2023-2024学年人教版九年级数学下册27.2.1第2课时三边关系、边角关系判定三角形相似 课件
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复习导入
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中得到证明三角形相似的启发吗？
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
探 究 新 知
① 首先按从小到大的排列找出对应边；
② 再分别计算 小，中，大 三组对应边长度的比；
③ 最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似.
1. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，
③
④
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
D
E
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
C
随堂练习
2. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论 正确的是 ( )
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
思考：
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
1、在△ABC中，∠A=48°，AB=1.5cm，AC=2cm；在△DEF中，∠E=48°，DE=2.8cm，EF=2.1cm.问这两个三角形相似吗? 为什么？
= ,
A'C'=
= ,
B'C'=
5
∵
=
= ，
5
=
= ，
5
2
=
5
∴
=
=
∴ △ABC∽△DEF
利用三角形三边对应成比例判定两个三角形相似的步骤：
解：
由于△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上，
根据勾股定理，得
AB=
= ,
AC=
2
BC=
=
A'B'=
解：
(1) ∵ ∠A=∠A
利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似的步骤：
解：
相似
理由如下：
∵ ∠A=∠E=48°，
=
= ，
=
=
∴
=
∴ △ABC∽△DEF
特别提醒：
① 找出两个三角形中相等的那个角；
② 再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按从小到大的排列找出对应边.
③ 最后看两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似.
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
C
3. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴△ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
探 究 新 知
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC.
D
E
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．
归纳：
∴ △ ABC ∽△A′B′C.
符号语言：
小例题
1、如图，方格网的小方格是边长为1 的正方形，△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，为什么？
即
=
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
随堂练习
1. 如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
C. AC2=AD·AB
D. CD2=AD·BD
C
2. 如图，BC与DE 相交于点O.问： (1) 当∠B满足什么条件时， (2) 当 AC：AE 满足什么条件时，
27.2.1 相似三角形的判定第2课时 三边关系、边角关系判定三角形相似
学习目标
1. 探索“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且 夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.2. 掌握利用三边、边和角的关系来判定两个三角形相似 的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归纳：
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
小例题
2、在Rt△ABC中，两直角边分别为3cm，4cm；在Rt△A'B'C'中，斜边为25cm，一条直角边为15cm.问这两个直角三角形相似吗？为什么.
解：
相似
理由如下：
在Rt△A'B'C'中，
由勾股定理，得
另一边的直角边为 20 cm.
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
夹直角的两条边对应成比例，
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中得到证明三角形相似的启发吗？
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
探 究 新 知
① 首先按从小到大的排列找出对应边；
② 再分别计算 小，中，大 三组对应边长度的比；
③ 最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似.
1. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，
③
④
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
D
E
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
C
随堂练习
2. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论 正确的是 ( )
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
思考：
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
1、在△ABC中，∠A=48°，AB=1.5cm，AC=2cm；在△DEF中，∠E=48°，DE=2.8cm，EF=2.1cm.问这两个三角形相似吗? 为什么？
= ,
A'C'=
= ,
B'C'=
5
∵
=
= ，
5
=
= ，
5
2
=
5
∴
=
=
∴ △ABC∽△DEF
利用三角形三边对应成比例判定两个三角形相似的步骤：
解：
由于△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上，
根据勾股定理，得
AB=
= ,
AC=
2
BC=
=
A'B'=
解：
(1) ∵ ∠A=∠A
利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似的步骤：
解：
相似
理由如下：
∵ ∠A=∠E=48°，
=
= ，
=
=
∴
=
∴ △ABC∽△DEF
特别提醒：
① 找出两个三角形中相等的那个角；
② 再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按从小到大的排列找出对应边.
③ 最后看两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似.
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
C
3. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴△ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
探 究 新 知
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC.
D
E
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．
归纳：
∴ △ ABC ∽△A′B′C.
符号语言：
小例题
1、如图，方格网的小方格是边长为1 的正方形，△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，为什么？
即
=
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
随堂练习
1. 如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
C. AC2=AD·AB
D. CD2=AD·BD
C
2. 如图，BC与DE 相交于点O.问： (1) 当∠B满足什么条件时， (2) 当 AC：AE 满足什么条件时，
27.2.1 相似三角形的判定第2课时 三边关系、边角关系判定三角形相似
学习目标
1. 探索“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且 夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.2. 掌握利用三边、边和角的关系来判定两个三角形相似 的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归纳：
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
小例题
2、在Rt△ABC中，两直角边分别为3cm，4cm；在Rt△A'B'C'中，斜边为25cm，一条直角边为15cm.问这两个直角三角形相似吗？为什么.
解：
相似
理由如下：
在Rt△A'B'C'中，
由勾股定理，得
另一边的直角边为 20 cm.
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
夹直角的两条边对应成比例，