课时作业1：5.2 平面向量的基本定理及向量的坐标表示

5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2013·辽宁高考改编)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．
2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是________．
3．已知向量a ＝⎝⎛⎭
⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________． 4.(创新题)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．
5．如下图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是________．(填写序号)
①AC ＝AB ＋AD ②BD ＝AD －AB
③AO ＝12AB ＋12AD ④AE ＝53AB ＋AD 6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.
7．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．
8．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．
9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求：
(1)|a ＋3b |；
(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？
10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB .
(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．
第Ⅱ组：重点选做题
1.(2013·南通二模)如下图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点．设AP＝αAB＋βAF(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
2．(2014·苏锡常镇一模)如下图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC＝λDE＋μAP，则λ＋μ的最小值为________．
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．解析：AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB |AB |＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：⎝⎛⎭⎫35，－45 2．解析：∵CD ＝2DB ，∴CD ＝23CB ＝23
(AB －AC )， ∴CD ＝23AB －23AC ，又CD ＝r AB ＋s AC ，∴r ＝23，s ＝－23
，∴r ＋s ＝0. 答案：0
3．解析：a －2b ＝⎝⎛⎭
⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，
故有⎝⎛⎭⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－2x ＝λ16＋x ，12
x －2＝λx ＋1⇒x ＝4(x >0)． 答案：4
4．解析：∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，
即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．
答案：(0,2)
5．解析：由向量减法的三角形法则知，DB ＝AD －AB ，排除②；由向量加法的平行四边
形法则知，AC ＝AB ＋AD ，AO ＝12AC ＝12AB ＋12
AD ，排除①、③. 答案：④
6．解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)， ∴BC ＝3PC ＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
7．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．
则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}－13，－23
8．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ，AC 不共线．
∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，
∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.
答案：k ≠1
9．解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58.
(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，
所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13
.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．
10．解：(1) OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．
当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧
4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0， 故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.
(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)．
∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，
∴A ，B ，M 三点共线．
第Ⅱ组：重点选做题
1．解析：法一：分别延长DC ，AB 交于点G ，则 CG ∥AF ，且CG ＝AF ，从而AC ＝AG ＋GC ＝2AB ＋AF ，同理可得AE ＝AB ＋2AF ，AD ＝2AB ＋2AF ，因为点P 在△CDE 内部(包括边界)，所以α＋β∈[3,4]．
法二：建立如下图所示的直角坐标系，不妨设正六边形ABCDEF 的边长为2，
则点A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，D (2,23)，
E (0,23)，
F (－1，3)，从而点P 位于区域⎩⎨⎧ x ＋3y ≥6，3x ＋y ≤43，
y ≤23，中．
又AP ＝αAB ＋βAF ＝(2α－β，3β)，代入可行域得⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β≥3，α≤2，
β≤2，
于是α＋β∈[3,4]．
答案：[3,4] 2.解析：以A 为原点，如下图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，
则AC ＝(1,1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫12，－1.设AP ＝(cos α，sin α)，α∈⎣⎡⎦
⎤0，π2.由AC ＝λDE ＋μAP 得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λ2＋μcos α，1＝－λ＋μsin α，
所以μ＝32cos α＋sin α，故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·1＋sin α2cos α＋sin α－1. 设f (α)＝1＋sin α2cos α＋sin α，α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f ′(α)＝2＋2sin α－cos α2cos α＋sin α2
. 因为f ′(α)＞0恒成立，故f (α)在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调增．所以当α＝0时，f (α)min ＝f (0)＝12
， 所以(λ＋μ)min ＝12
. 答案：12。