人教B版高中数学必修二双基限时练24
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双基限时练(二十六)基础强化1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标是(a,0，c)．其中正确的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析①中Ox上点的坐标形式为(a,0,0)，即y坐标与z坐标均为0；②③④正确．故选C.答案 C2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是()A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(－2,1,4) D．(2,1，－4)答案 B3．若半径为r 的球在第Ⅴ卦限内，且与各坐标平面均相切，则球心的坐标是( )A ．(r ，r ，r )B ．(r ，r ，－r )C ．(－r ，－r ，r )D ．(r ，－r ，r )答案 B4．已知点A (－3,1,5)与点B (4,3,1)，则AB 的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，－2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，3 C ．(－12,3,5) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，2 答案 B5．如图所示，正方体的棱长为1，M 是所在棱的中点，N 是所在棱的四分之一分点，则M ，N 之间的距离为( )A.214 B.294 C.212D.292解析 根据题意，得点M 和点N 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，0，根据空间两点间的距离公式，得点M ，N 之间的距离为d (M ，N )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142＋(0－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝294.故选B. 答案 B6．已知P 点是Q (2，－3,5)关于xOy 面的对称点，则d (P ，Q )等于( )A ．10 B.10 C.38D ．38解析 P (2，－3，－5)，d (P ，Q )＝|5－(－5)|＝10. 答案 A7．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的面积为________．解析 |AB |＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2 ＝89.|AC |＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75. |BC |＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14. 显然|AC |2＋|BC |2＝|AB |2.故△ABC 是直角三角形． ∴S △ABC ＝12×14×75＝5422. 答案 54228．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为________． 解析 |AB |＝(1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2. ∴当t ＝15时，|AB |有最小值为355. 答案 355能 力 提 升9．若点P (x ，y ，z )到A (1,0,1)，B (2,1,0)两点的距离相等，则x ，y ，z 满足的关系式是________，猜想它表示的图形是________．解析 由两点间距离公式得(x －1)2＋y 2＋(z －1)2＝(x －2)2＋(y －1)2＋z 2，化简得2x ＋2y －2z －3＝0，由几何图形的性质知这个方程表示线段AB 的中垂面．答案 2x ＋2y －2z －3＝0 线段AB 的中垂面 10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 、F 分别是PC 、BD 的中点，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ＝2.建立适当的空间直角坐标系，写出点A 、B 、C 、D 、P 、E 、F 的坐标．解 ∵P A ＝PD ，面P AD ⊥面ABCD ， ∴过P 做PO ⊥AD 交AD 于O ， 则PO ⊥面ABCD 且O 是AD 中点，以O 为原点，OA 为x 轴，OF 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．∵P A ＝PD ＝22AD ＝2，∴O (0,0,0)，A (2，0,0)，B (2，22，0)，C (－2，22，0)，D (－2，0,0)，P (0,0，2)，E (－22，2，22)，F (0，2，0)．11．已知A (3,3,1)，B (1,0,5)，求： (1)d (A ，B )；(2)线段AB 的中点坐标；(3)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件．解 (1)由空间两点间的距离公式，得 d (A ，B )＝(3－1)2＋(3－0)2＋(1－5)2＝29.(2)线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12，3＋02，1＋52，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3. (3)点P (x ，y ，z )到A ，B 的距离相等，则 (x －3)2＋(y －3)2＋(z －1)2 ＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2，化简得4x ＋6y －8z ＋7＝0，即到A ，B 距离相等的点P 的坐标(x ，y ，z )满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.12．试在坐标平面yOz 内的直线2y －z ＝1上确定一点P ，使P 到Q (－1,0,4)的距离最小．解 ∵点P 在yOz 平面内，∴可设P (0，y,2y －1)，由两点间的距离公式得|PQ |＝(0＋1)2＋(y －0)2＋(2y －1－4)2 ＝5y 2－20y ＋26＝5(y －2)2＋6.显然当y ＝2时，|PQ |取最小值6，这时点P (0,2,3)．品 味 高 考13．如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，点P 在对角线BD ′上且BP ＝13BD ′，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13解析 点P 在坐标面xDy 上的射影落在BD 上．∵BP ＝13BD ′，∴点P 的x 坐标和y 坐标都为23，点P 的z 坐标为13.故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13. 答案 D。
人教B版高中数学必修二双基限时练23.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(二十三)基础强化1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．答案 D2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1 B．1C．3 D．－3解析圆x2＋y2＋2x－4y＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，可得圆心(－1,2)．∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，可得a＝1.答案 B3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是()A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析 方程可化为(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．答案 A4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 圆心(a ，－32b )，∵圆心位于第三象限，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－b a >0.∴直线不经过第四象限．答案 D5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322. ∴C 到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC 的最小值为12×|AB |×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－2.答案 A6．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0，故选A.答案 A7．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB 的方程是________．解析直线AB与点P和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得．答案x＋y－4＝08．如果直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．解析直线l经过圆心(1,2)，由于直线l不经过第四象限，故直线绕点(1,2)在直线l1与l2之间转动，如图所示，∵l1的斜率为2，l2的斜率为0，故直线l的斜率的取值范围为[0,2]．答案[0,2]能力提升9．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.解析该圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，∴F＝4.答案 410．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．(1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若点P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值．解(1)∵点P在圆C上，∴m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，整理得(m－4)2＝0，∴m＝4，∴点P(4,5)，∴|PQ|＝(－2－4)2＋(3－5)2＝210.k PQ＝5－34＋2＝26＝13.(2)圆C 的圆心C 为(2,7)，|CQ |＝(－2－2)2＋(3－7)2＝4 2.∵圆C 的半径为22，∴|PQ |的最大值为62，最小值为2 2.11．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t 的值．解 (1)∵方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F ＞0，∴(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)＞0，∴23t ＞－9，即t ＞－332.(2)由条件知，圆的半径是3，∴3＝12(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2).∴23t ＋9＝36.∴t ＝932＞－332.即t ＝932.12．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝9，求过点A (1,2)的圆的弦的中点P 的轨迹．解 设动点P 的坐标为(x ，y )，根据题意可知AP ⊥OP .当AP 垂直于x 轴时，P 的坐标为(1,0)．当x ＝0时，y ＝0.当x ≠1且x ≠0时，k AP ·k OP ＝－1.∵k AP ＝y －2x －1，k OP ＝y x ，∴y －2x －1×y x＝－1， 即x 2＋y 2－x －2y ＝0(x ≠0，且x ≠1)．点(1,0)，(0,0)适合上式．综上所述，P 点的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为圆心，以52为半径的圆． 品 味 高 考13．若点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为________．答案 (x －2)2＋(y －2)2＝10。
人教B版高中数学必修二双基限时练15.docx
双基限时练(十五)基础强化1．在x轴上与点A(5,12)距离为13的点的坐标为( )A．(0,0) B．(10,10)C．(0,0)或(10,0) D．(0,0)或(－10,0)解析设x轴上的点的坐标为(x0,0)，则(x0－5)2＋122＝13，∴x0＝0，或x0＝10.∴x轴上(0,0)和(10,0)到点A的距离为13.答案 C2．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2,2)，C(4，－2)，则△ABC在AB边上的中线长为( )A．5 B．4C.23D.26解析AB中点为D(－1，－1)，|CD|＝26.答案 D3．以三点A(3，2)，B(0,1)，C(0,3)为顶点的三角形的形状是( )A．直角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析|AB|＝(0－3)2＋(1－2)2＝2，同理可知：|BC|＝|AC|＝2，∴△ABC是等边三角形．答案 D4．已知三点A(0,1)，B(a,3)，C(4,5)在同一直线上，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由A 、B 、C 三点纵坐标可知，B 是AC 中点， ∴a ＝0＋42＝2.答案 B5．如果一条平行于y 轴的线段长为3个单位，其中它的一个端点为(－1,2)，那么它的另一个端点为( )A ．(－1，－1)或(－1,5)B ．(2，－1)或(2,5)C ．(2,2)或(－4,2)D ．(1，－1)或(1,5)解析 设另一端点为(－1，y )，则|y －2|＝3， ∴y ＝－1，或y ＝5. 答案 A6．已知A (5,2)，B (－3,4)，若A 、B 两点在y 轴上的射影分别是A ′、B ′，则d (A ′，B ′)的值为( )A ．－2B ．2C ．8D ．－8解析 A 在y 轴上的射影为(0,2)，B 在y 轴上的射影为(0,4)，∴d (A ′，B ′)＝|4－2|＝2.答案 B7．已知点M (2,2)平分线段AB ，且A (x,3)，B (3，y )，则x ＝__________，y ＝__________.解析 ∵点M (2,2)平分线段AB ，∴x ＋32＝2，3＋y2＝2，解得x＝1，y ＝1.答案 1 18．已知A(3，－2)关于点B的对称点为(7,6)，则点B关于点A 的对称点为________．解析B为(3，－2)与(7,6)中点，∴B(5,2)．∴点B关于点A的对称点为(1，－6)．答案(1，－6)能力提升9．已知A(1,1)，B(4,3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．解析如图所示，作A关于x轴的对称点A′(1，－1)，则|PA′|＝|PA|.∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|.∵|A′B|＝(1－4)2＋(－1－3)2＝5，∴|PA|＋|PB|≥5.故|PA|＋|PB|的最小值为5.答案 510．如图所示，等边△ABC的顶点A的坐标为(－3，0)，点B，C在y轴上．(1)写出B ，C 两点的坐标； (2)求△ABC 的面积和周长．解 (1)如题图所示，∵△ABC 为等边三角形，|AO |＝3， ∴|OC |＝1，|OB |＝1， 即B ，C 两点的坐标分别为B (0，－1)，C (0,1)．(2)由(1)得|BC |＝2，∴△ABC 的周长为6，面积为12×2×3＝ 3.11．在直线y ＝x ＋1上求一点P ，使得P 到Q (2,0)的距离最小，求出P 点坐标及d (P ，Q )的最小值．解 设P (x ，x ＋1)，则d (P ，Q )＝(x －2)2＋(x ＋1)2＝2x 2－2x ＋5＝2(x －12)2＋92，∴当x ＝12时，d (P ，Q )的最小值为322，即P 的坐标为(12，32)时，d (P ，Q )的最小值为322.12.河流的一侧有A ，B 两个村庄，如图所示，两村庄为了发展经济，计划在河上共建一小型水电站供两村使用．已知A ，B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和600 m ，且两村相距500 m ．问：建水电站所需的最省的电线长是多少？解 如图所示，以河边所在直线为x 轴，以AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,300)，B (400,600)．设A关于x轴的对称点为A′，则A′(0，－300)，且d(A′，B)＝(400－0)2＋(600＋300)2＝10097，由三角形三边的性质及对称性，知需要的最省的电线长即为线段A′B的长，所以所需的最省的电线长为10097 m.品味高考13.x2＋4＋x2＋4x＋13的几何意义是__________________________，函数y＝x2＋4＋x2＋4x＋13的最小值为________．答案点(x,0)到两定点(0,2)和(－2,3)的距离之和29。
人教B版高中数学必修二双基限时练5.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(五)基础强化1．如图所示，该直观图表示的平面图形为()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．正三角形解析在该直观图中的三角形有两条边分别平行于x′轴和y′轴，在平面直角坐标系中，这两条边互相垂直，故该三角形的平面图形是直角三角形．答案 C2．两条不平行的直线，其平行投影不可能是()A．两条平行线B．一点和一条直线C．两条相交直线D．两个点解析若它们的投影是两个点，则这两条线均平行于投射线，所以这两条直线平行，由已知这两条直线不平行，故他们的投影不可能是两个点．答案 D3．下列几种说法正确的个数是()①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1 B．2C．3 D．4解析在平面直角坐标系中，x轴与y轴所成的角为90°，而在直观图中它们所成的角为45°和135°，故①错；若两条线段一条平行于x轴，一条平行于y轴，则在直线图中对应的线段将不等，故②错；③④正确．答案 B4．利用斜二测画法画直观图时，①三角形的直观图还是三角形；②平行四边形的直观图还是平行四边形；③正方形的直观图还是正方形；④菱形的直观图还是菱形．其中正确的个数是() A．0个B．1个C．2个D．3个解析根据斜二测画法，三角形的直观图还是三角形，平行四边形的直观图还是平行四边形，正方形与菱形的直观图都是平行四边形．答案 C5．如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则这个广告气球直径是()A.524米B.522米 C ．52米 D ．102米解析 直径d ＝5sin45°＝522米．答案 B6．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2解析 S △ABC ＝34a 2，∴S △A ′B ′C ′＝24S △ABC ＝616a 2.答案 D7．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为a ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．解析 在原图形中，OA ＝BC ＝a ，OB ＝22a ，∠BOA ＝90°，∴AB ＝OC ＝3a ，∴原图形的周长为8a .答案 8a8．如图①所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是BB 1、BC 的中点，则图中阴影部分在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为图②中的________．解析 △MND 在上、下底面与左、右侧面上的投影均为图a 所示，在前、后侧面上的投影如图c 所示．故ac 正确．答案 ac能 力 提 升9．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为__________．解析 如图易知，水平放置的△ABC 即为图中△A ′BC ′.∴AB 边上的中线C ′D ＝12A ′B .又∵O ′A ′＝C ′A ′＝3，BC ′＝2B ′C ′＝4，∴A ′B ＝5，∴C ′D ＝52.即AB 边上中线实际长度为52.答案 5210．在有太阳的某时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10 m 处，同一时刻一根长 3 m 的木棒垂直于地面，且影子长1 m ，求此球的半径．解 由题设知BO ′＝10，设∠ABO ′＝2α(0°<α<45°)(如右图)，由题意知tan2α＝31＝3，即2α＝60°，∴α＝30°，∴tan α＝33.在Rt △OO ′B 中，tan α＝R BO ′， ∴R ＝BO ′·tan α＝1033m.11．用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图．解 (1)画x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°；(2)Ox轴上取点D(3,0)，在O′x′轴上取D′、B′，使O′D′＝OD，O′B′＝OB(如图)，在O′y′轴上取C′，使O′C′＝12OC，在O′x′轴下方过D′作D′A′∥O′y′，使D′A′＝12DA；(3)连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′就是四边形OABC的直观图．12．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，C′A′＝2，B′D′∥y′轴且B′D′＝1.5.(1)将其恢复成原图形；(2)求原平面图形△ABC的面积．解(1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.②在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.③连接AB、BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．(2)∵B′D′∥y′轴，∴BD⊥AC.又B′D′＝1.5且A′C′＝2，∴BD＝3，AC＝2，∴S△ABC＝12BD·AC＝3.品味高考13．如图为水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，若D是△ABC中BC边的中点，那么AB，AD，AC三条线段中最长的是________，最短的是________．答案AC AB。
2020年高中数学新教材人教B版必修第2册练习二十四向量的加法90
课时素养评价二十四向量的加法基础练(20分钟• 40分)、选择题（每小题4分，共16分）1. （2019 •烟台高一检测）如图所示,四边形ABCD是梯形，AD// BC,则+「=【解析】选 B. OA+AE= QA+AB+EC = OC2. 化简的结果等于（）A. 0B. WC.宀D. 7【解析】选A^! > 1 :J+『+、「=0.3. 在四边形ABCD中，‘ = "；+「’,则一定有（）A. 四边形ABCD是矩形B. 四边形ABCD是菱形C. 四边形ABCD是正方形D. 四边形ABCD是平行四边形【解析】选D.由'=「+门•得门==,即AD=BC且AD// BC,所以四边形ABCD-组对边平行且相等，故为平行四边形.■3——一——4. 在矩形ABCD中,AB 八’,BC=1,则向量 "；+小+ ；：的长等于（）A.2B.2C.3D.4【解析】选D.矩形ABCD中,AB八' ,BC=1,所以AC=2,因为AE+AD+AC= EC+AC= AC+AC=2 AC,所以其长度为 4.二、填空题（每小题4分,共8分）5. ______________________________________ 若| a|=| b|=1,则| a+b|的取值范围为,当| a+b|取得最大值时,向量a, b的方向【解析】由|| a|-| b|| w|a+b| < | a|+| b|知0< | a+b| < 2.当| a+b|取得最大值时，向量a, b的方向相同. 答案：[0,2] 相同6. 已知平行四边形ABCD设■• | ；+「+ r + I=a,且b是一非零向量，则下列结论：①a //b;② a+b=a;③ a+b=b;④ | a+b|<| a|+| b|.其中正确的是__________ .【解析】因为在平行四边形ABCD中，山+「=0, — =0,所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误.答案：①③三、解答题7. （16分）如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员, 然后又从B地按南偏东55。
人教B版高中数学必修二双基限时练19.docx
双基限时练(十九)基础强化1．直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系是()A．平行B．不平行C．平行或重合D．既不平行又不重合答案 C2．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0互相平行，则a 的值为()A．1 B．－2C．1或－2 D．－1或2解析当a≠0时，a＋1＝2a≠2，∴a＝－2.当a＝0时，两直线相交．综上所述，a＝－2.答案 B3．直线l1：x＋4y－2＝0与直线l2：2x－y＋5＝0的交点坐标为()A．(－6,2) B．(－2,1)C．(2,0) D．(2,9)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y －2＝0，2x －y ＋5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴两直线的交点坐标为(－2,1)． 答案 B4．已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 因为MN ∥PQ ，所以k MN ＝k PQ ，即4－(－1)－3－2＝2－2m m －3，解得m ＝－1.答案 B5．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0答案 A6．直线Ax ＋4y －1＝0和直线3x －y －C ＝0重合的条件是( ) A ．A ＝12，C ≠0 B ．A ＝－12，C ＝14 C ．A ＝－12，C ≠－14 D ．A ＝－12，C ＝－14 解析 ∵两条直线重合，∴A 3＝4－1＝－1－C ，A ＝－12，C ＝－14.答案 D7．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为103的直线l 的方程为________．解析 设所求直线为2x ＋3y ＋c ＝0， 当x ＝0时，y ＝－c 3；当y ＝0时，x ＝－c2， ∴－c 3－c 2＝103，∴c ＝－4. 答案 2x ＋3y －4＝08．三条直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0和ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点，则a ＝__________.解析 ax ＋2y －3＝0分别与x －2y ＋1＝0和x ＋3y －1＝0平行，可得出a ＝－1或a ＝23.答案 －1或23能 力 提 升9．若直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，1210．已知直线l 1：经过点A (1,1)和B (3,2)，直线l 2：2x －4y －3＝0.(1)求直线l 1的方程；(2)判断直线l 1与l 2的位置关系，并说明理由． 解 (1)y －12－1＝x －13－1，∴x －2y ＋1＝0.∴直线l 1的方程为x －2y ＋1＝0.(2)直线l 1的斜率为12，在y 轴上的截距为12，直线l 2的斜率为12，在y 轴上的截距为－34.∵两条直线的斜率相等，在y 轴上的截距不相等， ∴l 1与l 2平行．11．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交； (2)l 1∥l 2； (3)l 1与l 2重合．解 (1)当m ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧l 1：x ＋6＝0，l 2：－2x ＋3y ＝0，l 1与l 2相交．当m ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：3y ＋4＝0，l 1与l 2相交．当1m －2≠m3，即m 2－2m －3≠0，即m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交(这里也包含了m ＝0或m ＝2的情况)．综上所述，当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交； (2)当1m －2＝m 3≠62m ，即m ＝－1时，l 1∥l 2；(3)当1m －2＝m 3＝62m，即m ＝3时，l 1与l 2重合．12．是否存在实数a ，使三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0围成一个三角形？请说明理由．解 ①当a 1＝1a ≠11时，l 1∥l 2，解得a ＝－1； ②当a 1＝11≠1a 时，l 1∥l 3，无解；③当11＝a 1≠1a 时，l 2∥l 3，无解；④当l 1与l 2，l 3相交于同一点时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，得交点(－1－a,1)，将其代入ax ＋y ＋1＝0， 得a ＝－2或a ＝1.故当a ≠1且a ≠－1且a ≠－2时，这三条直线能围成一个三角形．品 味 高 考13．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3,4C ．4,3D ．－4，－3解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0.又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34，11b ≠12.解得a ＝3，b ＝4.答案 B。
高二数学 双基限时练24
双基限时练(二十四)一、选择题1．已知x >1，则( ) A ．x ＋1x －1>3B ．x ＋1x －1≥3C ．x ＋1x －1<3D ．x ＋1x －1≤3解析 x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥3，当且仅当x －1＝1x －1，即x＝2时等号成立．答案 B2．下列求最值的过程中正确的是( ) A ．若0<x <π，则y ＝sin x ＋2sin x ≥2sin x ·2sin x ＝22，y min ＝22B ．若0<x <π，则y ＝sin x ＋2sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －2sin x 2＋22≥22，y min ＝22C ．若x >0，则y ＝2＋x ＋4x ≥2＋2 x ·4x ＝6，y min ＝6D ．当0<x <1时，y ＝x (4－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4－x 22＝4， y max ＝4解析 A 、B 、D 中等号成立的条件不具备． 答案 C3．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －x D ．y ＝log 3x ＋log x 81解析 ∵e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4.当且仅当e x ＝4e －x ，即e x ＝2时等号成立，故选C. 答案 C4．已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋13y 的最小值为( ) A ．2 B ．22 C ．4D ．23解析 由题可知2x·8y＝2，即x ＋3y ＝1，又1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ·(x ＋3y )＝2＋x 3y ＋3yx ≥2＋2x 3y ·3y x ＝4.答案 C5．已知m >0，n >0，m 、n 的等差中项为12，x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1n ，则x ＋y 的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析 由题意得m ＋n ＝1≥2mn ，∴1mn ≥4. ∴x ＋y ＝1＋1m ＋1n ＝1＋1mn ≥5. 答案 B6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，对任意正实数x 、y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析 由(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ≥9，得a ≥2，∴a ≥4.答案 C 二、填空题7．已知a 、b 、c ∈R ＋，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c 的最小值是____．解析 (a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c ＝[(a ＋b )＋c ]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c ≥4.答案 48．已知a ，b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图像过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是________．解析 由题意得2a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (2a ＋b )＝3＋2a b ＋ba ≥3＋22(当且仅当2ab ＝ba 即b ＝2a 时等号成立)．答案 3＋229．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是________．解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2，∵x >1，∴y ≥2＋23(当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时取等号)．答案 2＋23 三、解答题10．求下列函数的最大值．(1)y ＝x (1－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12；(2)y ＝x 3－x 2()0<x <3. 解 (1)∵0<x <12，∴1－2x >0. ∴x (1－2x )≤12·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝18. 当且仅当2x ＝1－2x 即x ＝14时等号成立． 即当x ＝14时y ＝x (1－2x )取得最大值18.(2)∵0<x <3，∴x 3－x 2≤x 2＋3－x 22＝32. 当且仅当x 2＝3－x 2，即x ＝62时等号成立． ∴当x ＝62时，函数取得最大值32.11．已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 ∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ·9xy ＝16.当且仅当y x ＝9xy 即x ＝4，y ＝12时等号成立，∴x ＋y 的最小值为16.12．已知直角三角形的周长为定值L ，求它的面积的最大值． 解 设直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，则斜边为a 2＋b 2，由题意得a ＋b ＋a 2＋b 2＝L .∵a 、b 均为正数，∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时等号成立)．∴L ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab . 即ab ≤L 2＋2，故ab ≤L 26＋42.又S △ABC ＝12ab ，∴12ab ≤L 212＋82＝3－224L 2.∴当a ＝b 时，S △ABC 取得最大值S max ＝3－224L 2.思 维 探 究13．已知正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3， (1)求a ＋b 的最小值； (2)求ab 的取值范围．解 (1)∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 又ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b )24，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，∴a ＋b ≥6或a ＋b ≥－2(舍)．∴a ＋b 的最小值为6.(2)∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，又ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab ≥2ab ＋3，得ab ≥3或ab ≤－1(舍)由ab ≥3，得ab ≥9，∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．新课标第一网系列资料 。
高中数学 双基限时练24 新人教B版必修4
双基限时练(二十四)基 础 强 化1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－3，x )，且a 与b 夹角为60°，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 cos60°＝a ·b |a |·|b |＝－3＋3x 2×3＋x 2＝12.∴⎩⎨⎧－3＋3x 3＋x2＝1，－3＋3x >0，∴x ＝3.答案 C2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是( ) A. 5 B ．－5 C.32D ．－32解析 BC →＝AC →－AB →＝(2－k,2)． ∵∠C ＝90°，∴BC →⊥AC →. ∴2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5. 答案 A3．已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形 解析 ∵AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)， ∴AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0. ∴AB →⊥AC →，∴A ＝90°，故选A. 答案 A4．设向量a 与b 的夹角为θ，a ＝(2,1)，a ＋2b ＝(4,5)，则cos θ＝( ) A.1010B.31010C.35D.45解析 ∵a ＝(2,1)，a ＋2b ＝(4,5)，∴b ＝(1,2)．cos θ＝a ·b |a ||b |＝45×5＝45.答案 D5．已知向量u ＝(x ＋2,3)，v ＝(x,1)，当f (x )＝u ·v 取得最小值时，x 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．2D ．1解析 f (x )＝u ·v ＝(x ＋2)x ＋3 ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，所以当x ＝－1时，f (x )取得最小值2. 答案 B6．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则(OB →－OA →)·OB →＝( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4解析 A (2,0)，B (3,1)，(OB →－OA →)·OB →＝OB →2－OA →·OB →＝10－6＝4. 答案 D7．若a ·b ＝39，b ＝(12,5)，则a 在b 上的投影是________．解析 a 在b 上的投影为a ·b |b |＝39122＋52＝3. 答案 38．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(x,1)，若a ·b ＝2，则x ＝________；|a ＋b |＝________. 解析 ∵a ·b ＝2，∴x ＝2. ∵a ＋b ＝(3,1)，∴|a ＋b |＝10. 答案 210能 力 提 升9．已知A (2，－2)，B (5,1)，C (1,4)，则∠BAC 的余弦值为________． 解析 AB →＝(3,3)，AC →＝(－1,6)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15， |AB →|＝32，|AC →|＝37，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝1532·37＝57474.答案5747410．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，若BC →∥DA →，AC →⊥BD →，求x 、y 的值． 解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(4＋x ，y －2)， 则DA →＝(－4－x,2－y )．由BC →∥DA →，∴x (2－y )＋y (4＋x )＝0. ∵AC →＝AB →＋BC →＝(6＋x ，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)，且AC →⊥BD →， ∴(6＋x )(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，综上可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3.11．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，(1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)．k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)． a ＋b ＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．(1)∵k a －b 与a ＋b 共线， ∴k ＋2－(－k )＝0.∴k ＝－1. (2)∵|k a －b |＝k 2＋k ＋22，|a ＋b |＝12＋－12＝ 2.∵(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2， 而k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∴cos120°＝k a －b ·a ＋b|k a －b ||a ＋b |，即－12＝－22·k 2＋k ＋22化简，整理得k 2＋2k －2＝0， 解之得k ＝－1± 3.12．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ.解析 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |，得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， ∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2， ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝1，|b |＝1，∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0. ∴a·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ，由函数单调性的定义容易证明f (k )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．∴当k ＝1时，[f (k )]min ＝f (1)＝14(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角为θ. 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×1＝12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.品 味 高 考13．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10解析 先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积． ∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0， ∴AC →⊥BD →，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5.答案 C。
人教A版高中数学必修四双基限时练24.docx
双基限时练(二十四)1．cos17°等于( ) A ．cos20°cos3°－sin20°sin3° B ．cos20°cos3°＋sin20°sin3° C ．sin20°sin3°－sin20°cos3° D ．cos20°sin20°＋sin3°cos3° 解析 cos17°＝cos(20°－3°) ＝cos20°cos3°＋sin20°sin3°. 答案 B2．cos(α＋30°)cos α＋sin(α＋30°)sin α等于( ) A.12 B.32 C.22D ．－12解析 原式＝cos(α＋30°－α) ＝cos30°＝32. 答案 B3．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( )A ．α＝1312π，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π3 C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π3，β＝π4解析 ∵cos αcos β＝32－sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32， 即cos(α－β)＝32， 经验证可知选项B 正确． 答案 B4．已知cos α＝55，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A.31010 B ．－1010 C.255D.31010或－1010解析 ∵cos α＝55，∴sin α＝±1－cos 2α＝±255.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝55·22＋22·⎝ ⎛⎭⎪⎫±255＝⎩⎨⎧31010，－1010，有两解，应选D.答案 D5.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( ) A ．－32B ．－12C.12D.32答案 D答案 D6.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则cos(A －B )的值是( )A.35B.45C.2425D.725解析 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴斜边AB ＝5.sin A ＝BC AB ＝45，cos A ＝AC AB ＝35， sin B ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45， ∴cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝35×45＋45×35＝2425. 答案 C7．已知平面向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(α，β∈R )，当α＝5π12，β＝π4时，a ·b ＝________.解析 a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝cos π6＝32.答案 328．若cos αcos β＝1，则cos(α－β)的值为________． 解析 由cos αcos β＝1，知cos α＝cos β＝－1，或cos α＝cos β＝1. ∴sin α＝sin β＝0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1. 答案 19．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为________．答案 010．已知α，β均为锐角，满足cos α＝255，sin β＝1010，则cos(α－β)＝________.解析 因为α，β均为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝55，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×31010＋55×1010＝7210.答案 721011．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π＋2cos x 的值．解 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35.∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π＋2cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos 23π＋sin x sin 23π＋2cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x＝435－35 ＝43－35.12．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255，求cos(α－β)．解 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，所以a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．所以|a －b |＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＋sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β ＝2－2cos (α－β)＝255， 所以2－2cos(α－β)＝45， 所以cos(α－β)＝35.13．已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)． 解 ∵sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110， 两式平方相加，得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.。
人教B版高中数学必修二双基限时练22.docx
双基限时练(二十二)基础强化1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是()A．以(a，b)为圆心的圆B．点(a，b)C．以(－a，－b)为圆心的圆D．点(－a，－b)解析∵(x－a)2＋(y－b)2＝0，∴x－a＝y－b＝0，∴该方程表示的是一个点(a，b)．答案 B2．已知一圆的圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y轴上，则此圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52解析由题意可知，圆的这条直径的两个端点为(4,0)和(0，－6)，故圆的直径＝42＋(－6)2＝52，半径r＝522，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.答案 A3．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1解析已知圆的圆心是(－2,1)，半径是1，所以圆C的圆心是(2，－1)，半径是1.所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A.答案 A4．三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球，若设赤道大圆的方程为x2＋y2＝R2(R为地球半径)，三颗卫星均可分布于赤道上空，则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为()A．x2＋y2＝2R2B．x2＋y2＝4R2C．x2＋y2＝8R2D．x2＋y2＝9R2解析由题意知卫星距地面高度为R，所以方程为x2＋y2＝4R2.故选B.答案 B5．方程y＝－16－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆解析该方程可变形为x2＋y2＝16(y≤0)，它表示圆心在原点，半径为4的圆的下半个圆．答案 D6．若圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程为()A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5解析 设圆心为(a,0)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝5，∵圆与直线x ＋2y ＝0相切，∴|a |5＝5，∴a ＝±5. ∵圆O 位于y 轴左侧，∴a ＝－5，∴圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.答案 D7．已知圆O 的一条弦长为2，且此弦所对圆周角为60°，则该圆的半径为________．答案 23 38．在x 轴下方，与x 轴相切于(8,0)，半径为32的圆的方程为________．解析 由题意可知，圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，－32， ∴圆的方程为(x －8)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝94. 答案 (x －8)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝94 能 力 提 升9．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________． 解析 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案 x 2＋(y －2)2＝110．直线l ：(m ＋1)x ＋2y －4m －4＝0(m ∈R )恒过定点C ，圆C是以点C 为圆心，以4为半径的圆，求圆C 的方程．解 直线l 的方程可以化为(x －4)m ＋x ＋2y －4＝0，当x＝4时，y＝0对任意m∈R恒成立．∴直线l恒过(4,0)，即点C(4,0)．∵圆C是以C为圆心，4为半径的圆，∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.11．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围．解(1)∵点M(6,9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a>0，∴a＝10.(2)∵|PN|＝(3－5)2＋(3－6)2＝13，|QN|＝(5－5)2＋(3－6)2＝3，|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，∴a的取值范围为(3，13)．12．如图所示，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C在x轴上．(1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程．解 (1)k AB ＝22－2＝－2， ∴k BC ＝22.依点斜式得，BC 所在直线的方程为：y ＝22x －2 2.(2)在上式中，令y ＝0，得x ＝4，∴C (4,0)．∵M 为Rt △ABC 的外接圆的圆心，∴M 为AC 的中点，即M (1,0)．此时2r ＝|AC |＝6，∴r ＝3.∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9.品 味 高 考13．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为________________________．解析 圆心为(－1,0)，半径为|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案 (x ＋1)2＋y 2＝2。
人教B版高中数学必修二双基限时练16.docx
双基限时练(十六)基础强化1．下列命题正确的个数为()①若α是直线l的倾斜角，则α∈[0°，180°)；②任何直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率；③任何直线都存在斜率，但不一定存在倾斜角；④任何直线都存在倾斜角和斜率．A．1B．2C．3 D．4解析任何直线都存在倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．故正确的是①②.答案 B2．直线l过点P(－2，a)，Q(a,4)，若直线l的斜率为1，则a的值为()A．1 B．4C．1或4 D．1或－4解析k PQ＝a－4－2－a＝1，∴a－4＝－2－a，∴a＝1.答案 A3．已知直线y＝(3a－1)x＋2的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为( )A ．a <13B ．a >13C ．a >3D ．a <3解析 直线y ＝(3a －1)x ＋2的斜率为3a －1，∵该直线的倾斜角为钝角，∴3a －1<0，∴a <13.答案 A4．设点P 在y 轴上，点M 与点N 关于y 轴对称，若直线PM 的斜率为2，则直线PN 的斜率为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析 设P (0，y 0)，M (a ，b )，则N (－a ，b )．∵k PM ＝y 0－b 0－a＝2，∴y 0－b a ＝－2， ∴k PN ＝y 0－b 0－(－a )＝－2. 答案 B5．已知M (1,2)，N (4,3)，直线l 过点P (2，－1)且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．[－3,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，12 C ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 C6．斜率为2的直线经过点(3,5)，(a,7)，(－1，b )，则a ，b 的值为( )A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝3 解析 7－5a －3＝b －5－1－3＝2，∴a ＝4，b ＝－3. 答案 C7．过原点引直线l ，使l 与连接A (1,1)和B (1，－1)两点间的线段相交，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是__________．答案 0°≤θ≤45°或135°≤θ＜180°8．已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，如图所示，则k 1，k 2，k 3的大小关系为________．解析 由于l 3过二、四象限，故l 3的斜率小于0，l 1与l 2过一、三象限，故它们的斜率大于0，因为l 2倾斜角大于l 1的倾斜角，∴k 2>k 1>0.答案 k 2>k 1>k 3能 力 提 升9．已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则P 的坐标为________．解析 设P (x ，y )，则y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74. ∴x ＝1，y ＝－5，故P (1，－5)．答案 (1，－5)10．如图，已知A (3,2)，B (－4,1)，C (0，－1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解 直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17； 直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－(－4)＝－12； 直线CA 的斜率k CA ＝－1－20－3＝1. 由k AB >0及k CA >0知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角；由k BC <0知，直线BC 的倾斜角为钝角．11．已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使得直线AB 的斜率等于2，求出点B 的坐标．解 如果点B 在x 轴上，可设B (x 0,0)，x 0≠3.则直线AB 的斜率k ＝0－4x 0－3＝2，解得x 0＝1，即B (1,0)；如果点B 在y 轴上，可设B (0，y 0)，y 0≠4.则直线AB 的斜率k ＝y 0－40－3＝2，解得y 0＝－2，即B (0，－2)．12．已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．解 如图所示，直线l 过定点C (0,2)，直线BC 的斜率k CB ＝1－23－0＝－13，直线AC 的斜率k CA ＝4－21－0＝2，直线l 的斜率k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ，∴－13≤a ≤2.品 味 高 考13．下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k＝y 2－y 1x 2－x 1④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－a b .其中正确命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析 根据倾斜角的定义知，①正确；倾斜角θ的范围为0°≤θ＜180°，②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，④不正确．故选C.答案 C。
人教B版高中数学必修二双基限时练19.docx
双基限时练(十九)基 础 强 化1．直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行又不重合答案 C2．直线x ＋ay －7＝0与直线(a ＋1)x ＋2y －14＝0互相平行，则a 的值为( )A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－1或2解析 当a ≠0时，a ＋1＝2a≠2，∴a ＝－2.当a ＝0时，两直线相交． 综上所述，a ＝－2. 答案 B3．直线l 1：x ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －y ＋5＝0的交点坐标为( )A ．(－6,2)B ．(－2,1)C ．(2,0)D ．(2,9)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －2＝0，2x －y ＋5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴两直线的交点坐标为(－2,1)． 答案 B4．已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 因为MN ∥PQ ，所以k MN ＝k PQ ，即4－(－1)－3－2＝2－2mm －3，解得m＝－1.答案 B5．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0答案 A6．直线Ax ＋4y －1＝0和直线3x －y －C ＝0重合的条件是( ) A ．A ＝12，C ≠0 B ．A ＝－12，C ＝14C ．A ＝－12，C ≠－14D ．A ＝－12，C ＝－14解析 ∵两条直线重合，∴A3＝4－1＝－1－C ，A ＝－12，C ＝－14. 答案 D7．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为103的直线l 的方程为________．解析 设所求直线为2x ＋3y ＋c ＝0， 当x ＝0时，y ＝－c 3；当y ＝0时，x ＝－c2，∴－c 3－c 2＝103，∴c ＝－4.答案 2x ＋3y －4＝08．三条直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0和ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点，则a ＝__________.解析 ax ＋2y －3＝0分别与x －2y ＋1＝0和x ＋3y －1＝0平行，可得出a ＝－1或a ＝23.答案 －1或23能 力 提 升9．若直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，1210．已知直线l 1：经过点A (1,1)和B (3,2)，直线l 2：2x －4y －3＝0.(1)求直线l 1的方程；(2)判断直线l 1与l 2的位置关系，并说明理由． 解 (1)y －12－1＝x －13－1，∴x －2y ＋1＝0.∴直线l 1的方程为x －2y ＋1＝0.(2)直线l 1的斜率为12，在y 轴上的截距为12，直线l 2的斜率为12，在y 轴上的截距为－34.∵两条直线的斜率相等，在y 轴上的截距不相等， ∴l 1与l 2平行．11．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交； (2)l 1∥l 2； (3)l 1与l 2重合．解 (1)当m ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧l 1：x ＋6＝0，l 2：－2x ＋3y ＝0，l 1与l 2相交．当m ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：3y ＋4＝0，l 1与l 2相交．当1m －2≠m3，即m 2－2m －3≠0，即m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交(这里也包含了m ＝0或m ＝2的情况)．综上所述，当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交； (2)当1m －2＝m 3≠62m ，即m ＝－1时，l 1∥l 2；(3)当1m －2＝m 3＝62m，即m ＝3时，l 1与l 2重合． 12．是否存在实数a ，使三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0围成一个三角形？请说明理由．解 ①当a 1＝1a ≠11时，l 1∥l 2，解得a ＝－1；②当a 1＝11≠1a时，l 1∥l 3，无解；③当11＝a 1≠1a时，l 2∥l 3，无解；④当l 1与l 2，l 3相交于同一点时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，得交点(－1－a,1)，将其代入ax ＋y ＋1＝0，得a ＝－2或a ＝1.故当a ≠1且a ≠－1且a ≠－2时，这三条直线能围成一个三角形．品 味 高 考13．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3,4C ．4,3D ．－4，－3解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0.又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34，11b ≠12.解得a ＝3，b ＝4.答案 B。
人教B版高中数学必修二双基限时练6.docx
双基限时练(六)基础强化1．以下说法中，不正确的是()A．有些简单的几何体，用主视图和俯视图就能确定其形状和大小B．三视图能真实反映各种几何体的形状和大小C．对于复杂的几何体，三视图不足以反映其大小和形状D．只要确定了实物的位置和观察方向，就能画出其三视图解析对于简单的几何体，如一块砖，向两个互相垂直的平面作正投影，就能反映它的大小和形状；对于复杂的几何体，三视图可能不足以反映它的大小和形状，还需要更多的投射平面．故B选项不正确．答案 B2．如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是()解析该圆柱形物体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是圆．答案 A3．①、②、③是三个几何体的三视图，①、②、③对应标号正确的是()①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④解析甲图为圆柱，乙图为三棱锥，丙图为圆锥．答案 A4．已知一物体和它的三视图如图所示，其中错误的视图是()A．主视图B．俯视图C．左视图D．无错误解析主视图错了，主视图中看到的应该是线段BC.答案 A5．将正三棱柱截去三个角(如图①所示A，B，C分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图②，则该几何体按图②所示方向的左视图为()解析 ∵是正三棱柱，且AE 在平面EG 中，∴在左视图中，AE 为竖直的．故选A.答案 A6．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，主视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的左视图面积为( )A ．2 3 B. 3 C ．2 2 D ．4解析 由题意可知，该三棱柱的左视图应为矩形，如图所示．在该矩形中，MM 1＝CC 1＝2，CM ＝C 1M 1＝32·AB ＝ 3.所以左视图的面积为S ＝2 3.答案 A7．一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如下图所示，则这个组合体包含的小正方体的个数是________个．解析该几何体如图所示．∴它包含的小正方体的块数为5.答案 58．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．解析根据几何体的直观特征及空间想象可知，四棱柱与圆柱的主视图不会是三角形．答案①②③⑤能力提升9．如图所示，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．解析在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①.答案①②③10．画出下图中所示纺锤体的三视图．解纺锤体的三视图如图所示．11．在下面图中，图②是图①中实物画出的主视图和俯视图，判断其是否正确，如果不正确，请找出错误并改正，然后分别画出它们的左视图．(1)①②(2)①②解(1)原题图a是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图a；a(2)原题图①的组合体可以看作是如图a中几何体的组合，主视图与俯视图都应画出中间的柱体与圆柱的交线，所以原题图②不正确，正确视图如图b.a b12．根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图：(1)三视图如下图①；(2)三视图如下图②.解(1)由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切．它的实物草图如图①.(2)由三视图知，该物体上部分是一个正方体，下部分是一个长方体去掉了一个角，它的实物草图如图②.品味高考13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()解析由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.答案 D。
人教B版高中数学必修二双基限时练12.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(十二)基础强化1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()A．l⊥m B．l可能和m平行C．l与m相交D．无法确定解析直线l⊥平面α，则l垂直于平面α内任意一条直线，∵m⊂α，故l⊥m.答案 A2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．可能有一个，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个；当a与b不垂直时，过a且与b垂直的平面不存在．答案 B3．已知空间两个不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n解析A选项中m与n可能异面；B选项中n与α可能平行或在α内；C选项中m与n的位置关系不确定，故A、B、C均错误，D 是线面平行的性质定理，D成立．答案 D4．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为()A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断答案 B5.如图，P A⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析∵P A⊥面ABC，∴P A⊥AC，P A⊥BC，P A⊥AB.∵BC⊥AC，AC∩P A＝A，∴BC ⊥面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴△P AC 、△P AB 、△ABC 、△PBC 均是直角三角形． 答案 A6．在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA ＝4，AB ＝3，D 为AB 中点，且∠ABC ＝90°，则点D 到平面SBC 的距离为( )A.125 B.95 C.65 D.35解析如图，过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ， ∵SA ⊥面ABC ，∴SA ⊥BC . ∵AB ⊥BC ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ，∴BC ⊥AE . ∵SB ∩BC ＝B ，∴AE ⊥平面SBC .∵D 是AB 中点，∴D 到平面SBC 的距离为12AE . 在Rt △SAB 中，SA ＝4，AB ＝3， ∴AE ＝125，∴D 到平面SBC 的距离为65. 答案 C能 力 提 升7．如图所示，P 、Q 、R 分别是正方体的棱AB 、BB 1、BC 的中点，则BD 1与平面PQR 的位置关系是__________．答案 垂直8．如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A ⊥平面⊙O ，C 为圆周上一点，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，则B 到平面P AC 的距离为________．解析 连接BC .∵C 为圆周上的一点，AB 为直径， ∴BC ⊥AC .又∵P A⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，∴P A⊥BC.又∵P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，C为垂足，∴BC即为B到平面P AC的距离．在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝52－22＝21(cm)．答案21 cm9．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．解析∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥QD，又∵PQ⊥QD，∴QD⊥平面P AQ.∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2.答案 210.如图，已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面ABCD ，再过A 作AE ⊥SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 于F .求证：SC ⊥平面AEF .证明 ∵SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BC . 又∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . ∴BC ⊥平面SAB .∵AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AE .又∵AE ⊥SB ，∴AE ⊥平面SBC .∴AE ⊥SC . 又∵EF ⊥SC ，∴SC ⊥平面AEF .11．如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB . 证明 (1)∵EC ∥PD ，PD ⊂平面P AD ，EC ⊄平面PDA ， ∴EC ∥平面 PDA ，同理可得BC ∥平面PDA . ∵EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC 且EC ∩BC ＝C ， ∴平面EBC ∥平面PDA .又∵BE ⊂平面EBC ，∴BE ∥平面PDA . (2)取BD 中点M ，连接MC ，MN ， ∵N 是PB 中点，∴MN ∥PD ，且MN ＝12PD . ∵EC ∥PD 且PD ＝2EC ，∴EC ∥MN 且EC ＝MN . ∴四边形MNEC 是平行四边形，∴NE∥MC.∵M是BD中点，且四边形ABCD是正方形，∴CM⊥BD.∵PD⊥平面ABCD，且MC⊂平面ABCD，∴PD⊥MC.∵BD∩PD＝D，∴MC⊥平面PDB，∴NE⊥平面PDB.12．如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A 作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.品味高考13．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l 满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.答案 D。
人教B版高中数学必修二双基限时练18.docx
双基限时练(十八)基 础 强 化1．直线mx －y －m ＋2＝0经过一定点，则该点的坐标为( )A ．(－1,2)B ．(1,2)C ．(2，－1)D ．(2,1)解析 m (x －1)－y ＋2＝0，∴当x ＝1时，y 恒等于2，故该直线恒过(1,2)．答案 B2．若直线mx ＋ny ＋12＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－3和4，则m 和n 的值分别是( )A ．4,3B ．－4,3C ．4，－3D ．－4，－3解析 令x ＝0，则y ＝－12n ＝4，∴n ＝－3.令y ＝0，则x ＝－12m ＝－3，∴m ＝4.答案 C3．若方程(6a 2－a －2)x ＋(3a 2－5a ＋2)y ＋a －1＝0表示平行于x轴的直线，则a 的值为( )A.23B ．－12 C.23或－12D ．1解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ 6a 2－a －2＝0，3a 2－5a ＋2≠0，a －1≠0，∴a ＝－12.答案 B4．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限解析 直线方程可以变式为y ＝－a b x ＋c b ，∵ab <0，bc <0，∴－a b >0，c b <0，∴直线过一、三、四象限．答案 C5．若直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A 、B 两点，且AB 的中点为P (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32B ．－32 C.23 D ．－23解析 设直线l 与直线y ＝1交于A (x 1,1)，与直线x －y －7＝0交于B (x 2，y 2)，∵AB 中点为P (1，－1)，∴y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0中可得x 2＝4，∴B (4，－3)，∴k ＝－3－(－1)4－1＝－23. 答案 D6．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝0解析 ∵P 点在直线P A 上，故P (2,3)，A (－1,0)．设B (x,0)(x ≠－1)，∵|P A |＝|PB |， ∴(2＋1)2＋32＝(2－x )2＋32.∴x ＝5.∴B (5,0)．∴直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.答案 A7．已知两点A (－1，－2)，B (2,4)，直线l ：ax ＋3y －5＝0通过线段AB 的中点，则a ＝__________.解析 由中点公式得AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴12a ＋3－5＝0，∴a ＝4.答案 48．已知3a ＋2b ＝5，其中a 、b 是常数，则直线ax ＋by －10＝0必过定点________．解析 ∵3a ＋2b ＝5，∴6a ＋4b －10＝0，∴直线ax ＋by －10＝0过定点(6,4)．答案 (6,4)能 力 提 升9．已知A (2,1)，B (－4,7)，则经过AB 中点且在y 轴上的截距为－2的直线方程为____________________．解析 AB 中点(－1,4)，设直线方程为y ＝kx －2，∵该直线过AB中点，∴4＝－k －2，∴k ＝－6，∴直线方程为6x ＋y ＋2＝0.答案 6x ＋y ＋2＝010．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A (5,3)；(2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(3)经过C (－1,5)，D (2，－1)两点．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0.(2)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(3)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0. 11．设直线l 的方程为(m ＋1)x ＋y ＋(2－m )＝0，证明：l 恒过第四象限．证明 直线l 的方程可化为(x －1)m ＋x ＋y ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，x ＋y ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.∴l 过定点(1，－3)． ∵点(1，－3)在第四象限，∴l 恒过第四象限．12．已知△ABC 的顶点A (5，－2)，B (7,3)且边AC 的中点M 在y轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．(1)求顶点C 的坐标；(2)求直线MN 的方程．解 (1)设M (0，m )，N (n,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x C ＋x A ＝2x M ，y C ＋y A ＝2y M ，⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋x B ＝2x N ，y C ＋y B ＝2y N ， ∴x C ＝0－5＝－5，y C ＝0－3＝－3.∴点C 的坐标为(－5，－3)．(2)∵2m ＝y C ＋y A ＝－3＋(－2)＝－5，故m ＝－52.2n ＝x C ＋x B ＝－5＋7＝2，故n ＝1.∴直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.品 味 高 考13．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0解析 ∵x －y ＋3－1＝0的斜率为1，∴倾斜角为45°.∴l 的斜率为tan α＝tan60°＝3，l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .答案 B。
北师大版高中数学必修二双基限时练24
双基限时练(二十四)一、选择题1．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0解析由题意，得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.答案 B2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1答案 A3．已知圆C与圆(x＋1)2＋y2＝1关于直线y＝x对称，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1解析(－1,0)关于y＝x对称的点为(0，－1)．答案 C4．若直线x ＋y －3＝0始终平分圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的周长，则a ＋b ＝( )A ．3B ．2C ．5D ．1解析 由题可知，圆心(a ，b )在直线x ＋y －3＝0上， ∴a ＋b －3＝0，即a ＋b ＝3. 答案 A5．若直线y ＝ax ＋b 通过一、二、三象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 令x ＝0，y ＝b ，令y ＝0，x ＝－ba∵直线过一、二、三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，－ba＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＞0.∴圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心(a ，b )在第一象限． 答案 A6．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －10)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x ＋10)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y ＋10)2＝5解析 设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝5，∴a ＝－10，∴圆O 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝5，故选C. 答案 C 二、填空题7．过点A (1，－1)与B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程为________．答案 (x －1)2＋(y －1)2＝48．若圆(x ＋a 22)2＋(y －a 2－12)2＝1关于直线y ＝x 对称的曲线仍是其本身，则实数a 的值为________．解析 圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22，a 2－12在直线y ＝x 上，即a 2－12＝－a 22，即2a 2＝1，得a ＝±22.答案 ±229．已知动点M 在x 2＋y 2＝4上运动，点A (3,4)，则|MA |的最大值、最小值分别是________、________.解析 |MA |max ＝|OA |＋r ＝32＋42＋2＝7， |MA |min ＝|OA |－2＝5－2＝3. 答案 7 3 三、解答题10．求圆心在直线2x －y －7＝0上，与y 轴交于点A (0，－4)，B (0，－2)的圆的标准方程．解 由题意得圆心在AB 的中垂线y ＝－3上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，2x －y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.∴圆心坐标为(2，－3)．又半径r ＝(2－0)2＋[－3－(－4)]2＝ 5. ∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.11．求过点A (6,0)，B (1,5)，且圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上的圆的方程．解 解法1：直线AB 的斜率k ＝5－01－6＝－1，所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1.AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为x ＝6＋12＝72，y ＝0＋52＝52，因此，直线m 的方程为y －52＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72，即x －y －1＝0.又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －7y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.所以圆心坐标为C (3,2)，又半径r ＝|CA |＝13. 则所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝13.解法2：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(6－a )2＋(0－b )2＝r 2，(1－a )2＋(5－b )2＝r 2，2a －7b ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，r ＝13.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.12．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)． (1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程． 解 (1)∵PQ 所在的直线过(1,0)，(0,1)， 故PQ 所在的直线方程为x ＋y ＝1，PQ 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.∴PQ 的中垂线方程即圆心所在的直线方程为y －12＝x －12，即y＝x .(2)设圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝1. 由题意，得(1－a )2＋a 2＝1，得a ＝0，或a ＝1， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＝1，或(x －1)2＋(y －1)2＝1.思维探究13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝4和直线l ：x －y ＝5，求C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值．解 ∵圆(x －3)2＋(y －1)2＝4的圆心为(3，1)． 又圆心到直线l ：x －y ＝5的距离为 d ＝|3－1－5|12＋12＝6－32＝62－62.∴C 上的点到直线l 的距离的最大值为62－62＋2＝5－32，最小值为6－2－62－2.。
人教B版高中数学必修二双基限时练9.docx
双基限时练(九)基础强化1．下列命题，正确的是()A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面解析A正确；B中当A、B、C三点共线时，结论有可能不成立；C中b、c可能不共面；D中四边形可能为空间四边形，故B、C、D均错．答案 A2．若三条直线两两相交，则由这三条直线确定的平面个数为()A．1个B．2个C．3个D．1个或3个解析当这三条直线不共点时，它们能确定一个平面；当这三条直线共点时，它们能确定1个或3个平面．3．下列命题中，真命题的个数是()①若空间四个点不共面，则这四个点可确定四个平面；②四边相等的四边形是菱形；③如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．A．1 B．2C．3 D．4解析若空间四点不共面，则这四点组成的几何体是三棱锥，它有四个面，故①正确；②中有可能是空间四边形，故②错；若这三个点共线，则不能得出两个平面重合的结论，有可能两个平面相交，故③错；根据平行四边形的定义可知，④正确．故选B.答案 B4．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，那么()A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析∵M∈a，a⊂α，∴M∈α.同理N∈α.∵M∈l，N∈l，∴由基本性质1可知，l⊂α.答案 A5．下列命题正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a、b是异面直线B．若a⊂α，b⊄α，则a、b是异面直线C．若a∩b＝∅，则a、b是异面直线D．不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线解析根据异面直线的定义可知，D选项正确．6．下列各图形中，P、Q、R、S分别是棱的中点，这四个点不共面的一个图是()ABCD解析A中易证PS∥QR；B中易证PQ∥SR，C中可证PS∥QR，只有选D.答案 D7．平面α∩平面β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β且C∉l，又AB∩l ＝R，过A、B、C三点确定的平面记作γ，则β∩γ＝____________.解析如图所示，∵α∩β＝l，AB∩l＝R，∴AB∩β＝R，C∈β.∴R∈面ABC∩β，C∈面ABC∩β.∴面ABC∩β＝RC.答案RC8．若a、b是异面直线，b、c也是异面直线，则a与c的位置关系________．解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图所示，令C1D1＝a，BC＝b.∵b与c异面，∴c可能是A1B1，DD1，AA1，∴a与c的关系可能是平行、相交或异面．答案相交或平行或异面能力提升9．有以下三个命题：①不在平面内的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．请将所有正确命题的序号写出__________．答案①③10.如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11.如图所示，在正方体AC 1中，E ，F ，G ，H 分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：(1)直线EF ，GH ，DC 能交于一点吗？(2)若E ，F ，G ，H 四点共面，怎样才能画出过四点E ，F ，G ，H 的平面截正方体所得的截面？解 (1)如图，能交于一点．理由如下：因为E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，易得E ，F ∈平面ABCD且EF 与CD 相交，设交点为P .由△EBF ≌△PCF ，可得PC ＝BE ＝12AB .同理，GH 与CD 相交，设交点为P 1，同样可得P 1C ＝C 1G ＝12C 1D 1＝12AB .所以P1与P重合，因此直线EF，GH，DC能交于一点．(2)由(1)知EF，GH相交于一点，则E，F，G，H四点共面．如图，延长HG，DD1，相交于点R，延长FE交DA的延长线于Q，则点R，Q是截面与侧面AD1的公共点，连接RQ与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，可得截面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图的阴影部分所示．12.如图所示，在三棱锥P－ABC中，D、E是PC上不重合的两点，F、H分别是P A、PB上的点，且与点P不重合．求证：EF和DH是异面直线．证明∵P A∩PC＝P，∴P A、PC确定一个平面α.∵E∈PC，F∈P A，∴E∈α，F∈α，∴EF⊂α.∵D∈PC，∴D∈α，且D∉EF.又PB∩α＝P，H∈PB，∴H∉α，DH∩α＝D，且DH与EF不相交．∴直线EF和DH是异面直线．品味高考13．下列图形中，满足α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB 的图形是()解析可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断．答案 C。
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双基限时练(二十四)
基 础 强 化
1．直线3x ＋4y －13＝0与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的位置关系是( )
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不能确定
解析 题中圆的圆心为(2,3)，半径为1， 则圆心到直线的距离d ＝|3×2＋4×3－13|
5＝1， ∴直线与圆相切． 答案 C
2．直线x ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为23，则a 的值为( )
A ．－1或－3 B.2或－ 2 C ．1或3
D. 3
解析 24－|a －2|2＝23，∴|a －2|＝1. ∴a ＝3，或a ＝1. 答案 C
3．已知P 是圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线y ＝x ＋1的距离的最小值为( )
A ．3
B ．2 2
C ．22－1
D ．22＋1
解析 圆上的点到直线的最近距离等于圆心到直线的距离减去半径．∵d ＝4
2
＝22，∴P 到直线y ＝x ＋1的距离的最小值为22－1.
答案 C
4．若直线y ＝kx ＋4＋2k 与曲线y ＝4－x 2有两个公共点，则k 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B.⎣⎢⎡
⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝
⎛⎦
⎥⎤
34，1 D ．(－∞，－1]
解析 曲线y ＝4－x 2表示圆心在原点，半径为2的圆在x 轴上方的半个圆，
如图所示，直线y ＝kx ＋4＋2k 过定点(－2,4)，
当直线过(2,0)时， k ＝4－0－2－2
＝－1. 当直线与圆在第一象限相切时，k ＝－3
4. ∵直线与圆有两个公共点，∴k ∈⎣
⎢⎡
⎭
⎪⎫－1，－34.
答案 B
5．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点P (m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m 、n 应满足的关系是( )
A ．(m －2)2＋n 2＝4
B ．(m ＋2)2＋n 2＝4
C ．(m －2)2＋n 2＝8
D ．(m ＋2)2＋n 2＝8
解析 圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心为(2,0)，半径为2. ∵过点P 的两条切线互相垂直， ∴由切线及半径组成的四边形为正方形， ∴(m －2)2＋n 2＝22，∴(m －2)2＋n 2＝8. 答案 C
6．若直线x a ＋y
b ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则( ) A ．a 2＋b 2<1 B ．a 2＋b 2>1 C.1a 2＋1
b 2<1
D.1a 2＋1b 2>1
解析 由题意，圆心到直线的距离小于圆的半径，即
1
1a 2＋1b 2
<1，∴1a 2＋1b 2>1.
答案 D
7．经过A (2，－1)和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x
上的圆的方程为________．
解析 设圆心(a ，－2a )，
∴r ＝(a －2)2
＋(－2a ＋1)2
＝|a －2a －1|
2
，∴a ＝1.
∴圆的半径r ＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 答案 (x －1)2＋(y ＋2)2＝2
8．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1与直线l ：x －2y ＋1＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.
解析 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1＋1|5＝25
5，∴|AB |＝2r 2－d 2
＝2
1－45＝255. 答案
255
能 力 提 升
9．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝8上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有________个．
答案 3个
10．已知直线l 1：ax ＋y －2＝0，l 2：(3a －4)x －y －1＝0，且l 1∥l 2，求以N (1,1)为圆心，并且与l 2相切的圆的方程．
解 ∵l 1∥l 2，∴当a ≠0时，3a －4a ＝－1≠1
2，
∴a ＝1，经检验，当a ＝0时l 1与l 2不平行，故a ＝0舍去， ∴l 2：x ＋y ＋1＝0，∵圆与l 2相切，∴r ＝|1＋1＋1|12＋1
2＝32
2. ∴所求圆的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝9
2.
11．已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )．
(1)求证：不论m 为何值，圆心总在同一条直线l 上． (2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离？
解 (1)将圆的方程配方得(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25.设圆心为
(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3m ，
y ＝m －1，
消去m ，得x －3y －3＝0.
∴圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．
(2)设与l 平行的直线是l ′：x －3y ＋b ＝0，圆心(3m ，m －1)到直线l ′的距离为d ＝|3m －3(m －1)＋b |10＝|3＋b |
10
.
∵半径r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交；当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d >r 时，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离．
12．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．
(1)当直线l 过圆心时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的斜率为1时，求AB 的长． 解 (1)圆心C (1,0)，∵直线l 过点P (2,2)与圆心， ∴直线l 的方程y －02－0＝x －1
2－1，即2x －y －2＝0.
(2)直线l 的方程为x －y ＝0，
则圆心到直线l 的距离为d ＝|1－0|2＝2
2.
∵r ＝3，∴|AB |＝2
9－1
2＝34. 品 味 高 考
13．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，
则直线AB 的方程为( )
A ．2x ＋y －3＝0
B ．2x －y －3＝0
C ．4x －y －3＝0
D ．4x ＋y －3＝0
解析 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为1
2，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.
答案 A。