负不动点。
三、立方根的计算方法计算立方根的方法主要有以下几种：1. 近似计算法：根据牛顿迭代方法，可以通过逐步逼近来计算立方根。
迭代公式为：xₙ₊₁ = (2 * xₙ + a / xₙ²) / 3其中，xₙ代表第n次逼近的结果，a为待开立方根的数值。
通过迭代计算，当xₙ₊₁与xₙ的差值小于某个精度要求时，可以得到一个近似的立方根值。
2. 公式法：对于较小的整数或一些特殊数值，可以利用一些特定的公式来求解。
例如，对于一个正整数n，其立方根可以表示为√(n² *√(n))。
对于一些特殊值如2、3等，也可以通过公式直接求解。
3. 数值计算软件：现代科学计算软件如Matlab、Python的NumPy 库等提供了方便快捷的立方根计算函数。
立方根的概念
立方根的概念立方根是数学中的一个重要概念，它是指一个数的立方等于某个给定数的运算。
简单来说，立方根就是找到一个数，使得该数的立方等于给定的数。
定义在数学中，给定一个实数a，如果存在另一个实数x，使得x³=a，那么x被称为a的立方根。
记作x=∛a或x=a^(1/3)。
立方根的性质1. 正数的立方根是唯一的。
也就是说，对于任何正实数a，它的立方根是唯一确定的。
2. 负数的立方根是复数。
对于负实数a，它的立方根是虚数，无法用实数表示。
3. 零的立方根是零。
∛0 = 0，即0³=0。
4. 如果数a是整数，那么它的立方根可能是有理数或者无理数。
例如，8的立方根等于2，而27的立方根等于3。
计算立方根的方法计算立方根有多种方法，以下是两种常用的方法：1. 迭代法：这是一种通过迭代逼近的方法来求解立方根的方法。
假设我们要求a的立方根，首先猜测一个近似值x₀，然后通过迭代公式x₁=(2x₀+a/(x₀²))/3来不断逼近。
重复这一过程直到精度满足要求。
2. 牛顿法：牛顿法是一种使用切线逼近的方法来求解方程的数值方法。
对于方程x³-a=0，我们可以使用牛顿法来求解。
假设我们要求a的立方根，初始猜测一个近似值x₀，然后通过迭代公式x₁=x₀-(x₀³-a)/(3x₀²)来不断逼近。
重复这一过程直到精度满足要求。
应用领域立方根在数学和科学领域被广泛应用。
以下是一些常见的应用：1. 方程求解：立方根在求解某些方程（如立方方程）时起到重要作用。
2. 几何学：立方根与立方体的边长之间有着密切的联系。
立方根的概念可以应用于计算立方体的体积和表面积。
3. 物理学：立方根在物理学中常常用于求解某些物理量的值，如速度、加速度等。
4. 工程学：立方根可以应用于工程设计中的计算与模型建立。
总结立方根是数学中的重要概念，它可以用于方程求解、几何学、物理学和工程学等领域。
求解立方根有多种方法，其中迭代法和牛顿法是比较常见的方法。
立方根的概念
立方根的概念在数学中，立方根是指一个数的立方等于另一个数的运算。
换句话说，对于任意一个非负实数a，如果存在一个实数x，使得x³=a成立，那么x就是a的立方根。
通过求解立方根可以解决很多实际问题，尤其在几何和科学运算中应用广泛。
1. 立方根的符号和表示方式立方根可以用符号³√a或者a^(1/3)来表示，其中³√a表示a的立方根，a^(1/3)表示a的1/3次幂。
在数学中，我们通常使用a^(1/3)来表示立方根。
2. 立方根的计算方法计算立方根可以使用不同的方法，包括近似法、牛顿法和二分法等。
其中，近似法是最常用的一种方法。
例如，对于一个正实数a，我们可以通过逐次尝试来逼近其立方根的值。
假设x是a的一个近似立方根值，我们可以根据x的大小来调整下一次的尝试值。
通过多次迭代计算，我们可以逼近出a的较精确的立方根值。
3. 立方根的性质立方根具有一些重要的性质，这些性质在数学和科学中经常被应用。
以下是几个常见的立方根性质：- 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
- 对于任意的正实数a和b，(a * b)^(1/3) = a^(1/3) * b^(1/3)。
- 对于任意的正实数a，(a^(1/3))^3 = a。
- 任意实数的立方根都是在实数范围内的。
4. 立方根在几何中的应用立方根在几何中有广泛的应用。
例如，正方体的体积和边长之间的关系就涉及到了立方根。
正方体的体积等于边长的立方，即V = a^3 ，这里的a表示正方体的边长。
如果我们已知正方体的体积，可以通过求解立方根来计算出其边长。
此外，立方根还在立方连接、立方曲线等几何问题中有着重要的应用，应用范围广泛，涉及到建筑、土木工程、艺术设计等领域。
5. 立方根在科学运算中的应用立方根在科学运算中也有广泛的应用。
例如，在物理学中，根据已知的质量和体积，可以使用立方根来计算物体的密度。
同时，在统计学和金融学中，立方根也经常被用于计算变异系数。
立方根号的运算法则公式
立方根号的运算法则公式
立方根计算公式：立方根计算公式是将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组,求得最高位数,用第一组数减去最高位数的平方,在其差右边写上第二组数;用求得的最高位数的20倍试除上述余数,得出试商.
设x=a^(1/2),即x^2-a=0 设曲线f(x)=x^2-a f'(x)=2x 从x=a 开始迭代,记为点(x1,x1^2-a),过此点作切线的斜率为2x1,
立方根的计算方法：
1、计算器
2、分解质因数,例如8=2*2*2,那么立方根就是2
计算立方根的公式
如何快速计算立方根. ：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫a 的立方根,也称为三次方根.也就是说,如果x³=a,那么x叫做a的立方根. 注意:在平方根中的根指数2可省略不写,但立方根中的根指数3不能省略不写.
如何计算一个数的立方根 - ：将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组; 根据最左边一组,求得平方根的最高位数; 用第一组数减去平方根最高位数的平方,在其差右边写上第二组数; 用求得的最高位数的20倍试除上述余数,得出试商.再用最高位数的20倍与...
通常用迭代公式算,收敛很快,只需几步即可.公式
为:X1=2xo/3+A/(3xo^2), A为要求立方根的数.比如求10的立方
根,A=10, 取初值xo=2 x1=2.166666667 x2=2.154503616
x3=2.154434692 而准确值为:2.154434690031880 ..因此迭代3步已经达到小数点后8位的精度了.。
立方根符号
立方根符号立方根符号是数学中的一种运算符号，表示一个数的三次方根。
该符号通常写作∛。
下面我们来详细地介绍一下立方根符号。
立方根的定义一个数的立方根是指这个数的三次方，即 a³的逆元素，也就是说，如果 b ³ = a，则 b 即为 a 的立方根。
立方根符号的使用方法立方根符号用来表示一个数的三次方根，通常写作∛a。
其中 a 表示一个实数，它可以是正数、负数或零。
在使用立方根符号时，需要注意以下几点：1. 如果 a 是正数，那么它的立方根也是正数。
2. 如果 a 是负数，那么它的立方根是一个复数，可以表示为 -∛(-a)。
3. 如果 a 是零，那么它的立方根也是零。
例如，∛8 表示 8 的立方根，即 2，因为 2³ = 8。
立方根的计算方法计算一个数的立方根可以使用牛顿迭代法或二分法等数值方法。
下面我们介绍一下牛顿迭代法的具体计算方法。
设待求的数的立方根为 x，那么根据立方根的定义，有 x³ = a。
我们可以将其转化为一个方程 f(x) = x³ - a = 0。
根据牛顿迭代法的思想，我们可以从一个初值 x0 开始不断进行迭代，每一次迭代计算如下式子：xi+1 = xi - f(xi) / f'(xi)其中 f'(x) 表示 f(x) 的导数。
对于 f(x) = x³ - a，它的导数为 3x²，所以上式可以改写为：xi+1 = (2xi + a/xi²) / 3我们可以在计算机中编写一个循环来实现这个迭代过程，直到 xi 的值足够接近真实的立方根为止。
例如，计算 8 的立方根可以按照如下步骤进行：1. 选择一个初始值，假设为 x0 = 2。
2. 根据牛顿迭代公式计算 x1：x1 = (2x0 + 8/x0²) / 3 = 7/3 ≈ 2.33 3. 再次使用牛顿迭代公式计算 x2：x2 = (2x1 + 8/x1²) / 3 ≈ 2.084. 继续迭代，直到足够接近 2：x3 ≈ 2.00x4 ≈ 2.00因此，8 的立方根约为 2。
算数立方根公式
算数立方根公式咱们先来说说这个算数立方根公式哈。
在数学的世界里，立方根公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。
你看，就拿一个简单的例子来说，假如有一个正方体，它的体积是 8 立方厘米，那咱们怎么知道它每条边的长度呢？这时候立方根公式就派上用场啦！立方根公式是这样的：如果一个数 x 的立方等于 a，即 x³ = a，那么x 叫做 a 的立方根，记作x = ³√a。
就像刚刚说的那个正方体，体积是 8 立方厘米，咱们就可以算啦，因为 2³ = 8，所以这个正方体的边长就是³√8 = 2 厘米。
是不是还挺神奇的？我记得有一次给学生们讲这个立方根公式的时候，有个小家伙怎么都理解不了。
我就拿了一堆小方块，给他摆出了一个2×2×2 的正方体，然后跟他说：“你看，这一堆小方块的体积就是 8 呀，那每条边是不是2 呢？”他盯着看了半天，突然一拍脑袋说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里那个高兴劲儿，就别提了。
咱们再深入聊聊这个公式。
立方根公式可不只是用来算正方体边长这么简单。
在解决很多数学问题，甚至在实际生活中都能用到。
比如说，建筑工人要计算一个建筑材料的体积，如果知道了总体积，通过立方根公式就能算出一边的长度，从而确定材料的尺寸。
而且哦，立方根公式还能帮助咱们更好地理解数学中的一些规律。
比如说，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0。
这就像是数学世界里的一个铁定的规则，谁也改变不了。
在学习立方根公式的时候，大家可别死记硬背，要多做几道题，多动手算一算。
就像我之前教的那个班，有些同学一开始也是觉得难，但是经过不断地练习，慢慢就掌握了其中的窍门。
咱们学习数学，就是要把这些公式用活，不能让它们躺在书本里睡大觉。
比如在解决一些复杂的方程时，立方根公式说不定就能成为解题的关键一步。
总之呢，算数立方根公式虽然看起来简单，但用处可大着呢。
立方根知识点讲解(含例题)
1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。
立方根知识点
立方根
（1）立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三
次方根），即如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根
（2）一个数a 的立方根，读作：“三次根号a ”，
其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略
（3） 一个正数有一个正的立方根；
0的立方根是0
一个负数有一个负的立方根；
任何数都有唯一的立方根。
立方根是它本身的数是0、1、-1
（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，
5）a x =3 <—> 3a x =
a 是x 的立方 x 的立方是a
x 是a 的立方根 a 的立方根是x
（6）33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
立方根的概念和运算
立方根的概念和运算立方根是数学中一个重要的概念，它指的是一个数的立方等于另一个数。
在数学中，立方根常用符号∛（读作“开立方”）来表示。
本文将介绍立方根的概念和相关的运算。
一、概念立方根是指一个数的立方等于另一个数的运算。
具体而言，对于任意实数y，如果存在一个实数x，使得x³=y，那么这个x就是y的立方根。
可以简单地理解为，立方根就是一个数的立方的逆运算。
二、运算规则计算立方根可以用数学公式或计算器来完成。
下面是一些立方根的运算规则：1. 计算整数的立方根对于一个正整数n，它的立方根可以用试位法来逼近。
从1开始试探，不断增大试探的数，直到找到一个整数x，使得x³=n。
例如，8的立方根为2，因为2³=8。
2. 计算小数的立方根对于一个小数，可以使用牛顿迭代法来计算其立方根。
该方法基于函数的导数，通过多次迭代来逼近更精确的解。
例如，计算2的立方根，可以通过迭代计算出1.26，这是一个近似值。
3. 计算负数的立方根对于负数的立方根，需要使用复数来表示。
复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a+bi，其中a和b都是实数。
例如，-8的立方根可以表示为2∛(-1+i√3)。
其中，-1是实部，i是虚部，√3是它们的系数。
三、应用领域立方根在数学和科学的许多领域都有广泛的应用。
以下是一些应用领域的例子：1. 几何学立方根在几何学中与体积的计算有关。
例如，通过计算一个立方体的边长的立方根，可以得到其体积。
2. 工程学在工程学中，立方根常用于计算物体的维度参数。
例如，通过计算一个容器的体积和密度，可以求解该容器能够存储的物质的质量。
3. 物理学在物理学中，立方根用于计算物体的密度。
例如，在测量一个物体的质量和体积之后，可以通过计算这个物体的体积的立方根，得到它的密度。
四、总结立方根是一个重要的数学概念，它指的是一个数的立方等于另一个数的运算。
我们可以使用不同的方法来计算立方根，包括试位法和牛顿迭代法等。
求立方根的公式
求立方根的公式立方根这玩意儿，说起来还挺有趣的。
咱们在数学的世界里，经常会碰到求立方根的情况。
那到底有没有一个公式能帮咱们轻松搞定呢？咱们先来说说立方根的定义。
比如说，一个数的立方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的立方根。
这就好比搭积木，搭成一个特定形状的积木堆（也就是 a ），咱们要找出最初是用哪块积木（也就是那个数）搭起来的。
那求立方根的公式到底是啥呢？其实呀，对于正数 a 的立方根，我们可以用公式表示为：\(\sqrt[3]{a}\) 。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式看着好复杂，到底怎么用啊？”我就笑着跟他说：“别着急，咱们一步一步来。
”比如说，咱们要求 8 的立方根。
那根据公式，\(\sqrt[3]{8}\) 就是咱们要找的答案。
那 8 是怎么来的呢？2×2×2 = 8 对吧，所以 8 的立方根就是 2 。
再比如说，要求-27 的立方根。
这时候，因为(-3)×(-3)×(-3) = -27 ，所以 -27 的立方根就是 -3 。
在实际应用中，求立方根的公式用处可大啦。
像在建筑设计里，如果要计算一个立方体形状的建筑物的边长，就可能会用到求立方根的公式。
还有在物理实验中，测量一些体积的时候，也可能需要通过求立方根来得出相关的数据。
咱们再深入一点说，求立方根可不只是简单地套公式。
它还需要咱们对数字有敏锐的感觉，能快速判断出一个数是哪个数的立方。
就像有一次我去菜市场买菜，卖菜的阿姨用一个立方体的盒子装水果。
我看了一眼，心里就默默计算着这个盒子能装多少水果。
这其实就是在不知不觉中运用了求立方根的知识。
总之，求立方根的公式虽然看起来简单，但要真正掌握它，还需要咱们多做练习，多在生活中去发现和运用。
这样，咱们就能在数学的海洋里畅游得更加自如啦！。
立方根
立方根1．立方根的概念及表示方法(1)立方根的概念：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．如23＝8，那么2就叫做8的立方根，由于⎝⎛⎭⎫－323＝－278，所以－32叫做－278的立方根．(2)立方根的表示方法：a 的立方根可表示为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中“3”是根指数，“a ”是被开方数．要注意，这里的根指数“3”不能省略．例如：2的立方根可表示为32.【例1－1】 求下列各数的立方根：(1)8；(2)－125；(3)127；(4)－0.064；(5)0；(6)－6.【例1－2】 下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56 D ．(－1)2的立方根是－12．立方根的性质(1)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.(2)开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方．如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．【例2】 有下列命题：①负数没有立方根；②一个数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0.其中错误的是( )．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④ 3．立方根的应用立方根在日常生活中应用很广泛，如求物体的体积等．【例3】 某金属冶炼厂，将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160 cm 、80 cm 和40 cm ，求原来立方体钢锭的边长为多少？4．立方根的化简公式3－a ＝－3a ；3a 3＝a ；(3a )3＝a .如果x 3＝a ，那么x 就是a 的立方根，即x ＝3a ，所以x 3＝(3a )3＝a .同样，根据定义，a 3是a 的三次方，所以a 3的立方根就是a ，即3a 3＝a .设x 3＝a ，则(－x )3＝－x 3＝－a .根据立方根的定义可知，x ＝3a ，－x ＝3－a .3－a ＝－3a .要深入理解立方根的性质，必须掌握以上性质公式． 【例4】 化简：(1)3－64；(2)30.000 125；(3)－3338.5．灵活利用立方根与平方根解题平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误．(1)区别：①定义不同．平方根：如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根．立方根：如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．②表示方法不同．正数a 的平方根记为±a ，数a 的立方根记为3a .表示平方根时，根指数2一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了．③读法不同．正数a 的平方根±a ，读作“正、负根号a ”．数a 的立方根3a 读作“三次根号a 或a 的立方根”．④被开方数的取值范围不同．在平方根±a 中，被开方数a 是非负数，即a ≥0.但在3a 中，a 可以是任意的数．⑤根的个数不同．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.(2)联系：求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算．【例5－1】 已知a 3＋64＋|b 3－27|＝0，求(a －b )b 的立方根．【例5－2】 已知35x ＋32＝－2，求x ＋17的平方根．课后练习1.填空题(1)1214的平方根是_________； (2)(－41)2的算术平方根是_________；(3)一个正数的平方根是2a －1与－a +2，则a =_________，这个正数是_________； (4)25的算术平方根是_________； (5)9－2的算术平方根是_________；(6)4的值等于_________，4的平方根为_________； (7)(－4)2的平方根是_________，算术平方根是_________. （8）若9x 2－49=0,则x =________.(9)若12+x 有意义，则x 范围是________.(10)已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x =________,y =________. (11)如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________.2.选择题(1)2)2(-的化简结果是A.2B.－2C.2或－2D.4(2)9的算术平方根是 A.±3B.3C.±3D.3(3)(－11)2的平方根是A.121B.11C.±11D.没有平方根 (4)下列式子中，正确的是 A.55-=-B.－6.3=－0.6C.2)13(-=13D.36=±6(5)7－2的算术平方根是 A.71B.7C.41 D.4(6)16的平方根是 A.±4B.24C.±2D.±2(7)一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是 A.a +2B.a －2C.a +2D.a 2+2(8)下列说法正确的是A.－2是－4的平方根B.2是(－2)2的算术平方根C.(－2)2的平方根是2D.8的平方根是4 (9)16的平方根是 A.4B.－4C.±D.±2(10)169+的值是 A.7B.－1C.1D.－7牢记1-9的立方 一、选择题1.下列说法中正确的是（ ） A.－4没有立方根 B.1的立方根是±1 C.361的立方根是61D.－5的立方根是35-2.在下列各式中：327102=343001.0=0.1,301.0 =0.1,－33)27(-=－27,其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.43.若m <0，则m 的立方根是（ ）A.3mB.－3mC.±3mD.3m -4.如果36x -是6－x 的三次算术根，那么（ ）A.x <6B.x =6C.x ≤6D.x 是任意数 5.下列说法中，正确的是（ ）A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 3.选择题(1)如果a 是(－3)2的平方根，那么3a 等于（ ） A.－3B.－33C.±3D.33或－33(2)若x ＜0，则332x x -等于（ ）A.xB.2xC.0D.－2x (3)若a 2=(－5)2,b 3=(－5)3,则a +b 的值为（ ） A.0 B.±10 C.0或10D.0或－10（5）如果2(x －2)3=643,则x 等于（ ） A.21B.27C.21或27 D.以上答案都不对二、填空题6.364的平方根是______.7.（3x －2）3=0.343,则x =______.8.若81-x +x -81有意义，则3x =______.9.若x <0，则2x =______,33x =______. 10.若x =(35-)3，则1--x =______.2.填空题(1)如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________. (2)3271-=________， (38)3=________ (3)364的平方根是________. 三、解答题11.求下列各数的立方根 （1）729 （2）－42717 （3）－216125 （4）（－5）312.求下列各式中的x .(1)125x 3=8 (2)(－2+x )3=－216(3)32-x =－2 (4)27(x +1)3+64=0三、解答题13.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.14.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值.15.已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长.。
立方根背诵口诀顺口溜
立方根背诵口诀顺口溜
1. 立方根呀真奇妙，一二得一记得牢，就像走路先迈脚。
比如 8 的立方根不就是 2 嘛！
2. 立方根，要记清，一三得三别忘啦，这就好比吃饭拿筷子呀。
像27 的立方根就是 3 哟！
3. 立方根的口诀呀，二二得四在心底，就如同记住好朋友的名字。
那64 的立方根就是 4 呀！
4. 立方根真有趣，三三得九不能弃，好像每天要刷牙一样自然。
你说729 的立方根是不是 9 呢？
5. 立方根有规律，四四得十六要牢记，仿佛记住回家的路。
嘿，1024 的立方根就是 16 呢！
6. 立方根别搞混，五五得二十五很要紧，就像知道自己的生日一样。
那 3125 的立方根是 5 对吧！
7. 立方根不难背，六六得三十六有韵味，好比喜欢的歌曲旋律。
64 的立方根不就是 4 嘛！
8. 立方根的窍门，七七得四十九要熟稔，如同熟悉自己的玩具。
13824 的立方根就是 24 呀！
9. 立方根很重要，八八得六十四要知道，好像知道天空是蓝色的。
262144 的立方根就是 4 呀！
10. 立方根要念好，九九八十一别忘掉，仿佛记住妈妈的笑容。
531441 的立方根就是 9 啦！
我的观点结论：立方根的背诵口诀顺口溜真的很有用呀，能让我们轻松记住这些数学知识呢！。
初中数学 立方根有哪些性质
初中数学立方根有哪些性质立方根是一个重要的数学概念，具有许多有趣的性质。
在这里，我将介绍一些常见的立方根性质：1. 唯一性：每个正实数都有一个唯一的正实数立方根。
例如，对于任何正实数x，存在唯一的正实数a，满足a³ = x。
这意味着每个正实数有一个确定的立方根。
2. 负数的立方根：对于负实数，它们也有立方根。
例如，对于任何负实数x，存在一个负实数a，满足a³ = x。
这意味着负实数也可以有一个确定的立方根。
3. 复数的立方根：除了实数立方根外，每个复数也有三个复数立方根。
例如，对于任何复数x，存在三个复数a₁、a₂和a₃，满足a₁³ = a₂³ = a₃³ = x。
这意味着复数的立方根是多值的。
4. 幂运算：立方根的概念可以与幂运算相互转化。
例如，对于任何正实数x，x的立方根可以表示为x的1/3次幂，即∛x = x^(1/3)。
同样地，对于复数，它们的立方根也可以通过幂运算表示。
5. 近似值：有些情况下，我们可能无法精确地计算一个数的立方根。
这时，我们可以使用近似值来表示。
例如，∛(8)的近似值约为2.828。
近似值可以通过数值逼近法或计算器来获得。
6. 运算性质：立方根具有一些运算性质，类似于平方根。
例如，对于两个正实数a和b，我们有以下运算性质：- ∛(a * b) = ∛a * ∛b- ∛(a / b) = ∛a / ∛b- (∛a)² = a^(2/3)- (∛a)³ = a^(3/3) = a7. 立方根的图像：我们可以绘制立方根函数的图像，以可视化立方根的性质。
立方根函数的图像是一个增长的曲线，起点是原点(0, 0)，并且随着输入值的增加而增加。
8. 几何应用：立方根在几何中有广泛的应用。
例如，在计算立方体的边长、体积和表面积时，我们可以使用立方根。
立方根还可以用于计算球体的半径和体积等。
总之，立方根是一个重要的数学概念，具有许多有趣的性质。
立方根-知识讲解
立方根-知识讲解
立方根（cube root）是指开3次方根的数，也可以称为立方根或三次根。
如果有一
个数x，那么立方根就是求该数的立方根值y，y的立方等于x，可以这样表示∛x=y。
立方
根的概念很容易理解，例如，一个数的立方就是它乘以它自身乘以它自身，而这个数的立
方根就是这个数本身，即不是对立方数取根，而是它本身。
立方根比平方根要复杂，但是计算方法和原理基本相同，仍然是把一个复杂的运算变
成一个一元的课题，从而找到它的根。
它们的本质仍然是一元多项式，故可以使用多项式
定理或牛顿迭代法来解决。
立方根的定义是求三次方根，就是求一个数的立方根的值，可以这样表示∛x=y，其中
x为一个数，y为x的立方根。
计算立方根的简便方法是使用牛顿迭代法，例如，求242
的立方根，用牛顿迭代法求解，可以把原来的复杂变成一个一元的课题，从而找到正确的
答案，算法迭代的目的就是要使得运算出来的结果接近正确的答案，即y^3-x=0的解，把242的立方根记为y，则有y^3-242=0，即y^3=242，令y0=4.5，则y1=(2y0+242/y0^2)/3，计算出来y1=4.331，以此类推，y2=4.318，y3=4.318，则y3即前面计算出来的结果为最
终答案，即242的立方根=4.318。
牛顿迭代法不仅可以求解立方根，还可以求解更高级复杂的函数方程。
牛顿迭代法虽
然简单易懂，但对计算机来说，有些复杂的函数计算可能要花费大量时间，因此求解立方
根的时候，最好用一些更快的算法，如勒让德算法或二分法等。
七年级数学立方根
目录
• 立方根基本概念与性质 • 立方根运算规则与技巧 • 代数式中立方根处理技巧 • 图形与几何中立方根应用 • 实际问题中立方根应用举例 • 练习题及测试题精选
01 立方根基本概念与性质
立方根定义及表示方法
立方根定义
若一个数的立方等于另一个数， 则这个数被称为另一个数的立方 根。
0的立方根是0，即$sqrt[3]{0}=0$。
负数立方根
负数的立方根是负数，且随着被开方数的减小而减小。同 时，负数的奇次幂仍然是负数，因此负数的立方根只有一 个实数值。
02 立方根运算规则与技巧
立方根四则运算规则
立方和公式
立方差公式
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$， 在求解立方根的和时可以利用此公式进行化 简。
体积与质量关系
在烹饪、农业等领域，经常需要利用物体的体积和质量关系，这时立方根可以 帮助我们进行单位换算和问题解决。
空间几何问题
家居装修、城市规划等领域中，经常涉及到空间几何问题，利用立方根可以计 算物体的边长、空间容积等。
环境保护和资源利用问题探讨
空气质量监测
环保部门在监测空气质量时，需要计算空气中污染物的浓度，这时可以利用立方 根进行反推计算。
通过立方根运算，可以求出几何图形的边长、半径等参数，进而解决相关问题。
几何图形的面积、体积等计算
在几何图形中，经常需要计算面积、体积等，这些计算往往与立方根有关。
几何图形的相似与全等
在解决几何图形相似与全等问题时，立方根运算也经常出现，例如计算相似比等。
空间观念培养及拓展
空间想象力的培养
通过解决与立方根有关的几何问题，可以培养学生的空间想象力，帮助他们更好地理解几何图形 的结构和性质。
立方根的表示方法
立方根的表示方法立方根是数学中非常常见的概念，它可以用来描述一个数字的立方积。
立方根表达式有多种表示形式，比如开根号表示法、积分表示法、几何表示法等等。
一、开根号表示法开根号表示法是最常见的立方根表示法，它使用带有根号符号的数字或变量表示立方根。
如果要计算3的立方根，则可以用根号表示为：√3= 1.732显然，根号表示法只能用于计算实数的立方根，不能用于计算复数的。
二、积分表示法积分表示法是一种比较复杂的立方根表示法，它使用不同阶段的积分函数来表示立方根。
如果要计算3的立方根，则可以用积分表示法来表示：∫-∞∞ dn (x) = 3其中，n代表立方根的阶数，即n=3.显然，积分表示法可以用于计算复数的立方根，也可以用于计算实数的。
三、几何表示法几何表示法是一种简单的立方根表示法，它使用图形来表示立方根，这些图形包括三角形、正方形、立方体等等。
如果要计算3的立方根，则可以用几何表示法来表示：x =两个正方体+三个三角锥即使用两个正方体和三个三角锥重叠组成的图形，表示3的立方根。
四、其他表示法除了上述表示法，还有一些用于表示立方根的表示方法，比如三角级数表示法、偏微分表示法等等。
三角级数表示法是使用角θ的三角级数表示法来表示立方根，如果要表示3的立方根，可以表示为：x = sinθ+ 1/sinθ偏微分表示法是使用偏微分算子来表示立方根，如果要表示3的立方根，可以表示为：x =3总结以上就是立方根表示方法的介绍，它有多种表示形式，可以用于计算实数也可以用于计算复数，其中最常用的是开根号表示法，而几何表示法在表示立方根方面也有一定的优势。
初中数学 立方根的运算有哪些基本规则
初中数学立方根的运算有哪些基本规则立方根是数学中的一种运算，它有一些基本规则和性质。
以下是立方根的基本规则：1. 立方根的性质：对于任何非负实数x，它的立方根是一个实数a，满足a^3=x。
也就是说，立方根是一个数，使得它的立方等于给定的数。
2. 唯一性：每个非负实数都有唯一的立方根。
例如，对于任何正实数x，它的立方根是唯一确定的。
3. 零的立方根：零的立方根是0，因为0^3=0。
4. 负数的立方根：负数的立方根是负数的立方根的相反数。
例如，-8的立方根是-2，因为(-2)^3=-8。
5. 立方根的乘法：如果a和b都是非负实数，则(a * b)的立方根等于a的立方根乘以b的立方根。
也就是说，(a * b)^(1/3) = a^(1/3) * b^(1/3)。
6. 立方根的除法：如果a和b都是非负实数，则(a / b)的立方根等于a的立方根除以b的立方根。
也就是说，(a / b)^(1/3) = a^(1/3) / b^(1/3)。
7. 立方根的幂运算：对于任何非负实数a和正整数n，a的n次幂的立方根等于a的立方根的n次幂。
也就是说，(a^n)^(1/3) = a^(n/3)。
8. 立方根的加法和减法：不同数的立方根不能直接相加或相减。
例如，2的立方根加上3的立方根不能简单地写作2^(1/3) + 3^(1/3)。
这是因为立方根的加法和减法没有简单的表达式，需要使用数值近似方法来计算。
需要注意的是，立方根的运算通常是通过近似计算来得到结果，而不是精确的计算。
这是因为计算机和计算器通常使用有限的位数来表示实数，而实数的精确表示可能需要无限位数。
因此，在实际计算中，我们通常会得到一个近似的结果。
总结起来，立方根具有唯一性和一些基本规则。
立方根的运算包括乘法、除法、幂运算等，但加法和减法没有简单的表达式。
需要注意的是，立方根的计算通常是近似计算，而不是精确的计算。
具体的计算方法可以根据实际情况和需求来选择。
立方根知识讲解
立方根知识讲解【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数a的立方根，a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质==a3=a要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，0.060.6660.【典型例题】类型一、立方根的概念1、下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1 D=【答案】D ；【解析】64的立方根是4；12-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1. 【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；=举一反三：【变式1】下列说法正确的是（ ）A ．一个数的立方根有两个B ．一个非零数与它的立方根同号C ．若一个数有立方根，则它就有平方根D ．一个数的立方根是非负数 【答案】B ；提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.【变式2】（2015春•大名县期末）下列说法正确的是（ ）A ．﹣4的立方是64B ． 0.1的立方根是0.001C ． 4的算术平方根是16D ． 9的平方根是±3 【答案】D.类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯（3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1） （2（3）43===9 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭- （4）=331=1-++（5）3=21247=1=33÷++ 【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方. 举一反三：【变式】计算：（1=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、（x ﹣2）3=﹣125．【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可．【答案与解析】解：（x ﹣2）3=﹣125，可得：x ﹣2=﹣5，解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体．举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______；（3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3．类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？ 【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗)【答案】.。
立方根总结知识点
一、立方根的定义在数学中，对于任意实数a，如果存在一个实数b使得b³=a，那么b就是a的立方根，记作b=³√a。
从定义可以看出，立方根是求一个数的立方根的运算，即使得一个数的立方等于给定的数。
二、立方根的性质1. 立方根的性质（1）立方根的性质1：一个非负实数有且只有一个实数的立方等于它。
（2）立方根的性质2：一个非负实数的立方根也是一个非负实数。
（3）立方根的性质3：一个非负实数的立方根与它的相反数的立方根互为相反数。
2. 立方根的运算法则（1）立方根的运算法则1：³√(ab)=³√a*³√b。
（2）立方根的运算法则2：³√(a/b)=³√a/³√b。
（3）立方根的运算法则3：³√(aⁿ)=aⁿ/3。
三、立方根的求解方法1. 立方根的求解方法1：开方法。
对于一个由非负实数构成的数a，我们可以通过开方法来求解它的立方根。
具体步骤如下：（1）将a进行因式分解，得到素因数分解式。
（2）对于得到的素因数p，将其对于立方根成对提出。
（3）对提出的p，按照p³=a进行计算得到立方根。
（4）将计算得到的立方根合并，得到a的立方根。
2. 立方根的求解方法2：牛顿迭代法。
在数值计算中，可以通过牛顿迭代法来求解一个数的近似立方根。
具体步骤如下：（1）选取一个适当的初始值x0。
（2）通过牛顿迭代公式x_(n+1) =(2x_n+a/(x_n²))⁄3来迭代计算，直到达到精确度要求。
1. 几何中的应用立方根在几何中有广泛的应用。
例如，可以用立方根来计算立方体的对角线长度，立方体的表面积等。
2. 代数中的应用在代数中，立方根也有重要的应用。
例如，可以利用立方根来求解代数方程，或者用立方根来简化复杂的代数表达式等。
3. 物理中的应用在物理中，利用立方根可以对一些物理现象进行分析和计算。
例如，可以用立方根来求解一些物理量的立方根值，来描述物理世界中的一些规律等。
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64 (3) 3 125
【规律方法】 你能归纳出平方根和立方根的异同点吗? 被开方数 平方根 立方根
正数
负数 零
有两个,互为相反数
无平方根 零
有一个,是正数
有一个,是负数 零
1.将体积分别为600cm3和129cm3的长方体
铁块，熔成个正方体铁块，那么这个正方
体的棱长是多少？
方体模型（如图），它的
因为2的立方是8,
所以棱长为2cm.
棱长要取多少？你是怎么
知道的？ 思考： (1)什么数的立方等于8？
(2)如果问题中正方体的体积为
5cm3，
正方体的边长又该是多少？
定义：
一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做
a的立方根，也叫做a的三次方根．记做3
3
a
．
a 其中a是被开方数，３是根指数，符号
2.一个数的平方等于64，则这个数的
立方根是________.
3.要使 3 (3 k ) 3 3 k，k的取值为 （ ）
A.K≤3
C. 0≤K ≤ 3
B. K≥3
D.一切实数
1.立方根定义,性质及表示方法.
2.如何求一个数的立方根. 3.立方根和平方根的区别.
立方根
1.平方根与算术平方分别为什么呢?它们分别有什么性质呢? 2.练习：疯狂的5分钟
（1）81的平方根是
的平方根是 （ 2） 表示的是36的
； 144的平方根是
； 0.64的平方根是 ； 表示的是8的
；
； ； ； ；
17的平方根表示为 （ 3） ；
=
；15的平方根表示为 ； =
=
；
=
；
=
；
要做一个体积为8cm3的正
“
3
”读做“三次根号”．
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
例 题
【例1】求下列各数的立方根
1 (1)27 (2)-27 (3) 27
(4)-0.064 (5) 0
结论：
正数有立方根吗？如果有，有几个? 负数呢？ 零呢？ 一个正数有一个正的立方根，
一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零.
跟踪训练
1、填空 (1) 1的平方根是____；立方根为____；
算术平方根为___．
(2) 平方根是它本身的数是____． (3) 立方根是其本身的数是____．
(4) 算术平方根Байду номын сангаас其本身的数是____．
(5)
3
( 8) 2
的平方根为
.
(6)
3
512 的立方根为_____.
2、求下列各式的值：
（ 1 ） 64