2021年中考数学 一轮分类训练：平移与旋转(含答案)

2021中考数学一轮分类训练：平移与旋转
一、选择题
1. 如图，△ABC沿着点B到点E的方向，平移到△DEF，如果BC=5，EC=3，那么平移的距离为()
A.2
B.3
C.5
D.7
2. 观察图，其中可以看成是由“基本图案”通过旋转形成的共有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移，得到四边形A1B1C1D1，已知A(-3，5)，B(-4，3)，A1(3，3)，则B1的坐标为()
A.(1，2)
B.(2，1)
C.(1，4)
D.(4，1)
4. 如图，将△ABC沿BC方向平移1 cm得到△DEF，若△ABC的周长为8 cm，则四边形ABFD的周长为()
A.8 cm
B.9 cm
C.10 cm
D.11 cm
5. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，OB＝1 cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是()
A．4 cm B．3 cm
C．2 3 cm D．(4－3)cm
6. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是()
A.(-1，2)
B.(1，4)
C.(3，2)
D.(-1，0)
7. 如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A，B两处各安装了一个监控探头(走廊内所用探头的观测区域为圆心角最大可取到180°的扇形)，图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域．要使整个艺术走廊都能被监控到，还需再安装一个监控探头，则安装的位置是()
A. E处
B. F处
C. G处
D. H处
8. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝3，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是()
A．(3，－1) B．(1，－3)
C．(2，0) D．(3，0)
二、填空题
9. 在平面直角坐标系中，将点A(4，2)绕原点按逆时针方向旋转90°后，其对应点A′的坐标为________．
10. 如图D7-12，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A'B'C，则点B转过的路径长为.
11. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为.
12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10 cm，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6 cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________ cm.
13. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
14. 如图，两块完全相同的含30°角的三角尺ABC和A′B′C′重合在一起，将三角尺A′B′C′绕其顶点C′逆时针旋转角α(0°<α≤90°)，有以下三个结论：①当α＝30°时，A′C与AB的交点恰好为AB的中点；②当α＝60°时，A′B′恰好经过点B；③在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′.其中正确结论的序号是__________．
三、解答题
15. 如图，P为正方形ABCD内一点，若PA＝a，PB＝2a，PC＝3a(a＞0)．
(1)求∠APB的度数；
(2)求正方形ABCD的面积．
16. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD ＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
17. △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：
△BPE≌△CQE；
(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，
①求证：△BPE∽△CEQ；
②当BP＝2，CQ＝9时，求BC的长．
18. 将一副三角尺按图①摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2 3.
(1)求GC的长；
(2)如图②，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过点H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N.通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想；
(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD′的长度．
2021中考数学一轮分类训练：平移与旋转-答案
一、选择题
1. 【答案】A[解析]观察图形，发现平移前后B，E为对应点，C，F为对应点.根据平移的性质，易得平移的距离=BE=5-3=
2.
2. 【答案】D
3. 【答案】B[解析]由A(-3，5)，A1(3，3)可知四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，
∵B(-4，3)，∴B1的坐标为(2，1).
4. 【答案】C[解析]将周长为8 cm的△ABC沿BC方向平移1 cm得到△DEF，∴AD=CF=1 cm，DF=AC.
∵AB+BC+AC=8 cm，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10 cm.
5. 【答案】B[解析] ∵旋转前、后的两个图形是全等图形，AB＝4 cm，OB＝1 cm，∴A′B′＝AB＝4 cm，OB′＝OB＝1 cm.
在△OB′B中，∵∠B′＝60°，OB′＝OB，
∴△OB′B是等边三角形，∴BB′＝OB＝1 cm，
∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm)．
6. 【答案】C[解析]如图，由旋转得:CB'=CB=2，∠BCB'=90°，D，C，B'三点共线.
∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，∴OB=1，∴B'(2+1，2)，即B'(3，2)，故选C.
7. 【答案】D【解析】根据题意可知，在A，B处安装监控探头后，E，F，G
处均有探查不到的区域，而探头放在E，F处时同样存在这样的问题，放在H处恰好不存在．
8. 【答案】 A
二、填空题
9. 【答案】(－2，4)
10. 【答案】π[解析]在△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴cos∠ABC==，
∴BC=2×=，
∵△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A'B'C，∴∠BCB'=60°，
∴弧BB'的长==π.
故答案为π.
11. 【答案】3[解析]∵DE=EF=AD=3，∠D=90°，
∴AE2=AD2+DE2=18，
∴AB=AE==3.
12. 【答案】(10－2 6)[解析] 如图，过点A作AG⊥DE于点G.由旋转知，AD
＝AE ，∠DAE ＝90°，∠CAE ＝∠BAD ＝15°，
∴∠AED ＝∠ADG ＝45°， ∴∠AFD ＝∠AED ＋∠CAE ＝60°. 在Rt △ADG 中，AG ＝DG ＝
AD
2
＝3 2(cm)． 在Rt △AFG 中，GF ＝
AG
3
＝6(cm)，AF ＝2FG ＝2 6(cm)， ∴CF ＝AC －AF ＝(10－2 6)cm.
13. 【答案】18
[解析] 如图．∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.
又∵AB ＝AD ，∴将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后点B 与点D 重合，点C 的对应点E 落在CD 的延长线上，∴AE ＝AC ＝6，∠CAE ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE ＝12AC·AE ＝1
2×6×6＝18.
14. 【答案】①②③
三、解答题
15. 【答案】
解：(1)将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBQ ，连接PQ ，如图，
则∠APB＝∠BQC，PB⊥QB，PB＝QB＝2a，
AP＝QC＝a，
∴PQ＝2 2a.
在△PQC中，∵PC2＝9a2，PQ2＋QC2＝9a2，∴PC2＝PQ2＋QC2，
∴△PQC为直角三角形且∠PQC＝90°.
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ＝∠BQP＝45°，
故∠APB＝∠CQB＝90°＋45°＝135°.
(2)连接AC.
∵∠APQ＝∠APB＋∠BPQ＝135°＋45°＝180°，
∴A，P，Q三点在同一条直线上．
在Rt△AQC中，AC2＝AQ2＋QC2＝(a＋2 2a)2＋a2＝(10＋4 2)a2，
∴正方形ABCD的面积S＝AB2＝AC2
2＝(5＋2 2)a
2.
16. 【答案】
解：(1)①当A，D，M三点在同一直线上时，AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD －DM＝20.
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∵AM>0，∴AM＝20 2.
当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∵AM>0，∴AM＝10 10.
综上所述，满足条件的AM的长为20 2或10 10.
(2)如图，连接CD1，
由题意得，∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，
∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30 2.
∵∠AD2C＝135°，
∴∠CD2D1＝∠AD2C－∠AD2D1＝90°，
∴CD1＝（30 2）2＋602＝30 6.
∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，
∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，
∴∠BAD2＝∠CAD1.
又∵AB＝AC，AD2＝AD1，
∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，
∴BD2＝CD1＝30 6.
17. 【答案】
(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，
又∵AP＝AQ，
∴BP＝CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC.
∴在△BPE与△CQE中，
∴△BPE≌△CQE(SAS)；
(2)①证明：∵∠BEF＝∠C＋∠CQE，∠BEF＝∠BEP＋∠DEF，∠C＝∠DEF＝45°，
∴∠CQE＝∠BEP，
∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
②解：由①知△BPE∽△CEQ，
∴BE·CE＝BP·CQ，
又∵BE＝EC，
∴BE2＝BP·CQ，
∵BP＝2，CQ＝9，
∴BE2＝2×9＝18，
∴BE＝32，
∴BC＝2BE＝6 2.
18. 【答案】
13解：(1)在Rt△ABC中，
∵∠B＝60°，BC＝2 3，
∴AB＝43，AC＝6.
∵DF垂直平分AB，∴AD＝2 3.
又∵∠DAG＝30°，
∴DG＝2，AG＝4，
∴GC＝AC－AG＝6－4＝2.
(2)MD＝ND.
证明：∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CD＝DB＝AD.
又∵∠B＝60°，∴△CDB是等边三角形，∴∠CDB＝60°.
∵CN⊥DB，∴ND＝1
2DB.
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDA＝180°－∠EDF－∠CDB＝30°. 又∵∠A＝30°，
∴∠A＝∠EDA，∴HA＝HD.
∵HM⊥AD，∴MD＝1
2AD.
又∵AD＝DB，∴MD＝ND.
(3)连接DG，则DG⊥AD′.
由(2)知∠A＝∠EDA，
由平移知∠E′D′A＝∠EDA，
∴∠A＝∠E′D′A.
∵D′E′恰好经过(1)中的点G(此时点D′与点B重合)，∴D′G＝AG，
∴DD′＝AD＝2 3.。