2020-2021初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编附答案(1)

2020-2021初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编附答案(1)
一、选择题
1．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意，列方程正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解.
【详解】
∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元，
∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元，
则有
故选A.
【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系.
2．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程( )
A．24002400
8
(120%)
x x
-=
+
B．
24002400
8
(120%)x x
-=
+
C．
24002400
8
(120%)x x
-=
-
D．
24002400
8
(120%)
x x
-=
-
【答案】A
【解析】
【分析】
求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8．
【详解】
原计划用的时间为：2400
x
，实际用的时间为：()
2400
120%
x+．所列方程为：
2400 x -()
2400
120%
x+=8．
故选A
【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．
3．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
甲种机器人每小时搬运x千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克，
由题意得：，
故选B.
【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程是关键．
4．若 x=3 是分式方程
21
2
a
x x
-
-=
-
的根，则 a 的值是
A．5 B．-5 C．3 D．-3【答案】A
【解析】
把x=3代入原分式方程得，
21
332
a-
-=
-
，解得，a=5，经检验a=5适合原方程.
故选A.
5．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x件，则下列方程正确的是（）
A．400400
(130%)
x x
-
+
＝4 B．
400400
(130%)x x
-
+
＝4
C．400400
(130%)
x x
-
-
＝4 D．
400400
4
(130%)x x
-=
-
【解析】 【分析】
根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程． 【详解】
设每月原计划生产的医疗器械有x 件， 根据题意，得：()400400
4130%x x
-=+ 故选A ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
6．对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝21
a b a
-．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1 B ．
13 C ．﹣1
D ．-
13
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21
121x x x
-=-， 解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解， 故选A ． 【点睛】
本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．180180
32
x x -=+ B ．180180
32x x
-=+ C ．
180180
32x x -=- D ．
180180
32x x
-=- 【答案】D 【解析】
先用x 表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可. 【详解】
解：设前去观看开幕式的同学共x 人，根据题意，得：180180
32x x
-=-. 故选：D. 【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.
8．把分式方程11122x
x x
--=--，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ） A ．1-(1-x)=1 B ．1+(1-x)=1
C ．1-(1-x)=x-2
D ．1+(1-x)=x-2
【答案】D 【解析】 【分析】
本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2－x ，首先要化成x －2；②、等式右边的常数项不要漏乘． 【详解】 解：
11122x x x
--=-- 11+122
x x x -=-- 两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2 故选：D 【点睛】
本题考查解分式方程．
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个，已知购进 A 种月饼和 B 种月饼的费用分别为3000元和2000元，且 A 种月饼的单价比 B 种月饼单价多1元．求 A 、B 两种月饼的单价各是多少？设 A 种月饼单价为x 元，根据题意，列方程正确的是( ) A ．30002000
15001
x x +=+ B ．20003000
15001x x +=+ C ．
30002000
15001x x +=- D ．
20003000
15001
x x +=- 【答案】C
【分析】
设A 种月饼单价为x 元，再分别表示出A 种月饼和B 种月饼的个数，根据“购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可. 【详解】
设A 种月饼单价为x 元，则B 种月饼单价为(x -1)元， 根据题意可列出方程30002000
15001
x x +=-， 故选C. 【点睛】
本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.
10．下列运算正确的是( )
A ．25=
B ．()
3
3626x x =
C ．3222x x x ÷=
D ．若
1
11
x x -=-则211x x -+= 【答案】C 【解析】 【分析】
分别计算出每一项的结果，再进行判断即可. 【详解】
A. 2=
B. ()
3
3
928x x =，故原选项错误；
C. 3222x x x ÷= ，计算正确；
D. 若
1
11x x -=-则22=0x -，，故原选项错误 故选C. 【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算、积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式和解分式方程，熟练运用法则是解题关键.
11．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与
乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）
A ．
120150
8x x =- B ．
120150
8x x
=+ C ．
120150
8x x
=- D ．
120150
8
x x =+ 【答案】D 【解析】 【分析】
首先用x 表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程. 【详解】
解：∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件， ∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴120150
8
x x =+， 故选D. 【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.
12．已知关于x 的分式方程13222mx
x x
-+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且 B ．2m ≠
C ．1m =或2m =
D ．1m ≠或2m ≠
【答案】A 【解析】 【分析】
分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可. 【详解】
13222mx x x
-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2) 整理得，（m-2）x=-2
∵分式方程
13222mx x x
-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2，
∴2
2
x m -=
- ∵分式方程13222mx x x
-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2，
∴
2
22
m -≠-，解得，m≠1，
所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠ 故选：A. 【点睛】
此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.
13．解分式方程14322x x
-=--时，去分母得（ ） A ．13(2)4x --= B ．13(2)4x --=- C ．13(2)4x ---=- D ．13(2)4x --=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等式性质计算即可. 【详解】
在方程的两边同时乘以x-2，得13(2)4x --=-， 故选：B. 【点睛】
此题考查解分式方程，等式的性质，正确计算是解题的关键，此题中容易出现错误的地方是原方程中的分母是互为相反数，注意符号不要弄错.
14．已知关于x 的分式方程2
1
m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3 B ．m≤3且m≠2
C ．m ＜3
D ．m ＜3且m≠2
【答案】D 【解析】 【分析】
解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围. 【详解】
2
1
m x -+=1， 解得：x=m ﹣3， ∵关于x 的分式方程2
1
m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0， 解得：m ＜3，
当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解， 则m≠2，
故m 的取值范围是：m ＜3且m≠2， 故选D ．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．
15．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（ ） A ．900900
213
x x ⨯=+- B ．
900900
213
x x =⨯+- C ．
900900213
x x ⨯=-+ D ．
900900
213x x =⨯-+ 【答案】A 【解析】 【分析】
设规定时间为x 天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度
关系即可列出方程． 【详解】
解：设规定时间为x 天，则慢马需要的时间为（x +1）天，快马的时间为（x -3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍
∴
900900
213x x ⨯=+- 故选A ． 【点睛】
本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．
16．关于x 的分式方程
26
344
ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组172
2x a x x >⎧⎪
⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
【答案】C 【解析】 【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】 解分式方程
26344
ax x x -+=---得：x=4
3a -，
因为分式方程的解为正数，
所以
4
3a
-
＞0且
4
3a
-
≠4，
解得：a＜3且a≠2，
解不等式
1
7
22
x
a x
x
>
⎧
⎪
⎨+
≥-
⎪⎩
，得：x≤a+7，
∵不等式组有解，
∴a+7＞1，
解得：a＞-6，
综上，-6＜a＜3，且a≠2，
则满足上述要求的所有整数a的绝对值的和为：
|-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a＜3且a≠2是解题的关键．
17．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（）
A．480
x
＋
480
+20
x
＝4 B．
480
x
－
480
+4
x
＝20 C．
480
x
－
480
+20
x
＝4 D．
480
4
x-
－
480
x
＝20
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列出方程即可．【详解】
由题意得
480 x －
480
+20
x
＝4
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
18．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得
A．253010
18060
(%)
x x
-=
+
B．
2530
10
180
(%)
x x
-=
+
C ．
302510
18060
(%)x x -=+
D ．
3025
10180(%)x x
-=+
【答案】A 【解析】
若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程． 解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，
()253010
180%60
x x -=+ 故选A ．
19．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．606030(125%)x x
-=+ B ．6060
30(125%)x x
-=+
C ．
60(125%)60
30x x
⨯+-=
D ．
6060(125%)30x x
⨯+-= 【答案】C 【解析】
分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．
详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%
x
+万
平方米，
依题意得：6060
30
125%
x x
-=+，即()60125%6030x x
⨯+-=． 故选C ．
点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20．若关于x 的方程244
x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2
C ．0
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.
【详解】
解：由分式方程的最简公分母是x-4，
∵关于x 的方程
244
x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，
∴分式方程的增根是x=4． 关于x 的方程
244
x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4
故选D ．
【点睛】 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．。