高三第二次模拟数学试题(文科2)

北京市西城区2022年第二次抽样测试
高三数学试卷〔文科〕
本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.共150分,测试时间120分钟.
第一卷〔选择题 共40分〕
一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分. 在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.〕
1．设全集},,,,{e d c b a s =,集合},{},,{e b B c a A ==,那么下面论断正确的选项是 〔 〕 A ．S B A = B ．A ⊂ S B
C ． S A ⊂B
D ． S A S B =φ
2．设m ∈R ,向量a =〔1,m 〕. 假设|a |=2,那么m 等于
〔 〕
A ．1
B ．3
C ．1±
D ．3± 3．假设q p x q x p 是则,2|1:|,0)1lg(:<-<-的
〔 〕
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．函数)()(),1,0(log 1)(1
x f x f
a a x x f a 是且-≠>+=的反函数. 假设)(1
x f
-的图象过点
〔3,4〕,那么a 等于 〔 〕
A ．2
B ．3
C ．33
D ．2
5．在正三棱锥P —ABC 中,D ,E 分别是AB ,BC 的中点,有以下三个论断： ①PB AC ⊥；
②AC //平面PDE ； ③PDE AB 平面⊥.
其中正确论断的序号为
〔 〕
A ．①、②、③
B ．①、③
C ．①、②
D ．②、③
6．假设43214
43322104,)1(a a a a x a x a x a x a a x +++++++=-则的值为
〔 〕
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
7．设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的半焦距为c ,离心率为4
5
.假设直线kx y =与双曲线
的一个交点的横坐标恰为c ,那么k 等于
〔 〕
≠
A ．20
9±
B ．25
9±
C ．5
3±
D ． 5
4±
8．袋中装有10个球,其中有2个红球、3个白球、5个黄球. 假设取出一个红球得5分,取到
一个白球得2分,取到一个黄球得1分. 那么从袋中取出5个球,使得总分大于10分且小于15分的取法种数为 〔 〕 A ．90种 B ．100种 C ．110种 D ．120种
第二卷〔非选择题 共110分〕
二、填空题〔本大题共6小题,每题5分,共30分. 把答案填在题中横线上.〕 9．}{n a 是等差数列,==+=9641,8,3a a a a 则 .
10．设甲、乙、丙三个加工厂共生产玩具6000件,其中甲厂生产了1440件. 现采用分层抽样
的方法从三个加工厂抽取一个容量为500件的样本进行质量检测,那么应从甲加工厂抽取 件玩具.
11．设实数x ,y 满足x y y x y x 则⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤≤.03,
2,
2的最大值是 . 12．假设函数)sin(ϕ+=x y 是R 上的偶函数,那么ϕ的值可以是 . 〔只要写出一个符合题意的ϕ值即可,不必考虑所有可能的情形〕
13．正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 边长为1,高AA 1=2,它的八个顶点都在同一球面上,那么球的半径是 ；A ,B 两点的球面距离为 . 14．按以下程序框图运算： 规定：程序运行到“判断结果是否大于244〞为1次运算.
假设x =5,那么运算进行 次才停止；假设运算进行k ∈k (N *〕次才停止,那么x 的
取值范围是 .
三、解做题〔本大题共6小题,共80分. 解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.〕 15．〔本小题总分值12分〕
α为第二象限的角,βα,53sin =为第三象限的角,3
4
tan =β.
〔I 〕求)tan(βα+的值.
〔II 〕求)2cos(βα-的值. 16．〔本小题总分值12分〕
在20件产品中含有正品和次品各假设干件,从中任取2件产品都是次品的概率是
.19
1
〔I 〕求这20件产品中正品的个数；
〔II 〕求从中任取3件产品,至少有1件次品的概率. 17．〔本小题总分值14分〕 如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,D 是BC 的中点,AA 1=AB 〔I 〕求证：AD ⊥B 1D ；
〔II 〕求证：A 1C //平面AB 1D ；
〔III 〕求二面角B —AB 1—D 的大小. 18．〔本小题总分值14分〕
设∈a R ,函数a x x x x f +--=2
3
)(.
〔I 〕求)(x f 的单调区间；
〔II 〕当2|)(|,]2,0[≤x f x 若时恒成立,求a 的取值范围.
19．〔本小题总分值14分〕
设直线1:+=x y l 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两个不同的点,与x
轴相交于点F .
〔I 〕证实：;12
2>+b a
〔II 〕假设F 是椭圆的一个焦点,且FB AF 2=,求椭圆的方程.
20．〔本小题总分值14分〕
设数列}{n a 的首项∈=a a a (1R 〕,且⎩⎨
⎧+--=+,4,31n n n a a a ⎩⎨
⎧≤>,
3,
3时时n n a a n =1,2,3,…. 〔I 〕假设;,,,,105432a a a a a 求<< 〔II 〕假设40<<n a ,证实：401<<+n a ；
〔III 〕假设20≤<a ,求所有的正整数k ,使得对于任意∈n N *,均有n k n a a =+成立.
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高三数学试卷〔文科〕参考答案
一、选择题：本大题共8小题,每题5分,人40分 1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C
二、填空题：本大题共6上题,每题5分,共30分.
8．5 10．120 11．2 12．答案不唯一；结果是)(2
Z k k ∈+π
π中的一个值即可；
13．1〔2分〕,
3
π
14．4〔2分〕,〔2,4]〔3分〕 三、解做题：本大题共6小题,共80分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤. 15．〔本小题总分值12分〕 〔I 〕解：由于α为第二象限的角,5
3
sin =
α, 所以,5
4sin 1cos 2-=--=αα,………………………………………2分
.4
3
cos sin tan -==
ααα ……………………………………………………… 4分 又3
4
tan =
β, 所以,.247tan tan 1tan tan )tan(=⋅-+=+βαβαβα …………………………… 6分
〔II 〕解：由于β为第三象限的角,3
4tan =
β, 所以,.5
3cos ,5
4sin -=-=ββ …………………………………………8分
又25
7sin 212cos ,2524cos sin 22sin 2=-=-==ααααα,………10分
所以,.53sin 2sin cos 2cos )2cos(=+=-βαβαβα ………………12分
16．〔本小题总分值12分〕
〔Ⅰ〕解：设这20件产品中有n 件次品,由题意得 19
11920)1(2
20
2
=⨯-=n n C C n
所以n 〔n －1〕=20,解得n=5〔舍去n=－4〕
所以,这20件产品中正品的个数为15. …………………………6分
〔Ⅱ〕解：设从这20件产品中任取3件均是正品的事件为A,那么至少有1件次品的事件为A
由 22891)(3
20
3
15==C C A P ……………………9分
得 .228
137)(1)(=-A P A P
所以,从中任取3件产品,至少有1件次品的概率是
228
137
………………12分 17．〔本小题总分值14分〕
解法一〔Ⅰ〕证实：∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱, ∴BB 1⊥平面ABC,
∴BD 是B 1D 在平面ABC 上的射影 在正△ABC 中,∵D 是BC 的中点, ∴AD ⊥BD,
根据三垂线定理得,AD ⊥B 1D
〔Ⅱ〕解：连接A 1B,设A 1B ∩AB 1 = E,连接DE. ∵AA 1=AB ∴四边形A 1ABB 1是正方形, ∴E 是A 1B 的中点, 又D 是BC 的中点,
∴DE ∥A 1C. ………………………… 7分 ∵DE ⊂平面AB 1D,A 1C ⊄平面AB 1D,
∴A 1C ∥平面AB 1D. ……………………9分 〔Ⅲ〕解：在面ABC 内作DF ⊥AB 于点F,在面A 1ABB 1内作FG ⊥AB 1于点G,连接DG . ∵
平面A 1ABB 1⊥平面ABC, ∴DF ⊥平面A 1ABB 1,
∴FG 是DG 在平面A 1ABB 1上的射影, ∵FG ⊥AB 1, ∴DG ⊥AB 1
∴∠FGD 是二面角B —AB 1—D 的平面角 …………………………12分
设A 1A = AB = 1,在正△ABC 中,DF=
.4
3 在△ABE 中,FG=
43
·BE=,8
23 在Rt △DFG 中,3
6tan ==FG DF FGD ,
所以,二面角B —AB 1—D 的大小为.3
6arctan …………………………14分
解法二：
建立空间直角坐标系D —x yz,如图, 那么).1,0,21(),0,23,0(),0,0,0(1-B A D
证实：)1,0,2
1
(),0,23,
0(1--==D B AD , ∴01=⋅D B AD ∴D B AD 1⊥
即 AD ⊥B 1D ……………………4分
〔Ⅱ〕解：连接A 1B,设A 1B ∩AB 1 = E,连接DE.
∵).0,0,2
1(),21,43,41(),1,23,
0(1C E A - ),2
1
,43,41(),1,23,21(1-=--=∴DE C A
.//,211DE C A DE C A ∴-=∴ …………………………7分
D AB C A D AB D
E 111,平面平面⊄⊂ ,
.//11D AB C A 平面∴ ……………………………………9分
〔Ⅲ〕设),,(1r q p =n 是平面AB 1D 的法向量,那么0,0111=⋅=⋅D B n AD 且n , 故)1,0,2(,1.02
1
,0231===-=-
n r r p q 得取； 同理,可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n ……………………12分 设二面角B —AB 1—D 的大小θ,5
15
||||cos 2121=
⋅=
n n n n θ , ∴二面角B —AB 1—D 的大小为.5
15
arccos …………………………14分 18．〔本小题总分值14分〕
〔Ⅰ〕解：对函数)(x f 求导数,得 123)(2
--='x x x f ………………3分
令3
1
10)(-<>>'x x x f ，或，解得 ……………………4分 令.13
1
0)(<<-
<'x x f ，解得 ……………………5分 所以,)(x f 的单调递增区间为),1()31
,(+∞--∞和；
)(x f 的单调递减区间为〔－3
1
,1〕 ……………………6分
〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知,)(x f 在〔0,1〕上单调递减,在〔1,2〕上单调递增, 所以,)(x f 在[0,2]上的最小值为a f +-=1)1( ……………………8分 由)2()0(2)2()0(f f a f a f <+==，知，
所以,)(x f 在[0,2]上的最大值为a f +=2)2( ………………10分
由于,当⎩⎨⎧≤+-≥+-⇔≤≤-⇔≤∈2
22
12)(22|)(|]2,0[a a x f x f x 时，
解得 01≤≤-a ,
即a 的取值范围是[－1,0] ……………………14分 19．〔本小题总分值14分〕
〔Ⅰ〕证实：将1122
22=++=b
y a x x y 代入,消去x ,得
0)1(2)(222222=-+-+a b y b y b a ① ……………………3分
由直线l 与椭圆相交于两个不同的点,得
0)1(4)1)((44222222224>-+=-+-=∆b a b a a b a b b
所以 12
2
>+b a …………………5分 〔Ⅱ〕解：设),(),(2211y x B y x A ，
由①,得 2
2222122221)1(2b
a a
b y y b a b y y +-=+=+， ………………7分 由于 2122y y FB AF -==，得
所以, 2
2222221222212)1(2y b a a b y y y a b y y -=+-=-==+，
消去y 2,得 2
2
222222)2(2)1(b
a b b a a b +-=+- 化简,得2
2
2
2
8)1)((b a b a =-+ ……………………11分 假设F 是椭圆的一个焦点,那么c=1,b 2=a 2－1 代入上式,解得 2
7
2922
==
b a ， ………………13分 所以,椭圆的方程为 17
2922
2=+y x ………………14分 20．〔本小题总分值14分〕 〔Ⅰ〕解；由于)1,0(1∈=a a
所以a 2=－a 1+4=－a +4,且a 2∈〔3,4〕 所以a 3=a 2－3=－a +1,且a 3∈〔0,1〕 所以a 4=－a 3+4=a +3,且a 4∈〔3,4〕
所以a 5=a 4－3=a ……………………4分 〔Ⅱ〕证实：当4301+-=≤<+n n n a a a 时， 所以,.411<≤+n a ………………6分 ②当3431-=<<+n n n a a a ， 所以, .101<<+n a
综上, 40401<<<<+n n a a 时，
……………………8分 〔Ⅲ〕解：①假设4)(1
015==<<k a a a ，所以知Ⅰ，由 因此,当k=4m 〔m ∈N*〕时,对所有的n ∈N*,n k n a a =+成立 …………10分 ②假设]3,2(42122∈+-=<≤a a a a ，且，则
24)4(4123===++--=+-=k a a a a a ，所以
因此,当k=2m 〔m ∈N*〕时,对所有的n ∈N*,n k n a a =+成立 …………12分 ③假设12432=====k a a a a ，所以，则 ,
因此k=m 〔m ∈N*〕时,对所有的n ∈N*,n k n a a =+成立 …………13分
综上,假设0<a <1,那么k=4m ；21<≤a ,那么k=2m ；假设a =2,那么k=m. m ∈N*……14分。