第二十六讲 两个三角形相似的判定-2021年新九年级数学(浙教版)(解析版)

第二十六讲 两个三角形相似的判定
4.4两个三角形相似的判定
【学习目标】
1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；
2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.
【基础知识】
一、相似三角形
在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
要点：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 二、相似三角形的判定定理
1.（一）相似三角形判定的预备定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
3．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
A
B
C
D E
D E
A C
B
4．判定定理（三）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
【考点剖析】
例1．下列能判定△ABC 和△A ’B ’C ’的条件是( )
A ．
B ．且A A '=∠
C ．且B C '∠=∠
D ．且B B '∠=∠
【答案】B 【解析】
A 只有两边对就成比例，不能判定相似； B.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
C 有两对应成比例，但相等的两角一个是夹角，一个却是一边的对角，所以不能判定；
D 有两边对就成比例，相等的两角一边的对角，所以也不能判定两三角形相似． 故选：B. 【点睛】
利用两边对边成比例且夹角相等判定两三角形相似来判定两三角形相似的关键在于能正确的找到成例的两条线段的夹角．
例2．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件
中的（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
解：∵∠BAC=∠D ， ∴△ABC ∽△ADE ． 故选C ． 【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
例3．下列说法，其中正确的有（）
①各有一个角是60°的两个等腰三角形相似；
②各有一个角是80°的两个等腰三角形相似；
③各有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
④两边成比例的两个等腰三角形相似．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
各有一个角是60°的两个等腰三角形都为等边三角形，它们相似，所以①正确；
顶角为80度的等腰三角形与底角为80度的等腰三角形不相似，所以②错误；
各有一个角是100°的两个等腰三角形的底角都为40度，它们相似，所以③正确；
两边成比例的两个等腰三角形不相似，所以④错误．
故选B．
【点睛】
本题考查相似三角形与等腰三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定以及等腰三角形的性质求解是解题关键．
例4．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．
【解析】
解：如图示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，
①
B
905535
D，
35
B D ∴∠=∠
C F ∠=∠
，
故①是不正确的；
9=AC ，12BC =，6DF =，8EF =，
，
C F ∠=∠，
，
故③是正确的；
10AB =，6BC
=，15DE =，9EF =，
，
C F ∠=∠，
；
故④是正确的；
∵3AC =，4BC =，6DF =，8DE =， ∴，C F ∠=∠
有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； 故②是错误的；
综上所述③④是正确的，正确的有2个， 故选：B ． 【点睛】
此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．
例5．下列说法中，正确的是（ ）
①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似． A ．①，② B ．②，③
C ．③，④
D ．①，④.
【答案】B 【分析】
根据三角形相似的判定判定即可； 【解析】
①必须是夹角，故错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，正确；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，正确；④必须是第三边的平行线，故错误； 故答案选D ． 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，准确判断是解题的关键．
例6．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【分析】
由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项． 【解析】
解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为
2，22，10，所以三边之比为1：2：
5．
A 、三角形的三边分别为2，10，32，三边之比为
2：5：3，故本选项错误；
B 、三角形的三边分别为2，4，25，三边之比为1：2：5，故本选项正确；
C 、三角形的三边分别为2，3，13，三边之比为2：3：13，故本选项错误；
D 、三角形的三边分别为5，13，4，三边之比为5：13：4，故本选项错误． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．
例7．如图，点P 是ABC ∆的边AC 上一点，连接BP ，则下列条件中，不能判定ABP
ACB ∆∆的
是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的判定定理（①有两组角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【解析】
解：A、由∠A＝∠A，，不能判定△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
B、由∠A＝∠A，，能判定△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
C、由∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，能判定△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、由∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，能判定△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
例8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E、F分别在AB、AC上，且EF∥BC，交AD于点G，则图中相似的三角形有（）
A．5对B．6对C．7对D．8对
【答案】C
【分析】
根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似即可解答．
【解析】
解：图中共有7对相似三角形，
理由如下：
∵EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC．
∵AB＝AC且AD⊥BC，
∴△AEG≌△AFG，△ABD≌△ACD，
则△AEG∽△ACD，△AFG∽△ABD，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的平行线判定法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
例9．△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是()
A．AB=c,AC=b,BC=a,DE=,EF b DF=
B．AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=1
C．AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6
D．AB2AC3BC5DE6EF=3,DF=3
【答案】C
【解析】
A、根据AB=c，BC=a，AC=b，DE=,EF b DF=，不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1，
∴AB:DF=1,AC:EF=1:6,BC:DE=1:6，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6，
∴AB:DF=AC:EF=BC:DE=1:2，
∴△ABC和△DEF相似，故本选项正确；
D、AB2AC3BC5DE6EF=3,DF=3,
∴AB:DE3AC:EF3BC:DF5，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定的应用,注意:相似三角形的判定定理之一是:有三组对应边的比相等的两个三
角形相似.
例10．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】
过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【解析】
过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条．
故选C．
例11．如图，∠1＝∠2，DE∥AC，则图中的相似三角形有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】C
【分析】
由∠1＝∠2，DE∥AC，利用有两角对应相等的三角形相似解答即可．
【解析】
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，∠EDA＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△CAD，
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠EDB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠EDB，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴△ABD∽△CBA，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用，注意数形结合思想的应用．
例12．下列条件：①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠A′=45°，A′B′=16，A′C′=20；②∠A=47°，AB=1.5，AC=2，∠B′=47°，A′B′=2.8，B′C′=2.1；③∠A=47°，AB=2，AC=3，∠B′=47°，A′B′=4，B′C′=6，其中能判定△ABC与△A′B′C′相似的有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定方法依次判断即可解答.
【解析】
①，∠A=∠A′=45°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得
△ABC∽△A′B′C′；②，∠A=∠B′=47°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△B′C′A′；③，∠A=∠B′=47°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△B′A′C′.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定定理，熟知判定定理是解决本题的关键.
例13．如图，在四边形ABCD中，DE∥BC交AB于点E，点F在AB上，请你再添加一个条件________(不再添加辅助线及其他字母)，使△FCB∽△ADE.
【答案】答案不唯一，如CF∥DA
【解析】
分析：在题中，由平行可知一对角相等，要想相似，再找一对角相等即可，因此可添加一组平行，找同位角相等即可．
详解：添加条件：CF∥DA．理由如下：
∵CF∥DA，∴∠A=∠CFE．∵DE∥BC，∴∠DEA=∠B，∴△FCB∽△ADE．故答案为：答案不唯一，如CF∥DA．
点睛：这是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．
例14．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为__时，△ADP和△ABC相似．
【答案】4或9．
【解析】
当△ADP∽△ACB时，需有，∴，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有，∴
6
812
AP
=，解得AP＝4．∴
当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）
A．AB∥CD B．A D
∠=∠
C．D．
【答案】D
【分析】
本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解析】
解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DO
C、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
2．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）
A．B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒AD D．
【答案】D
【分析】
由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．
【解析】
解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；
两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；
由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意；
而D不是夹角相等，故选项D符合题意；
故选：D
【点睛】
相似三角形的判定：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
3．下列各组图形中，不一定相似的是（）
A．各有一个角是100°的两个等腰三角形
B．各有一个角是90°的两个等腰三角形
C．各有一个角是60°的两个等腰三角形
D．各有一个角是50°的两个等腰三角形
【分析】
根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解． 【解析】
A 、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；
B 、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；
C 、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；
D 、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了相似图形的判断，严格按照判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形的性质对解题也很关键．
4．如图，已知12,∠=∠则添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADE ∆∆的是（ ）
A ．
B ．
C ．B ADE ∠=∠
D ．C
E ∠=∠
【答案】A 【分析】
先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE ，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【解析】 解：∵∠1=∠2， ∴∠BAC=∠DAE ．
A. ，∠B 与∠D 的大小无法判定，∴无法判定△ABC ∽△ADE ，故本选项符合题意；
B. ，∴△ABC ∽△ADE ，故本选项不符合题意；
C. B ADE ∠=∠∴△ABC ∽△ADE ，故本选项不符合题意；
D. C E ∠=∠∴△ABC ∽△ADE ，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
5．下列说法中，正确的是（）
①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．A．①，②B．②，③C．③，④D．①，④.
【答案】B
【分析】
根据三角形相似的判定判定即可；
【解析】
①必须是夹角，故错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，正确；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，正确；④必须是第三边的平行线，故错误；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，准确判断是解题的关键．
6．如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】D
【解析】
试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，
∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D．
考点：1．相似三角形的判定；2．平行线的判定．
∆∆的是（）
7．如图，下列选项中不能判定ACD ABC
A．2
=⋅B．2
AC AD AB
=⋅
BC BD AB
C．D．
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【解析】
解：A、∵AC2=AD•AB，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
B、∵BC2=BD•AB，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△ABC，
不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记并理解应用相似三角形的判定定理是解此题的关键．
8．在△ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
【解析】
满足条件的直线有4条，如图所示：
如图1，过D作DE∥AC，则有△BDE∽△BAC；
如图2，过D作DE∥BC，则有△ADE∽△ABC；
如图3，过D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，则有△ADE∽△ACB；
如图4，过D 作∠BED=∠A ，又∠B=∠B ，则有△BED ∽△BAC ， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用． 9．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC ∽△DEF 的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【答案】B 【分析】
根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【解析】
解：如图示，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C=∠F=90°， ①
90
55
35B
35D
，
B D ∴∠=∠
C F ∠=∠
，
故①是不正确的；
9=AC ，12BC =，6DF =，8EF =，
，
C F ∠=∠，
，
故③是正确的；
10AB =，6BC
=，15DE =，9EF =，
，
C F ∠=∠，
故④是正确的；
∵3AC =，4BC =，6DF =，8DE =， ∴，C F ∠=∠
有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； 故②是错误的；
综上所述③④是正确的，正确的有2个， 故选：B ． 【点睛】
此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．
10．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且，AE=BE ，则有（ ）
A ．△AED ∽△BED
B ．△AED ∽△CBD
C ．△AE
D ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD
【答案】B 【分析】
本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，，AE=BE ，我们可以分别得到：△AED 、△BCD 为锐角三角形，△BED 、△ABD 为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案． 【解析】
由已知中正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，，AE=BE ，
易判断出：△AED 为一个锐角三角形，△BED 为一个钝角三角形，故A 错误； △ABD 也是一个钝角三角形，故C 也错误； 但△BCD 为一个锐角三角形，故D 也错误； 故选：B ． 【点睛】
此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．
11．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（ ）
B ．1111119
2,3,4;3,6,2
AB BC AC A B B C AC ====== C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】
根据相似三角形的判定定理进行判断． 【解析】 解：A 、
11112.5521
3642
AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； B 、，能使ABC ∆和△111A B C 相似，正确； C 、，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； D 、，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； 故选B. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．
12．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，0），点C 在第一象限，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点C 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】
试题解析：如图①，∠OAB =∠1BAC ，∠AOB =∠1ABC 时，△AOB ∽△1ABC ．
如图②，AO ∥BC ，BA ⊥2AC ，则∠2ABC =∠OAB ，故△AOB ∽△2BAC ；
如图③，3AC ∥OB ，∠ABC 3=90︒，则∠ABO =∠CAB ，故△AOB ∽△3C BA ；
如图④，∠AOB =∠4BAC =90︒，∠ABO =∠4ABC ，则△AOB ∽△4C AB ． 故选D ．
二、填空题
13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，则=______． 【答案】 【分析】
根据平行线的性质得∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，利用“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质即可得出结论． 【解析】 ∵DE ∥BC ，
∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴， 故答案为：． 【点睛】
本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 14．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，，则△ABC ∽______，其相似比为______．
【答案】△ADE 4
1
【分析】
根据已知条件判定相似三角形即可；
【解析】
∵DE∥BC，
∴ABC ADE，∵，
∴，
∴;
故答案是△ADE和4
1
．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确分析是解题的关键．
15．点D在ABC的边AB上，且2
AC AD AB
=⋅，则ABC ACD，理由是_______．【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
【分析】
先依题意画出图形，再根据相似三角形的判定即可得．
【解析】
依题意，画图如下：
2
AC AD AB
=⋅，即，
又，
（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．
16．如图，添上条件________，则ABC ADE
∽．
【答案】∠ABC=∠ADE（答案不唯一）
【分析】
根据相似三角形的判定定理添加即可.
【解析】
添上∠ABC=∠ADE条件，则△ABC∽△ACD．
理由：∵∠ABC=∠ADE ，∠A=∠A ， ∴△ABC ∽△ACD ．
故答案为∠ACD=∠B （答案不唯一） 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定：有两个角对应相等的三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题键．
17．如图，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．
【答案】解：∠D=∠B 或∠AED=∠C ． 【分析】
根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可． 【解析】
解：∵∠DAB=∠CAE ∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE ：AC 或AD •AC=AB•AE 时两三角形相似． 故答案为∠D=∠B （答案不唯一）．
18．在ABC 和A B C '''中，若B B '∠=∠，6AB =，8BC =，4B C ''=，则当A B ''=________时，
ABC
A B C '''.
【答案】3 【分析】
在ABC 和A B C '''中，已知了B B '∠=∠，要判定这两个三角形全等，可以利用定理“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，得到，即可求出A B ''的值． 【解析】
由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，若要使ABC A B C '''， 已知'B B ∠=∠，只要即可， 解得3A B ''=. 【点睛】
本题考查的是利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定两三角形相似方法为图形补充条件，紧扣定理构成比例式是解题的关键．
19．如图，E 是□ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，图中______对相似三角形．
【答案】3
【分析】
由□ABCD 可得，，再由平行线性质推导而证明△AFE ∽△CFD ∽△BCE ，从而完成求解．
【解析】
∵□ABCD
∴，
∴E DCF ∠=∠，EAF EBC ∠=∠
∵
∴AEF DCF ∽
∵EAF EBC ∠=∠，
∴
△CFD ∽△BCE
∴△AFE ∽△CFD ∽△BCE
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平行四边形和相似三角形的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质，从而得到答案．
20．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，12AD =，点E 在边AD 上，8AE =，点F 在边DC 上，则当EF =________时，ABE △与DEF 相似．
【答案】5或
【分析】
若要ABE △与DEF 相似,则需要对应直角边成比例,代入数值计算即可．
【解析】
由题意,知ABE △与DEF 都是直角三角形,
所以当或时,ABE △与DEF 相似,
由6AB =,8AE =,12AD =,得10BE =,4DE =,
∴或,
∴EF 5或．
故答案为: 5或．
【点睛】
△与DEF相似和ABE DEF
ABE
△△
∽是有区别的,前者没有明确两个三角形的对应关系,后者已给出了对应关系,因此前者要分类讨论．
21．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有____（填序号）
【答案】③④⑤
【分析】
两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1
②△BCD的各边长分别为1
③△BDE的各边长分别为2、△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5（为△ABC
⑤△FGH的各边长分别为2（为△ABC
⑥△EFK的各边长分别为3
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为③④⑤．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的关键．22．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
【答案】145
【分析】
先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.
【解析】
解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，
△ABD与△DBC相似，但不全等，
∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.
又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，
∴∠ADB+∠BDC=145°，
即∠ADC=145°.
【点睛】
对于新定义问题，读懂题意是关键.
三、解答题
23．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
【答案】见解析
【分析】
根据两角对应相等，两三角形相似的判定定理得解．
【解析】
证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的各种判定方法是解题关键．
24．如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．
【答案】见解析．
【分析】
先根据正方形的性质得出DC=BC ，∠DCB =∠DCF =90°，由CE=CF 可得出△DCF ≌△ECB ，故∠CDF=∠CBE ，再根据∠F 为公共角即可得出结论．
【解析】
∵正方形ABCD
∴∠DCB=∠DCF=90，DC=BC
∵CE=CF
∴△DCF ≌△ECB
∴∠CDF =∠CBE
∵∠CDF ＋∠F=90
∴∠CBE ＋∠F=90
∴∠BGF=90=∠DCF
∴△BGF ∽△DCF
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 25．如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE ，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．
【答案】△ADE ∽△BDA
【分析】
先利用勾股定理求得，进而有
ED AD AD BD ==，又∠ADB=∠ADB ，利用“两组边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似”即可证得△ADE ∽△BDA ．
【解析】
∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE ，
∴，BD=2CD ， ∴
ED AD AD BD ==， ∵∠ADB=∠ADB ，
∴△ADE ∽△BDA ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
26．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ．
（1）写出图中的两对相似三角形；
（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．
【答案】（1）ACD ABC ∽，CDB ACB ∽；（2）详见解析
【分析】
（1）根据相似三角形的判定定理，结合图形可得出ACD ABC △∽△，CDB ACB ∽△△，；
（2）根据题意可选择证明ACD ABC △∽△，利用等角代换得出B ACD ∠=∠，从而利用两角法判断ACD ABC △∽△．
【解析】
解：()1根据相似三角形的判定定理可知：
图中的两对相似三角形为：ACD ABC △∽△和CDB ACB ∽△△；
（2）∵90A B ∠+∠=，90A ACD ∠+∠=，
∴B ACD ∠=∠，
又∵，
∴ACD ABC △∽△．
【点睛】
本题考查有两组对应角相等的两三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 27．如图，已知//,//,//AB DE AC DF BC EF .求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
根据对应边平行可得对应边之比，从而证明.
【解析】
解：．
．
．。