高三数学适应性月考五试卷 理扫描 试题

民族中学2021届高三数学适应性月考〔五〕试卷理〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日
民族中学2021届高考适应性月考卷〔五〕
理科数学参考答案
第一卷〔选择题，一共60分〕
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕
【解析】
1．A ={0，1，2，3，4，5，6}，B ={|0x x <或者3}x >，{456}A B =，，，应选B ．
2．21i 31i 2i 55z +=
=++，所以23155Z ⎛⎫
⎪⎝⎭
，在第一象限，应选A ． 3．B 选项里面
1
1a
<，解得1a >或者0a <，应选B ． 4．一元二次方程2540x x -+=，解得11x =，24x =，所以1314a a ==，，那么公比2q =，所以21n n S =-，应选B ．
5．11222+222S =⨯⨯⨯，应选B ．
6．22
()()()()()
DE DF OE OD OF OD OE OD OE OD OE OD =--=---=--=
22(31)8--=-，
应选D ．
7．1
011=0+11
p S =+==，，k =2，2<5？是；
14
123133
p S =+==+=，，k =3，3<5？是； 413
336+362
p S =+==
=，，k =4，4<5？是； 31864102105p S =+==
+=，，k =5，5<5？否，∴8
5
S =，应选C ． 8．求得交点()A k k ，，(2)B k k -，，(00)C ，，∴2A z k =，B z k =-，0C z =，∵0k ＞， ∴max 212z k ==，∴6k =，∴min 6z k =-=-，应选B ．
9．在空间四边形ABCD 中，取AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，那么60BOD ∠=︒，R =OA =OB =OC =OD =2，
V =
32
3
π，应选D ． 10．F (1，0)，准线为x =-1，设准线与x 轴的交点为H ，在△AHF 中，HF =2，AFH PAF ∠=∠
60=︒，又AP =PF ，那么△PAF 为等边三角形，PF =AF =4，应选B ．
11．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln 1y x y ax ==-，，直线21y ax =-过定点(01)-，，
设直线21y ax =-与1y 的切点为00(ln )x x ，，由于11
y x
'=，所以切线斜率0000
ln 1
111x a x a x x +=
===，∴，，
当(01)a ∈，时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点，应选C ．
12．由()()()()f x g x f x g x ''<得2
()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦
，即()
()x f x y a g x ==为R 上的减函数，所以01a <<，由
(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，得15
2
a a -+=，即22520a a -+=，解得2a =或者12a =，又01a <<，所以12a =，故()1()2x
f x
g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，数列()()()f n n g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭
*
N 即1()2n
n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭*
N ，其前n 项和为111221*********
n
n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-= ⎪⎝⎭-，整理得11264n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得6n =，应选B ．
第二卷〔非选择题，一共90分〕
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕
【解析】
13．由17n +=，得n =6，应用二项式定理，得展开式的常数项为4
422
56
1C ()15T x x ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
．
14．由，得1111212222f ⎛⎫
⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，于是
511122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
15．由2y x =，得0)y x x =≥，那么面积为
1
31
2
32021211
1()d 3
3333
A S S x x x x x Ω⎛⎫
===-=
-= ⎪
⎝⎭⎰，，于是概率为13A S S Ω=．
16．由函数32115
()33212
f x x x x =-+-，得2()3f x x x '=-+，那么()21f x x ''=-，令()0f x ''=，
得1
2
x =
，代回原函数，得112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故对称中心为112⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17．〔本小题满分是12分〕
解：〔Ⅰ〕由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠
1259253492⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，那么7km AB =．…………………………………………
〔6分〕
〔Ⅱ〕由三角形中线性质定理，得1
()2CD CA CB =+，平方得
2
22211119
()(2)(25539)4444
CD CA CB CA CA CB CB =
+=+⋅+=-⨯+=， 于是1919
42
CD CD ===．………………………………………………………〔12分〕
18．〔本小题满分是12分〕 〔Ⅰ〕证明：连接AC ，
∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为BD 的中点， ∴AC ∩BD =E ，∴E 为AC 的中点． 又∵F 为PC 的中点，
∴EF 是△PAC 的中位线，∴EF ∥PA ． 又∵PA ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，
∴EF ∥平面ADP ．…………………………………〔4分〕 〔Ⅱ〕解：如图1，连接AM 和DM ，∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ，且PD ⊥BD ，
又∵AD ⊥BD ，PD BD D =，
∴AD ⊥平面PDB ，
又∵MD ⊂平面PDB ， ∴AD ⊥MD ， 又∵AD ⊥BD ，
∴∠MDB 是二面角M AD B --的平面角，∴∠MDB =45°．…………………………〔8分〕 在△PDB 中，∵PD ⊥BD ，PD =BD ，∠MDB =45°，
∴M 是PB 的中点，∴2λ=．…………………………………………………………〔12分〕
19．〔本小题满分是12分〕
解：〔Ⅰ〕甲、乙两班数学样本成绩的中位数分别是72分、70分．………………〔2分〕 〔Ⅱ〕901+804+70660650240190
==7120
x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+甲，
902+803+705605503402100
=
=7020
x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+乙，
∴甲、乙两班数学样本成绩的平均值分别是71分、70分．…………………………〔6分〕
〔III 〕ξ的可能取值为0、1、2、3、4，甲、乙两班各有5个优秀成绩，故从甲班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率为14，从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为1
4
，4
381(0)4256P ξ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，
图1
3
12
1327
(1)2C 4464
P ξ⎛⎫⎛⎫===
⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2222
1122131327(2)2+C C 4444128P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2
2
12
2
1133(3)2C C 44464P ξ⎛⎫
==⨯= ⎪⎝⎭
， 4
11(4)4256P ξ⎛⎫
===
⎪⎝⎭
， ∴ξ的分布列为：
……………………………………………………………………………………〔11
分〕
8110854121
()012341256256256256256
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………〔12分〕
20．〔本小题满分是12分〕
解：〔Ⅰ〕在12AF F △中，由1260F AF ∠=︒，12AF AF a ==， 得12AF F △是等边三角形，那么2a c =， 于是椭圆C 的离心率1
2
c e a ==．………………………………………………………〔4分〕
〔Ⅱ〕由1
2c e a ==，得2a c =，那么b =，于是椭圆C ：2222143x y c c +=．
又由右焦点2(0)F c ，及斜率tan 451k =︒=，得直线l y x c =-：． 联立，得222
3412y x c x y c =-⎧⎨+=⎩
，，消去y ，得22
7880x cx c --=． 运用韦达定理，得2121288
77
x x c x x c +==-，．…………………………………………〔8
分〕
设1122()()M x y N x y ，，，，且1(0)F c -，， 那么111122()()MF NF c x y c x y ⋅=------，，
21212121212()()()()()()22c x c x y y c x c x x c x c x x c =+++=+++--=+
222162
277
c c c =-
+=-，
而112MF NF ⋅=-，即22
27
c -=-，于是27c c ==，．
所求椭圆C 的方程为
22
12821x y +=．……………………………………………………〔12分〕
21．〔本小题满分是12分〕
〔Ⅰ〕解：函数()f x 的单调递减区间为(1)-∞-，，单调递增区间为[10)-，，(0)+∞，．
……………………………………………………………………………………〔2分〕
〔Ⅱ〕证明：由()g x 有意义知1
2
x ≥
，所以()ln f x x =，令()()()h x g x f x =-，1
()h x x
'=，因为221
21(1)0x x x x x
⇔⇔-⇔-≥≥成
1x 成立，所以()0h x '≥，即()()()h x g x f x =-在12⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，上是增函数．
所以min 11111()ln ln 2022222h x h ⎛⎫
==--=->-= ⎪⎝⎭
，所以()()g x f x >，
即曲线()f x 与()g x 1
2
没有公一共点．…………………………………………〔6分〕
〔Ⅲ〕解：当120x x <<或者210x x >>时，12()()f x f x ''≠，故120x x <<．
当10x <时，函数()f x 的图象在点11(,())x f x 处的切线方程为211(2)y x x a -++= 11(22)()x x x +-，即211(22)y x x x a =+-+．
当20x >时，函数()f x 的图象在点22(,())x f x 处的切线方程为222
1
ln ()y x x x x -=
-，即22
1ln 1y x x x =⋅+-，两切线重合的充要条件是12
2211
22ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，①
，②由①及120x x <<，知110x -<<．
由①②得，2111
ln
122
a x x =+-+211ln(22)1x x =-+-． 设21111()ln(22)1(10)h x x x x =-+--<<，那么1111
()201
h x x x '=-
<+． 所以，1()h x 在(10)-，上是减函数，那么1()(0)ln 21h x h >=--，所以ln 21a >--． 又当1(10)x ∈-，且趋近于1-时，1()h x 无限增大，所以a 的取值范围是(ln 21)--+∞，．
故当函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21)--+∞，．
……………………………………………………………………………………〔12分〕
22．〔本小题满分是10分〕【选修4−1：几何证明选讲】
证明：〔Ⅰ〕如图2，∵AD ∥BC ，
∴∠ADB =∠DBC 〔两直线平行内错角相等〕， 又∵∠ADB =∠ACB 〔同弧所对圆周角相等〕， ∴∠DBC =∠ACB ． 在△ABC 和△DCB 中，
∵∠BAC =∠CDB 〔同弧所对圆周角相等〕，
BC = BC ，
∠DBC =∠ACB 〔已证〕，
∴△ABC ≌△DCB ．………………………………………………………………………〔5分〕
图2
〔Ⅱ〕在△AED 和△BAC 中， ∵AC ∥ED 〔〕，
AD ∥BC 〔〕，
∴∠ADE =∠BCA ， ∠EAD =∠ABC ， ∴△AED ∽△BAC ，∴
AE DE
AB AC
=
， ∴AE AC AB DE ⋅=⋅． 又由〔Ⅰ〕知△ABC ≌△DCB ， ∴AB =DC ，AC =BD ，
∴DE ·DC ＝AE ·BD ．……………………………………………………………………〔10分〕
23．〔本小题满分是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：〔Ⅰ〕依题意可得直线l 的直角坐标方程为120x --=，
曲线C 的普通方程为
22
1273x y +=．………………………………………………………〔4分〕
〔Ⅱ〕设)P θθ，那么点P 到直线l 的间隔
d cos 16θπ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭时，min 3d =． ……………………………………………………………………………………〔10
分〕
24．〔本小题满分是10分〕【选修4−5：不等式选讲】
〔Ⅰ〕解：因为(3)f x k x +=-，所以(3)0f x +≥等价于x k ≤，
由x k ≤有解，得0k ≥，且其解集为{}x k x k -≤≤．
又(3)0f x +≥的解集为[11]-，，故k =1．……………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知
1a +12b +1
3c
=1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 2
11
1
23(23)923a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++= ⎪⎝⎭≥．
………………………………………………………………………………………〔10
分〕。