高中数学4.2.2最大值、最小值问题第1课时练习北师大版选修1-1

【成才之路】2015-2016学年高中数学 4.2.2最大值、最小值问题第1课
时练习 北师大版选修1-1
一、选择题
1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B ．π
2－1
C ．π
D ．π＋1
[答案] C
[解析] f ′(x )＝1－cos x ≥0，
∴f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π上为增函数， ∴f (x )的最大值为f (π)＝π－sin π＝π，故选C.
2．(2014·北京东城区联考)如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( )
A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数
B ．在(1,3)上f (x )是减函数
C ．在(4,5)上f (x )是增函数
D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 [答案] C
[解析] 由导函数y ＝f ′(x )的图像知，f (x )在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x ＝4是f (x )的极小值点，故A 、B 、D 错误，选C.
3．(2014·营口三中期中)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3
－ax 2
－2bx 在x ＝1处有极值，则
a ＋
b 等于( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
[答案] C
[解析] f ′(x )＝12x 2
－2ax －2b ，由条件知x ＝1是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＋b ＝6. 4．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( )
A.239
B ．229
C.329
D ．38
[答案] A
[解析] f ′(x )＝1－3x 2
＝0，得x ＝3
3
∈[0,1]， ∵f ⎝
⎛⎭⎪⎫33＝
23
9
，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝23
9
.
5．(2014·河南淇县一中模拟)设a ∈R ，若函数y ＝e ax
＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13
D ．a <－1
3
[答案] B
[解析] y ′＝a e ax ＋3，由条件知，方程a e ax
＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－3a
<1，∴a <－3.
6．若函数y ＝x 3
－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞) D ．(0，3
2
)
[答案] D
[解析] y ′＝3x 2
－2a ，因为函数在(0,1)内有极小值， 所以方程3x 2
－2a ＝0较大的根在(0,1)内， 所以2a ＝3x 2∈(0,3)， 所以a ∈(0，3
2)．
二、填空题
7．设函数f (x )＝－x 3
＋3x －1，则其极大值点为________，极小值点为________． [答案] 1，－1
[解析] f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x －1)(x ＋1)，
当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调减；
当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调增，所以f (x )极大值点为x ＝1，极小值点为x ＝－1. 8．若函数f (x )＝2x 2
－ln x 在其定义域的一个子区间( t －1，t ＋1)上不是单调函数，则t 的取值范围是________．
[答案] [1，3
2
)
[解析] f (x )的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2
－1
x
＝
x －
x ＋
x
，f (x )在其
定义域的一个子区间不单调，则需0≤t －1<12，1≤t <32
.
三、解答题
9．已知函数f (x )＝13x 3
－4x ＋4.
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
[答案] (1)极大值913，极小值－113 (2)最大值913，最小值－11
3.
[解析] (1)由导数公式表和求导法则可得f ′(x )＝x 2
－4. 解方程x 2
－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.
x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表
f (－2)＝1
3×(－2)3－4×(－2)＋4＝913
.
而当x ＝2时，函数有极小值，且
f (2)＝13×23－4×2＋4＝－113
.
(2)f (－3)＝13
×(－3)3
－4×(－3)＋4＝7，
f (4)＝1
3×43－4×4＋4＝913
.
与极值点的函数值比较，得已知函数在区间[－3,4]上的最大值是913，最小值是－11
3.
10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.
(1)求a 、b 的值；
(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值． [答案] (1)a ＝2，b ＝－4 (2)13
[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，
∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，
又由f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，
而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝－2，2a ＋b ＝0.
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝2，
b ＝－4，
∴a ＝2，b ＝－4.
(2)由(1)知f (x )＝x 3
＋2x 2
－4x ＋5，
f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，
令f ′(x )＝0，得x ＝2
3
或x ＝－2.
当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：
∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (3)＝27，
又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.
一、选择题
1．函数y ＝2x 3
－3x 2
－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12；－8 B ．1；－8 C ．12；－15 D ．5；－16
[答案] A
[解析] y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时y ＝1，x ＝－1时y ＝12，x ＝1时y ＝－8.
∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A.
2．(2014·开滦二中期中)若函数f (x )＝x 3
－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(－∞，1)
C ．(0，＋∞)
D ．(0，1
2
)
[答案] D
[解析] f ′(x )＝3x 2
－6b ，∵f (x )在(0,1)内有极小值，
∴在(0,1)内存在点x 0，使得在(0，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，由f ′(x )＝0得，x 2
＝2b >0，
∴⎩⎨
⎧
b >0
2b <1，
∴0<b <12
.
3．(2014·枣庄市期中)若1、3为函数f (x )＝13x 3＋bx 2
＋cx (b ，c ∈R )的两个极值点，则曲线y
＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线的斜率为( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．0
[答案] A
[解析] f ′(x )＝x 2
＋2bx ＋c ，由条件知，1,3是方程f ′(x )＝0的两个实根，∴b ＝－2，c ＝3，∴f ′(－1)＝8，故选A.
4．(2014·安徽程集中学期中)已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)<e 2
f (0) B ．f (2)≤e 2
f (0) C ．f (2)＝e 2f (0) D ．f (2)>e 2
f (0)
[答案] D [解析] 设F (x )＝
f x
e
x
，则F ′(x )＝
f x －f x
e
x
>0，
∴F (x )在R 上为增函数，故F (2)>F (0)， ∴
f
e
2
>
f
e
，
即f (2)>e 2
f (0)．
二、填空题
5．若函数f (x )＝x 2＋a
x ＋1
在x ＝1处取得极值，则a ＝________.
[答案] 3
[解析] 考查分式函数求导法则、极值点的性质． f ′(x )＝
2x
x ＋
－x 2＋a x ＋2
＝x 2
＋2x －a
x ＋2
， f ′(1)＝0⇒
1＋2－a
4
＝0⇒a ＝3. 6．(2014·衡阳六校联考)在区间[－a ，a ](a >0)内图像不间断的函数f (x )满足f (－x )－f (x )＝0，函数g (x )＝e x
·f (x )，且g (0)·g (a )<0，又当0<x <a 时，有f ′(x )＋f (x )>0，则函数f (x )在区间[－a ，a ]内零点的个数是________．
[答案] 2
[解析] ∵f (－x )－f (x )＝0，∴f (x )为偶函数， ∵g (x )＝e x
·f (x )，∴g ′(x )＝e x
[f ′(x )＋f (x )]>0， ∴g (x )在[0，a ]上为单调增函数，
又∵g (0)·g (a )<0，
∴函数g (x )＝e x
·f (x )在[0，a ]上只有一个零点， 又∵e x
≠0，
∴f (x )在[0，a ]上有且仅有一个零点，
∵f (x )是偶函数，且f (0)≠0，∴f (x )在[－a ，a ]上有且仅有两个零点． 三、解答题 7．已知函数f (x )＝
f
e ·e x
－f (0)·x ＋12
x 2(e 是自然对数的底数)．
(1)求f (x )的解析式和单调区间；
(2)若函数g (x )＝12x 2
＋a 与函数f (x )的图像在区间[－1,2]上恰有两个不同的交点，求实数a
的取值范围．
[答案] (1)f (x )＝e x
－x ＋12x 2 f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)
(2)(1,1＋1
e
]
[解析] (1)由已知得f ′(x )＝f
e
e x
－f (0)＋x ，
∴f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝
f
e
，∴f ′(1)＝e.
从而f (x )＝e x
－x ＋12
x 2.
显然f ′(x )＝e x
－1＋x 在R 上单调递增且f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.
∴f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)． (2)由f (x )＝g (x )得a ＝e x －x ，令h (x )＝e x
－x ， 则h ′(x )＝e x
－1. 由h ′(x )＝0得x ＝0.
当x ∈(－1,0)时，h ′(x )<0；当x ∈(0,2)时，h ′(x )>0. ∴h (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增．
又h (0)＝1，h (－1)＝1＋1
e ，h (2)＝e 2－2且h (－1)<h (2)，∴两个图像恰有两个不同的交点时，
实数a 的取值范围是(1,1＋1
e
]．
8．(2014·唐山市二模)已知函数f (x )＝x 2
－ln x －ax ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；
(2)若f (x )>x ，求a 的取值范围． [答案] (1)0 (2)(－∞，0)
[解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2
－ln x －x ，f ′(x )＝
x ＋
x －
x
.
当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0. ∵f (x )的极小值为f (1)＝0， 又∵f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴f (x )的最小值为f (1)＝0.
(2)f (x )＞x ，即f (x )－x ＝x 2
－ln x －(a ＋1)x ＞0. 由于x ＞0，所以f (x )＞x 等价于x －ln x
x
＞a ＋1.
令g (x )＝x －ln x x ，则g ′(x )＝x 2
－1＋ln x
x
2
. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0.
g (x )有最小值g (1)＝1.
故a ＋1＜1，a 的取值范围是(－∞，0)．。