SAUSG软件钢材塑性本构（一）

SAUSG软件钢材塑性本构（一）
作者：乔保娟丨职位：高级技术研发拥有9年有限元分析软件研发工作经验现从事高性能有限元分析软件研发与技术支持工作每每提起弹塑性本构，脑海中就会浮现出陆老师（清华大学陆新征老师）在黑板上洋洋洒洒地推导弹塑性矩阵的情景，我当时内心无
比崇拜，既是对陆老师渊博学识和敬业精神的敬佩，也是对力学前辈们智慧的叹服。

正如陆老师所说，弹塑性本构的理论体系是很完美的，仅仅从一些简单的基本假定就可以推导出全部求解所需的公式。

最近笔者在做SAUSG本构参数开放工作，在这里，不妨与小伙伴们一起重温一下弹塑性本构。

限于篇幅，本期将简要介绍经典金属塑性本构模型，SAUSG钢材塑性本构求解过程将在下一期分享。

1.基本理论弹塑性本构关系有两种不同的理论，即形变理论和增量理论。

一般来说，塑性变形是与加载路径有关的。

形变理论企图直接建立用全量形式表示的与加载路径无关的本构关系，在一般情况下是不适用的。

增量理论在实际应用中需要按加载过程进行积分，计算比较复杂，因而在电子计算机得到广泛应用之前，反而不如形变理论用的多，由于电子计算机的发展和计算方法的进步，这一理论几乎完全替代了形变理论而得到越来越广泛的应用。

本文主要介绍增量理论。

在增量理论中，材料达到屈服以后把应变增量分为弹性增量和塑性增量两部分，其中弹性应变增量部分与应力增加之间关系仍服从胡克定律，即。

弹塑性增量理论，要对以下三个方面做出基本假定：
（1）屈服准则
即应力状态满足什么条件时进入屈服状态，
，如Tresca、von Mises、Mohr-Coulomb、Druck-Prager屈服准则等。

（2）流动法则它确定了材料处于屈服状态时塑性变形增量的方向，按照Mises提出的塑性位势理论，塑性变形增量方向与塑性势面正交，
，所以也称正交流动法则，若塑性势面与屈服面
取为相同，即为相关联流动法则，否则，为非关联流动法则。

（3）硬化法则关于材料达到初始屈服面以后，屈服条件变化的法则。

可分为
理想弹塑性、硬化塑性和软化塑性，这里重点介绍硬化塑性。

图1 加、卸载准则
(a)理想弹塑性 (b)硬化塑性 (c)软化塑性由于强化规律比较复杂，人们依据材料的实验资料建立了多种强化模型，其中最常用的有等向强化模型和随动强化模型。

等向强化模型假定后继屈服面的形态与初始屈服面相同，后继屈服面的大小则随着强化程度的增加而作均匀的扩大，它可表示为
，其中为硬化参数，它和塑性变形有关。

塑性参数
的变化规律有多种假定，最常用的有做功强化（与总的塑性变形功有关）和应变强化（与总的塑性变形有关）两种。

在应力分量之间的比例变化不大的情况下，采用等向强化模型是比较符合实际情况的。

随动强化模型假定后继屈服面的大小、形态与初始屈服面相同，在强化过程中，后继屈服面只是初始屈服面整体在应力空间作平动。

它可表示为。

求解最简便的方法是假定与成正比，这就是Prager强化法则，。

在应力子空间上使用Prager强化法则时，会引起某些不一致，不能保证屈服面只有平移，没有变形。

为此，Ziegler修改了Prager强化法则，假定在折减应力矢量
方向上移动的速率为
，是图个正的比例因子，与变形历史有关。

为简单起见，
假定，是一个正的常数，为等效塑性应变增量。

对于材料处于循环加载的情况下，可能出现反向屈服的问题，随动强化模型是比较符合实际的。

(a) (b)
图2 强化模型
（a）等向强化模型（b）随动强化模型
如果将等向强化和随动强化组合起来，便可组成混合强化模型，可表示为
，在这一模型中，既有位置变化，也有屈服面扩大，能更好地描述材料硬化性能，但计算比较复杂。

2. 公式推导由弹塑性本构增量理论基本假定可知：
（1）
将等式两边同时乘以，得
（2）
又
，假设的大小与应力增量在屈服面法向上的投影成正比，即
（3）
式中，为硬化模量。

代入（2）式得
（4）
为一个标量，整理得
（5）
代入（3）式得
（6）
以下将分别推导理想弹塑性、等向强化、随动强化等情况下的硬
化模量。

(1)理想塑性。

(2)等向强化1) 应变强化假设屈服函数
式中是有效塑性应变的函数，
，则
（7）
（8）将
代入得
（9）
为一个标量，整理得
（11）
2）加工强化
假设
式中是塑性功的函数，
，则
（12）
（13）将
代入得
（14）
（15）
（16）
对于一维情况，
，
（17）式中，A是单向应力与塑性应变曲线斜率。

（3）随动强化
1）Prager强化法则
假设屈服函数
式中
则
（18）
式中，
，为折算应力，以下为表示方便，将直接写为，读者应注意，随动强化本构中的均指。

将
代入得
（19）
（21）
（22）
2）Ziegler强化法则
假设屈服函数
式中
，，
则
（24）
将
代入得
（25）
（27）
求得后，代入式（6）即可求得塑性因子增量，从而求得单元积分点的应力。