北师大版初中数学八年级上册第一次月考试题(河南省实验中学

2018-2019学年河南省实验中学
八年级（上）第一次月考数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（）
A．﹣B．C．﹣3D．3
2．（3分）下列各数中：，3.，0.2020020002…（每两个2之间0的个数逐次增加1个），，0，3.1415926，﹣，，无理数有（）个．
A．3B．4C．5D．6
3．（3分）25的平方根是（）
A．5B．±5C．D．±
4．（3分）下列说法正确的是（）
A．一个数的平方根有两个，它们互为相反数
B．一个数的立方根，不是正数就是负数
C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是﹣1，0，1中的一个
D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或者0
5．（3分）下列式子中：，，，，2，其中属于最简二次根式的有几个（）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）下列各组数中是勾股数的是（）
A．4，5，6B．0.3，0.4，0.5
C．1，2，3D．5，12，13
7．（3分）若的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b等于（）A．﹣1B．1C．0D．2
8．（3分）一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）
A．13B．5C．13或5D．4
9．（3分）如图，在圆柱的截面ABCD中，AB＝，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为（）
A．10B．12C．20D．14
10．（3分）如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…
依次法继续作下去，S1，S2，S3…分别表示各个三角形的面积，那么S12+S22+S32+…+S92的值是（）
A．B．C．D．55
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若a＜﹣3＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值是．12．（3分）若一个正数x的两个平方根分别是3m+1与﹣2m﹣3，则x的值是．
13．（3分）若M＝++3，N＝x﹣3，则M+N的值为：．14．（3分）若＝9﹣m，则m＝．
15．（3分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN＝，AM＝．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（15分）计算下列各题
（1）（﹣）×
（2）÷+（﹣1）2
（3）（）﹣2+（﹣1）2015（+1）2016﹣（）0
17．（6分）先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中a ＝+1．
18．（6分）在如图所示的数轴上作出所对应的点（不要求写作法，保留作图痕迹）．
19．（8分）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
20．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，BC＝16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积．
21．（8分）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
22．（10分）如图，△ABC为等边三角形，D为BC边的中点，DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F，若DE+DF＝3，则△ABC的边长为多少？
23．（14分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．
（1）如图①，当AM＝BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P 处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM＝AM，PN ＝BN，△PMN的形状是．线段AM、BN、MN之间的数量关系是；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN 之间的数量关系是
．试证明你的猜想；
（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是．（不要求证明）
2018-2019学年河南省实验中学八年级（上）第一次月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（）
A．﹣B．C．﹣3D．3
【分析】根据绝对值的性质计算即可得解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3，
即|﹣3|＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数．
2．（3分）下列各数中：，3.，0.2020020002…（每两个2之间0的个数逐次增加1个），，0，3.1415926，﹣，，无理数有（）个．
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可．
【解答】解：在所列8个数中，无理数有，0.2020020002…（每两个2之间0的个数逐次增加1个），﹣这3个数，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式．
3．（3分）25的平方根是（）
A．5B．±5C．D．±
【分析】根据开平方的意义，可得答案．
【解答】解；25的平方根是±5，
故选：B．
【点评】本题考查了平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
4．（3分）下列说法正确的是（）
A．一个数的平方根有两个，它们互为相反数
B．一个数的立方根，不是正数就是负数
C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是﹣1，0，1中的一个
D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或者0
【分析】根据立方根，平方根的定义选择即可．
【解答】解：A、一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，故本选项错误；
B、一个非零数的立方根，不是正数就是负数，故本选项错误；
C、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是﹣1，0，1中的一个，
故本选项正确；
D、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．5．（3分）下列式子中：，，，，2，其中属于最简二次根式的有几个（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：最简二次根式有，2，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义、立方根等知识点，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．
6．（3分）下列各组数中是勾股数的是（）
A．4，5，6B．0.3，0.4，0.5
C．1，2，3D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；
B、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；
C、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；
D、∵52+122＝132，∴这组数是勾股数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
7．（3分）若的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b等于（）A．﹣1B．1C．0D．2
【分析】求出的范围，得出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴a＝1，b＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣+1＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了估计无理数的大小，解此题的关键是求出a、b的值．8．（3分）一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）
A．13B．5C．13或5D．4
【分析】以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：2和3都是直角边或3是斜边，熟练运用勾股定理进行计算．
【解答】解：当2和3都是直角边时，则x2＝4+9＝13；
当3是斜边时，则x2＝9﹣4＝5．
故选：C．
【点评】此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算．
9．（3分）如图，在圆柱的截面ABCD中，AB＝，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为（）
A．10B．12C．20D．14
【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．【解答】解：如图所示，
∵在圆柱的截面ABCD中AB＝，BC＝12，
∴AB＝××π＝8，BS＝BC＝6，
∴AS＝＝10．
故选：A．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
10．（3分）如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…
依次法继续作下去，S1，S2，S3…分别表示各个三角形的面积，那么S12+S22+S32+…+S92的值是（）
A．B．C．D．55
【分析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP8的长，再根据三角形面积公式得到S12，S22，S32，…，S92，相加即可求解．
【解答】解：由勾股定理得：OP1＝，OP2＝；OP3＝2；
OP4＝＝；
依此类推可得OP n＝，
∴S12＝，S22＝，S32＝，…，S92＝，
∴S12+S22+S32+…+S92＝．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若a＜﹣3＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值是1．【分析】先估算出的范围，再求出﹣3的范围，即可求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴0＜﹣3＜1，
∴a＝0，b＝1，
∴a+b＝0+1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了估算无理数的性质和求代数式的值，能估算出的范围是解此题的关键．
12．（3分）若一个正数x的两个平方根分别是3m+1与﹣2m﹣3，则x的值是49．【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：3m+1﹣2m﹣3＝0，
解得：m＝2，
∴3m+1＝7，
∴x＝72＝49，
故答案为：49．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的定义，本题属于基础题型．
13．（3分）若M＝++3，N＝x﹣3，则M+N的值为：4．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【解答】解：∵与有意义，
∴x＝4，
则M＝3，
故N＝1，
则M+N＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．14．（3分）若＝9﹣m，则m＝9或8．
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【解答】解：∵＝9﹣m，
∴9﹣m＝（9﹣m）2，
则（9﹣m）2﹣（9﹣m）＝0，
（9﹣m）（9﹣m﹣1）＝0，
解得：m1＝9，m2＝8，
故答案为：9或8．
【点评】此题主要考查了二次根式的计算，正确掌握定义是解题关键．15．（3分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN＝3cm，AM＝1cm．
【分析】分两步求解：
（1）在Rt△ECN中，利用勾股定理与折叠性质，求出CN的长度；
（2）过点M作MG⊥CD于点C，证明△MNG≌△DEC，得到GN＝CE，从而求出DG，即AM的长度．
【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm．
由折叠可知，EN＝DN＝（8﹣x）cm．
在Rt△ECN中，CE＝4cm，CN＝xcm，EN＝（8﹣x）cm，
由勾股定理得：EN2＝CN2+CE2，即（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴CN＝3cm；
如图，过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知AM＝DG，MG＝BC＝CD．连接DE，交MG于点I．
由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE＝90°，
∵∠DIG+∠EDC＝90°，∠MIE＝∠DIG（对顶角相等），
∴∠NMG＝∠EDC．
在△MNG与△DEC中，
∴△MNG≌△DEC（ASA）．
∴GN＝CE＝4cm，
∴DG＝CD﹣CN﹣GN＝8﹣3﹣4＝1cm．
∴AM＝DG＝1cm．
故答案为：3cm和1cm．
【点评】考查了翻折问题，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的．本题中DN＝EN是解题关键，再利用勾股定理、全等三角形的知识就迎刃而解．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（15分）计算下列各题
（1）（﹣）×
（2）÷+（﹣1）2
（3）（）﹣2+（﹣1）2015（+1）2016﹣（）0
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；
（2）根据二次根式的除法法则和完全平方公式运算；
（3）根据零指数幂、负整数指数幂和积的乘方法则运算．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝6﹣1
＝5；
（2）原式＝+2﹣2+1
＝2+2﹣2+1
＝3；
（3）原式＝4+[（﹣1）（+1）]2015•（+1）﹣1
＝4+（2﹣1）2015（+1）﹣1
＝4++1﹣1
＝5+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．（6分）先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中a ＝+1．
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4a2﹣4a+1﹣2a2+2﹣a2+2a＝a2﹣2a+3，
当a＝+1时，原式＝3+2﹣2﹣2+3＝4．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）在如图所示的数轴上作出所对应的点（不要求写作法，保留作图痕迹）．
【分析】直接利用数轴结合勾股定理得出答案．
【解答】解：如图所示：
【点评】此题主要考查了数轴以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．19．（8分）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得
a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+2b+c，根据算术
平方根的求法可得答案．
【解答】解：根据题意，可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8；
故a＝5，b＝2；
又有7＜＜8，
可得c＝7；
则a+2b+c＝16；
则16的算术平方根为4．
【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
20．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，BC＝16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积．
【分析】利用勾股定理求出CD＝6，所以阴影部分面积为×CD×AC，求出即可．
【解答】解：设CD＝x，
∵在△ABC中，AB＝20，AC＝12，BC＝16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，
∴BD＝B′D＝16﹣x，B′C＝AB﹣AC＝20﹣12＝8，∠DCB′＝90°，
∴在Rt△DCB′中，
CD2+B′C2＝DB′2，
∴x2+82＝（16﹣x）2，
解得：x＝6，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为：×6×12＝36．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出BD＝B′D＝16﹣x，B′C＝8是解题关键．
21．（8分）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
【分析】如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O于F，连接OF．求出FK的值与4.9比较即可判断．
【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD 于H，交⊙O于F，连接OF．
易知四边形OHKN是矩形，四边形ABCD是矩形，OH＝KM＝4，AB＝CD＝10，OF＝OD＝5，
在Rt△OHF中，FH＝＝＝3，
∵HK＝BC＝2.5，
∴FK＝2.5+3＝5.5，
∵5.5＞4.9，
∴这辆卡车能安全通过这个隧道．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，△ABC为等边三角形，D为BC边的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE+DF＝3，则△ABC的边长为多少？
【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝30°，根据角平分线的性质得到DE＝DF，求得AD＝2DE＝3，于是得到结论．
【解答】解：连接AD，
∵AB＝AC，D为BC边的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝3，
∴DE＝DF＝1.5，
∴AD＝2DE＝3，
∴AB＝AD＝2，
故△ABC的边长为2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
23．（14分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．
（1）如图①，当AM＝BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P 处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM＝AM，PN ＝BN，△PMN的形状是等腰直角三角形．线段AM、BN、MN之间的数量关系是AM2+BN2＝MN2（或AM＝BN＝MN）；
（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN 之间的数量关系是
AM2+BN2＝MN2．试证明你的猜想；
（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是AM2+BN2＝MN2．（不要求证明）
【分析】（1）根据折叠的性质知：△CAM≌△CMP、△CNB≌△CNP，所以∠A+∠B＝∠FPC+∠EPC＝90°，首先可得到△PMN是直角三角形，故PM、AM、BN的数量关系符合勾股定理，即AM2+BN2＝MN2；而AM＝BN，所以可得到PM＝PN，即△PMN是等腰直角三角形，因此PM＝PN＝MN．（2）参照（1）的思路，可将△ACM沿CM折叠，得△DCM，然后连接DN，证△DCN≌△BCN，后面的解法同（1）．
（3）解法同（2）．
【解答】解：（1）根据折叠的性质知：
△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP；
∴AM＝PM，∠A＝∠CPM，PN＝NB，∠B＝∠CPN；
∴∠MPN＝∠A+∠B＝90°，PM＝PN＝AM＝BN，
故△PMN是等腰直角三角形，AM2+BN2＝MN2（或AM＝BN＝MN）．
（2）AM2+BN2＝MN2；
将△ACM沿CM折叠，得△DCM，连DN，则△ACM≌△DCM，
∴CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM，同理可知∠DCN＝∠BCN，
△DCN≌△BCN，DN＝BN，而∠MDC＝∠A＝45°，∠CDN＝∠B＝45°∴∠MDN＝90°，
∴DM2+DN2＝MN2，
故AM2+BN2＝MN2．
（3）AM2+BN2＝MN2；解法同（2）．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理的应用，难度适中．。